4.1

指數(shù)4.2.1對數(shù)的概念P414.2.2對數(shù)的運算性質(zhì)P73第四章指數(shù)與對數(shù)課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò)1.理解根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念.(數(shù)學(xué)抽象)2.掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì),正確地進行各種指數(shù)運算.(數(shù)學(xué)運算)3.熟練進行根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化.(數(shù)學(xué)運算)情境導(dǎo)入公元前五世紀(jì),古希臘有一個數(shù)學(xué)學(xué)派名叫畢達哥拉斯學(xué)派,其學(xué)派中的一個成員希帕索斯考慮了一個問題:邊長為1的正方形其對角線長度是多少呢?他發(fā)現(xiàn)這一長度既不能用整數(shù),也不能用分?jǐn)?shù)來表示,希帕索斯的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上第一個無理數(shù)

的誕生.若x2=3,這樣的x有幾個?它們叫作3的什么?怎么表示?希帕索斯

知識點撥一、根式1.n次方根的定義一般地,如果xn=a(n>1,n∈N*),那么稱x為a的n次方根.0的n次方根等于0.2.根式的定義式子

叫作根式,其中n叫作根指數(shù),a叫作被開方數(shù).3.根式的性質(zhì)

微思考

提示

(1)()n是實數(shù)a的n次方根的n次冪.(2)不一定,當(dāng)n為大于1的奇數(shù)時,a∈R;當(dāng)n為大于1的偶數(shù)時,a≥0.二、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

名師點析

關(guān)于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪要注意以下幾點:(2)0的指數(shù)冪:0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪為0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.微思考

微練習(xí)

答案

B三、有理數(shù)指數(shù)冪有理指數(shù)冪的運算性質(zhì):(1)asat=as+t;(2)=ast;(3)(ab)t=atbt.其中s,t∈Q,a>0,b>0.名師點析

(1)有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)除上述之外,還有如下性質(zhì):微練習(xí)

1對任意的正實數(shù)a及m,n∈Q,下列運算正確的是(

)答案

D解析

根據(jù)指數(shù)的運算性質(zhì)(am)n=amn,故選D.微練習(xí)

2探究一利用根式的性質(zhì)化簡求值例1化簡下列各式:解

(1)原式=(-2)+(-2)=-4.(2)原式=|-2|+2=2+2=4.探究二有限制條件的根式的運算(1)答案

-1延伸探究2將本例(2)的條件“-3<x<3”改為“x≤-3”,則結(jié)果又是什么?因為x≤-3,所以x-1<0,x+3≤0,所以原式=-(x-1)+(x+3)=4.反思感悟帶條件根式的化簡(1)有條件根式的化簡問題,是指被開方數(shù)或被開方的表達式可以通過配方、拆分等方式進行化簡.(2)有條件根式的化簡經(jīng)常用到配方的方法.當(dāng)根指數(shù)為偶數(shù)時,在利用公式化簡時,要考慮被開方數(shù)或被開方的表達式的正負(fù).探究三根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化例3將下列根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式:反思感悟根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪互化的規(guī)律(1)根指數(shù)

分?jǐn)?shù)指數(shù)的分母,被開方數(shù)(式)的指數(shù)

分?jǐn)?shù)指數(shù)的分子.(2)在具體計算時,通常會把根式轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式,然后利用有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)解題.變式訓(xùn)練2將下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪進行互化.探究四利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)化簡求解例4計算或化簡下列各題:反思感悟指數(shù)冪運算的常用技巧(1)有括號先算括號里的,無括號先進行指數(shù)運算.(2)負(fù)指數(shù)冪化為正指數(shù)冪的倒數(shù).(3)底數(shù)是小數(shù),先要化成分?jǐn)?shù);底數(shù)是帶分?jǐn)?shù),要先化成假分?jǐn)?shù),然后要盡可能用冪的形式表示,便于用指數(shù)冪的運算性質(zhì).素養(yǎng)形成指數(shù)冪運算中的條件求值

