自然界中的事物形態(tài)總是以曲線、曲面的形式出現(xiàn)的。要建立三維物體的模型，曲線和曲面是必不可少的研究?jī)?nèi)容。曲線是曲面的基礎(chǔ)，當(dāng)生成了一條曲線后，即可運(yùn)用平移、旋轉(zhuǎn)等變換來(lái)生成復(fù)雜曲面（如一條平面直線沿某個(gè)方向的平移軌跡是一個(gè)平面；繞另一中心軸直線旋轉(zhuǎn)會(huì)生成一個(gè)曲面；一個(gè)半圓繞其一中心軸旋轉(zhuǎn)會(huì)生成一個(gè)球面），進(jìn)而構(gòu)造出三維物體。因而曲線曲面的表示是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的重要研究?jī)?nèi)容之一。本章從一些規(guī)則的曲線和曲面出發(fā)，主要介紹自由曲線和自由曲面的基礎(chǔ)知識(shí)和其常見的表示形式。10/8/20231自然界中的事物形態(tài)總是以曲線、曲面的形式出現(xiàn)的常用的曲線曲面的類型：Bézier曲線（面）0P1P2P3PB樣條曲線（面）孔斯曲面

這些曲線曲面都可以用參數(shù)方程表示，并具有以下的優(yōu)點(diǎn)：曲線曲面的形狀不依賴于坐標(biāo)系的選擇人機(jī)交互直觀易于計(jì)算易于拼接造型靈活

10/8/20232常用的曲線曲面的類型：Bézier曲線（面）0P1P2P3P5.1曲線、曲面的參數(shù)表示的基礎(chǔ)知識(shí)其一是規(guī)則的曲線和曲面，如直線（平面）、圓錐曲線（面），這些曲線（面）都可以用函數(shù)方程（顯示和隱式）或參數(shù)方程（一般都為一個(gè)一次或二次方程）給出；工程中經(jīng)常遇到的曲線和曲面有兩種：其二是形狀比較復(fù)雜，不能用二次方程描述的曲線和曲面，稱為自由曲線和曲面，如船體、水波面（見演示）、車身和機(jī)翼的曲線和曲面，如何表示這些自由的曲線和曲面成了工程設(shè)計(jì)與制造中遇到的首要問(wèn)題。同時(shí)這些自由曲線和曲面構(gòu)型日益藝術(shù)化也不斷地成就和壯大了今天的汽車、船舶和飛機(jī)工業(yè)。10/8/202335.1曲線、曲面的參數(shù)表示的基礎(chǔ)知識(shí)其一是規(guī)則的曲線和曲面構(gòu)造曲面模擬帆船用曲面模擬海水5.1曲線、曲面的參數(shù)表示的基礎(chǔ)知識(shí)鏈接鏈接10/8/20234構(gòu)造曲面模擬帆船用曲面模擬海水5.1曲線、曲面的參數(shù)表示的一個(gè)坐標(biāo)變量能夠顯式地表示為另一個(gè)變量的函數(shù)。平面曲線顯式表示的一般形式是：一條直線方程：一個(gè)三維空間直線的顯示表示：在平面直線的表示中，每一個(gè)x值只對(duì)應(yīng)一個(gè)y值用顯式方程不能表示封閉或多值曲線。如不能表示一個(gè)完整的圓弧

5.1.1曲線的三種表示方法顯式表示10/8/20235一個(gè)坐標(biāo)變量能夠顯式地表示為另一個(gè)變量的函數(shù)。5.1.平面曲線隱式表示的—般形式為：三維空間曲線的隱式表示式為交面式（用兩個(gè)曲面相交的方式）:

5.1.1曲線的三種表示方法隱式表示曲線的顯示和隱式表示統(tǒng)稱為非參數(shù)表示，非參數(shù)表示曲線存在下列問(wèn)題：與坐標(biāo)系相關(guān)會(huì)出現(xiàn)斜率為無(wú)窮大的情況(如垂線)非平面曲線難用常系數(shù)的非參數(shù)化函數(shù)表示不利于計(jì)算和編程

