第44講解析幾何中的極點極線問題一．選擇題（共4小題）1．（2021?柯橋區(qū)模擬）過點的兩條直線，分別與雙曲線相交于點，和點，，滿足，且．若直線的斜率，則雙曲線的離心率是A． B． C．2 D．【解答】解：設，，，，，，，，則，，，，，且，，則．，，，，，，，即，，則，同理可得：，則，，且，，即，雙曲線的離心率．故選：．2．（2021?武漢模擬）已知橢圓內有一點，過的兩條直線，分別與橢圓交于，和，兩點，且滿足（其中，且，若變化時，的斜率總為，則橢圓的離心率為A． B． C． D．【解答】解：設，、，、，、，，由，即，，，則，同理可得，，則，將點，的坐標代入橢圓方程作差可得，即，則①，同理可得②，①②得，又，，則，則橢圓的離心率，故選：．3．（2021?武漢模擬）已知，分別為雙曲線實軸的左右兩個端點，過雙曲線的左焦點作直線交雙曲線于，兩點（點，異于，，則直線，的斜率之比A． B． C． D．【解答】解：由已知得雙曲線，，．故，，．設直線，且，，，．由消去整理得，，兩式相比得①，②，將①代入②得：上式．故．故選：．4．（2021?湖北月考）已知橢圓的左右頂點分別為，，過軸上點作一直線與橢圓交于，兩點（異于，，若直線和的交點為，記直線和的斜率分別為，，則A． B．3 C． D．2【解答】解：由橢圓的方程可知：，所以，則，，設，，，，設直線的方程為：，則，直線的方程為：①，直線的方程為：，聯(lián)立①②解得：，所以，聯(lián)立方程，消去化簡可得：，所以，所以，代入式得，因為，，所以，故選：．二．填空題（共4小題）5．已知橢圓內有一點過點的兩條直線分別與橢圓相交于．和，兩點若，若直線的斜率為，則該橢圓的離心率為【解答】解：設，、，、，、，，由，可設，，即，，，則，同理可得，，則，將點，的坐標代入橢圓方程作差可得，即，則①，同理可得②，①②得，又，，則，則橢圓的離心率，故答案為：．6．（2021?龍鳳區(qū)校級月考）已知橢圓內一點，過點的兩條直線，分別與橢圓交于，和，兩點，且滿足（其中且，若變化時直線的斜率總為，則橢圓的離心率為．【解答】解：設，，，，，，，，，，，，即，，同理可得，，，，，兩點均在橢圓上，，兩式相減整理得，，即，①，同理可得，②，①②得，，又，，即，離心率．故答案為：．7．設為橢圓的右焦點，過橢圓外一點作橢圓的切線，切點為，若，則點的軌跡方程為．【解答】解：設切點，，則橢圓的切線方程為：．設，，．聯(lián)立解得：．點的軌跡方程為：．故答案為：．8．（2021?南通模擬）若橢圓的焦點在軸上，過點作圓的切線，切點分別為，，直線恰好經(jīng)過橢圓的右焦點和上頂點，則橢圓方程是．【解答】解：設過點的圓的切線為，即①當直線與軸垂直時，不存在，直線方程為，恰好與圓相切于點；②當直線與軸不垂直時，原點到直線的距離為：，解之得，此時直線的方程為，切圓相切于點，；因此，直線斜率為，直線方程為直線交軸交于點，交軸于點．橢圓的右焦點為，上頂點為，，可得，橢圓方程為故答案為：．三．解答題（共32小題）9．（2021?朝陽區(qū)校級期中）已知，分別是橢圓的左、右頂點，點在橢圓上，且直線與直線的斜率之積為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）如圖，已知，是橢圓上不同于頂點的兩點，直線與交于點，直線與交于點．若弦過橢圓的右焦點，求直線的方程．【解答】解：（1）點在橢圓上，，又直線與直線的斜率之積為，，解得，，橢圓的方程為：．（2）設，，，，，聯(lián)立，得，，，直線的直線方程為，的直線方程為，聯(lián)立，解得，同理，，直線的方程為．10．（2021?