(1)a+a-1;(2)a2+a-2.變式訓(xùn)練1在本例條件不變的條件下,求a-a-1的值.解

令a-a-1=t,則兩邊平方得a2+a-2=t2+2,∴t2+2=194,即t2=192,變式訓(xùn)練2在本例條件不變的條件下,求a2-a-2的值.點評解決條件求值的思路1.在利用條件等式求值時,往往先將所求式子進行有目的的變形,或先對條件式加以變形、溝通所求式子與條件等式的聯(lián)系,以便用整體代入法求值.2.在利用整體代入的方法求值時,要注意完全平方公式的應(yīng)用.當(dāng)堂檢測1.已知m10=2,則m等于(

)答案

D解析

∵m10=2,∴m是2的10次方根.又10是偶數(shù),∴2的10次方根有兩個,且互為相反數(shù).答案

D3.(2020湖南高一期中)下列式子成立的是(

)答案

B答案

π-1

-46.(2020四川冕寧中學(xué)高一期中)計算下列各式的值:4.2.1對數(shù)的概念課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò)1.理解對數(shù)的概念,能夠熟練地進行對數(shù)式與指數(shù)式的互化.(邏輯推理)2.理解常用對數(shù)、自然對數(shù)的概念及記法.(數(shù)學(xué)抽象)3.掌握對數(shù)的性質(zhì),能進行簡單的對數(shù)計算.(數(shù)學(xué)運算)情境導(dǎo)入某種細(xì)胞分裂時,由1個分裂成2個,2個分裂成4個,……依次類推,那么1個這樣的細(xì)胞分裂x次得到細(xì)胞個數(shù)N是多少?分裂多少次得到細(xì)胞個數(shù)為8個,256個呢?如果已知細(xì)胞分裂后的個數(shù)N,如何求分裂次數(shù)呢?知識點撥一、對數(shù)的概念1.對數(shù)如果ab=N(a>0,a≠1),那么就稱b是以a為底N的對數(shù),記作logaN=b,其中,a叫作對數(shù)的底數(shù),N叫作真數(shù).2.指數(shù)式與對數(shù)式的互化3.常用對數(shù)與自然對數(shù)

名師點析

(1)由對數(shù)的定義可知,對數(shù)式與指數(shù)式是同一種數(shù)量關(guān)系的兩種不同表達形式.(2)在對數(shù)logaN中,規(guī)定a>0且a≠1的原因如下:①若a<0,則N為某些數(shù)值時,b不存在,如式子(-2)x=3沒有實數(shù)解,所以log(-2)3不存在.因此,規(guī)定a不能小于0.②若a=0,則當(dāng)N≠0時,logaN不存在;當(dāng)N=0時,loga0有無數(shù)個值,不能確定.因此,規(guī)定a≠0.③若a=1,且N不為1,則b不存在,如log12不存在;而當(dāng)a=1,N=1時,b可以為任意實數(shù),不能確定.因此,規(guī)定a≠1.微練習(xí)

1若a2=M(a>0,且a≠1),則有(

)A.log2M=a

B.logaM=2C.log22=M D.log2a=M答案

B解析

∵a2=M,∴l(xiāng)ogaM=2,故選B.微練習(xí)

2若log3x=3,則x=(

)A.1 B.3C.9 D.27答案

D解析

∵log3x=3,∴x=33=27.故選D.微練習(xí)

3在對數(shù)式b=log(a-2)(5-a)中,實數(shù)a的取值范圍是(

)A.{a|a>5或a<2}B.{a|2<a<5}C.{a|2<a<3或3<a<5}D.{a|3<a<4}答案

C二、對數(shù)的基本性質(zhì)1.負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù).2.loga1=0(a>0,且a≠1).3.logaa=1(a>0,且a≠1).4.對數(shù)恒等式:=N.5.logaab=b.

