第44講解析幾何中的極點(diǎn)極線問題一．選擇題（共4小題）1．（2021?柯橋區(qū)模擬）過點(diǎn)的兩條直線，分別與雙曲線相交于點(diǎn)，和點(diǎn)，，滿足，且．若直線的斜率，則雙曲線的離心率是A． B． C．2 D．【解答】解：設(shè)，，，，，，，，則，，，，，且，，則．，，，，，，，即，，則，同理可得：，則，，且，，即，雙曲線的離心率．故選：．2．（2021?武漢模擬）已知橢圓內(nèi)有一點(diǎn)，過的兩條直線，分別與橢圓交于，和，兩點(diǎn)，且滿足（其中，且，若變化時(shí)，的斜率總為，則橢圓的離心率為A． B． C． D．【解答】解：設(shè)，、，、，、，，由，即，，，則，同理可得，，則，將點(diǎn)，的坐標(biāo)代入橢圓方程作差可得，即，則①，同理可得②，①②得，又，，則，則橢圓的離心率，故選：．3．（2021?武漢模擬）已知，分別為雙曲線實(shí)軸的左右兩個(gè)端點(diǎn)，過雙曲線的左焦點(diǎn)作直線交雙曲線于，兩點(diǎn)（點(diǎn)，異于，，則直線，的斜率之比A． B． C． D．【解答】解：由已知得雙曲線，，．故，，．設(shè)直線，且，，，．由消去整理得，，兩式相比得①，②，將①代入②得：上式．故．故選：．4．（2021?湖北月考）已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，，過軸上點(diǎn)作一直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（異于，，若直線和的交點(diǎn)為，記直線和的斜率分別為，，則A． B．3 C． D．2【解答】解：由橢圓的方程可知：，所以，則，，設(shè)，，，，設(shè)直線的方程為：，則，直線的方程為：①，直線的方程為：，聯(lián)立①②解得：，所以，聯(lián)立方程，消去化簡(jiǎn)可得：，所以，所以，代入式得，因?yàn)椋?，所以，故選：．二．填空題（共4小題）5．已知橢圓內(nèi)有一點(diǎn)過點(diǎn)的兩條直線分別與橢圓相交于．和，兩點(diǎn)若，若直線的斜率為，則該橢圓的離心率為【解答】解：設(shè)，、，、，、，，由，可設(shè)，，即，，，則，同理可得，，則，將點(diǎn)，的坐標(biāo)代入橢圓方程作差可得，即，則①，同理可得②，①②得，又，，則，則橢圓的離心率，故答案為：．6．（2021?龍鳳區(qū)校級(jí)月考）已知橢圓內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)的兩條直線，分別與橢圓交于，和，兩點(diǎn)，且滿足（其中且，若變化時(shí)直線的斜率總為，則橢圓的離心率為．【解答】解：設(shè)，，，，，，，，，，，，即，，同理可得，，，，，兩點(diǎn)均在橢圓上，，兩式相減整理得，，即，①，同理可得，②，①②得，，又，，即，離心率．故答案為：．7．設(shè)為橢圓的右焦點(diǎn)，過橢圓外一點(diǎn)作橢圓的切線，切點(diǎn)為，若，則點(diǎn)的軌跡方程為．【解答】解：設(shè)切點(diǎn)，，則橢圓的切線方程為：．設(shè)，，．聯(lián)立解得：．點(diǎn)的軌跡方程為：．故答案為：．8．（2021?南通模擬）若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為，，直線恰好經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，則橢圓方程是．【解答】解：設(shè)過點(diǎn)的圓的切線為，即①當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，不存在，直線方程為，恰好與圓相切于點(diǎn)；②當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，原點(diǎn)到直線的距離為：，解之得，此時(shí)直線的方程為，切圓相切于點(diǎn)，；因此，直線斜率為，直線方程為直線交軸交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．橢圓的右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，，可得，橢圓方程為故答案為：．三．解答題（共32小題）9．（2021?朝陽區(qū)校級(jí)期中）已知，分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且直線與直線的斜率之積為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）如圖，已知，是橢圓上不同于頂點(diǎn)的兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)．若弦過橢圓的右焦點(diǎn)，求直線的方程．【解答】解：（1）點(diǎn)在橢圓上，，又直線與直線的斜率之積為，，解得，，橢圓的方程為：．（2）設(shè)，，，，，聯(lián)立，得，，，直線的直線方程為，的直線方程為，聯(lián)立，解得，同理，，直線的方程為．10．（2021?常熟市期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓過點(diǎn)，離心率為，點(diǎn)，分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與軸交點(diǎn)除外），直線交橢圓于另一點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）當(dāng)直線過橢圓的短軸頂點(diǎn)時(shí)，求的面積．【解答】解：（1）由題意，因?yàn)椋?，，．所以橢圓的方程為．（2）直線的方程為，得．所以直線的方程，聯(lián)立方程組，化簡(jiǎn)得，解得，，得點(diǎn)．又點(diǎn)到直線的距離，，所以．