常熟市期中）如圖，在平面直角坐標系中，已知橢圓過點，離心率為，點，分別是橢圓的左、右頂點，點是直線上的一個動點（與軸交點除外），直線交橢圓于另一點．（1）求橢圓的方程；（2）當直線過橢圓的短軸頂點時，求的面積．【解答】解：（1）由題意，因為，得，，．所以橢圓的方程為．（2）直線的方程為，得．所以直線的方程，聯(lián)立方程組，化簡得，解得，，得點．又點到直線的距離，，所以．11．（2021?邗江區(qū)校級期中）如圖，已知橢圓的離心率為，，分別是橢圓的左、右頂點，右焦點，，過且斜率為的直線與橢圓相交于，兩點，在軸上方．（1）求橢圓的標準方程；（2）記，的面積分別為，，若，求的值；（3）設線段的中點為，直線與直線相交于點，記直線，，的斜率分別為，，，求的值．【解答】解：（1）設橢圓的焦距為．依題意可得，，解得，．故．所以橢圓的標準方程為．（2）設點，，，．若，則，即有，①設直線的方程為，與橢圓方程，可得，可得，，②將①代入②可得，解得，則；（3）由（2）得，，所以直線的方程為，令，得，即．所以．所以．12．（2021春?射洪市期末）如圖，已知橢圓的左，右焦點分別為，，、分別是橢圓的左、右頂點，短軸為，長軸長是焦距的2倍，過右焦點且斜率為的直線與橢圓相交于、兩點．（1）若時，記、的面積分別為、，求的值；（2）記直線、的斜率分別為、，是否存在常數(shù)使成立，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）因為，所以，又因為，所以，，所以橢圓的標準方程為：．設點，、，，且，，因為，所以的方程為，聯(lián)立得：，所以，又，因為所以原式．（2）假設存在常數(shù)使成立，設直線的方程為，由消去得，，，又，因此，，故．13．（2021?全國模擬）橢圓的右焦點為，規(guī)定直線為橢圓的右準線，橢圓上的任意一點到右焦點的距離與其到右準線的距離之比為．已知橢圓．（1）若點，是橢圓上的任意一點，求的最小值；（2）若，分別是橢圓的左、右頂點，過點的直線與橢圓交于，兩點，非頂點），證明：直線與的交點在橢圓的右準線上．【解答】解：（1）根據(jù)條件可得橢圓的右準線為，，若垂直于右準線，如圖，則，即，所以，故當僅當，，三點共線時，最短，即為到右準線的距離，故的最小值為5；證明：（2）由題意，設，，，，，聯(lián)立得：，則，，又，，則，，當時，，，而，即，所以直線與的交點在橢圓的右準線上，得證．14．（2021?南平二模）已知橢圓．（Ⅰ）若橢圓的離心率為，過焦點且垂直于軸的直線被橢圓截得弦長為．①求橢圓方程；②過點的兩條直線分別與橢圓交于點，和，，若，求直線的斜率；（Ⅱ）設，為橢圓內一定點（不在坐標軸上），過點的兩條直線分別與橢圓交于點，和，，且，類比（Ⅰ）②直接寫出直線的斜率．（不必證明）【解答】解：（Ⅰ）①橢圓，橢圓的離心率為，過焦點且垂直于軸的直線被橢圓截得弦長為，，解得，（2分）橢圓的方程為．（3分）②設點．則，，故，．（5分）點在橢圓上，，則整理得（6分）由點在橢圓上知，故．①（7分）又，則．同理可得．②（8分）①②得．由題意可知，則直線的斜率為．（10分）（Ⅱ）直線的斜率為．（13分）15．（2021?安徽模擬）設，為橢圓內一定點（不在坐標軸上），過點的兩直線分別與橢圓交于，和，，若．（Ⅰ）證明：直線的斜率為定值；（Ⅱ）過點作的平行線，與橢圓交于，兩點，證明：點平分線段．【解答】解：（Ⅰ）設，，，，，，，，則，，點在橢圓上，，即，整理得，又點在橢圓上，，從而可得①又，故有．同理可得②②①得，點不在坐標軸上，，，又易知不與坐標軸平行，直線的斜率，為定值；（Ⅱ）直線的方程為，代入橢圓方程得，整理得到，，故．16．（2021?安陽三模）已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，其短軸長為2，離心率為．