10/8/202365.1.1曲線的三種表示方法隱式表示曲線的顯示和隱式表示統(tǒng)其中，和分別是參數(shù)的顯式、單值函數(shù)：參數(shù)表示形式將曲線上各點(diǎn)的坐標(biāo)變量顯式地表示成參數(shù)的函數(shù)形式5.1.1曲線的三種表示方法10/8/20237其中，和分別是參數(shù)的顯式參數(shù)表示中，通常將參數(shù)區(qū)間規(guī)范化為[0,1]；參數(shù)方程中的參數(shù)可以代表任何量，如時(shí)間、角度等；連接和兩點(diǎn)的直線段的參數(shù)方程可寫為：5.1.1曲線的三種表示方法參數(shù)表示說(shuō)明10/8/20238參數(shù)表示中，通常將參數(shù)區(qū)間規(guī)范化為[0,1]；5.1.1曲5.1.1曲線的三種表示方法參數(shù)表示說(shuō)明一條參數(shù)曲線的表示形式并不是惟一的例如：在第一象限內(nèi)的單位圓弧既可表示成（右圖(a)）：又可表示成：（令t為半角的正切)（右圖(b)）(a)y01x取角度θ為參數(shù)時(shí)，x和y的關(guān)系如圖(a)所示y(b)

01x取t為參數(shù)時(shí)，x和y的關(guān)系如圖(b)所示圖中θ和t為等距取值

0≤t≤110/8/202395.1.1曲線的三種表示方法參數(shù)表示說(shuō)明一條參數(shù)曲線的表示5.1.1曲線的三種表示方法參數(shù)表示優(yōu)點(diǎn)曲線的邊界容易確定。規(guī)格化的參數(shù)區(qū)間[0,1]可以很容易地指定任意一段曲線，而不必用另外的參數(shù)去定義邊界；點(diǎn)動(dòng)成線。當(dāng)參數(shù)t從0變到1時(shí)，曲線段從起點(diǎn)變到終點(diǎn)；具有幾何不變性。參數(shù)方程的形式不依賴于坐標(biāo)系的選取，當(dāng)坐標(biāo)系改變時(shí)，參數(shù)方程的形式不變；易于處理斜率為無(wú)窮大的情形。在參數(shù)表示中，變化率以切矢量表示，不會(huì)出現(xiàn)無(wú)窮大的情況；易于變換。對(duì)參數(shù)表示的曲線、曲面進(jìn)行平移、比例、旋轉(zhuǎn)等幾何變換比較容易；交互能力強(qiáng)。參數(shù)表示具有直觀、明確的幾何意義，并提高了自由度，容易自由地控制整個(gè)曲線、曲面的形狀。10/8/2023105.1.1曲線的三種表示方法參數(shù)表示優(yōu)點(diǎn)曲線的邊界容易確定5.1.2

參數(shù)曲線的切矢量、弧長(zhǎng)、法矢量和曲率，曲線上任一點(diǎn)的位置矢量可表示為：

設(shè)曲線的參數(shù)方程為,

參數(shù)曲線的位置矢量P′(t)P(t+△t)yxz△PP(t))△S1．位置矢量10/8/2023115.1.2參數(shù)曲線的切矢量、弧長(zhǎng)、法矢量和曲率，設(shè)曲線的設(shè)和是曲線上的兩點(diǎn)，記參數(shù)曲線的切矢P′(t)P(t))P(t+△t)yxz△P△S當(dāng)時(shí)，導(dǎo)數(shù)矢量的方向趨近于P點(diǎn)處的切線方向，記為=亦稱為P點(diǎn)的切矢量5.1.2

參數(shù)曲線的切矢量、弧長(zhǎng)、法矢量和曲率2．切矢量10/8/202312設(shè)和是曲線上的兩在極限情況下，弦長(zhǎng)和弧長(zhǎng)相等，即：

T

稱為處切線方向的單位矢量。上式說(shuō)明：如果以弧長(zhǎng)為參數(shù)，曲線在任意點(diǎn)的切線為單位矢量參數(shù)曲線的單位切矢xP′(t)P(t))P(t+△t)yz△P△S5.1.2