11．（2021?邗江區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知橢圓的離心率為，，分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，右焦點(diǎn)，，過且斜率為的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，在軸上方．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）記，的面積分別為，，若，求的值；（3）設(shè)線段的中點(diǎn)為，直線與直線相交于點(diǎn)，記直線，，的斜率分別為，，，求的值．【解答】解：（1）設(shè)橢圓的焦距為．依題意可得，，解得，．故．所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)點(diǎn)，，，．若，則，即有，①設(shè)直線的方程為，與橢圓方程，可得，可得，，②將①代入②可得，解得，則；（3）由（2）得，，所以直線的方程為，令，得，即．所以．所以．12．（2021春?射洪市期末）如圖，已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，、分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，短軸為，長軸長是焦距的2倍，過右焦點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)．（1）若時(shí)，記、的面積分別為、，求的值；（2）記直線、的斜率分別為、，是否存在常數(shù)使成立，若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．設(shè)點(diǎn)，、，，且，，因?yàn)椋缘姆匠虨?，?lián)立得：，所以，又，因?yàn)樗栽剑?）假設(shè)存在常數(shù)使成立，設(shè)直線的方程為，由消去得，，，又，因此，，故．13．（2021?全國模擬）橢圓的右焦點(diǎn)為，規(guī)定直線為橢圓的右準(zhǔn)線，橢圓上的任意一點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離與其到右準(zhǔn)線的距離之比為．已知橢圓．（1）若點(diǎn)，是橢圓上的任意一點(diǎn)，求的最小值；（2）若，分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，非頂點(diǎn)），證明：直線與的交點(diǎn)在橢圓的右準(zhǔn)線上．【解答】解：（1）根據(jù)條件可得橢圓的右準(zhǔn)線為，，若垂直于右準(zhǔn)線，如圖，則，即，所以，故當(dāng)僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，最短，即為到右準(zhǔn)線的距離，故的最小值為5；證明：（2）由題意，設(shè)，，，，，聯(lián)立得：，則，，又，，則，，當(dāng)時(shí)，，，而，即，所以直線與的交點(diǎn)在橢圓的右準(zhǔn)線上，得證．14．（2021?南平二模）已知橢圓．（Ⅰ）若橢圓的離心率為，過焦點(diǎn)且垂直于軸的直線被橢圓截得弦長為．①求橢圓方程；②過點(diǎn)的兩條直線分別與橢圓交于點(diǎn)，和，，若，求直線的斜率；（Ⅱ）設(shè)，為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上），過點(diǎn)的兩條直線分別與橢圓交于點(diǎn)，和，，且，類比（Ⅰ）②直接寫出直線的斜率．（不必證明）【解答】解：（Ⅰ）①橢圓，橢圓的離心率為，過焦點(diǎn)且垂直于軸的直線被橢圓截得弦長為，，解得，（2分）橢圓的方程為．（3分）②設(shè)點(diǎn)．則，，故，．（5分）點(diǎn)在橢圓上，，則整理得（6分）由點(diǎn)在橢圓上知，故．①（7分）又，則．同理可得．②（8分）①②得．由題意可知，則直線的斜率為．（10分）（Ⅱ）直線的斜率為．（13分）15．（2021?安徽模擬）設(shè)，為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上），過點(diǎn)的兩直線分別與橢圓交于，和，，若．（Ⅰ）證明：直線的斜率為定值；（Ⅱ）過點(diǎn)作的平行線，與橢圓交于，兩點(diǎn)，證明：點(diǎn)平分線段．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)，，，，，，，，則，，點(diǎn)在橢圓上，，即，整理得，又點(diǎn)在橢圓上，，從而可得①又，故有．同理可得②②①得，點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上，，，又易知不與坐標(biāo)軸平行，直線的斜率，為定值；（Ⅱ）直線的方程為，代入橢圓方程得，整理得到，，故．16．（2021?安陽三模）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，其短軸長為2，離心率為．點(diǎn)，為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上），過點(diǎn)的兩直線分別與橢圓交于點(diǎn)，和，，且．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）證明：直線的斜率為定值．【解答】（Ⅰ）解：短軸長為2，離心率為，，，焦點(diǎn)在軸上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）證明：設(shè)，，，，，，，，，，，點(diǎn)在橢圓上，，又點(diǎn)在橢圓上，，從而可得①又，故有．