解答題：平面解析幾何1.已知橢圓的長軸長是短軸長的倍，且右焦點為.(1)求橢圓的標準方程；(2)直線交橢圓于兩點，若線段中點的橫坐標為，求直線的方程及的面積.2.如圖，已知點為拋物線的焦點.過點的直線交拋物線于兩點，點在拋物線上，使得的重心在軸上，直線交軸于點，且在點的右側(cè).記的面積分別為.(1)求的值及拋物線的準線方程；(2)求的最小值及此時點的坐標.3.已知橢圓，四點中恰有三點在橢圓上.(1)求的方程；(2)設(shè)直線不經(jīng)過點且與相交于兩點.若直線與直線的斜率的和為，證明：過定點.4.已知為雙曲線的左、右焦點，過點作垂直于軸的直線，并在軸上方交雙曲線于點，且.(1)求雙曲線的方程；(2)過圓上任意一點作圓的切線，交雙曲線于兩個不同的點，的中點為，證明：.5.順次連接橢圓的四個頂點，恰好構(gòu)成了一個邊長為且面積為的菱形.(1)求橢圓的標準方程；(2)如圖，設(shè)直線與橢圓相切于點，過點作，垂足為，求面積的最大值.6.已知拋物線上一點到其焦點的距離為5.(1)求與的值；(2)設(shè)動直線與拋物線相交于兩點，問：在軸上是否存在與的取值無關(guān)的定點，使得?若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.7.已知是拋物線的焦點，恰好又是雙曲線的右焦點，雙曲線過點，且其離心率為.(1)求拋物線和雙曲線的方程；(2)已知直線過點，且與拋物線交于兩點，以為直徑作圓，設(shè)圓與軸交于點，求的最大值.8.已知橢圓過點，且橢圓的一個頂點的坐標為.過橢圓的右焦點的直線與橢圓交于不同的兩點(不同于點)，直線與直線交于點，連接，過點作的垂線，與直線交于點.(1)求橢圓的方程，并求點的坐標；(2)求證：三點共線.答案以及解析1.答案：(1)因為長軸長是短軸長的倍，所以.因為右焦點的坐標為，所以.結(jié)合，得.所以橢圓的標準方程為.(2)設(shè).由得.則.因為線段中點的橫坐標為，所以.解得，即，代入一元二次方程得，符合題意，所以直線的方程為.因為.點到直線的距離.所以的面積.2.答案：(1)由題意得，即.所以，拋物線的準線方程為.(2)設(shè)，重心.令，則.由于直線過點，故直線的方程為，代入，得，故，即，所以.又由于及重心在軸上，故，得.所以，直線的方程為，得.由于在焦點的右側(cè)，故.從而.令，則，.當(dāng)時，取得最小值，此時.3.答案：(1)由于兩點關(guān)于軸對稱，故由題設(shè)知經(jīng)過兩點.又由知，不經(jīng)過點，所以點在上.因此解得故的方程為.(2)設(shè)直線與直線的斜率分別為.如果與軸垂直，設(shè)，由題設(shè)知，且，可得的坐標分別為.則，得，不符合題設(shè).從而可設(shè).將代入得，.由題設(shè)可知.設(shè)，則.而.由題設(shè)，故.即.解得.當(dāng)且僅當(dāng)時，，于是，即，所以過定點.4.答案：(1)根據(jù)已知條件，得，所以.因為軸，所以.在中，，得.所以雙曲線的方程為.(2)①當(dāng)直線的斜率不存在時，則，于是，此時.②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為.聯(lián)立得消去并整理，得.則且.因為為的中點，所以，即點的坐標為.則..又點到直線的距離，所以，即.所以，，由此得.綜上，.5.答案：(1)由題意可得解得，故橢圓的標準方程為.(2)顯然直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線，聯(lián)立得得，則，得，所以.由，得直線的方程為，聯(lián)立得得，所以，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以面積的最大值為.6.答案：(1)根據(jù)拋物線定義，知，解得，所以拋物線方程為.由點在拋物線上，得，所以.(2)拋物線方程為，當(dāng)時，直線與拋物線只有一個交點，顯然不合題意.當(dāng)時，假設(shè)存在點滿足題意，，由，得，即.整理得.聯(lián)立方程得整理得，所以，得，所以，解得，因此存在點滿足題意.7.答案：(1)由雙曲線過點，且其離心率為，得，又，得，故雙曲線的方程為.由是拋物線的焦點，恰好又是雙曲線的右焦點，可得，解得.故拋物線的標準方程為.(2)①當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為.此時，故圓的方程為，可得(或)，.②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，由題意可得.聯(lián)立方程得化簡得.設(shè)，則，可得.設(shè)圓的半徑為，則.如圖，過點作，垂足為.在中，.故，則.綜上可得，的最大值為.8.答案：(1)因為點在橢圓上，且橢圓的一個頂點的坐標為，所以得則橢圓的方程為，橢圓的右焦點的坐標為.(2)①當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為.顯然，或.當(dāng)時，直線的方程為，得點的坐標為，所以.則直線的方程為，得點的坐標為..所以，所以三點共線.同理，當(dāng)