點，為橢圓內一定點（不在坐標軸上），過點的兩直線分別與橢圓交于點，和，，且．（Ⅰ）求橢圓的標準方程；（Ⅱ）證明：直線的斜率為定值．【解答】（Ⅰ）解：短軸長為2，離心率為，，，焦點在軸上，橢圓的標準方程；（Ⅱ）證明：設，，，，，，，，，，，點在橢圓上，，又點在橢圓上，，從而可得①又，故有．同理可得②②①得，點不在坐標軸上，，，又易知不與坐標軸平行，直線的斜率，為定值．17．（2021?南昌一模）已知拋物線的焦點為，過點且斜率為的動直線與拋物線交于，兩點，直線過點，，且點關于直線的對稱點，．（1）求拋物線的方程，并證明直線是拋物線的切線；（2）過點且垂直于的直線交軸于點，，與拋物線的另一個交點分別為，，記的面積為，的面積為，求的取值范圍．【解答】解：（1），在定直線上，表示到直線的距離，因為關于的對稱點為，故，即拋物線上點到焦點的距離等于到直線的距離，直線即為準線，所以，即，拋物線的方程為；證明：，因為，所以的斜率為，由可得，點處的切線的斜率為，故直線是拋物線的切線；（2）設，，，，，，，，則，，則，設直線的方程為，與聯(lián)立，可得，所以，，，則的方程為，令，可得，即，因為，，三點共線，可得，又，，三點共線，且，，，，，所以，可得，故，將，，代入上式，化簡可得，所以的取值范圍是．18．（2021?金華模擬）如圖，已知拋物線，過點的直線斜率為，與拋物線交于，兩點．（Ⅰ）求斜率的取值范圍；（Ⅱ）直線與軸交于點，過點且斜率為的直線與拋物線交于，兩點，設直線與直線的交點的橫坐標為，是否存在這樣的，使，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．【解答】解：（Ⅰ）根據(jù)題意設直線的方程為，即，聯(lián)立，得，所以，，因為直線與拋物線交于，兩點，則，，所以△，解得，又，所以的取值范圍為．（Ⅱ）由題知，，，設，，，，由（Ⅰ）知，，，因為直線與軸交于，，，因為直線過點且斜率為，所以直線的方程為，聯(lián)立，得，所以，，所以△，即且，所以，所以直線的方程為，所以①，所以直線的方程為②，聯(lián)立①②得，解得，所以，因為，所以，所以點的橫坐標為，所以．19．（2021?新津縣校級月考）已知點為拋物線的焦點，點在拋物線上，且．（1）求拋物線的方程；（2）已知點，延長交拋物線于點，以點為圓心作與直線相切的圓，求圓的半徑，判斷圓與直線的位置關系，并說明理由．【解答】解：（1）由拋物線的定義得．因為，即，解得，所以拋物線的方程為；（2）證明：設以點為圓心且與直線相切的圓的半徑為．因為點在拋物線上，所以，由拋物線的對稱性，不妨設，，由，，可得直線的方程為，由得，解得或，從而，又，故直線的方程為，從而．又直線的方程為，所以點到直線的距離．這表明以點為圓心且與直線相切的圓必與直線相切．20．（2015?四川）如圖，橢圓的離心率是，過點的動直線與橢圓相交于、兩點，當直線平行于軸時，直線被橢圓截得的線段長為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）在平面直角坐標系中，是否存在與點不同的定點，使得恒成立？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【解答】解：（Ⅰ）直線平行于軸時，直線被橢圓截得的線段長為，點，在橢圓上，又離心率是，，解得，，橢圓的方程為：；（Ⅱ）結論：存在與點不同的定點，使得恒成立．理由如下：當直線與軸平行時，設直線與橢圓相交于、兩點，如果存在定點滿足條件，則有，即．點在直線軸上，可設．當直線與軸垂直時，設直線與橢圓相交于、兩點，則、的坐標分別為、，又，，解得或．