2022年黑龍江省伊春市宜春黃崗中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)全集，則右圖中陰影部分表示的集合為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B略2.如果函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是

A．

B．

C．

D．參考答案：A3.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的焦距為，以為圓心，為半徑作圓，過點(diǎn)作圓的兩條切線互相垂直，則離心率為

(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．H5A

解析：橢圓的方程為：，以為圓心，為半徑作圓，過點(diǎn)作圓的兩條切線互相垂直，根據(jù)圓和橢圓的對稱性求得∠OAB=45°，所以：，解得：，即橢圓的離心率，故選：A．【思路點(diǎn)撥】首先根據(jù)已知條件和圓與橢圓的對稱性求出∠OAB=45°，進(jìn)一步求出進(jìn)一步求出橢圓的離心率的值．4.已知a>0且a≠1，若函數(shù)f(x)=loga(ax2–x)在[3，4]是增函數(shù)，則a的取值范圍是A．（1，+∞）

B． C．

D．參考答案：A5.若，則a=（）A．5 B．﹣5 C．5i D．﹣5i參考答案：B【考點(diǎn)】A5：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡等式左邊，再由復(fù)數(shù)相等的條件列式求解．【解答】解：∵，∴，解得a=﹣5．故選：B．6.設(shè)為第二象限的角，，則(

)A．

B．

C．

D．參考答案：D7.在Rt△ABC中，CA=CB=3，M，N是斜邊AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍為（）A． B．[2，4] C．[3，6] D．[4，6]參考答案：D【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】通過建立直角坐標(biāo)系求出AB所在直線的方程，設(shè)出M，N的坐標(biāo)，將=2（b﹣1）2，0≤b≤1，求出范圍．【解答】解：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA為x軸建立平面坐標(biāo)系，則A（3，0），B（0，3），∴AB所在直線的方程為：y=3﹣x，設(shè)M（a，3﹣a），N（b，3﹣b），且0≤a≤3，0≤b≤3不妨設(shè)a＞b，∵M(jìn)N=，∴（a﹣b）2+（b﹣a）2=2，∴a﹣b=1，∴a=b+1，∴0≤b≤2，∴=（a，3﹣a）?（b，3﹣b）=2ab﹣3（a+b）+9=2（b2﹣2b+3），0≤b≤2，∴b=1時(shí)有最小值4；當(dāng)b=0，或b=2時(shí)有最大值6，∴的取值范圍為[4，6]故選：D8.若函數(shù)，若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是A.

B.

C.

D.參考答案：C略9.已知=（5，－3），C（－1，3），=2，則點(diǎn)D坐標(biāo)

（）

A．（11，9）

B．（4，0）

C．（9，3）

D．（9，-3）參考答案：D10.已知函數(shù)，則等于（

）A．-1

B.0

C.1

D.2參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；函數(shù)奇偶性的判斷；函數(shù)的值．B4

【答案解析】D

解析：函數(shù)，則=f（lg2）+f（﹣lg2）=+=+1+=+=2．故選：D．【思路點(diǎn)撥】利用對數(shù)函數(shù)是奇函數(shù)以及對數(shù)值，直接化簡求解即可．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，若存在非零?shí)數(shù)使得對于任意，有，且，則稱為上的高調(diào)函數(shù).如果定義域是的函數(shù)為上的高調(diào)函數(shù)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是▲

.

參考答案：略12.關(guān)于函數(shù)有下列命題：____________.①函數(shù)的周期為； ②直線是的一條對稱軸；③點(diǎn)是的圖象的一個(gè)對稱中心；④將的圖象向左平移個(gè)單位，可得到的圖象.其中真命題的序號(hào)是____________.（把你認(rèn)為的真命題的序號(hào)都寫上）參考答案：（1）（3）略13.定義在R上的函數(shù)滿足：與都為偶函數(shù)，且x∈[-l，l]時(shí)，f(x)=，則在區(qū)間[-2018，2018]上所有零點(diǎn)之和為▲.