參數(shù)曲線的切矢量、弧長(zhǎng)、法矢量和曲率2．切矢量10/8/202313在極限情況下，弦長(zhǎng)和弧長(zhǎng)從微積分的意義講，上式是曲線從到的折線長(zhǎng)度的極限，令：當(dāng)時(shí)對(duì)于正則曲線，從點(diǎn)到點(diǎn)的弧長(zhǎng)定義為5.1.2

參數(shù)曲線的切矢量、弧長(zhǎng)、法矢量和曲率3．弧長(zhǎng)10/8/202314從微積分的意義講，上式是曲線從設(shè)以弧長(zhǎng)s為參數(shù)，曲線上的點(diǎn)和點(diǎn)處的單位切矢量分別為和。P(s)T(s)P(s+△s)T(s+△s)5.1.2

參數(shù)曲線的切矢量、弧長(zhǎng)、法矢量和曲率4．曲率記兩單位切矢的夾角為，其改變量

而是弧長(zhǎng)的改變量，所以通常用與比的絕對(duì)值來(lái)度量弧的彎曲程度。

T(s+△s)T(s)

△T10/8/202315設(shè)以弧長(zhǎng)s為參數(shù)，曲線上的點(diǎn)和點(diǎn)處的當(dāng)時(shí),

曲線在點(diǎn)處的曲率為：當(dāng)時(shí)，稱為曲線在點(diǎn)的曲率半徑由于和都是單位長(zhǎng)度

，因此：5.1.2

參數(shù)曲線的切矢量、弧長(zhǎng)、法矢量和曲率4．曲率10/8/202316當(dāng)時(shí),曲線在點(diǎn)處的曲率為：當(dāng)對(duì)于一條空間三維曲線，任何垂直于切矢量T的矢量都稱為法矢量。T是單位切矢量且|T|=1，兩邊對(duì)s求導(dǎo)得矢量dT/ds，且dT/ds垂直于單位T，與T垂直的矢量很多，但我們：稱與矢量dT/ds同方向的單位矢量N為單位主法矢量，有以下式子（其中K為曲率(曲率非矢量）)：5.1.2

參數(shù)曲線的切矢量、弧長(zhǎng)、法矢量和曲率5．主法矢量和副法矢量稱KN稱為曲線的曲率矢量矢量垂直于T和NB稱為單位副法線矢量10/8/202317對(duì)于一條空間三維曲線，任何垂直于切矢量T的矢量都T是單位切矢過(guò)曲線上任一點(diǎn)有三個(gè)兩兩垂直的單位矢量T、N、B，即滿足、、。密切平面：通過(guò)給定點(diǎn)且包含切矢量T和主法矢量N的平面5.1.2

參數(shù)曲線的切矢量、弧長(zhǎng)、法矢量和曲率6．密切平面、法平面、化直平面和密切圓法平面密切平面N：參數(shù)曲線的密切平面TB化直平面：RMQR密切圓10/8/202318過(guò)曲線上任一點(diǎn)有三個(gè)兩兩垂直的單位矢量T、N、密切平面：通過(guò)法平面：通過(guò)給定點(diǎn)且包含主法矢量N和副法矢量B的平面化直平面：通過(guò)給定點(diǎn)且包含副法矢量B和切矢量T的平面5.1.2

參數(shù)曲線的切矢量、弧長(zhǎng)、法矢量和曲率6．密切平面、法平面、化直平面和密切圓法平面密切平面N：參數(shù)曲線的密切平面TB化直平面：RMQR密切圓10/8/202319法平面：通過(guò)給定點(diǎn)且包含主法矢量N和副法矢量B的平面化直平面5.1.2

參數(shù)曲線的切矢量、弧長(zhǎng)、法矢量和曲率6．密切平面、法平面、化直平面和密切圓密切圓：設(shè)曲線上三點(diǎn)R、M、Q分別對(duì)應(yīng)參數(shù)：、和，則R點(diǎn)的密切圓是指當(dāng)時(shí)，經(jīng)過(guò)三點(diǎn)M、R、Q的圓法平面密切平面N：參數(shù)曲線的密切平面TB化直平面：RMQR密切圓10/8/2023205.1.2參數(shù)曲線的切矢量、弧長(zhǎng)、法矢量和曲率6．密切平面密切圓所在的平面包含了直線段和

