-高一數(shù)學(xué)必修二第8章《立體幾何初步》8.5.3平面與平面平行學(xué)習(xí)目的1.理解并掌握平面與平面平行的鑒定定理.2.理解并掌握平面與平面平行的性質(zhì)定理.知識點(diǎn)一平面與平面平行的鑒定定理文字語言如果一種平面內(nèi)的兩條相交直線與另一種平面平行，那么這兩個(gè)平面平行符號語言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α，b?α，,a∩b＝A，,a∥β，b∥β))?α∥β圖形語言思考應(yīng)用面面平行鑒定定理應(yīng)含有哪些條件？答案①平面α內(nèi)兩條相交直線a，b，即a?α，b?α，a∩b＝P.②兩條相交直線a，b都與β平行，即a∥β，b∥β.知識點(diǎn)二兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理文字語言兩個(gè)平面平行，如果另一種平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線平行符號語言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b圖形語言思考(1)若兩個(gè)平面平行，那么兩個(gè)平面內(nèi)的全部直線都互相平行嗎？(2)若兩個(gè)平面平行，其中一種平面內(nèi)的直線必平行于另一種平面嗎？答案(1)不是.(2)是的.1.若一種平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一種平面內(nèi)的兩條直線，則這兩個(gè)平面平行.(√)2.兩個(gè)平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，若兩交線平行，則這兩個(gè)平面平行.(×)3.夾在兩平行平面間的平行線段相等.(√)4.若平面α∥平面β，l?平面β，m?平面α，則l∥m.(×)一、平面與平面平行的鑒定定理的應(yīng)用例1如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn).求證：(1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.證明(1)∵GH是△A1B1C1的中位線，∴GH∥B1C1.又B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四點(diǎn)共面.(2)∵E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，∴EF∥BC.∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G∥EB且A1G＝EB，∴四邊形A1EBG是平行四邊形，∴A1E∥GB.∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，A1E，EF?平面EFA1，∴平面EFA1∥平面BCHG.反思感悟兩個(gè)平面平行的鑒定定理是擬定面面平行的重要辦法.解答問題時(shí)一定要謀求好鑒定定理所需要的條件，特別是相交的條件，即與已知平面平行的兩條直線必須相交，才干擬定面面平行.跟蹤訓(xùn)練1如圖，在四棱錐P－ABCD中，E，F(xiàn)，G分別是PC，PD，BC的中點(diǎn)，DC∥AB，求證：平面PAB∥平面EFG.證明∵E，G分別是PC，BC的中點(diǎn)，∴EG∥PB，又∵EG?平面PAB，PB?平面PAB，∴EG∥平面PAB，∵E，F(xiàn)分別是PC，PD的中點(diǎn)，∴EF∥CD，又∵AB∥CD，∴EF∥AB，∵EF?平面PAB，AB?平面PAB，∴EF∥平面PAB，又EF∩EG＝E，EF，EG?平面EFG，∴平面EFG∥平面PAB.二、平面與平面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用例2如圖，在三棱錐P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是PA，PB，PC的中點(diǎn)，M是AB上一點(diǎn)，連接MC，N是PM與DE的交點(diǎn)，連接NF，求證：NF∥CM.證明由于D，E分別是PA，PB的中點(diǎn)，因此DE∥AB.又DE?平面ABC，AB?平面ABC，因此DE∥平面ABC，同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，DE，DF?平面DEF，因此平面DEF∥平面ABC.又平面PCM∩平面DEF＝NF，平面PCM∩平面ABC＝CM，因此NF∥CM.反思感悟運(yùn)用面面平行的性質(zhì)定理判斷兩直線平行的環(huán)節(jié)(1)先找兩個(gè)平面，使這兩個(gè)平面分別通過這兩條直線中的一條.(2)鑒定這兩個(gè)平面平行(此條件有時(shí)題目會(huì)直接給出).(3)再找一種平面，使這兩條直線都在這個(gè)平面上.(4)由定理得出結(jié)論.跟蹤訓(xùn)練2如圖，已知平面α∥β，P?α且P?β，過點(diǎn)P的直線m與α，β分別交于A，C，過點(diǎn)P的直線n與α，β分別交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的長.