少自由度并聯(lián)機(jī)器人末端的完整力映射

0靜力傳遞特性討論低交叉機(jī)器人通常指具有3、4和5個(gè)自由組合機(jī)器人的機(jī)器人。與6自由度并聯(lián)機(jī)器人相比,少自由度并聯(lián)機(jī)器人具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、制造成本低、控制相對(duì)容易等優(yōu)點(diǎn),并因此成為機(jī)器人機(jī)構(gòu)學(xué)新興的研究熱點(diǎn)。靜力分析是并聯(lián)機(jī)器人設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。通過靜力分析確定力傳遞特性,進(jìn)而為尺度綜合等運(yùn)動(dòng)學(xué)設(shè)計(jì)提供依據(jù)。針對(duì)少自由度并聯(lián)機(jī)器人的靜力傳遞特性,已有學(xué)者進(jìn)行了一些研究。GOSSELIN建立了并聯(lián)機(jī)器人工作空間內(nèi)反映靜力傳遞特性的剛度映射。高峰等利用力雅可比矩陣分析了一種5自由度解耦并聯(lián)機(jī)構(gòu)力傳遞的各向同性。趙輝等用矢量分析法得出了一種新型5自由度并聯(lián)機(jī)床的靜力傳遞雅可比矩陣。張華等根據(jù)微分誤差模型,建立了平面3自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的靜剛度映射矩陣。然而,這些研究都只是研究了驅(qū)動(dòng)力的傳遞特性,而最新研究表明,對(duì)于少自由度并聯(lián)機(jī)器人的設(shè)計(jì),僅考慮運(yùn)動(dòng)和驅(qū)動(dòng)力的傳遞特性是嚴(yán)重不足的。這是因?yàn)樯僮杂啥炔⒙?lián)機(jī)器人的自由度數(shù)小于6,其執(zhí)行機(jī)構(gòu)的支鏈不僅傳遞運(yùn)動(dòng)和驅(qū)動(dòng)力,同時(shí)還要向末端提供約束力,以限制一些不期望的自由度。由此可知,約束力的傳遞特性也影響著機(jī)器人的性能。這一點(diǎn)與6自由度并聯(lián)機(jī)器人是不同的,因?yàn)?自由度并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的支鏈只傳遞運(yùn)動(dòng)和驅(qū)動(dòng)力,不提供約束力。此外,作為現(xiàn)代微分幾何的重要分支,微分流形理論在描述剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)具有明顯的物理意義。因此以微分流形理論為工具來分析機(jī)構(gòu)的靜力傳遞特性,有助于深入地理解和研究少自由度并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的靜力傳遞特性。為此,本文首先以微分流形理論為基礎(chǔ),闡釋了少自由度并聯(lián)機(jī)器人末端完整的力空間構(gòu)成,即該力空間由驅(qū)動(dòng)力和約束力兩個(gè)正交的子空間構(gòu)成。因此其靜力分析應(yīng)包括驅(qū)動(dòng)力分析和約束力分析兩部分。以此為基礎(chǔ),利用虛功原理,給出一種建立輸入廣義力與末端輸出廣義力之間完整映射的方法。利用該方法既可以建立機(jī)構(gòu)輸入端與末端之間的驅(qū)動(dòng)力映射關(guān)系,又可以建立約束力映射關(guān)系。根據(jù)這兩個(gè)力映射矩陣的代數(shù)特征就可以構(gòu)造機(jī)構(gòu)靜力傳遞性能的評(píng)價(jià)指標(biāo),在這里將矩陣的條件數(shù)作為分析靜力傳遞特性的依據(jù)。最后,以3-UPU并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)為例進(jìn)行了實(shí)例分析。1機(jī)構(gòu)末端的約束子流形利用微分流形理論,通過分析少自由度并聯(lián)機(jī)器人末端約束子流形的余切空間的形成,可以揭示少自由度并聯(lián)機(jī)器人末端的力空間構(gòu)成。由文獻(xiàn)可知,轉(zhuǎn)動(dòng)副的位形空間為S1(單位圓);移動(dòng)副的位形空間為R1;萬向鉸的位形空間為S1×S1;球副的位形空間為SO(3)(三維旋轉(zhuǎn)群)。