若存在不同于點的定點滿足條件，則點坐標只能是．法一：下面證明：對任意直線，均有．當直線的斜率不存在時，由上可知，結論成立．當直線的斜率存在時，可設直線的方程為，、的坐標分別為，、，，聯(lián)立，消去并整理得：，△，，，，已知點關于軸對稱的點的坐標為，，又，，，即、、三點共線，．法二：當斜率存在時，過點作軸，垂足為，過點作軸，垂足為，易知，則△相似于△，則，若證上命題，則需證直線與直線交于點時關于軸對稱，則要證，聯(lián)立，消去并整理得：，△，，，，，，可證得，所以相似于進而得證：，當斜率不存在時，由上可知，結論也成立．故存在與點不同的定點，使得恒成立．21．（2021秋?西城區(qū)校級期中）已知拋物線的頂點為原點，其焦點，到直線的距離為．（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）設點，為直線上一定點，過點作拋物線的兩條切線，，其中，為切點，求直線的方程，并證明直線過定點．【解答】解：（Ⅰ）拋物線的焦點，到直線的距離為，，解得或，（舍，拋物線的方程為．（Ⅱ）設，，設切點為，曲線，，則切線的斜率為，化簡，得，設，，，，則，是以上方程的兩根，，，，直線為：，化簡，得：，定點．22．（2021秋?西城區(qū)校級期中）已知拋物線的頂點為原點，其焦點，到直線的距離為．（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）設點，為直線上一動點，過點作拋物線的兩條切線，，其中，為切點，求直線的方程，并證明直線過定點；（Ⅲ）過（Ⅱ）中的點的直線交拋物線于，兩點，過點，分別作拋物線的切線，，求，交點滿足的軌跡方程．【解答】解：（Ⅰ）拋物線的焦點，到直線的距離為，，解得或，（舍，拋物線的方程為．（Ⅱ）設，，設切點為，曲線，，則切線的斜率為，化簡，得，設，，，則，是以上方程的兩根，，，，直線為：，化簡，得：，定點．（Ⅲ）設，，，過的切線，過的切線，交點，設過點的直線為聯(lián)立，得，，，，．點滿足的軌跡方程為．23．（2021?越秀區(qū)校級期中）在平面直角坐標系中，直線交軸于點，交拋物線于點，關于點的對稱點為，連接并延長交于點．設拋物線的焦點為．（1）若點在拋物線上且，求拋物線的方程；（2）證明為定值．【解答】解：（1）若點在拋物線上且，由拋物線的焦點，，準線方程為，可得，解得，則拋物線的方程為；（2）證明：將直線與拋物線方程聯(lián)立，解得，，關于點的對稱點為，，，，，的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，解得，，為定值．24．（2021?浙江）如圖，已知點是軸左側（不含軸）一點，拋物線上存在不同的兩點，滿足，的中點均在上．（Ⅰ）設中點為，證明：垂直于軸；（Ⅱ）若是半橢圓上的動點，求面積的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）證明：可設，，，，，中點為的坐標為，，拋物線上存在不同的兩點，滿足，的中點均在上，可得，，化簡可得，為關于的方程的兩根，可得，，可得，則垂直于軸；（另解：設，的中點分別為，，交于，為的中位線，，又為的中點，為的中點，設，，由，，，解得，所以垂直于軸）（Ⅱ）若是半橢圓上的動點，可得，，，由（Ⅰ）可得，，由垂直于軸，可得面積為，可令，可得時，取得最大值；時，取得最小值2，即，則在遞增，可得，，面積的取值范圍為，．25．（2021?金安區(qū)校級期末）如圖所示，已知點，是軸左側一點，拋物線上存在不同的兩點，，中點為，，的中點均在上．（1）求證：；（2）若是半橢圓上的動點，求長度的取值范圍．