參考答案：2018函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象均關(guān)于直線和對稱且周期為4，畫出函數(shù)與的圖象，如圖所示：觀察圖象可得，兩個(gè)函數(shù)的圖象在區(qū)間上有兩個(gè)關(guān)于直線對稱的交點(diǎn)，在區(qū)間上沒有交點(diǎn)，則在區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn)，在區(qū)間上所有零點(diǎn)之和為，在區(qū)間上所有零點(diǎn)之和為，…，故在區(qū)間上所有零點(diǎn)之和為，同理在區(qū)間上所有零點(diǎn)之和為，因此在區(qū)間上所有零點(diǎn)之和為故答案為

14.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過且與軸垂直的直線交橢圓于兩點(diǎn)，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，若，則橢圓的離心率為

．參考答案：

設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,將代入橢圓方程可得，可設(shè),由，可得，即有，即，可得，代入橢圓方程可得，由,即有，解得.點(diǎn)睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于的方程或不等式，再根據(jù)的關(guān)系消掉得到的關(guān)系式，而建立關(guān)于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.15.函數(shù)，則函數(shù)的值域是

。參考答案：答案:

16.已知兩定點(diǎn)A(－1，0)和B(1，0),動(dòng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)，橢圓C以A，B為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)P，則橢圓C的離心率的最大值為