同理可得②②①得，點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上，，，又易知不與坐標(biāo)軸平行，直線的斜率，為定值．17．（2021?南昌一模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且斜率為的動(dòng)直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，直線過點(diǎn)，，且點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，．（1）求拋物線的方程，并證明直線是拋物線的切線；（2）過點(diǎn)且垂直于的直線交軸于點(diǎn)，，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)分別為，，記的面積為，的面積為，求的取值范圍．【解答】解：（1），在定直線上，表示到直線的距離，因?yàn)殛P(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，故，即拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到直線的距離，直線即為準(zhǔn)線，所以，即，拋物線的方程為；證明：，因?yàn)?，所以的斜率為，由可得，點(diǎn)處的切線的斜率為，故直線是拋物線的切線；（2）設(shè)，，，，，，，，則，，則，設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立，可得，所以，，，則的方程為，令，可得，即，因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，可得，又，，三點(diǎn)共線，且，，，，，所以，可得，故，將，，代入上式，化簡(jiǎn)可得，所以的取值范圍是．18．（2021?金華模擬）如圖，已知拋物線，過點(diǎn)的直線斜率為，與拋物線交于，兩點(diǎn)．（Ⅰ）求斜率的取值范圍；（Ⅱ）直線與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，設(shè)直線與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，是否存在這樣的，使，若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（Ⅰ）根據(jù)題意設(shè)直線的方程為，即，聯(lián)立，得，所以，，因?yàn)橹本€與拋物線交于，兩點(diǎn)，則，，所以△，解得，又，所以的取值范圍為．（Ⅱ）由題知，，，設(shè)，，，，由（Ⅰ）知，，，因?yàn)橹本€與軸交于，，，因?yàn)橹本€過點(diǎn)且斜率為，所以直線的方程為，聯(lián)立，得，所以，，所以△，即且，所以，所以直線的方程為，所以①，所以直線的方程為②，聯(lián)立①②得，解得，所以，因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以．19．（2021?新津縣校級(jí)月考）已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，且．（1）求拋物線的方程；（2）已知點(diǎn)，延長交拋物線于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心作與直線相切的圓，求圓的半徑，判斷圓與直線的位置關(guān)系，并說明理由．【解答】解：（1）由拋物線的定義得．因?yàn)椋?，解得，所以拋物線的方程為；（2）證明：設(shè)以點(diǎn)為圓心且與直線相切的圓的半徑為．因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，由拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)，，由，，可得直線的方程為，由得，解得或，從而，又，故直線的方程為，從而．又直線的方程為，所以點(diǎn)到直線的距離．這表明以點(diǎn)為圓心且與直線相切的圓必與直線相切．20．（2015?四川）如圖，橢圓的離心率是，過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，當(dāng)直線平行于軸時(shí)，直線被橢圓截得的線段長為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在與點(diǎn)不同的定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（Ⅰ）直線平行于軸時(shí)，直線被橢圓截得的線段長為，點(diǎn)，在橢圓上，又離心率是，，解得，，橢圓的方程為：；（Ⅱ）結(jié)論：存在與點(diǎn)不同的定點(diǎn)，使得恒成立．理由如下：當(dāng)直線與軸平行時(shí)，設(shè)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，如果存在定點(diǎn)滿足條件，則有，即．點(diǎn)在直線軸上，可設(shè)．當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，設(shè)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，則、的坐標(biāo)分別為、，又，，解得或．若存在不同于點(diǎn)的定點(diǎn)滿足條件，則點(diǎn)坐標(biāo)只能是．法一：下面證明：對(duì)任意直線，均有．當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由上可知，結(jié)論成立．當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線的方程為，、的坐標(biāo)分別為，、，，聯(lián)立，消去并整理得：，△，，，，已知點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，，又，，，即、、三點(diǎn)共線，．