第十章重積分練習(xí)結(jié)論1：如果積分區(qū)域關(guān)于對(duì)稱，則結(jié)論2：如果積分區(qū)域關(guān)于軸對(duì)稱，則結(jié)論3：如果積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，則其中結(jié)論4：如果積分區(qū)域關(guān)于直線對(duì)稱，則練習(xí)11.求，其中2.證明〔連續(xù)〕3.設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，且，試證明4.計(jì)算，其中由，，圍成。5.計(jì)算，是由平面上曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所得平面，所圍區(qū)域。6.設(shè)函數(shù)連續(xù)，，其中，試求和7.求曲面在點(diǎn)的切平面與曲面所圍立體的體積8.設(shè)半徑為的球面的球心在定球面上，問當(dāng)取何值時(shí)，在定球面內(nèi)部的那局部的面積最大？練習(xí)2計(jì)算，其中區(qū)域是由拋物線及直線所圍成的區(qū)域計(jì)算，其中是由所確定的區(qū)域計(jì)算，其中為正方形區(qū)域：更換積分次序①②5．計(jì)算由平面及所圍成的立體的體積球體與的公共局部為一立體，求其體積計(jì)算三重積分，其中為由圓錐面的及平面所圍成區(qū)域分別用柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)和直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分，其中是由球面及圓錐面所圍成〔含軸局部〕求球面含在圓柱面內(nèi)部的那局部面積〔〕重積分練習(xí)一參考答案1.求，其中解：如圖，曲線把區(qū)域分為和，其中，；2.證明〔連續(xù)〕證：左端=，，作出積分域交換積分順序，左端=右端，證畢！注：此題還可這樣證明：令，證明3.設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，且，試證明證：設(shè)平面區(qū)域，關(guān)于直線對(duì)稱4.計(jì)算，其中由，，圍成。解：作曲線，則積分區(qū)域被分為和，關(guān)于軸對(duì)稱，關(guān)于軸對(duì)稱。由于被積函數(shù)是的奇函數(shù)，故有，由于的奇函數(shù)，故有5.計(jì)算，是由平面上曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所得平面，所圍區(qū)域。解：旋轉(zhuǎn)面方程為，積分區(qū)域注：此題假設(shè)采用先一后二法，將較麻煩!6.設(shè)函數(shù)連續(xù)，，其中，試求和解：在平面上投影為圓，于是當(dāng)時(shí)有：當(dāng)時(shí)有：且時(shí)，有，所以從而7.求曲面在點(diǎn)的切平面與曲面所圍立體的體積解：不難想象，該立體的上、下底曲面一個(gè)是曲面的一塊，一個(gè)是切平面的一塊，首先確定立體在平面上投影區(qū)域由于切平面的法向量是，切平面方程：，即從而切平面與曲面的交線是，消去，可得投影，注意到在上，，所以8.設(shè)半徑為的球面的球心在定球面上，問當(dāng)取何值時(shí)，在定球面內(nèi)部的那局部的面積最