1、消元：將多元化成一元1、消元：將多元化成一元代數(shù)方程的解法根本思想代數(shù)方程的解法2、降次：將高次降成低次2、降次：將高次降成低次特殊方法換元法、因式分解法、公式法、配方法、配項(xiàng)法、有理化法、變更主元法等換元法、因式分解法、公式法、配方法、配項(xiàng)法、有理化法、變更主元法等題型一、二次三項(xiàng)式的因式分解假設(shè)方程的兩根為，則二次三項(xiàng)式可分解為：=推導(dǎo)出公式=a〔*-*1〕〔*-*2〕步驟：形如，可令假設(shè)，則方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解和，則假設(shè)，則在實(shí)數(shù)圍無(wú)法再分解因式。形如，可令〔此處將看成未知數(shù)，而作為一個(gè)參數(shù)〕注意：1、分解因式時(shí)a不能去掉，這和解方程不是一回事；2、是*與兩根之差的積，不是和。例1把分解因式。解：∵方程的根是(PS:寫(xiě)成如上形式即可)例2把分解因式。分析：將y看作常數(shù)，將原式看成是關(guān)于的二次三項(xiàng)式。穩(wěn)固練習(xí)1、把在實(shí)數(shù)圍分解因式，正確的選項(xiàng)是()(A)(B)(C)(D)2、在實(shí)數(shù)圍分解因式：_________________。3、在實(shí)數(shù)圍分解因式：。題型二：高次方程〔一〕一元高次方程的特點(diǎn)：〔1〕整式方程；〔2〕只含有一個(gè)未知數(shù)；〔3〕含未知數(shù)的項(xiàng)最高次數(shù)大于2。一般的，如果=0，則：或或……；=則是方程=0的n個(gè)根。解高次方程的根本思想：化高次為低次〔二〕常用方法：〔1〕因式分解法；把高次方程化成A=0的形式，再把A分解因式，即=0，所以：或或…例1解方程解：原方程可變形為，所以．說(shuō)明：當(dāng)ad=bc≠0時(shí)，形如的方程可這樣解決：令，則于是方程可化為：即．方程也可以用類(lèi)似方法處理．針對(duì)練習(xí)：的解是_________________。2、方程的解是_______________。3、的解是__________________。方法思路：按照從高到低降次排列，提公因式或者分組分解?！蚕禂?shù)成一定的比例更方便提取公因數(shù)〕〔2〕換元法；通過(guò)換元把高次方程化為次數(shù)較低的方程，這種方法在高次方程、分式方程、無(wú)理方程、方程組中都很有用處，這種方法應(yīng)該掌握，根據(jù)題目的特點(diǎn)合理加以利用。例2解方程．分析：如果將式子展開(kāi)再用因式分解法，顯然計(jì)算量過(guò)大，不顯示，故而要尋求別的方法。觀察左邊4個(gè)因式，看如何兩兩組合相乘，能產(chǎn)生一樣的項(xiàng)？解：把方程左邊第一個(gè)因式與第四個(gè)因式相乘，第二個(gè)因式與第三個(gè)因式相乘，得：設(shè)，則即解得將分別代入中得，所以思考：對(duì)于這種形式的方程，你找到規(guī)律了嗎？針對(duì)練習(xí)：1、解方程。2、方程的解是___________________。3、方程的解是___________________。題型三、分式方程拓展〔一〕分式方程的概念：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。注意：分式的分母不能為0。解分式方程的根本思想：化分式方程為整式方程〔二〕常用方法：〔1〕直接去分母法；步驟：1、分子分母能因式分解的先因式分解；2、找所有分式的最簡(jiǎn)公分母；3、方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母，將分式方程化為整式方程；4、解整式方程；5、驗(yàn)根〔將根代入到最簡(jiǎn)公分母，看最簡(jiǎn)公分母是否為0〕；6、下結(jié)論。例1解方程．分析：去分母，轉(zhuǎn)化為整式方程．解：原方程可化為：方程兩邊各項(xiàng)都乘以：即，整理得：解得：或．檢驗(yàn)：把代入，不等于0，所以是原方程的解；把代入，等于0，所以是增根．所以，原方程的解是．