法二：當(dāng)斜率存在時(shí)，過點(diǎn)作軸，垂足為，過點(diǎn)作軸，垂足為，易知，則△相似于△，則，若證上命題，則需證直線與直線交于點(diǎn)時(shí)關(guān)于軸對(duì)稱，則要證，聯(lián)立，消去并整理得：，△，，，，，，可證得，所以相似于進(jìn)而得證：，當(dāng)斜率不存在時(shí)，由上可知，結(jié)論也成立．故存在與點(diǎn)不同的定點(diǎn)，使得恒成立．21．（2021秋?西城區(qū)校級(jí)期中）已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)，到直線的距離為．（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，為直線上一定點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，，其中，為切點(diǎn)，求直線的方程，并證明直線過定點(diǎn)．【解答】解：（Ⅰ）拋物線的焦點(diǎn)，到直線的距離為，，解得或，（舍，拋物線的方程為．（Ⅱ）設(shè)，，設(shè)切點(diǎn)為，曲線，，則切線的斜率為，化簡(jiǎn)，得，設(shè)，，，，則，是以上方程的兩根，，，，直線為：，化簡(jiǎn)，得：，定點(diǎn)．22．（2021秋?西城區(qū)校級(jí)期中）已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)，到直線的距離為．（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，，其中，為切點(diǎn)，求直線的方程，并證明直線過定點(diǎn)；（Ⅲ）過（Ⅱ）中的點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)，分別作拋物線的切線，，求，交點(diǎn)滿足的軌跡方程．【解答】解：（Ⅰ）拋物線的焦點(diǎn)，到直線的距離為，，解得或，（舍，拋物線的方程為．（Ⅱ）設(shè)，，設(shè)切點(diǎn)為，曲線，，則切線的斜率為，化簡(jiǎn)，得，設(shè)，，，則，是以上方程的兩根，，，，直線為：，化簡(jiǎn)，得：，定點(diǎn)．（Ⅲ）設(shè)，，，過的切線，過的切線，交點(diǎn)，設(shè)過點(diǎn)的直線為聯(lián)立，得，，，，．點(diǎn)滿足的軌跡方程為．23．（2021?越秀區(qū)校級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系中，直線交軸于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，連接并延長交于點(diǎn)．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為．（1）若點(diǎn)在拋物線上且，求拋物線的方程；（2）證明為定值．【解答】解：（1）若點(diǎn)在拋物線上且，由拋物線的焦點(diǎn)，，準(zhǔn)線方程為，可得，解得，則拋物線的方程為；（2）證明：將直線與拋物線方程聯(lián)立，解得，，關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，，，，，的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，解得，，為定值．24．（2021?浙江）如圖，已知點(diǎn)是軸左側(cè)（不含軸）一點(diǎn)，拋物線上存在不同的兩點(diǎn)，滿足，的中點(diǎn)均在上．（Ⅰ）設(shè)中點(diǎn)為，證明：垂直于軸；（Ⅱ）若是半橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求面積的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）證明：可設(shè)，，，，，中點(diǎn)為的坐標(biāo)為，，拋物線上存在不同的兩點(diǎn)，滿足，的中點(diǎn)均在上，可得，，化簡(jiǎn)可得，為關(guān)于的方程的兩根，可得，，可得，則垂直于軸；（另解：設(shè)，的中點(diǎn)分別為，，交于，為的中位線，，又為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，設(shè)，，由，，，解得，所以垂直于軸）（Ⅱ）若是半橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，可得，，，由（Ⅰ）可得，，由垂直于軸，可得面積為，可令，可得時(shí)，取得最大值；時(shí)，取得最小值2，即，則在遞增，可得，，面積的取值范圍為，．25．（2021?金安區(qū)校級(jí)期末）如圖所示，已知點(diǎn)，是軸左側(cè)一點(diǎn)，拋物線上存在不同的兩點(diǎn)，，中點(diǎn)為，，的中點(diǎn)均在上．（1）求證：；（2）若是半橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求長度的取值范圍．【解答】解：（1）證明：設(shè)，，，，因?yàn)?，的中點(diǎn)在拋物線上，所以，為方程，即的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根為，，所以．（2）由（1）可知所以，，即，，，又，，．26．（2021?楊浦區(qū)期末）如圖，已知點(diǎn)是軸左側(cè)（不含軸）一點(diǎn)，拋物線上存在不同的兩點(diǎn)，，滿足，的中點(diǎn)均在拋物線上（1）求拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；（2）設(shè)中點(diǎn)為，且，，，，證明：；（3）若是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，求面積的最小值．