專題25特殊的平行四邊形-菱形【考查題型】【知識(shí)要點(diǎn)】菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。菱形的性質(zhì)：1）具有平行四邊形的所有性質(zhì)；2）四條邊都相等；3）兩條對(duì)角線互相垂直，且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角。4）菱形既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形，菱形的對(duì)稱中心是菱形對(duì)角線的交點(diǎn)，菱形的對(duì)稱軸是菱形對(duì)角線所在的直線，菱形的對(duì)稱軸過(guò)菱形的對(duì)稱中心。菱形的判定：1）A對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形。A2）四條邊相等的四邊形是菱形。3）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。菱形的面積公式：菱形ABCD的對(duì)角線是AC、BD，則菱形的面積公式是：S＝底×高，S＝考查題型一利用菱形的性質(zhì)求角度典例1．（2022·貴州貴陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，將菱形紙片沿著線段剪成兩個(gè)全等的圖形，則的度數(shù)是（

）A．40° B．60° C．80° D．100°變式1-1．（2022·西藏·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形紙片ABCD中，E是BC邊上一點(diǎn)，將△ABE沿直線AE翻折，使點(diǎn)B落在上，連接．已知∠C＝120°，∠BAE＝50°，則的度數(shù)為（）A．50° B．60° C．80° D．90°變式1-2．（2020·湖北黃岡·中考真題）若菱形的周長(zhǎng)為16，高為2，則菱形兩鄰角的度數(shù)之比為（

）A． B． C． D．變式1-3．（2020·甘肅金昌·統(tǒng)考中考真題）如圖所示的木制活動(dòng)衣帽架是由三個(gè)全等的菱形構(gòu)成，根據(jù)實(shí)際需要可以調(diào)節(jié)間的距離，若間的距離調(diào)節(jié)到60，菱形的邊長(zhǎng)，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．變式1-4．（2022·山東青島·統(tǒng)考中考真題）圖①是藝術(shù)家埃舍爾的作品，他將數(shù)學(xué)與繪畫完美結(jié)合，在平面上創(chuàng)造出立體效果．圖②是一個(gè)菱形，將圖②截去一個(gè)邊長(zhǎng)為原來(lái)一半的菱形得到圖③，用圖③鑲嵌得到圖④，將圖④著色后，再次鑲嵌便得到圖①，則圖④中的度數(shù)是__________．變式1-5．（2021·貴州黔東南·統(tǒng)考中考真題）如圖，BD是菱形ABCD的一條對(duì)角線，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，若，則的度數(shù)為_________度．變式1-6．（2020·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，，取大于的長(zhǎng)為半徑，分別以點(diǎn)，為圓心作弧相交于兩點(diǎn)，過(guò)此兩點(diǎn)的直線交邊于點(diǎn)（作圖痕跡如圖所示），連接，，則的度數(shù)為_________．考查題型二利用菱形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)典例2．（2022·遼寧盤錦·中考真題）如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形ABCD是菱形，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（2，2），（﹣1，﹣），點(diǎn)D在第一象限，且AD∥x軸，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是（）A．（6，2） B．（8，2） C．（6，） D．（8，）變式2-1．（2022·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形對(duì)角線交點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．變式2-2．（2022·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別為邊AD、DC的中點(diǎn)，則PE+PF的最小值是（）A．2 B． C．1.5 D．變式2-3．（2022·浙江麗水·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知菱形的邊長(zhǎng)為4，E是的中點(diǎn)，平分交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G，若，則的長(zhǎng)是（

）A．3 B． C． D．變式2-4．（2022·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，，M是對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．2變式2-5．（2022·陜西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，．若M、N分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且，作，垂足分別為E、F，則的值為______．變式2-6．（2022·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=6．折疊該菱形，使點(diǎn)A落在邊BC上的點(diǎn)M處，折痕分別與邊AB，AD交于點(diǎn)E，F(xiàn)．當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)B重合時(shí)，EF的長(zhǎng)為________；當(dāng)點(diǎn)M的位置變化時(shí)，DF長(zhǎng)的最大值為________．變式2-7．（2022·貴州遵義·統(tǒng)考中考真題）將正方形和菱形按照如圖所示擺放，頂點(diǎn)與頂點(diǎn)重合，菱形的對(duì)角線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)，分別在，上．(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．變式2-8．（2022·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）在菱形ABCD中，對(duì)角線AC和BD的長(zhǎng)分別是6和8，以AD為直角邊向菱形外作等腰直角三角形ADE．連接CE．請(qǐng)用尺規(guī)或三角板作出圖形，并直接寫出線段CE的長(zhǎng)．考查題型三利用菱形的性質(zhì)求面積典例3．（2021·西藏·統(tǒng)考中考真題）已知一元二次方程x2﹣10x＋24＝0的兩個(gè)根是菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)，則這個(gè)菱形的面積為（

）A．6 B．10 C．12 D．24變式3-1．（2021·海南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，連接．若菱形的面積為8，則的面積為（

