2024屆陜西省西安市長安一中數(shù)學高一上期末綜合測試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．天文學中為了衡量天體的明暗程度，古希臘天文學家喜帕恰斯（，又名依巴谷）在公元前二世紀首先提出了星等這個概念．星等的數(shù)值越小，天體就越亮；星等的數(shù)值越大，天體就越暗．到了1850年，由于光度計在天體光度測量中的應(yīng)用，英國天文學家普森（）又提出了衡量天體明暗程度的亮度的概念．天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述，兩顆星的星等與亮度滿足（），其中星等為的星的亮度為（，2）．已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的倍，則的近似值為（當較小時，）（）A1.23 B.1.26C.1.51 D.1.572．已知函數(shù)，函數(shù)有三個零點，則取值范圍是A. B.C. D.3．函數(shù)的定義城為（）A B.C. D.4．已知，則函數(shù)（）A. B.C. D.5．函數(shù)在區(qū)間上的最小值是A. B.0C. D.26．函數(shù)f(x)=在[—π，π]的圖像大致為A. B.C. D.7．下列函數(shù)是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增的是()A. B.C. D.8．若，，，則a，b，c的大小關(guān)系是A. B.C. D.9．函數(shù)的定義域是（）A. B.C.R D.10．如果命題“使得”是假命題，那么實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．的值是__________12．已知函數(shù)f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=-為f（x）的零點，x=為y=f（x）圖象的對稱軸，且f（x）在（，）上單調(diào)，則ω的最大值為______13．過點P(4,2)并且在兩坐標軸上截距相等的直線方程為（化為一般式）________.14．某高校甲、乙、丙、丁4個專業(yè)分別有150，150，400，300名學生．為了了解學生的就業(yè)傾向，用分層隨機抽樣的方法從這4個專業(yè)的學生中抽取40名學生進行調(diào)查，應(yīng)在丁專業(yè)中抽取的學生人數(shù)為______15．已知則________16．在矩形ABCD中，AB=2，AD=1．設(shè)①當時，t=___________；②若，則t的最大值是___________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在四邊形中，，，，為等邊三角形，是的中點.設(shè)，.（1）用，表示，，（2）求與夾角的余弦值.18．定義在上的函數(shù)，如果滿足：對任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱是上的有界函數(shù)，其中稱為函數(shù)的上界，已知函數(shù)（Ⅰ）若是奇函數(shù)，求的值（Ⅱ）當時，求函數(shù)在上的值域，判斷函數(shù)在上是否為有界函數(shù)，并說明理由（Ⅲ）若函數(shù)在上是以為上界的函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍19．若是從四個數(shù)中任取的一個數(shù)，是從三個數(shù)中任取的一個數(shù)（1）求事件“”的概率；（2）求事件“方程有實數(shù)根”的概率20．某新型企業(yè)為獲得更大利潤，須不斷加大投資，若預計年利潤低于10%時，則該企業(yè)就考慮轉(zhuǎn)型，下表顯示的是某企業(yè)幾年來利潤y（百萬元）與年投資成本x（百萬元）變化的一組數(shù)據(jù)：年份2015201620172018投資成本35917…年利潤1234…給出以下3個函數(shù)模型：①；②（，且）；③（，且）.（1）選擇一個恰當?shù)暮瘮?shù)模型來描述x，y之間的關(guān)系，并求出其解析式；（2）試判斷該企業(yè)年利潤不低于6百萬元時，該企業(yè)是否要考慮轉(zhuǎn)型.21．若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是_____.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】根據(jù)題意列出方程，結(jié)合對數(shù)式與指數(shù)式的互化以及對數(shù)運算性質(zhì)即可求解.