【解答】解：（1）證明：設，，，，因為，的中點在拋物線上，所以，為方程，即的兩個不同的實數(shù)根為，，所以．（2）由（1）可知所以，，即，，，又，，．26．（2021?楊浦區(qū)期末）如圖，已知點是軸左側（不含軸）一點，拋物線上存在不同的兩點，，滿足，的中點均在拋物線上（1）求拋物線的焦點到準線的距離；（2）設中點為，且，，，，證明：；（3）若是曲線上的動點，求面積的最小值．【解答】（1）解：由拋物線，得，則，拋物線的焦點到準線的距離為2；（2）證明：，，設，，，，中點為的坐標為，，則，，拋物線上存在不同的兩點，滿足，的中點均在上，可得，，化簡可得，為關于的方程的兩根，可得，，可得；（3）解：若是曲線上的動點，可得，，，由（2）可得，，由垂直于軸，可得面積為，令，得時，取得最大值．時，取得最小值2，即，則在遞增，可得，，面積的最小值為．27．（2021?懷化一模）如圖，已知點是軸左側（不含軸）一點，點為拋物線的焦點，且拋物線上存在不同的兩點，．（1）若中點為，且滿足，的中點均在上，證明：垂直于軸；（2）若點，在該拋物線上且位于軸的兩側，為坐標原點），且與的面積分別為和，求最小值．【解答】解：（1）證明：設，，，，，，因為直線，的中點在拋物線上，所以，為方程的兩個根，即，的兩個不同的實數(shù)根，所以，所以垂直于軸．（2）根據(jù)題意可得，，設，，，，則，，所以，則或，因為，位于軸的兩側，所以，設直線的方程為，聯(lián)立，得，所以，則，所以直線過定點，所以，當且僅當，即時取等號，故的最小值為6．28．（2021秋?通州區(qū)期末）如圖，已知橢圓經(jīng)過點，離心率．（Ⅰ）求橢圓的標準方程；（Ⅱ）設是經(jīng)過右焦點的任一弦（不經(jīng)過點，直線與直線相交于點，記，，的斜率分別為，，，求證：，，成等差數(shù)列．【解答】解：（Ⅰ）由點在橢圓上得，①②由①②得，，，故橢圓的標準方程為．（4分）（Ⅱ）證明：橢圓右焦點坐標，顯然直線斜率存在，設的斜率為，則直線的方程為③．（5分）代入橢圓方程，整理得．（6分）設，，，，則有④．（7分）在方程③中，令得，，從而，，．（9分）又因為、、共線，則有，即有，所以⑤將④代入⑤得，（12分）又，所以，即，，成等差數(shù)列．．（13分）29．（2013?江西）如圖，橢圓經(jīng)過點，離心率，直線的方程為．（1）求橢圓的方程；（2）是經(jīng)過右焦點的任一弦（不經(jīng)過點，設直線與直線相交于點，記，，的斜率分別為，，．問：是否存在常數(shù)，使得？若存在，求的值；若不存在，說明理由．【解答】解：（1）橢圓經(jīng)過點，可得①由離心率得，即，則②，代入①解得，，故橢圓的方程為（2）方法一：由題意可設的斜率為，則直線的方程為③代入橢圓方程并整理得設，，，，，④在方程③中，令得，的坐標為，從而，，注意到，，共線，則有，即有所以⑤④代入⑤得又，所以故存在常數(shù)符合題意方法二：設，，則直線的方程為令，求得從而直線的斜率為，聯(lián)立，得，，則直線的斜率，直線的斜率為所以，故存在常數(shù)符合題意30．（2021?張掖期末）如圖，橢圓的兩頂點，，過其焦點的直線與橢圓交于，兩點，并與軸交于點，直線與直線交于點．（1）當時，求直線的方程；（2）當點異于，兩點時，求證：點與點橫坐標之積為定值．【解答】解：（1）由橢圓的焦點在軸上，，由，，則，橢圓的標準方程：；當直線的斜率不存在時，，與題意不符，設直線的方程為，，，，，，整理得，則，，，解得．直線的方程為或；（2）當直線的斜率不存在時，設直線的方程為，，設，，，，的坐標為，，，由（1）可知：，，直線的方程為①則直線的方程為②聯(lián)立①②，解得：，由，，代入上式得：，不妨設，，，又，，代入①化簡得，故點的橫坐標為，則，即點與點橫坐標之積為定值．