）A．2 B．3 C．4 D．5變式3-2（2022·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD中，E為AD邊的中點(diǎn)，連接CE交對(duì)角線BD于點(diǎn)F．若∠DEF＝∠DFE，則這個(gè)菱形的面積為（）A．16 B．6 C．12 D．30變式3-3．（2022·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形中，分別以點(diǎn)，為圓心，，長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交對(duì)角線于點(diǎn)，．若，，則圖中陰影部分的面積為_________．（結(jié)果不取近似值）變式3-4．（2021·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線，，分別以點(diǎn)A，B，C，D為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫弧，與該菱形的邊相交，則圖中陰影部分的面積為__________．（結(jié)果保留）變式3-5．（2021·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）菱形中，對(duì)角線，則菱形的高等于___________．變式3-6．（2022·山東濱州·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形的邊長(zhǎng)為10，，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上，連接AE，作且邊EF與直線DC相交于點(diǎn)F．(1)求菱形的面積；(2)求證．變式3-7．（2021·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)，在格點(diǎn)上，每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1．（1）以為邊畫菱形，使菱形的其余兩個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上（畫出一個(gè)即可）．（2）計(jì)算你所畫菱形的面積．考查題型四添加一個(gè)條件證明四邊形是菱形典例4．（2022·湖北襄陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，?ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若OB＝OD，則?ABCD是菱形 B．若AC＝BD，則?ABCD是菱形C．若OA＝OD，則?ABCD是菱形 D．若AC⊥BD，則?ABCD是菱形變式4-1．（2021·山東德州·中考真題）如圖，下列條件中能使成為菱形的是（

）A． B． C． D．變式4-2．（2022·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為O，，要使四邊形ABCD為菱形，應(yīng)添加的條件是______________．（只需寫出一個(gè)條件即可）變式4-3．（2021·湖南益陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知四邊形是平行四邊形，從①，②，③中選擇一個(gè)作為條件，補(bǔ)充后使四邊形成為菱形，則其選擇是___（限填序號(hào)）．30．（2022·浙江舟山·中考真題）小惠自編一題：“如圖，在四邊形中，對(duì)角線，交于點(diǎn)O，，，求證：四邊形是菱形”，并將自己的證明過(guò)程與同學(xué)小潔交流．若贊同小惠的證法，請(qǐng)?jiān)诘谝粋€(gè)方框內(nèi)打“√”；若贊成小潔的說(shuō)法，請(qǐng)你補(bǔ)充一個(gè)條件，并證明．變式4-4．（2022·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)，分別在的邊，上，，連接，．請(qǐng)從以下三個(gè)條件：①；②；③中，選擇一個(gè)合適的作為已知條件，使為菱形．(1)你添加的條件是______（填序號(hào)）；(2)添加了條件后，請(qǐng)證明為菱形．考查題型五菱形的證明典例5．（2022·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，CD是△ABC的角平分線，過(guò)點(diǎn)D分別作AC，BC的平行線，交BC于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F．若∠ACB＝60°，CD＝4，則四邊形CEDF的周長(zhǎng)是_______．變式5-1．（2022·四川廣元·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，ABCD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E為AB中點(diǎn)，連接CE．(1)求證：四邊形AECD為菱形；(2)若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面積．變式5-2．（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形為平行四邊形，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，且．(1)求證：四邊形為菱形；(2)若是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)、、分別在線段、、上運(yùn)動(dòng)，求的最小值．變式5-3．（2022·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt中，，．點(diǎn)D是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作交于點(diǎn)E.延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使得，連接、、．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，則的值為_______．變式5-4．（2022·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）【閱讀材料】老師的問(wèn)題：已知：如圖，．求作：菱形，使點(diǎn)C，D分別在上．小明的作法：（1）以A為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)D；（2）以B為圓心，長(zhǎng)為半經(jīng)畫弧，交于點(diǎn)C；（3）連接．四邊形就是所求作的菱形，【解答問(wèn)題】請(qǐng)根據(jù)材料中的信息，證明四邊形是菱形．變式5-5．（2022·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD是菱形，E，F(xiàn)是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，且，連接BF．FD，DE，EB．求證：四邊形DEBF是菱形．變式5-6．（2021·山東臨沂·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知在⊙O中，，OC與AD相交于點(diǎn)E．求證：（1）AD∥BC（2）四邊形BCDE為菱形．變式5-7．（2021·廣西賀州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，，，，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，且．（1）求證：四邊形是菱形；（2）若，求的面積．變式5-8．（2021·貴州遵義·統(tǒng)考中考真題）在復(fù)習(xí)菱形的判定方法時(shí)，某同學(xué)進(jìn)行了畫圖探究，其作法和圖形如下：①畫線段AB；②分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于AB長(zhǎng)的一半為半徑作弧，兩弧相交于M、N兩點(diǎn)，作直線MN交AB于點(diǎn)O；③在直線MN上取一點(diǎn)C（不與點(diǎn)O重合），連接AC、BC；④過(guò)點(diǎn)A作平行于BC的直線AD，交直線MN于點(diǎn)D，連接BD．（1）根據(jù)以上作法，證明四邊形ADBC是菱形；（2）該同學(xué)在圖