，又和副法矢量B同向5.1.2

參數(shù)曲線的切矢量、弧長(zhǎng)、法矢量和曲率6．密切平面、法平面、化直平面和密切圓10/8/202321密切圓所在的平面包含了直線段和過(guò)M、R、Q的圓一定在密切平面上，并且其法線方向與的方向相同密切圓表示曲線在點(diǎn)R處的彎曲程度在曲線上點(diǎn)R的密切圓的半徑等于該點(diǎn)的曲率半徑，密切圓心是曲率中心

密切平面的幾何意義是：在所有和曲線上的點(diǎn)R相切的平面中，密切平面是在R附近和曲線貼的最緊的平面。

5.1.2

參數(shù)曲線的切矢量、弧長(zhǎng)、法矢量和曲率6．密切平面、法平面、化直平面和密切圓10/8/202322過(guò)M、R、Q的圓一定在密切平面上，并且其法線方向與5.1.3樣條表示1．插值、擬合、逼近和特征多邊形給定一組稱為控制點(diǎn)的有序坐標(biāo)點(diǎn)，這些點(diǎn)描繪了曲線的大致形狀；連接這組有序控制點(diǎn)的直線序列（折線）稱為控制多邊形或特征多邊形。通過(guò)這些控制點(diǎn)，可以構(gòu)造出一條樣條曲線，構(gòu)造的兩種方法如下：

插值：如果樣條曲線順序通過(guò)每一個(gè)控制點(diǎn)，稱為對(duì)這些控制點(diǎn)進(jìn)行插值，所構(gòu)造的曲線稱為插值樣條曲線；擬合：如果樣條曲線在某種意義下最接近這些控制點(diǎn)（不一定通過(guò)每個(gè)控制點(diǎn)），稱為對(duì)這些控制點(diǎn)進(jìn)行逼近，所構(gòu)造的曲線為逼近樣條曲線；逼近：插值和逼近的統(tǒng)稱。

樣條原指通過(guò)一組指定點(diǎn)集而生成平滑曲線的柔性帶，使用這種方式繪制的曲線、曲面稱為樣條曲線、樣條曲面。在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，樣條曲線指由多項(xiàng)式曲線段連接而成的曲線，在每段的邊界處滿足特定的連續(xù)性條件；樣條曲面則是利用兩組正交的樣條曲線進(jìn)行描述的。10/8/2023235.1.3樣條表示1．插值、擬合、逼近和特征多邊形

線性插值：假設(shè)給定函數(shù)f(x)在兩個(gè)不同點(diǎn)x1和x2的值，用一個(gè)線形函數(shù)：y=ax+b，近似代替，稱為f(x)的線性插值函數(shù)。(見下圖（a))

拋物線插值：已知在三個(gè)互異點(diǎn)的函數(shù)值為，要求構(gòu)造一個(gè)函數(shù)：

使拋物線在結(jié)點(diǎn)處與在處的值相等(見下圖（b）)5.1.3樣條表示1．插值、擬合、逼近和特征多邊形（a）（b）10/8/202324線性插值：假設(shè)給定函數(shù)f(x)在兩個(gè)不同點(diǎn)x1和x2的值，5.1.3樣條表示如果兩條相鄰參數(shù)曲線段在連接點(diǎn)處具有n階連續(xù)導(dǎo)矢，即n階連續(xù)可微：2．曲線的連續(xù)性

樣條曲線是由各個(gè)多項(xiàng)曲線段連接而成，為了保證各個(gè)曲線段在連接點(diǎn)處是光滑的，需要滿足各種連續(xù)性條件。這里討論兩種意義下的連續(xù)性：參數(shù)連續(xù)性和幾何連續(xù)性。并基于以下的假設(shè)：樣條曲線由m段如下所示的參數(shù)多項(xiàng)式曲線連接而成：Pi=Pi(t),t∈[0,1]，i=1…m參數(shù)連續(xù)性則將這類連續(xù)性稱為n階參數(shù)連續(xù)性，記為CndkPi(t)dtkt=1dkPi+1(t)dtkt=0k=0,1,2…n，i=1,2,…m-110/8/2023255.1.3樣條表示如果兩條相鄰參數(shù)曲特例：0階參數(shù)連續(xù)性(記為C0，又稱為幾何位置連續(xù))

