第四節(jié)直線、平面垂直的判定與性質(zhì)第六章立體幾何考試要求：1．能以立體幾何中的定義、基本事實(shí)和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)和判定定理．2．能運(yùn)用基本事實(shí)、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形中垂直關(guān)系的簡單命題．必備知識·回顧教材重“四基”01一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．直線與平面垂直(1)定義：一般地，如果直線l與平面α內(nèi)的_________直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直，記作l⊥α.直線l叫做平面α的_____，平面α叫做直線l的_____．直線與平面垂直時，它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足．任意一條垂線垂面“任意一條直線”與“所有直線”是同義的，但與“無數(shù)條直線”不同，定義的實(shí)質(zhì)是直線與平面內(nèi)的所有直線都垂直．(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條_____直線垂直，那么該直線與此平面垂直性質(zhì)定理垂直于同一個平面的兩條直線_____相交平行

線面垂直的判定定理中平面內(nèi)的兩條直線必須是相交的．2．平面與平面垂直(1)定義：一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是_________，就說這兩個平面互相垂直．直二面角(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個平面過另一個平面的_____，那么這兩個平面垂直性質(zhì)定理兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個平面的_____，那么這條直線與另一個平面垂直垂線

交線

面面垂直的性質(zhì)定理是作輔助線的一個重要依據(jù)．我們要作一個平面的一條垂線，通常是先找這個平面的一個垂面，在這個垂面中，作交線的垂線即可．3．線面角與二面角(1)直線與平面所成的角(線面角)①平面的一條斜線和它在平面上的_____所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角．②特例：若一條直線垂直于平面，它們所成的角是90°.若一條直線和平面_____，或在平面內(nèi)，它們所成的角是0°.③直線與平面所成的角θ的取值范圍是：0°≤θ≤90°.射影平行(2)二面角①二面角：從一條直線出發(fā)的___________所組成的圖形叫做二面角．②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以該點(diǎn)為垂足，在兩個半平面內(nèi)分別作_________的兩條射線，這兩條射線所構(gòu)成的角叫做二面角的平面角．③二面角的平面角的范圍：0°≤θ≤180°.兩個半平面垂直于棱4．常用結(jié)論(1)若一條直線垂直于一個平面，則這條直線垂直于這個平面內(nèi)的任意直線．(2)若兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面．(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行．(4)一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則這一條直線與另一個平面也垂直．(5)兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面．二、基本技能·思想·活動經(jīng)驗(yàn)1．判斷下列說法的正誤，對的畫“√”，錯的畫“×”．(1)若直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則l⊥α. (

)(2)若直線a⊥平面α，直線b∥α，則直線a與b垂直． (

)(3)若直線a⊥α，b⊥α，則a∥b. (

)(4)若α⊥β，a⊥β，則a∥α. (

)(5)a⊥α，a?β?α⊥β. (

)34512×√√×√2．設(shè)α，β是兩個不同的平面，l，m是兩條不同的直線，且l?α，m?β，則下列說法正確的是(

)A．若l⊥β，則α⊥β B．若α⊥β，則l⊥mC．若l∥β，則α∥β D．若α∥β，則l∥mA

解析：因?yàn)閘⊥β，l?α，所以α⊥β(面面垂直的判定定理)．345123．(多選題)如圖，圓柱的軸截面是四邊形ABCD，E是底面圓周上異于A，B的一點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是(

)34512A．AE⊥CE

B．BE⊥DEC．DE⊥平面CEB

D．平面ADE⊥平面BCEABD

解析：由AB是底面圓的直徑，得∠AEB＝90°，即AE⊥EB．因?yàn)閳A柱的軸截面是四邊形ABCD,BC⊥底面AEB，所以BC⊥AE.又EB∩BC＝B，BC，BE?平面BCE，所以AE⊥平面BCE，所以AE⊥CE，故A正確．同理可得，BE⊥DE，故B正確．若DE⊥平面CEB，則DE⊥BC．因?yàn)锽C∥AD，所以DE⊥AD．在△ADE中AD⊥AE，所以DE⊥AD不成立，所以DE⊥平面CEB不成立，故C錯誤．由A的證明可知AE⊥平面BCE.因?yàn)锳E?平面ADE，所以平面BCE⊥平面ADE，故D正確．故選ABD．345124．“直線a與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直”是“直線a與平面α垂直”的________條件．必要不充分解析：根據(jù)直線與平面垂直的定義知“直線a與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直”不能推出“直線a與平面α垂直”，反之則可以，所以應(yīng)是必要不充分條件．345125．如圖，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，則圖中直角三角形的個數(shù)為________．345124

