§4二項式定理4.1二項式定理的推導4.2二項式系數(shù)的性質(zhì)學習目標1.通過利用計數(shù)原理證明二項式定理,培養(yǎng)學生的邏輯推理能力.2.掌握二項式定理及其展開式的通項公式,會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題,提升數(shù)學抽象、數(shù)學運算素養(yǎng).3.了解楊輝三角,會用楊輝三角求二項式乘方次數(shù)較小時的各項的二項式系數(shù),通過二項式系數(shù)的性質(zhì)和“賦值法”的靈活運用,提升邏輯推理、數(shù)學運算素養(yǎng).知識梳理·自主探究師生互動·合作探究知識梳理·自主探究知識探究問題:在初中,我們用多項式乘法法則得到了(a+b)2的展開式(a+b)2=(a+b)(a+b)=a×a+a×b+b×a+b×b=a2+2ab+b2.如何利用分步乘法計數(shù)原理解釋上述展開過程?你能根據(jù)上述分析,寫出(a+b)3的展開式嗎?1.二項式定理二項展開式(n+1)通項思考:二項式定理中,項的系數(shù)與二項式系數(shù)相同嗎,為什么?2.二項式系數(shù)的性質(zhì)(1)在二項展開式中,與首末兩端“等距離”的兩項的

相等.(2)如果二項式的冪指數(shù)是偶數(shù),

的二項式系數(shù)最大;如果二項式的冪指數(shù)是奇數(shù),

的二項式系數(shù)相等并且最大.二項式系數(shù)中間一項中間兩項(3)二項式系數(shù)的和等于

,即

.2n(4)二項展開式中,偶數(shù)項的二項式系數(shù)和

奇數(shù)項的二項式系數(shù)和,即

.等于師生互動·合作探究探究點一二項式定理①求n的值;②求含x2項的系數(shù);③求展開式中所有的有理項.方法總結(jié)(1)運用二項式定理展開二項式,要記準展開式的結(jié)構(gòu)特征,對于較復雜的二項式,化簡后再展開會更簡捷.(2)逆用二項式定理可將多項式化簡,對于這類問題的求解,要熟悉公式的特點、項數(shù)、各項冪指數(shù)的規(guī)律以及各項的系數(shù).有時需要先對化簡式進行恒等變形,使之符合二項展開式的結(jié)構(gòu)特征,再進行化簡.(3)求二項展開式的特定項的關鍵是抓住二項式通項.在求解時,需要把系數(shù)和字母分離出來(應注意符號),根據(jù)題目指定的字母的指數(shù)所具有的特征,列出方程或不等式.在這里首先應熟悉幾個名詞:①常數(shù)項,即字母的指數(shù)為零的項;②有理項;③第m項,此時k+1=m.(1)求n的值;探究點二二項式系數(shù)的性質(zhì)角度1二項式系數(shù)的最大問題(1)求展開式中二項式系數(shù)最大的項;(2)求展開式中系數(shù)最大的項.方法總結(jié)求二項式系數(shù)的最大項,根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)對(a+b)n中的n進行討論.(1)當n為奇數(shù)時,中間兩項的二項式系數(shù)最大;(2)當n為偶數(shù)時,中間一項的二項式系數(shù)最大.[針對訓練](2021·福建三明高二期末)在①若展開式倒數(shù)三項的二項式系數(shù)之和等于46,②若展開式所有項的系數(shù)的和為512,③若展開式中第3項與第4項的系數(shù)之比為3∶7這三個條件中任選一個,補充在下面的橫線上,并且回答下列問題.(1)求展開式中二項式系數(shù)最大的項;[針對訓練](2021·福建三明高二期末)在①若展開式倒數(shù)三項的二項式系數(shù)之和等于46,②若展開式所有項的系數(shù)的和為512,③若展開式中第3項與第4項的系數(shù)之比為3∶7這三個條件中任選一個,補充在下面的橫線上,并且回答下列問題.(2)求展開式中的常數(shù)項.角度2二項式系數(shù)的和與系數(shù)的和的問題(1)求展開式中二項式系數(shù)最大的項;(2)求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|的值.解:(2)由(1)知n=10,則(2x-1)10=a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+a10x10,令x=0,得a0=1,令x=-1,則310=a0-a1+a2-a3+…+a10=1+|a1|+|a2|+|a3|+…+|a10|,所以|a1|+|a2|+|a3|+…+|a10|=310-1.方法總結(jié)求展開式的各項系數(shù)之和常用賦值法“賦值法”是求二項式各項系數(shù)常用的方法,根據(jù)題目要求,靈活賦給字母不同的值.一般地,要使展開式中項的關系變?yōu)橄禂?shù)的關系,令x=0可得常數(shù)項,令x=1可得所有項系數(shù)之和,令x=-1可得偶次項系數(shù)之和與奇次項系數(shù)之和的差,而當二項展開式中含負值項時,令x=-1則可得各項系數(shù)絕對值之和.當堂檢測C1.(2021·上海浦東新區(qū)一模)(x-1)10的二項展開式中第4項是(

)2.(2021·廣東廣州期末)已知(1+2x)n的展開式中第4項與第6項的二項式系數(shù)相等,則(1+2x)n的展開式的各項系數(shù)之和為(

)A.38 B.310 C.28 D.210ABDA.常數(shù)項是20B.第4項的二項式系數(shù)最大C.第3項是15x2D.所有項的系數(shù)的和為04.(2021·江蘇沭陽高二期末)在下列三個條件中任選一個條件,補充在后面問題中的橫線上,并完成解答.條件①,展開式中前三項的二項式系數(shù)之和為22;條件②,展開式中所有項的二項式系數(shù)之和減去展開式中所有項的系數(shù)之和為64;條件③,展開式中常數(shù)項為第三項.(1)展開式中二項式系數(shù)最大的項;4.(2021·江蘇沭陽高二期末)在下列三個條件中任選一個條件,補充在后面問題中的橫線上,并完成解答.條件①,展開式中前三項的二項式系數(shù)之和為22;條件②,展開式中所有項的二項式系數(shù)之和減去展開式中所有項的系數(shù)之和為64;條件③,展開式中常數(shù)項為第三項.(2)展開式中所有的有理項.備用例題