【解答】（1）解：由拋物線，得，則，拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2；（2）證明：，，設(shè)，，，，中點(diǎn)為的坐標(biāo)為，，則，，拋物線上存在不同的兩點(diǎn)，滿足，的中點(diǎn)均在上，可得，，化簡(jiǎn)可得，為關(guān)于的方程的兩根，可得，，可得；（3）解：若是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，可得，，，由（2）可得，，由垂直于軸，可得面積為，令，得時(shí)，取得最大值．時(shí)，取得最小值2，即，則在遞增，可得，，面積的最小值為．27．（2021?懷化一模）如圖，已知點(diǎn)是軸左側(cè)（不含軸）一點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，且拋物線上存在不同的兩點(diǎn)，．（1）若中點(diǎn)為，且滿足，的中點(diǎn)均在上，證明：垂直于軸；（2）若點(diǎn)，在該拋物線上且位于軸的兩側(cè)，為坐標(biāo)原點(diǎn)），且與的面積分別為和，求最小值．【解答】解：（1）證明：設(shè)，，，，，，因?yàn)橹本€，的中點(diǎn)在拋物線上，所以，為方程的兩個(gè)根，即，的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以，所以垂直于軸．（2）根據(jù)題意可得，，設(shè)，，，，則，，所以，則或，因?yàn)?，位于軸的兩側(cè)，所以，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，所以，則，所以直線過定點(diǎn)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故的最小值為6．28．（2021秋?通州區(qū)期末）如圖，已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)是經(jīng)過右焦點(diǎn)的任一弦（不經(jīng)過點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)，記，，的斜率分別為，，，求證：，，成等差數(shù)列．【解答】解：（Ⅰ）由點(diǎn)在橢圓上得，①②由①②得，，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（4分）（Ⅱ）證明：橢圓右焦點(diǎn)坐標(biāo)，顯然直線斜率存在，設(shè)的斜率為，則直線的方程為③．（5分）代入橢圓方程，整理得．（6分）設(shè)，，，，則有④．（7分）在方程③中，令得，，從而，，．（9分）又因?yàn)?、、共線，則有，即有，所以⑤將④代入⑤得，（12分）又，所以，即，，成等差數(shù)列．．（13分）29．（2013?江西）如圖，橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率，直線的方程為．（1）求橢圓的方程；（2）是經(jīng)過右焦點(diǎn)的任一弦（不經(jīng)過點(diǎn)，設(shè)直線與直線相交于點(diǎn)，記，，的斜率分別為，，．問：是否存在常數(shù)，使得？若存在，求的值；若不存在，說明理由．【解答】解：（1）橢圓經(jīng)過點(diǎn)，可得①由離心率得，即，則②，代入①解得，，故橢圓的方程為（2）方法一：由題意可設(shè)的斜率為，則直線的方程為③代入橢圓方程并整理得設(shè)，，，，，④在方程③中，令得，的坐標(biāo)為，從而，，注意到，，共線，則有，即有所以⑤④代入⑤得又，所以故存在常數(shù)符合題意方法二：設(shè)，，則直線的方程為令，求得從而直線的斜率為，聯(lián)立，得，，則直線的斜率，直線的斜率為所以，故存在常數(shù)符合題意30．（2021?張掖期末）如圖，橢圓的兩頂點(diǎn)，，過其焦點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，并與軸交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，求直線的方程；（2）當(dāng)點(diǎn)異于，兩點(diǎn)時(shí)，求證：點(diǎn)與點(diǎn)橫坐標(biāo)之積為定值．【解答】解：（1）由橢圓的焦點(diǎn)在軸上，，由，，則，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，與題意不符，設(shè)直線的方程為，，，，，，整理得，則，，，解得．直線的方程為或；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，設(shè)，，，，的坐標(biāo)為，，，由（1）可知：，，直線的方程為①則直線的方程為②聯(lián)立①②，解得：，由，，代入上式得：，不妨設(shè)，，，又，，代入①化簡(jiǎn)得，故點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，即點(diǎn)與點(diǎn)橫坐標(biāo)之積為定值．31．（2021秋?棗強(qiáng)縣校級(jí)期末）橢圓的兩頂點(diǎn)為，如圖，離心率為，過其焦點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，并與軸交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求直線的方程；（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)異于，兩點(diǎn)時(shí)，求證：為定值．