解∵α∥β，平面PCD∩α＝AB，平面PCD∩β＝CD，∴AB∥CD，可得eq\f(PA,AC)＝eq\f(PB,BD).∵PA＝6，AC＝9，PD＝8，∴eq\f(6,9)＝eq\f(8－BD,BD)，解得BD＝eq\f(24,5).幾何中的計(jì)算問題典例如圖，平面α∥平面β∥平面γ，兩條異面直線a，b分別與平面α，β，γ相交于點(diǎn)A，B，C和點(diǎn)D，E，F(xiàn).已知AC＝15cm，DE＝5cm，AB∶BC＝1∶3，求AB，BC，EF的長.解如圖所示.連接AF，交β于點(diǎn)G，連接BG，EG，則點(diǎn)A，B，C，F(xiàn)，G共面.∵β∥γ，平面ACF∩β＝BG，平面ACF∩γ＝CF，∴BG∥CF，∴△ABG∽△ACF，∴eq\f(AB,BC)＝eq\f(AG,GF)，同理，有AD∥GE，eq\f(AG,GF)＝eq\f(DE,EF)，∴eq\f(AB,BC)＝eq\f(DE,EF).又eq\f(AB,BC)＝eq\f(1,3)，∴AB＝eq\f(1,4)AC＝eq\f(15,4)(cm)，BC＝eq\f(3,4)AC＝eq\f(45,4)(cm).∴EF＝3DE＝3×5＝15(cm).[素養(yǎng)提高]運(yùn)用平面與平面平行的性質(zhì)定理，借助于學(xué)生比較熟悉的異面直線，平面與平面平行，直線與平面平行，通過論證，表述，得出結(jié)論，培養(yǎng)了邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).1.在正方體中，互相平行的面不會(huì)是()A.前后相對側(cè)面 B.上下相對底面C.左右相對側(cè)面 D.相鄰的側(cè)面答案D解析由正方體的模型知前背面、上下面、左右面都互相平行.2.下列命題中對的的是()A.一種平面內(nèi)兩條直線都平行于另一平面，那么這兩個(gè)平面平行B.如果一種平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一種平面，那么這兩個(gè)平面平行C.平行于同始終線的兩個(gè)平面一定互相平行D.如果一種平面內(nèi)的無數(shù)多條直線都平行于另一平面，那么這兩個(gè)平面平行答案B解析如果一種平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一種平面，即兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，則兩平面平行.3.已知長方體ABCD－A′B′C′D′，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A′B′C′D′＝E′F′，則EF與E′F′的位置關(guān)系是()A.平行B.相交C.異面D.不擬定答案A解析由面面平行的性質(zhì)定理易得.4.若平面α∥平面β，直線a?α，點(diǎn)M∈β，過點(diǎn)M的全部直線中()A.不一定存在與a平行的直線B.只有兩條與a平行的直線C.存在無數(shù)條與a平行的直線D.有且只有一條與a平行的直線答案D解析由于α∥β，a?α，M∈β，過M有且只有一條直線與a平行，故D項(xiàng)對的.5.已知α，β是兩個(gè)不同的平面，下列條件中能夠判斷平面α與β平行的是()(1)α內(nèi)存在不共線的三點(diǎn)到β的距離相等；(2)l，m是α內(nèi)的兩條直線，且l∥β，m∥β；(3)l，m是兩條異面直線，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β.A.(1)(2)B.(1)(3)C.(3)D.(1)(2)(3)答案C解析平面α內(nèi)存在不共線的三點(diǎn)到平面β的距離相等，平面α與平面β可能平行也可能相交，故(1)不對的；當(dāng)l與m平行時(shí)，不能推出α∥β，故(2)不擬定；l，m是兩條異面直線，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β，則α內(nèi)存在兩條相交直線與平面β平行，根據(jù)面面平行的鑒定定理，可得α∥β，故(3)對的.1.知識清單：(1)平面與平面平行的鑒定定理.(2)平面與平面平行的性質(zhì)定理.2.辦法歸納：轉(zhuǎn)化與化歸.3.常見誤區(qū)：平面與平面平行的條件不充足.1.已知α，β是兩個(gè)不重疊的平面，下列選項(xiàng)中，一定能得出平面α與平面β平行的是()A.平面α內(nèi)有一條直線與平面β平行B.平面α內(nèi)有兩條直線與平面β平行C.平面α內(nèi)有一條直線與平面β內(nèi)的一條直線平行D.平面α與平面β不相交答案D解析選項(xiàng)A，C不對的，由于兩個(gè)平面可能相交；選項(xiàng)B不對的，由于平面α內(nèi)的這兩條直線必須相交才干得到平面α與平面β平行；選項(xiàng)D對的，由于兩個(gè)平面的位置關(guān)系只有相交與平行兩種.2.下列四個(gè)說法中對的的是()A.平面α內(nèi)有無數(shù)個(gè)點(diǎn)到平面β的距離相等，則α∥βB.α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α，β，γ分別表達(dá)平面，a，b表達(dá)直線)，則γ∥βC.平面α內(nèi)一種三角形三邊分別平行于平面β內(nèi)的一種三角形的三條邊，則α∥βD.