對(duì)于沒有閉環(huán)約束的開鏈機(jī)構(gòu),其末端的整體位形空間E自然就是所有關(guān)節(jié)位形空間的笛卡爾乘積。然而,由于少自由度并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)中存在閉環(huán)約束,因此,其末端的可實(shí)現(xiàn)位形空間只是其整體位形空間(所有關(guān)節(jié)位形空間的笛卡爾乘積)的一個(gè)約束子流形。令θ∈Rm為E的局部廣義坐標(biāo),h(θ)表示少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的環(huán)路約束方程,則顯然,少自由度并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)末端的可實(shí)現(xiàn)位形空間即為約束子流形此外,令TθE和TθQ分別為位形空間E和Q的切空間,其物理意義是機(jī)構(gòu)末端的廣義速度空間;令Tθ*E和Tθ*Q分別為位形空間E和Q的余切空間,其物理意義對(duì)應(yīng)的是機(jī)構(gòu)末端的廣義力空間。它們之間的相互關(guān)系為式中,TθQ是機(jī)構(gòu)末端所允許的自由速度矢量ν2所張成的n維線性空間(n為機(jī)構(gòu)的自由度數(shù)),TθQ⊥是機(jī)構(gòu)末端被約束的速度矢量ν1張成的6-n維線性空間;相應(yīng)地,Tθ*Q是機(jī)構(gòu)末端的驅(qū)動(dòng)廣義力fa張成的n維線性空間,以實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)末端在自由速度矢量方向的運(yùn)動(dòng);而是由機(jī)構(gòu)末端的約束力fc張成的6-n維線性空間,以限制機(jī)構(gòu)末端在約束速度方向矢量上的運(yùn)動(dòng)。利用切空間與余切空間之間的對(duì)偶性,力空間的定義可用數(shù)學(xué)式描述如下由此不難看出,力空間分別是速度空間TθQ⊥和TθQ的零化空間。2力表的相關(guān)聯(lián)合式并聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)可分為主動(dòng)關(guān)節(jié)和被動(dòng)關(guān)節(jié)兩種。在不考慮關(guān)節(jié)的摩擦力和桿件重力的影響時(shí),被動(dòng)關(guān)節(jié)的反力將不做功,因此利用虛功原理就可以得出機(jī)構(gòu)輸入端廣義力和末端廣義力之間的映射關(guān)系。令為機(jī)構(gòu)末端輸出的廣義力,其中,fc和fa分別表示輸出的約束廣義力和驅(qū)動(dòng)廣義力,與之相對(duì)應(yīng)的廣義虛位移為δx=()T。輸入端輸入的廣義力矢量表示為,其中,τc和τa分別表示輸入約束廣義力和驅(qū)動(dòng)廣義力,與之相對(duì)應(yīng)的廣義虛位移為。f、δx、τ和δq均為6×1矢量,fa、δxa、τa和均為n×1矢量,fc、δxc、τc和δqc均為(6-n)×1矢量。由虛功原理可得則有由式(5)、(6)可知,廣義力fa和fc分別與虛位移δxc、δxa是相互零化的關(guān)系,因此,聯(lián)合式(5)、(6)、(8)可得根據(jù)少自由度并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)完整的雅可比矩陣,可知式中,Jx和Jc分別為少自由度并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的n×6維運(yùn)動(dòng)子雅可比矩陣和(6-n)×6維約束子雅可比矩陣。將式(11)、(12)分別代入式(9)、(10),并整理可得由式(13)、(14)可以得出式中,Jxx為n×n矩陣,是Jx的后n列;Jcc為(6-n)×(6-n)矩陣,是Jc的前6-n列。式(15)、(16)分別表示少自由度并聯(lián)機(jī)器人的輸入端與末端之間的驅(qū)動(dòng)力以及約束力的映射關(guān)系。根據(jù)這兩個(gè)映射矩陣可以分別定義矩陣條件數(shù)式中,‖·‖是矩陣范數(shù),kJx和kJc為矩陣條件數(shù)。由并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)學(xué)理論可知,這兩個(gè)力映射矩陣的條件數(shù)可以作為度量并聯(lián)機(jī)器人驅(qū)動(dòng)力和約束力各向同性的性能指標(biāo)。