解析：因?yàn)镻A⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，則△PAB，△PAC為直角三角形．由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC，從而BC⊥PC．因此△ABC，△PBC也是直角三角形．故圖中共有4個直角三角形．關(guān)鍵能力·研析考點(diǎn)強(qiáng)“四翼”考點(diǎn)1垂直關(guān)系的基本問題——基礎(chǔ)性02考點(diǎn)2空間角及其應(yīng)用——應(yīng)用性考點(diǎn)3線面、面面垂直的判定與性質(zhì)——綜合性1．已知平面α和直線a，b，若a∥α，則“b⊥a”是“b⊥α”的(

)A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件B

解析：根據(jù)空間中直線與平面之間的位置關(guān)系，由a∥α，b⊥α，可得b⊥a.反之不成立，可能b與α相交或平行．所以“b⊥a”是“b⊥α”的必要不充分條件．考點(diǎn)1垂直關(guān)系的基本問題——基礎(chǔ)性2．(多選題)已知a，b表示兩條不同的直線，α，β表示兩個不同的平面，下列說法正確的是(

)A．若a⊥α，b⊥β，α∥β，則a∥bB．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，則α⊥βC．若a⊥α，a⊥b，α∥β，則b∥βD．若α∩β＝a，a∥b，則b∥α或b∥βABD

解析：對于A，若a⊥α，α∥β，則a⊥β，又b⊥β，所以a∥b，故A正確；對于B，若a⊥α，a⊥b，則b?α或b∥α，所以存在直線m?α，使得m∥b，又b⊥β，所以m⊥β，所以α⊥β.故B正確；對于C，若a⊥α，a⊥b，則b?α或b∥α，又α∥β，所以b?β或b∥β，故C錯誤；對于D，若α∩β＝a，a∥b，則b∥α或b∥β，故D正確．

在判斷垂直關(guān)系問題時，需明確各類垂直關(guān)系及其內(nèi)在聯(lián)系，可借助幾何圖形來判斷，也可列舉反例進(jìn)行判斷，同時要注意判斷滿足定理的條件．例1

(2022·全國甲卷)在長方體ABCD-A1B1C1D1中，已知B1D與平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均為30°，則(

)A．AB＝2ADB．AB與平面AB1C1D所成的角為30°C．AC＝CB1D．B1D與平面BB1C1C所成的角為45°考點(diǎn)2

空間角及其應(yīng)用——應(yīng)用性D

解析：如圖所示，連接AB1，BD，不妨令A(yù)A1＝1，

求線面角、二面角的常用方法(1)線面角的求法：找出斜線在平面上的射影，關(guān)鍵是作垂線、找垂足，把線面角轉(zhuǎn)化到一個三角形中求解．(2)二面角的大小求法：二面角的大小用它的平面角來度量．平面角的作法常見的有定義法和垂面法．注意利用等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)．

考點(diǎn)3線面、面面垂直的判定與性質(zhì)——綜合性

證明線面垂直的4種方法(1)線面垂直的判定定理：l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，a∩b＝P?l⊥α.(2)面面垂直的性質(zhì)定理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β.(3)性質(zhì)：①a∥b，b⊥α?a⊥α；②α∥β，a⊥β?a⊥α.(4)α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l?l⊥γ.(客觀題可用)考向2面面垂直的判定與性質(zhì)例3如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F(xiàn)，G，M，N分別為PB，AB，BC，PD，PC的中點(diǎn)．求證：(1)CE∥平面PAD；證明：(方法一)取PA的中點(diǎn)H，連接EH，DH.

(方法二)連接CF.

例3如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F(xiàn)，G，M，N分別為PB，AB，BC，PD，PC的中點(diǎn)．(2)平面EFG⊥平面EMN.證明：因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PB，AB的中點(diǎn)，所以EF∥PA．又因?yàn)锳B⊥PA，所以EF⊥AB，同理可證AB⊥FG.又因?yàn)镋F∩FG＝F，EF，F(xiàn)G?平面EFG，所以AB⊥平面EFG.又因?yàn)镸，N分別為PD，PC的中點(diǎn)，所以MN∥CD，又AB∥CD，所以MN∥AB，所以MN⊥平面EFG.又因?yàn)镸N?平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.1．證明平面和平面垂直的方法：(1)面面垂直的定義．(2)面面垂直的判定定理．2．已知兩平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，在一個平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.將△ABD沿對角線BD折起，記折起后點(diǎn)A的位置為點(diǎn)P，且使平面PBD⊥平面BCD．求證：(1)CD⊥平面PBD；(2)平面PBC⊥平面PCD．證明：(1)因?yàn)锳D＝AB