【題目詳解】設(shè)“心宿二”的星等為，“天津四”的星等為，“心宿二”和“天津四”的亮度分別為，，，，，所以，所以，所以，所以與最接近的是1.26，故選：B.2、D【解題分析】根據(jù)題意做出函數(shù)在定義域內(nèi)的圖像，將函數(shù)零點轉(zhuǎn)化成函數(shù)與函數(shù)圖像交點問題，結(jié)合圖形即可求解.【題目詳解】解：根據(jù)題意畫出函數(shù)的圖象，如圖所示：函數(shù)有三個零點，等價于函數(shù)與函數(shù)有三個交點，當直線位于直線與直線之間時，符合題意，由圖象可知：，，所以，故選：D.【題目點撥】根據(jù)函數(shù)零點的情況求參數(shù)有三種常用方法：（1）直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.3、C【解題分析】由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及根式的性質(zhì)列不等式組，即可求解.【題目詳解】由題意可得解得，所以原函數(shù)的定義域為，故選：C4、A【解題分析】根據(jù)，令，則，代入求解.【題目詳解】因為已知，令，則，則，所以，‘故選：A5、A【解題分析】函數(shù)，可得的對稱軸為，利用單調(diào)性可得結(jié)果【題目詳解】函數(shù)，其對稱軸為，在區(qū)間內(nèi)部，因為拋物線的圖象開口向上，所以當時，在區(qū)間上取得最小值，其最小值為，故選A【題目點撥】本題考查二次函數(shù)的最值，注意分析的對稱軸，屬于基礎(chǔ)題．若函數(shù)為一元二次函數(shù)，常采用配方法求函數(shù)求值域，其關(guān)鍵在于正確化成完全平方式，并且一定要先確定其定義域.6、D【解題分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，得是奇函數(shù)，排除A，再注意到選項的區(qū)別，利用特殊值得正確答案【題目詳解】由，得是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱．又．故選D【題目點撥】本題考查函數(shù)的性質(zhì)與圖象，滲透了邏輯推理、直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng)．采取性質(zhì)法或賦值法，利用數(shù)形結(jié)合思想解題7、D【解題分析】利用冪函數(shù)的單調(diào)性和奇函數(shù)的定義即可求解.【題目詳解】當時，冪函數(shù)為增函數(shù)；當時，冪函數(shù)為減函數(shù)，故在上單調(diào)遞減，、和在上單調(diào)遞增，從而A錯誤；由奇函數(shù)定義可知，和不是奇函數(shù)，為奇函數(shù)，從而BC錯誤，D正確.故選：D.8、C【解題分析】由題意，根據(jù)實數(shù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，可得，根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)，可得，即可得到答案.【題目詳解】由題意，根據(jù)實數(shù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)，可得；故選C【題目點撥】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中合理運用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)，合理得到的取值范圍是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解題分析】顯然這個問題需要求交集.【題目詳解】對于：，；對于：，；故答案為：A.10、B【解題分析】特稱命題是假命題，則該命題的否定為全稱命題且是真命題，然后根據(jù)即可求解.【題目詳解】依題意，命題“使得”是假命題，則該命題的否定為“”，且是真命題；所以，.故選：B二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】分析：利用對數(shù)運算的性質(zhì)和運算法則，即可求解結(jié)果.詳解：由.