微思考

1為什么零和負(fù)數(shù)沒有對數(shù)?提示

由對數(shù)的定義:ax=N(a>0,且a≠1),則總有N>0,所以轉(zhuǎn)化為對數(shù)式x=logaN時,不存在N≤0的情況.微思考

2你能推出對數(shù)恒等式

=N(a>0,且a≠1,N>0)嗎?提示

因為ax=N,所以x=logaN,代入ax=N可得

=N.探究一對數(shù)式有意義的條件例1求下列各式中x的取值范圍:(1)log2(x-10);(2)log(x-1)(x+2);(3)log(x+1)(x-1)2.解

(1)由題意有x-10>0,解得x>10,故x的取值范圍為(10,+∞).反思感悟?qū)?shù)成立的條件在解決與對數(shù)有關(guān)的問題時,一定要注意:對數(shù)真數(shù)大于0,對數(shù)的底數(shù)大于0且不等于1.變式訓(xùn)練1b=log(3a-1)(3-2a)中,實數(shù)a的取值范圍是(

)答案

B解析

要使式子b=log(3a-1)(3-2a)有意義,探究二指數(shù)式與對數(shù)式互化的方法例2將下列對數(shù)形式化為指數(shù)形式或?qū)⒅笖?shù)形式化為對數(shù)形式.(3)由lg

1

000=3,可得103=1

000.(4)由ln

x=2,可得e2=x.反思感悟指數(shù)式與對數(shù)式互化的方法(1)將指數(shù)式化為對數(shù)式,只需要將冪作為真數(shù),指數(shù)當(dāng)成對數(shù)值,底數(shù)不變,寫出對數(shù)式;(2)將對數(shù)式化為指數(shù)式,只需將真數(shù)作為冪,對數(shù)作為指數(shù),底數(shù)不變,寫出指數(shù)式.變式訓(xùn)練2將下列指數(shù)式化為對數(shù)式,對數(shù)式化為指數(shù)式:探究三應(yīng)用對數(shù)的基本性質(zhì)求值A(chǔ).10 B.13C.100 D.±100(2)若log3(lgx)=0,則x的值等于

.

答案

(1)B

(2)10(2)由log3(lg

x)=0得lg

x=1,所以x=10.反思感悟利用對數(shù)性質(zhì)求解兩類問題的策略(1)求多重對數(shù)式的值解題方法是由內(nèi)到外,如求loga(logbc)的值,先求logbc的值,再求loga(logbc)的值.(2)已知多重對數(shù)式的值,求變量值,應(yīng)從外到內(nèi)求,逐步脫去“l(fā)og”后再求解.延伸探究若本例(2)的條件改為“l(fā)n(log3x)=1”,則x的值為

.

答案

3e解析

由ln(log3x)=1得log3x=e,解得x=3e.素養(yǎng)形成代入法解決條件求值問題

當(dāng)堂檢測1.在b=log3(m-1)中,實數(shù)m的取值范圍是(

)A.R B.(0,+∞)C.(-∞,1) D.(1,+∞)答案

D解析

由m-1>0得m>1,故選D.

答案

D解析

因為loga2=m,loga3=n,故am=2,an=3,故am+n=am·an=6,故選D.4.若log2(logx9)=1(x>0,且x≠1),則x=

.

答案

3解析

由log2(logx9)=1可知logx9=2,即x2=9,∴x=3(x=-3舍去).答案

36.求下列各式中x的值:4.2.2對數(shù)的運算性質(zhì)課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò)1.理解對數(shù)的運算性質(zhì).(數(shù)學(xué)抽象)2.能用換底公式將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù).(邏輯推理)3.會運用運算性質(zhì)進行一些簡單的化簡與證明.(數(shù)學(xué)運算)情境導(dǎo)入大家都知道,對數(shù)運算可看作指數(shù)運算的逆運算,你能從指數(shù)與對數(shù)的關(guān)系以及指數(shù)運算性質(zhì)中,得出相應(yīng)對數(shù)的運算性質(zhì)嗎?同學(xué)們能否大膽猜想一下對數(shù)的運算性質(zhì)呢?觀察下列各式,你能從中猜想出什么結(jié)論嗎?log2(2×4)=log22+log24=3;log3(3×9)=log33+log39=3;log2(4×8)=log24+log28=5.知識點撥一、對數(shù)的運算性質(zhì)loga(MN)=logaM+logaN,loga=logaM-logaN,logaMn=nlogaM,其中a>0,a≠1,M>0,N>0,n∈R.名師點析

