解答題：平面解析幾何1.已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，且右焦點(diǎn)為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線交橢圓于兩點(diǎn)，若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求直線的方程及的面積.2.如圖，已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn).過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，使得的重心在軸上，直線交軸于點(diǎn)，且在點(diǎn)的右側(cè).記的面積分別為.(1)求的值及拋物線的準(zhǔn)線方程；(2)求的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).3.已知橢圓，四點(diǎn)中恰有三點(diǎn)在橢圓上.(1)求的方程；(2)設(shè)直線不經(jīng)過點(diǎn)且與相交于兩點(diǎn).若直線與直線的斜率的和為，證明：過定點(diǎn).4.已知為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)作垂直于軸的直線，并在軸上方交雙曲線于點(diǎn)，且.(1)求雙曲線的方程；(2)過圓上任意一點(diǎn)作圓的切線，交雙曲線于兩個(gè)不同的點(diǎn)，的中點(diǎn)為，證明：.5.順次連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，恰好構(gòu)成了一個(gè)邊長(zhǎng)為且面積為的菱形.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)如圖，設(shè)直線與橢圓相切于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，求面積的最大值.6.已知拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為5.(1)求與的值；(2)設(shè)動(dòng)直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，問：在軸上是否存在與的取值無關(guān)的定點(diǎn)，使得?若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.7.已知是拋物線的焦點(diǎn)，恰好又是雙曲線的右焦點(diǎn)，雙曲線過點(diǎn)，且其離心率為.(1)求拋物線和雙曲線的方程；(2)已知直線過點(diǎn)，且與拋物線交于兩點(diǎn)，以為直徑作圓，設(shè)圓與軸交于點(diǎn)，求的最大值.8.已知橢圓過點(diǎn)，且橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為.過橢圓的右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)(不同于點(diǎn))，直線與直線交于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作的垂線，與直線交于點(diǎn).(1)求橢圓的方程，并求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求證：三點(diǎn)共線.答案以及解析1.答案：(1)因?yàn)殚L(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，所以.因?yàn)橛医裹c(diǎn)的坐標(biāo)為，所以.結(jié)合，得.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)設(shè).由得.則.因?yàn)榫€段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以.解得，即，代入一元二次方程得，符合題意，所以直線的方程為.因?yàn)?點(diǎn)到直線的距離.所以的面積.2.答案：(1)由題意得，即.所以，拋物線的準(zhǔn)線方程為.(2)設(shè)，重心.令，則.由于直線過點(diǎn)，故直線的方程為，代入，得，故，即，所以.又由于及重心在軸上，故，得.所以，直線的方程為，得.由于在焦點(diǎn)的右側(cè)，故.從而.令，則，.當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí).3.答案：(1)由于兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，故由題設(shè)知經(jīng)過兩點(diǎn).又由知，不經(jīng)過點(diǎn)，所以點(diǎn)在上.因此解得故的方程為.(2)設(shè)直線與直線的斜率分別為.如果與軸垂直，設(shè)，由題設(shè)知，且，可得的坐標(biāo)分別為.則，得，不符合題設(shè).從而可設(shè).將代入得，.由題設(shè)可知.設(shè)，則.而.由題設(shè)，故.即.解得.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，于是，即，所以過定點(diǎn).4.答案：(1)根據(jù)已知條件，得，所以.因?yàn)檩S，所以.在中，，得.所以雙曲線的方程為.(2)①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，則，于是，此時(shí).②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為.聯(lián)立得消去并整理，得.則且.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，即點(diǎn)的坐標(biāo)為.則..又點(diǎn)到直線的距離，所以，即.所以，，由此得.綜上，.5.答案：(1)由題意可得解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)顯然直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線，聯(lián)立得得，則，得，所以.由，得直線的方程為，聯(lián)立得得，所以，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以面積的最大值為.6.答案：(1)根據(jù)拋物線定義，知，解得，所以拋物線方程為.由點(diǎn)在拋物線上，得，所以.(2)拋物線方程為，當(dāng)時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，顯然不合題意.當(dāng)時(shí)，假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，，由，得，即.整理得.聯(lián)立方程得整理得，所以，得，所以，解得，因此存在點(diǎn)滿足題意.7.答案：(1)由雙曲線過點(diǎn)，且其離心率為，得，又，得，故雙曲線的方程為.由是拋物線的焦點(diǎn)，恰好又是雙曲線的右焦點(diǎn)，可得，解得.故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為.此時(shí)，故圓的方程為，可得(或)，.②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由題意可得.聯(lián)立方程得化簡(jiǎn)得.設(shè)，則，可得.設(shè)圓的半徑為，則.如圖，過點(diǎn)作，垂足為.在中，.故，則.綜上可得，的最大值為.8.答案：(1)因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，且橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以得則橢圓的方程為，橢圓的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為.(2)①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為.顯然，或.當(dāng)時(shí)，直線的方程為，得點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以.則直線的方程為，得點(diǎn)的坐標(biāo)為..所以，所以三點(diǎn)共線.同理，當(dāng)