〔2〕換元法；解題思路：用換元法將原方程變形，然后去分母，化為整式方程，求出新方程的解，最后代入換元的式子，再求根驗(yàn)根。一般應(yīng)用于較為復(fù)雜，直接去分母會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量過(guò)大的方程，以下舉例均為常見(jiàn)的題型。例2解方程．分析：注意觀察方程特點(diǎn)，可以看到分式與互為倒數(shù)．因此，可以設(shè)，即可將原方程化為一個(gè)較為簡(jiǎn)單的分式方程．解：設(shè)，則原方程可化為：．(1)當(dāng)時(shí)，；(2)當(dāng)時(shí)，．檢驗(yàn)：把把各根分別代入原方程的分母，各分母都不為0．所以，原方程的解是，，．說(shuō)明：解決分式方程的方法就是采取去分母、換元等法，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，表達(dá)了化歸思想．例3分析：觀察三個(gè)分式分母，有2個(gè)不能分解因式，如果直接去分母，顯然不現(xiàn)實(shí)；觀察三個(gè)分母的特點(diǎn)，都含有，故而可以考慮換元。注意體會(huì)此題中的解題思想。解：設(shè)方程轉(zhuǎn)化為解得y=〔注意，既然換元了，就暫且將y理解成未知數(shù)，為參數(shù)〕=-7*解得經(jīng)檢驗(yàn)，均為元方程的根例4解方程時(shí)，設(shè)分析：如果直接去分母，將變成高次方程。觀察題目特點(diǎn)，有，，可考慮配方，換元。解：原方程化為令，則原方程化為解得：將代入解得，；將代入解得，經(jīng)檢驗(yàn)，，均為原方程的根穩(wěn)固練習(xí):解以下方程〔1〕〔答案：〕〔2〕〔答案：〕〔3〕〔答案：〕〔3〕倒數(shù)法解題思路：觀察方程，形如：的形式，可直接得出。例5：____________。分析：條件中，*，互為倒數(shù)，其中互為倒數(shù)關(guān)系，利用此關(guān)系，可有下面解法。解：，例6解方程：分析：方程的左邊兩項(xiàng)為倒數(shù)之和，因此可用倒數(shù)法簡(jiǎn)化求解，設(shè)解：原方程變形為當(dāng)時(shí)，則，解之得當(dāng)解之得經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的根。拓展公式：的解是〔即〕的解是的解是的解是思考〔１〕請(qǐng)觀察上述方程的特征，比擬關(guān)于*的方程與他們的關(guān)系，猜測(cè)它的解是什么，〔２〕請(qǐng)利用這個(gè)結(jié)論解關(guān)于*的方程。〔4〕分組通分法；解題思路：當(dāng)分母相鄰兩個(gè)的差相等，且分子可化為一樣時(shí)，先分組通分，會(huì)使計(jì)算更簡(jiǎn)便。例7解方程解：〔檢驗(yàn)〕例8解方程解：〔別離常數(shù)〕〔思考為何要移項(xiàng)相減？〕步驟同上題〔檢驗(yàn)〕穩(wěn)固練習(xí)：解方程〔1〕〔2〕〔三〕分式方程與增根相關(guān)的問(wèn)題1、分式方程的增根同時(shí)滿足兩個(gè)條件：〔1〕是由分式方程化為整式方程的根?！?〕使最簡(jiǎn)公分母為0。2、增根與無(wú)解的區(qū)別聯(lián)系：分式方程有增根，指的是解分式方程時(shí)，在把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程的變形過(guò)程中，方程的兩邊都乘了一個(gè)可能使分母為零的整式，從而擴(kuò)大了未知數(shù)的取值圍而產(chǎn)生的未知數(shù)的值；而分式方程無(wú)解則是指不管未知數(shù)取何值，都不能使方程兩邊的值相等．它包含兩種情形：〔一〕原方程化去分母后的整式方程無(wú)解；〔二〕原方程化去分母后的整式方程有解，但這個(gè)解卻使原方程的分母為0，它是原方程的增根，從而原方程無(wú)解。例1假設(shè)方程-=1有增根，則它的增根是〔〕A、0B、1C、-1D、1或-1分析：使方程的最簡(jiǎn)公分母,但不能忽略增鏟除滿足最簡(jiǎn)公分母為零,還必須是所化整式方程的根。