【解答】解：（Ⅰ）由題意，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由已知得：，所以，橢圓的方程為，當(dāng)直線與軸垂直時(shí)與題意不符，設(shè)直線的方程為，，，，，將直線的方程代入橢圓的方程化簡(jiǎn)得，則，，，解得：，所以直線的方程為，（Ⅱ）證明：當(dāng)直線與軸垂直時(shí)與題意不符，設(shè)直線的方程為，，，，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，由（Ⅰ）知，，且直線的方程為，且直線的方程為，將兩直線聯(lián)立，消去得，，，與異號(hào)，，，與異號(hào)，與同號(hào)，，解得，，故點(diǎn)坐標(biāo)為，，故為定值．32．（2015秋?成都校級(jí)月考）在平面直角坐標(biāo)系中，如圖所示，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，右焦點(diǎn)為．設(shè)過點(diǎn)的直線，與此橢圓分別交于點(diǎn)，，，，其中，，．（Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)滿足：，求點(diǎn)的軌跡；（Ⅱ）設(shè)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（Ⅲ）設(shè)，求證：直線必過軸上的一定點(diǎn)（其坐標(biāo)與無關(guān)），并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（Ⅰ）由題設(shè)得，，，，設(shè)動(dòng)點(diǎn)，由，，代入化簡(jiǎn)得，．故點(diǎn)的軌跡為直線．（4分）（Ⅱ）由，，得，則點(diǎn)，直線的方程為，由，，得，則點(diǎn)，直線的方程為，由（8分）（Ⅲ）證明：由題設(shè)知，直線的方程為：，直線的方程為：，點(diǎn)，滿足；點(diǎn)，滿足；若，且，得，此時(shí)直線的方程為，過點(diǎn)；若，則，直線的斜率，直線的斜率，，直線過點(diǎn)．因此直線必過軸上一定點(diǎn)．（13分）33．（2021春?南開區(qū)校級(jí)月考）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，且經(jīng)過點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為原點(diǎn)，直線與橢圓交于兩個(gè)不同點(diǎn)，，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，若．求證：直線經(jīng)過定點(diǎn)．【解答】解：（1）設(shè)橢圓的焦距為，則，解得，橢圓的方程為；（2）證明：設(shè)，，，，由消去得：，由韋達(dá)定理得，①由與，可得直線的方程為：，，，同理：，，又，，化簡(jiǎn)得，，將①代入并化簡(jiǎn)有：，或（舍直線的方程為：，經(jīng)過定點(diǎn)．34．（2021?北京）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，且經(jīng)過點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)為原點(diǎn)，直線與橢圓交于兩個(gè)不同點(diǎn)、，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)．若，求證：直線經(jīng)過定點(diǎn)．【解答】解：（Ⅰ）橢圓的右焦點(diǎn)為，且經(jīng)過點(diǎn)．可得，，則橢圓方程為；（Ⅱ）證明：與橢圓方程聯(lián)立，可得，設(shè)，，，，△，，，的方程為，令，可得，即，；的方程為，令，可得．即，．，，即為，即有，由，解得，滿足△，即有直線方程為，恒過原點(diǎn)．35．（2012?福建）如圖，等邊三角形的邊長為，且其三個(gè)頂點(diǎn)均在拋物線上．（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)動(dòng)直線與拋物線相切于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)．證明以為直徑的圓恒過軸上某定點(diǎn)．【解答】解：（1）依題意，，，設(shè)，則，，在上，，拋物線的方程為；（2）由（1）知，，設(shè)，，則，即由得，取，此時(shí)，，以為直徑的圓為，交軸于點(diǎn)或取，此時(shí)，，，以為直徑的圓為，交軸于點(diǎn)或故若滿足條件的點(diǎn)存在，只能是，證明如下故以為直徑的圓恒過軸上的定點(diǎn)．36．（2013?崇明縣一模）如圖，橢圓的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，過的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，的周長為8，且△面積最大時(shí)，△為正三角形．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)動(dòng)直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與直線相交于點(diǎn)．試探究：①以為直徑的圓與軸的位置關(guān)系？②在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過點(diǎn)？若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【解答】解：（1）的周長為8，，．又當(dāng)△面積最大時(shí)為正三角形，，，，，橢圓的方程為（2）