點睛：本題主要考查了對數(shù)的運算，其中熟記對數(shù)的運算法則和對數(shù)的運算性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力.12、【解題分析】先根據(jù)是的零點，是圖像的對稱軸可轉(zhuǎn)化為周期的關(guān)系，從而求得的取值范圍，又根據(jù)所求值為最大值，所以從大到小對賦值驗證找到適合的最大值即可【題目詳解】由題意可得，即，解得，又因為在上單調(diào)，所以，即，因為要求的最大值，令，因為是的對稱軸，所以，又，解得，所以此時，在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在不單調(diào)，同理，令，，在上單調(diào)遞減，因為，所以在單調(diào)遞減，滿足題意，所以的最大值為5.【題目點撥】本題綜合考查三角函數(shù)圖像性質(zhì)的運用，在這里需注意：兩對稱軸之間的距離為半個周期；相鄰對稱軸心之間的距離為半個周期；相鄰對稱軸和對稱中心之間的距離為個周期13、或【解題分析】根據(jù)直線在兩坐標軸上截距相等，則截距可能為也可能不為，再結(jié)合直線方程求法，即可對本題求解【題目詳解】由題意，設(shè)直線在兩坐標軸上的截距均為，當時，設(shè)直線方程為：，因為直線過點，所以，即，所以直線方程為：,即：，當時，直線過點，且又過點，所以直線的方程為，即：，綜上，直線的方程為：或.故答案為：或【題目點撥】本題考查直線方程的求解，考查能力辨析能力，應(yīng)特別注意，截距相等，要分截距均為和均不為兩種情況分別討論.14、12【解題分析】利用分層抽樣的性質(zhì)直接求解詳解】由題意應(yīng)從丁專業(yè)抽取的學生人數(shù)為：故答案為：1215、【解題分析】分段函數(shù)的求值，在不同的區(qū)間應(yīng)使用不同的表達式.【題目詳解】，故答案為：.16、①.0②.【解題分析】利用坐標法可得，結(jié)合條件及完全平方數(shù)的最值即得.【題目詳解】由題可建立平面直角坐標系，則，∴，∴，∴當時，，因為，要使t最大，可取，即時，t取得最大值是.故答案為：0；.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）.【解題分析】（1）利用向量的線性運算即平面向量基本定理確定，與，的關(guān)系；（2）解法一：利用向量數(shù)量積運算公式求得向量夾角余弦值；解法二：建立平面直角坐標系，利用數(shù)量積的坐標表示確定向量夾角余弦值.【題目詳解】解法一：（1）由圖可知.因為E是CD的中點，所以.（2）因為，為等邊三角形，所以，，所以，所以，.設(shè)與的夾角為，則，所以在與夾角的余弦值為.解法二：（1）同解法一.（2）以A為原點，AD所在直線為x軸，過A且與AD垂直的直線為y軸建立平面直角坐標系，則，，，.因為E是CD的中點，所以，所以，，所以，.設(shè)與的夾角為，則，所以與夾角的余弦值為.【題目點撥】求兩個向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標運算；利用數(shù)量積的幾何意義．具體應(yīng)用時可根據(jù)已知條件的特征來選擇，同時要注意數(shù)量積運算律的應(yīng)用18、（1）（2）是（3）或【解題分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)定義得，解得的值（2）先分離得再根據(jù)單調(diào)性求值域，最后根據(jù)值域判定是否成立（3）轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，再分離變量得最值，最后根據(jù)最值求實數(shù)的取值范圍試題解析：解：（）由是奇函數(shù)，則，得，即，∴，（）當時，∵，∴，∴，滿足∴在上為有界函數(shù)（）若函數(shù)在上是以為上界的有界函數(shù)，則有在上恒成立∴，即，∴，化簡得：，即，上面不等式組對一切都成立，故，∴或19、（1）（2）【解題分析】（1）利用列舉法求解，先列出取兩數(shù)的所有情況，再找出滿足的情況，然后根據(jù)古典概型的概率公式求解即可，（2）由題意可得，再根據(jù)對立事件的概率公式求解【小問1詳解】設(shè)事件表示“”因為是從四個數(shù)中任取的一個數(shù)，是從三個數(shù)中任取的一個數(shù)所以樣本點一共有12個：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2），其中第一個數(shù)表示的取值，第二個數(shù)表示的取值符合古典概型模型，事件包含其中3個樣本點，故事件發(fā)生的概率為【小問2詳解】若方程有實數(shù)根，則需，即記事件“方程有實數(shù)根”為事件，由（1）知，故20、（1）可用③來描述x，y之間的關(guān)系，（2）該企業(yè)要考慮轉(zhuǎn)型.【解題分析】（1）由年利潤是隨著投資成本的遞增而遞增，可知①不符合，把，分