其中,kJx和kJc均為大于或等于1的數(shù),即1≤kJx<∞,1≤kJc<∞。在進(jìn)行并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的幾何參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí),應(yīng)該使機(jī)構(gòu)的這些矩陣條件數(shù)在其工作空間內(nèi)盡量取較小的值,當(dāng)其等于1時(shí),機(jī)構(gòu)被認(rèn)為具有最佳的力傳遞性能。3靜力傳遞特性分析3-UPU并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)如圖1所示,它由定平臺(tái)A1A2A3,動(dòng)平臺(tái)B1B2B3以及連接兩個(gè)平臺(tái)的三條支鏈組成。定平臺(tái)與動(dòng)平臺(tái)均采用等邊三角形布局,外接圓半徑分別為a和b。支鏈的結(jié)構(gòu)形式為UPU(萬向鉸—移動(dòng)副—萬向鉸)。其中移動(dòng)副是主驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)。在定平臺(tái)和動(dòng)平臺(tái)上分別以各自幾何中心為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系,如圖1所示。圖1中,s1,i=s5,i,s2,i=s4,i,因此,該機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)有3個(gè)平動(dòng)自由度,其中,sj,i是第i個(gè)支鏈中第j個(gè)關(guān)節(jié)螺旋軸的單位矢量,此外,sl,i相切于定平臺(tái)的外接圓,s2,i⊥s1,i且s2,i與定平臺(tái)的夾角為α。由文獻(xiàn)可知該機(jī)構(gòu)的約束子雅可比矩陣為式中,ni是一個(gè)3×1單位矢量,方向由s2,i×s1,i(或S4,i×s5,i)決定。此外,由文獻(xiàn)可知該機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)子雅可比矩陣為式中ai=OAi由式(15)、(16)、(19)、(20),可得式中,Jxx,Jcc均為3×3矩陣。聯(lián)合式(17)、(18),可得根據(jù)式(23)、(24)通過計(jì)算條件數(shù)可以分析3-UPU機(jī)構(gòu)的靜力傳遞特性與幾何參數(shù)之間的關(guān)系。令定平臺(tái)外接圓半徑a=350mm,定、動(dòng)平臺(tái)外接圓半徑比λ=a/b,給定機(jī)構(gòu)位形:x=y=0,z=700mm。另外,由式(21)、(22)中的矩陣Jxx、Jcc不難看出,Jcc與幾何參數(shù)α緊密相關(guān),Jxx與幾何參數(shù)λ緊密相關(guān)。因此這里只將λ和α分別作為條件數(shù)kJx和kJc的靈敏幾何參數(shù)進(jìn)行分析,如圖2、3所示。從圖2不難看出,在此給定位形時(shí),隨著定平臺(tái)與動(dòng)平臺(tái)的外接圓半徑比值增大,條件數(shù)kJx越來越小。這表明定、動(dòng)平臺(tái)的外接圓半徑比值大時(shí),該機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)力傳遞特性好。從圖3可以看到,隨著夾角α的不斷增大,條件數(shù)kJx先是減小進(jìn)而增大,且在α=55°時(shí)條件數(shù)kJc取最小值。這表明該機(jī)構(gòu)的約束力傳遞特性在α=55°附近較好。在α=0°和α=90°時(shí)條件數(shù)kJc的值都有突變,這是因?yàn)樵摍C(jī)構(gòu)在α=0°和α=90°時(shí)發(fā)生約束奇異,此時(shí)機(jī)構(gòu)約束力空間的維數(shù)減小,不能完全限制機(jī)構(gòu)末端的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。4機(jī)器人的自然生成特性(1)少自由度并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)末端的完整力空間為6維線性空間,由兩個(gè)線性子空間構(gòu)成,即驅(qū)動(dòng)力子空間和約束力子空間。(