(1)對于上面的每一條運算法則,都要注意只有當(dāng)式子中所有的對數(shù)符號都有意義時,等式才成立.(2)對數(shù)的運算法則具有可逆性,如:logaM+logaN=loga(MN)(a>0,a≠1,M>0,N>0),如log84+log82=log8(4×2)=log88=1.微練習(xí)

(1)下列各式中正確的是(

)A.1

B.2

C.3

D.4答案

(1)C

(2)A二、換底公式logaN=,其中a>0,a≠1,N>0,c>0,c≠1.名師點析

(1)換底公式成立的條件是公式中的每一個對數(shù)式都有意義.(2)換底公式的意義就在于把不同底的對數(shù)化成同底的對數(shù),特別地,微拓展幾個特殊的對數(shù)換底公式(a>0,a≠1,b>0,b≠1,c>0):探究一集合的基本概念利用對數(shù)運算性質(zhì)求值例1計算下列各式的值:(2)原式=2lg

5+2lg

2+lg

5×(2lg

2+lg

5)+(lg

2)2=2lg

10+(lg

5+lg

2)2=2+(lg

10)2=2+1=3.反思感悟?qū)?shù)運算求值的解題策略1.利用對數(shù)性質(zhì)求值的解題關(guān)鍵是化異為同,先使各項底數(shù)相同,再找真數(shù)間的聯(lián)系.2.對于復(fù)雜的運算式,可先化簡再計算;化簡問題的常用方法:①“拆”:將積(商)的對數(shù)拆成兩對數(shù)之和(差);②“收”:將同底對數(shù)的和(差)收成積(商)的對數(shù).變式訓(xùn)練1求下列各式的值:(1)lg25+lg2×lg50;(2)lg8+lg25+lg2×lg50+lg25.解

(1)原式=lg25+(1-lg

5)(1+lg

5)=lg25+1-lg25=1.(2)lg

8+lg25+lg

2×lg

50+lg

25=2lg

2+lg25+lg

2×(1+lg

5)+2lg

5=2×(lg

2+lg

5)+lg25+lg

2+lg

2×lg

5=2+lg

5×(lg

5+lg

2)+lg

2=2+lg

5+lg

2=3.探究二換底公式的應(yīng)用例2計算:(1)lg20+log10025;(2)(log2125+log425+log85)×(log1258+log254+log52).反思感悟利用換底公式求值的解題策略(1)由于題目中各個對數(shù)的底數(shù)都不相同,因此解題時應(yīng)先通過換底公式統(tǒng)一底數(shù),再進行化簡求值.(2)注意換底公式與對數(shù)運算法則的綜合應(yīng)用.變式訓(xùn)練2(1)已知log142=a,用a表示lo7;(2)已知log147=a,log145=b,用a,b表示log3528.探究三對數(shù)運算性質(zhì)的綜合應(yīng)用解

∵3a=5b=15,∴a=log315,b=log515,反思感悟應(yīng)用換底公式應(yīng)注意的問題1.化成同底的對數(shù)時,要注意換底公式的正用、逆用以及變形應(yīng)用.2.題目中有指數(shù)式和對數(shù)式時,要注意將指數(shù)式與對數(shù)式統(tǒng)一成一種形式.答案

1素養(yǎng)形成對數(shù)方程的求解解下列關(guān)于x的方程:(1)log5(2x+1)=log5(x2-2);解

(1)由log5(2x+1)=log5(x2-2),得2x+1=x2-2,即x2-2x-3=0,解得x=-1或x=3.當(dāng)x=-1時,2x+1<0,x2-2<0,不滿足真數(shù)大于0,舍去;當(dāng)x=3時,2x+1>0,x2-2>0.故x=3.解得x=15或x=-5(舍去),經(jīng)檢驗,x=15符合題意.(