解：原方程易化成整式方程：整理得：當(dāng)時(shí),此時(shí)m無(wú)解；當(dāng)時(shí),解得m=3。由此可得答案為B。注意：-1雖然能使分母為零，但是它不是原方程的根。例2關(guān)于*的方程無(wú)解，求m的值。解：先把原方程化為〔1〕假設(shè)方程〔1〕無(wú)解，則原方程也無(wú)解，方程〔1〕化為，當(dāng)，而時(shí)，方程〔1〕無(wú)解，此時(shí)。假設(shè)方程〔1〕有解，而這個(gè)解又恰好是原方程的增根，這時(shí)原方程也無(wú)解，所以，當(dāng)方程〔1〕的解為時(shí)原方程無(wú)解，代入方程〔1〕，得，故。綜合以上，當(dāng)或時(shí)，原方程無(wú)解。m=1原方程無(wú)解，m=3原方程產(chǎn)生增根。注意：原方程無(wú)解包括兩種情況：原方程本身就無(wú)意義，原方程的解全部是增根?！?〕由增根求參數(shù)的值這類(lèi)題的解題思路為：1、將分式方程去化成整式方程〔方程兩邊同時(shí)乘以最簡(jiǎn)公分母〕2、確定增根〔題目或使分母為零的未知數(shù)的值〕3、將可能的增根分別代入整式方程，求出參數(shù)的值〔增根是由分式方程化成的整式方程的根〕例3關(guān)于*的方程有增根，求k的值。解：把原方程去分母，化為?！?〕因?yàn)樵匠痰淖詈?jiǎn)公分母是，所以方程的增根可能是或假設(shè)增根為，代入方程〔1〕，得，；假設(shè)增根為，代入方程〔1〕，得，。故當(dāng)或時(shí)，原方程會(huì)有增根?！?〕由分式方程根的情況，求參數(shù)的取值圍這類(lèi)題的解題思路為：將原方程化為整式方程。2、把參數(shù)看成常數(shù)求解。3、根據(jù)根的情況，確定參數(shù)的取值圍?！沧⒁庖懦龈鶗r(shí)參數(shù)的值〕例4關(guān)于*的方程-2=有一個(gè)正數(shù)解，求m的取值圍。分析：把m看成常數(shù)求解，由方程的解是正數(shù)，確定m的取值圍，但不能忽略產(chǎn)生增根時(shí)m的值。原方程易化為整式方程：，整理得：，∵原方程有解，故不是增根。由此可得答案為m的取值圍是綜上所述關(guān)于增根的問(wèn)題，一定要弄清楚增根的定義，及增根必須滿足的條件，和解這類(lèi)題的思路。穩(wěn)固練習(xí)當(dāng)m=____________時(shí)，分式方程會(huì)產(chǎn)生增根。2、方程〔１〕當(dāng)k為何值，解這個(gè)方程時(shí)會(huì)產(chǎn)生增根；〔２〕k為何值時(shí)，這個(gè)方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)解。題型四：無(wú)理方程拓展〔一〕無(wú)理方程的概念：根號(hào)含有未知數(shù)的方程叫做無(wú)理方程。注意：被開(kāi)方數(shù)要為非負(fù)數(shù)。無(wú)理方程的解法思想：化無(wú)理方程為整式方程〔二〕理方程的常用方法：〔1〕直接平方法；步驟：1、將無(wú)理方程整理成同號(hào)〕；由此，可判斷方程是否有根。當(dāng)，方程有實(shí)根；當(dāng)方程無(wú)實(shí)根。2、將等式兩邊平方，將無(wú)理方程變?yōu)檎椒匠蹋?、解整式方程；4、驗(yàn)根〔和分式方程一樣，無(wú)理方程必須要驗(yàn)根〕。驗(yàn)根是將根代入原方程，看方程兩邊是否相等；5、下結(jié)論。例1解方程分析：直接平方將很困難．可以把一個(gè)根式移右邊再平方，這樣左右兩邊平方，整理后就可以轉(zhuǎn)化的模式，再將等式兩邊平方，將無(wú)理方程變?yōu)檎椒匠探夥匠蹋猓涸匠炭苫癁椋簝蛇吰椒降茫赫淼茫簝蛇吰椒降茫赫淼茫?，解得：或．檢驗(yàn)：把代入原方程，左邊=右邊，所以是原方程的根．把代入原方程，左邊右邊，所以是增根，舍去。所以原方程的解是．例2解方程解移項(xiàng)得兩邊平方后整理得再兩邊平方后整理得*2＋3*-28＝0，所以*1=4，*2=-7．經(jīng)檢驗(yàn)知，*2=-7為增根，所以原方程的根為*=4．