31．（2021秋?棗強縣校級期末）橢圓的兩頂點為，如圖，離心率為，過其焦點的直線與橢圓交于，兩點，并與軸交于點，直線與直線交于點．（Ⅰ）當時，求直線的方程；（Ⅱ）當點異于，兩點時，求證：為定值．【解答】解：（Ⅰ）由題意，設橢圓的標準方程為，由已知得：，所以，橢圓的方程為，當直線與軸垂直時與題意不符，設直線的方程為，，，，，將直線的方程代入橢圓的方程化簡得，則，，，解得：，所以直線的方程為，（Ⅱ）證明：當直線與軸垂直時與題意不符，設直線的方程為，，，，，，點的坐標為，由（Ⅰ）知，，且直線的方程為，且直線的方程為，將兩直線聯(lián)立，消去得，，，與異號，，，與異號，與同號，，解得，，故點坐標為，，故為定值．32．（2015秋?成都校級月考）在平面直角坐標系中，如圖所示，已知橢圓的左、右頂點分別為，，右焦點為．設過點的直線，與此橢圓分別交于點，，，，其中，，．（Ⅰ）設動點滿足：，求點的軌跡；（Ⅱ）設，求點的坐標；（Ⅲ）設，求證：直線必過軸上的一定點（其坐標與無關），并求出該定點的坐標．【解答】解：（Ⅰ）由題設得，，，，設動點，由，，代入化簡得，．故點的軌跡為直線．（4分）（Ⅱ）由，，得，則點，直線的方程為，由，，得，則點，直線的方程為，由（8分）（Ⅲ）證明：由題設知，直線的方程為：，直線的方程為：，點，滿足；點，滿足；若，且，得，此時直線的方程為，過點；若，則，直線的斜率，直線的斜率，，直線過點．因此直線必過軸上一定點．（13分）33．（2021春?南開區(qū)校級月考）已知橢圓的右焦點為，且經(jīng)過點．（1）求橢圓的方程；（2）設為原點，直線與橢圓交于兩個不同點，，直線與軸交于點，直線與軸交于點，若．求證：直線經(jīng)過定點．【解答】解：（1）設橢圓的焦距為，則，解得，橢圓的方程為；（2）證明：設，，，，由消去得：，由韋達定理得，①由與，可得直線的方程為：，，，同理：，，又，，化簡得，，將①代入并化簡有：，或（舍直線的方程為：，經(jīng)過定點．34．（2021?北京）已知橢圓的右焦點為，且經(jīng)過點．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設為原點，直線與橢圓交于兩個不同點、，直線與軸交于點，直線與軸交于點．若，求證：直線經(jīng)過定點．【解答】解：（Ⅰ）橢圓的右焦點為，且經(jīng)過點．可得，，則橢圓方程為；（Ⅱ）證明：與橢圓方程聯(lián)立，可得，設，，，，△，，，的方程為，令，可得，即，；的方程為，令，可得．即，．，，即為，即有，由，解得，滿足△，即有直線方程為，恒過原點．35．（2012?福建）如圖，等邊三角形的邊長為，且其三個頂點均在拋物線上．（1）求拋物線的方程；（2）設動直線與拋物線相切于點，與直線相交于點．證明以為直徑的圓恒過軸上某定點．【解答】解：（1）依題意，，，設，則，，在上，，拋物線的方程為；（2）由（1）知，，設，，則，即由得，取，此時，，以為直徑的圓為，交軸于點或取，此時，，，以為直徑的圓為，交軸于點或故若滿足條件的點存在，只能是，證明如下故以為直徑的圓恒過軸上的定點．36．（2013?崇明縣一模）如圖，橢圓的左焦點為，右焦點為，過的直線交橢圓于，兩點，的周長為8，且△面積最大時，△為正三角形．（1）求橢圓的方程；（2）設動直線與橢圓有且只有一個公共點，且與直線相交于點．試探究：①以為直徑的圓與軸的位置關系？②在坐標平面內是否存在定點，使得以為直徑的圓恒過點？若存在，求出的坐標；若不存在，說明理由．【解答】解：（1）的周長為8，，．又當△面積最大時為正三角形，，，，，橢圓的方程為（2）