.參考答案：17.若兩曲線與存在公切線,則正實(shí)數(shù)的取值范圍是

▲

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=x3+（2+a）x2+（a﹣1）x，（a∈R）．（Ⅰ）當(dāng)a=﹣2時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）定義若函數(shù)H（x）有三個(gè)零點(diǎn)，分別記為α，β，γ，且α＜β＜γ，則稱β為H（x）的中間零點(diǎn)，設(shè)x=t是函數(shù)g（x）=（x﹣t）f′（x）的中間零點(diǎn)．（i）當(dāng)t=1時(shí)，求a的取值范圍；（ii）當(dāng)t=a時(shí)，設(shè)x1，x2，x3是函數(shù)g（x）=（x﹣a）f′（x）的3個(gè)零點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)b，使x1，x2，x3，b的某種排列成等差數(shù)列，若存在求出b的值，若不存在，請說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．【分析】（Ⅰ）當(dāng)a=﹣2時(shí)，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）（i）當(dāng)t=1時(shí)，求得g（x），當(dāng)x=1是g（x）=（x﹣t）f′（x）的中間零點(diǎn)，令h（x）=x2+（a+2）x+a﹣1，則h（1）=2a+2＜0，即可求得a的取值范圍；（ii）由題意可知x1，x3，是x2+（a+2）x+a﹣1=0，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，分別討論x1，x2，x3，b的排列，結(jié)合韋達(dá)定理，即可求得b的值．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)a=﹣2時(shí)，則f（x）=x3﹣3x，f′（x）=x2﹣3，令f′（x）=0，解得：x=±，當(dāng)x∈（﹣∞，﹣）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（﹣，）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；x∈（，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，綜上可知：當(dāng)x∈（﹣∞，﹣），（，+∞）時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（﹣，）時(shí)，f（x）單調(diào)遞減；（Ⅱ）（i）g（x）=（x﹣t）f′（x）=（x﹣t）[x2+（a+2）x+a﹣1]，由當(dāng)x=1是g（x）=（x﹣t）f′（x）的中間零點(diǎn)，令h（x）=x2+（a+2）x+a﹣1，則需要h（1）=2a+2＜0，即a＜﹣1，∴a的取值范圍（﹣1，+∞）；（ii）假設(shè)存在b滿足條件，不妨x2=a，x1＜x3，則x1＜x2=a＜x3，則x1，x3，是x2+（a+2）x+a﹣1=0，則x1+x3=﹣（a+2），x1x3=a﹣1，則x1=，x3=，①當(dāng)x1，a，x3，b成等差數(shù)列，則x1+x3=2a=﹣a﹣2，解得：a=﹣，則x3﹣x1=b﹣a=，則b=a+=﹣+=，②當(dāng)b，x1，a，x3成等差數(shù)列，同理求得x3﹣x1=a﹣b=，則b=a﹣=﹣﹣=﹣，③當(dāng)x1，b，a，x3成等差數(shù)列，同理求得x3+x1=a+b=﹣（a+2），則a=﹣b﹣1，x1=2b﹣a=2b++1=+1，x3=2a﹣b=﹣b﹣2﹣b=﹣2b﹣2，∴x1x3=（+1）（﹣2b﹣2）=﹣5b2﹣7b﹣2=a﹣1=﹣﹣2，整理得：5b2+b=0，解得：b=0或b=﹣，經(jīng)檢驗(yàn)b=0，b=﹣，滿足題意，④當(dāng)x1，a，b，x3成等差數(shù)列，x1+x3=a+b=﹣（a+2），則2a=﹣b﹣2，x1=2a﹣b=﹣2b﹣2，x3=2b﹣a=2b++1=+1，則x1x3=（﹣2b﹣2）（+1）=﹣5b2﹣7b﹣2=a﹣1=﹣﹣2，解得：b=0，或b=﹣，經(jīng)檢驗(yàn)b=0，b=﹣，滿足題意，綜上所述：b的取值為，﹣，0或﹣．19.隨著網(wǎng)絡(luò)營銷和電子商務(wù)的興起，人們的購物方式更具多樣化，某調(diào)查機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取10名購物者進(jìn)行采訪，5名男性購物者中有3名傾向于選擇網(wǎng)購，2名傾向于選擇實(shí)體店，5名女性購物者中有2名傾向于選擇網(wǎng)購，3名傾向于選擇實(shí)體店． （1）若從10名購物者中隨機(jī)抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名傾向于選擇實(shí)體店的概率； （2）若從這10名購物者中隨機(jī)抽取3名，設(shè)X表示抽到傾向于選擇網(wǎng)購的男性購物者的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望． 參考答案：【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；離散型隨機(jī)變量及其分布列． 【分析】（1）設(shè)“至少1名傾向于選擇實(shí)體店”為事件A，則表示事件“隨機(jī)抽取2名，（其中男、女各一名）都選擇網(wǎng)購”，則P（A）=1﹣P． （2）X的取值為0，1，2，3．P（X=k）=，即可得出． 【解答】解：（1）設(shè)“至少1名傾向于選擇實(shí)體店”為事件A， 則表示事件“隨機(jī)抽取2名，（其中男、女各一名）都選擇網(wǎng)購”， 則P（A）=1﹣P=1﹣=． （2）X的取值為0，1，2，3．P（X=k）=， P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=． E（X）=0×+1×+2×+3×=． 【點(diǎn)評】本題考查了對立與互相獨(dú)立事件概率計(jì)算公式、超幾何分布列與數(shù)學(xué)期望、組合計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題． 20.如圖,橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,橢圓C上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的周長為6,離心率為.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）過點(diǎn)F2的直線l交橢圓C于A,B兩點(diǎn),問在x軸上是否存在定點(diǎn)P,使得為定值？證明你的結(jié)論.參考答案：（Ⅰ）由題設(shè)得,又,解得,∴.故橢圓的方程為.（4分）（Ⅱ）,當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)此時(shí)直線的方程為,設(shè),,把代入橢圓的方程,消去并整理得,,則,,可得.設(shè)點(diǎn),那么,若軸上存在定點(diǎn),使得為定值,則有,解得,此時(shí),,當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),此時(shí)直線的方程為,把代入橢圓方程解得,此時(shí),,,,綜上,在軸上存在定點(diǎn),使得為定值.（12分）21.已知函數(shù)，.若恒成立，求m的取值范圍；已知x1，x2是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且x1＜x2，求證：x1x2＜1.參考答案：令，有，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處取得最大值，為，若恒成立，則即.方法一：，，，即，欲證：，只需證明，只需證明，只需證明.設(shè)，則只需證明，即證：.設(shè)，，在單調(diào)遞減，，，所以原不等式成立.方法二：由（1）可知，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，有，則，且，要證，只需證，由于在上單調(diào)遞減，從而只需證，由，只需證，又，即證即證，.令，，有在上單調(diào)遞增，，.所以原不等式成立.22.（本題滿分12分）某市統(tǒng)計(jì)局就本地居民的月收入調(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫了樣本的頻率分布直方圖（每個(gè)分組包括左端點(diǎn)，不包括右端點(diǎn)，如第一組表示月收入在[1000，1500），單位：元）．（Ⅰ）估計(jì)居民月收入在[1500，2000）的概率；（Ⅱ）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)；（Ⅲ）若將頻率視為概率，從本地隨機(jī)抽取3位居民（看做有放回的抽樣），求月收入在[1500，2000）的居民數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考答案：（Ⅰ）由題意，居民月收入在[1500，2000）的概率約為1﹣（0.0002+0.0001+0.0003+0.0005×2）×500=1﹣0.0016×500=1﹣0.8=0.2．

………………