說(shuō)明：含未知數(shù)的二次根式恰有兩個(gè)或三個(gè)的無(wú)理方程的一般步驟：①移項(xiàng)，使方程的一邊只保存一個(gè)含未知數(shù)的二次根式；②兩邊平方，得到含未知數(shù)的二次根式恰有一個(gè)的無(wú)理方程；③兩邊同時(shí)平方，得到一個(gè)整式方程；④解整式方程并驗(yàn)根．練習(xí)題1、解方程2、解方程〔2〕換元法；解題思路：用換元法將原方程變形，然后去根號(hào)，化為整式方程，求出新方程的解，最后代入換元的式子，再求根驗(yàn)根。例3解方程分析：此題假設(shè)直接平方，會(huì)得到一個(gè)一元四次方程，難度較大．注意觀察方程中含未知數(shù)的二次根式與其余有理式的關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)：．因此，可以設(shè)，這樣就可將原方程先轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程處理．解：設(shè)，則原方程可化為：，即，解得：或．(1)當(dāng)時(shí)，；(2)當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以方程無(wú)解．檢驗(yàn)：把分別代入原方程，都適合．所以，原方程的解是．說(shuō)明：解決根式方程的方法就是采取平方、換元等法，將根式方程轉(zhuǎn)化為有理方程，表達(dá)了化歸思想．練習(xí)題：解方程〔1〕；〔2〕〔3〕有理化因式法；解題思路：原方程兩個(gè)根式的平方差是一個(gè)實(shí)數(shù)，用平方差方程除以原方程，得到原方程的有理化方程，再把原方程與有理化方程結(jié)合，加減消元法，求出式子的值，再求根驗(yàn)根。例4解方程解觀察到題中兩個(gè)根號(hào)的平方差是13，即②÷①便得由①+③得：穩(wěn)固練習(xí)1、解方程，因?yàn)椋瑒t，所以，由此解得。2、假設(shè)方程，則，，方程的解是____?！?〕配項(xiàng)法解法思路：觀察原方程中有可以配成兩項(xiàng)和的一半的項(xiàng)，即用完全平方將方程配方。從而將原方程轉(zhuǎn)化為完全平方的形式。例5解方程解析：需要注意的是：可看成是2·*·，且,巧好等于原方程中的二次項(xiàng)一次項(xiàng)，這就啟發(fā)我們是否可用“兩項(xiàng)和的平方〞，即完全平方公式將方程的左端配方．將原方程變形為即，所以或由解得：由解得：經(jīng)檢驗(yàn)，為原方程的根；當(dāng)時(shí)，，所以為增根所以原方程的根為例6解方程解：考慮到,且=2*+2,于是將方程化為：即所以移項(xiàng)得題型五：二元二次方程組拓展1、概念：二元二次方程：方程中含有2個(gè)未知數(shù)，方程的最高次數(shù)為2。二元二次方程組：含有2個(gè)未知數(shù)，各方程都是整式方程，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)為2次的方程組。方程組的解：同時(shí)滿足方程組中兩個(gè)二元方程的的解。2、二元一次+二元二次；解題思路：當(dāng)方程組是一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成時(shí)，將二元一次方程變形后代入二元二次方程，使二元二次方程變?yōu)橐辉畏匠?，求其解，代入原方程組，求出原方程組的解；練習(xí)題1、，則；2、，則＝_________________。3、二元一次+二元一次解題思路：當(dāng)方程是由兩個(gè)二元二次方程〔其中一個(gè)可以分解為兩個(gè)二元一次方程〕組成時(shí)，先將可以分解為兩個(gè)二元一次方程的二元二次方程組組成兩個(gè)新方程組，求其解并合在一起，既為原方程組的解。小秘書(shū)：如果方程組中含有分式方程或無(wú)理方程，則要對(duì)方程組進(jìn)展驗(yàn)根。練習(xí)題1、解方程組4、形如解題思路：把*,y看作是一元二次方程的兩根，化二元二次方程組為一元二次方程。練習(xí)題：方程組〔1〕〔2〕5、形如解題思路：換元法，化分式方程組為整式方程組。做一做1．方程組，的解是______________。6、由方程組解的情況求方程中參數(shù)解題思路：此類(lèi)題中的方程組一般由一個(gè)二元一次方程和