平面α內(nèi)的一種平行四邊形的兩邊與平面β內(nèi)的一種平行四邊形的兩邊對應(yīng)平行，則α∥β答案C解析由面面平行的鑒定定理知C對的.3.如圖所示的三棱柱ABC－A1B1C1，過A1B1的平面與平面ABC交于直線DE，則DE與AB的位置關(guān)系是()A.異面 B.平行C.相交 D.以上都有可能答案B解析由于平面A1B1C1∥平面ABC，平面A1B1ED∩平面A1B1C1＝A1B1，平面A1B1ED∩平面ABC＝DE，因此A1B1∥DE.又由于A1B1∥AB，因此DE∥AB.4.平面α∥平面β，直線l∥α，則()A.l∥β B.l?βC.l∥β或l?β D.l，β相交答案C5.正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為3，點(diǎn)E在A1B1上，且B1E＝1，平面α∥平面BC1E，若平面α∩平面AA1B1B＝A1F，則AF的長為()A.1B.1.5C.2D.3答案A6.已知平面α和β，在平面α內(nèi)任取一條直線a，在β內(nèi)總存在直線b∥a，則α與β的位置關(guān)系是________.(填“平行”或“相交”)答案平行解析若α∩β＝l，則在平面α內(nèi)，與l相交的直線a，設(shè)a∩l＝A，對于β內(nèi)的任意直線b，若b過點(diǎn)A，則a與b相交，若b但是點(diǎn)A，則a與b異面，即β內(nèi)不存在直線b∥a，矛盾.故α∥β.7.如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，過BB1的中點(diǎn)E作一種與平面ACB1平行的平面交AB于M，交BC于N，則eq\f(MN,AC)＝________.答案eq\f(1,2)解析∵平面MNE∥平面ACB1，由面面平行的性質(zhì)定理可得EN∥B1C，EM∥B1A，又∵E為BB1的中點(diǎn)，∴M，N分別為BA，BC的中點(diǎn)，∴MN＝eq\f(1,2)AC，即eq\f(MN,AC)＝eq\f(1,2).8.已知α，β，γ是三個(gè)不重疊的平面，a，b是兩條不重疊的直線.若α∩β＝a，β∩γ＝b，且α∥γ，則a與b的位置關(guān)系是________.答案a∥b解析由平面與平面平行的性質(zhì)定理可鑒定a∥b.9.如圖所示，四棱錐P－ABCD的底面ABCD為矩形，E，F(xiàn)，H分別為AB，CD，PD的中點(diǎn)，求證：平面AFH∥平面PCE.證明由于F為CD的中點(diǎn)，H為PD的中點(diǎn)，因此FH∥PC，又FH?平面PEC，PC?平面PEC，因此FH∥平面PCE.又AE∥CF且AE＝CF，因此四邊形AECF為平行四邊形，因此AF∥CE，又AF?平面PCE，CE?平面PCE，因此AF∥平面PCE.又FH?平面AFH，AF?平面AFH，F(xiàn)H∩AF＝F，因此平面AFH∥平面PCE.10.如圖，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD為梯形，AD∥BC，平面A1DCE與B1B交于點(diǎn)E.求證：EC∥A1D.證明由于BE∥AA1，AA1?平面AA1D，BE?平面AA1D，因此BE∥平面AA1D.由于BC∥AD，AD?平面AA1D，BC?平面AA1D，因此BC∥平面AA1D.又BE∩BC＝B，BE?平面BCE，BC?平面BCE，因此平面BCE∥平面AA1D.又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，因此EC∥A1D.11.已知a，b，c，d是四條直線，α，β是兩個(gè)不重疊的平面，若a∥b∥c∥d，a?α，b?α，c?β，d?β，則α與β的位置關(guān)系是()A.平行 B.相交C.平行或相交 D.以上都不對答案C解析根據(jù)圖①和圖②可知α與β平行或相交.12.如圖，不同在一種平面內(nèi)的三條平行直線和兩個(gè)平行平面相交，兩個(gè)平面內(nèi)以交點(diǎn)為頂點(diǎn)的兩個(gè)三角形是()A.相似但不全等的三角形B.全等三角形C.面積相等的不全等三角形D.以上結(jié)論都不對答案B解析由題意知AA′∥BB′∥CC′，α∥β，由面面平行的性質(zhì)定理，得AC∥A′C′，則四邊形ACC′A′為平行四邊形，∴AC＝A′C′.同理BC＝B′C′，AB＝A′B′，∴△ABC≌△A′B′C′.13.通過平面α外兩點(diǎn)，作與α平行的平面，則這樣的平面能夠作()A.1個(gè)或2個(gè) B.0個(gè)或1個(gè)C.1個(gè) D.0個(gè)答案B解析①當(dāng)通過兩點(diǎn)的直線與平面α平行時(shí)，可作出一種平面β，使β∥α.②當(dāng)通過兩點(diǎn)的直線與平面α相交時(shí)，由于作出的平面與平面α最少有一種公共點(diǎn)，故通過兩點(diǎn)的平面都與平面α相交，不能作出與平面α平行的平面.故滿足條件的平面有0個(gè)或1個(gè).14.已知l，m，n是互不相似的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，給出下列命題：①若l與m為異面直線，l?α，m?β，則α∥β；②若α∥β，l?α，m?β，則l∥m；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，則m∥n.其中全部真命題的序號為________.答案③解析①