：Pi(1)=Pi+1(0),i=1,2,…m-11階參數(shù)連續(xù)性(記為C1)：Pi(1)=Pi+1(0)且Pi’(1)=Pi+1’(0),i=1,2,…m-12階參數(shù)連續(xù)性(記為C2)：Pi(1)=Pi+1(0)且Pi’(1)=Pi+1’(0)且Pi”(1)=Pi+1”(0),i=1,2,…m-15.1.3樣條表示參數(shù)連續(xù)性(a)C0(c)C2(b)C12．曲線的連續(xù)性10/8/202326特例：5.1.3樣條表示參數(shù)連續(xù)性(a)C0(c)特例：0階幾何連續(xù)性(記為G0)

：與C0一樣Pi(1)=Pi+1(0),i=1,2,…m-11階幾何連續(xù)性(記為G1)：Pi(1)=Pi+1(0)且Pi+1’(0)=kiPi’(1),i=1,2,…m-1,ki>02階幾何連續(xù)性(記為G2)：Pi(1)=Pi+1(0)且Pi+1’(0)=kiPi’(1)且Pi+1”(0)=miPi”(1),i=1,2,…m-1,ki>0且mi>05.1.3樣條表示幾何連續(xù)性如果只要求兩條相鄰參數(shù)曲線段在連接點(diǎn)處的n階導(dǎo)矢成比例，而不要求必須相等，則將這類連續(xù)性稱為n階幾何連續(xù)性，記為Gn

：2．曲線的連續(xù)性10/8/202327特例：5.1.3樣條表示幾何連續(xù)性5.1.4參數(shù)曲線的代數(shù)形式和幾何形式

參數(shù)曲線的形式多種多樣，其中最簡(jiǎn)單實(shí)用的就是參數(shù)樣條（多項(xiàng)式）曲線。樣條曲線的次數(shù)可能有高有低，次數(shù)太高會(huì)導(dǎo)致計(jì)算復(fù)雜，存儲(chǔ)量大。而次數(shù)太低則會(huì)導(dǎo)致控制曲線的靈活性降低，曲線不連續(xù)。三次參數(shù)樣條曲線在計(jì)算速度和靈活性之間提供了一個(gè)合理的折中方案，通常用于建立物體的運(yùn)動(dòng)路徑或設(shè)計(jì)物體的外觀形狀。三次Hermite插值曲線是三次參數(shù)樣條曲線的基礎(chǔ)。

10/8/2023285.1.4參數(shù)曲線的代數(shù)形式和幾何形式參數(shù)曲線的形5.1.4參數(shù)曲線的代數(shù)形式和幾何形式

三次參數(shù)多項(xiàng)式曲線的代數(shù)表示形式是

改寫成矢量的形式

其中，是多項(xiàng)式的i次系數(shù)矢量。

代數(shù)形式10/8/2023295.1.4參數(shù)曲線的代數(shù)形式和幾何形式三次參數(shù)多項(xiàng)式曲對(duì)于三次多項(xiàng)式曲線，常用四個(gè)幾何條件進(jìn)行描述。兩端點(diǎn)的位置和兩端點(diǎn)的切矢量和5.1.4參數(shù)曲線的代數(shù)形式和幾何形式

幾何形式這樣描述的三次多項(xiàng)式曲線，稱為Hermite曲線，它是以法國(guó)數(shù)學(xué)家CharlesHermite命名的10/8/202330對(duì)于三次多項(xiàng)式曲線，常用四個(gè)幾何條件進(jìn)行描述。兩端點(diǎn)的位置又由得:5.1.4參數(shù)曲線的代數(shù)形式和幾何形式

幾何形式代入式則有為[0,1]區(qū)間上的三次Hermite基函數(shù)，也稱調(diào)和函數(shù)。其中式(＊)是參數(shù)曲線的幾何形式，，，為其幾何系數(shù)（＊）10/8/202331又由得:5.1.4參數(shù)曲線的代數(shù)形式和幾何形式幾何形式Hermite基函數(shù)H(t)t10.20.40.60.80.20.40.60.81`-0.25.1.4參數(shù)曲線的代數(shù)形式和幾何形式

幾何形式