第四章4.4冪函數(shù)基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升目錄索引

成果驗收·課堂達標檢測課程標準1.通過實例,了解冪函數(shù)的概念.2.結(jié)合函數(shù)y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,

的圖象,了解它們的變化情況及簡單性質(zhì)并歸納冪函數(shù)的圖象.3.能運用冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決相關(guān)問題.基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)知識點1

冪函數(shù)的定義一般地,函數(shù)y=xα稱為冪函數(shù),其中

為常數(shù).

自變量在底數(shù)位置,要與指數(shù)函數(shù)區(qū)分

名師點睛冪函數(shù)的特征(1)xα的系數(shù)為1;(2)xα的底數(shù)是自變量x,指數(shù)α為常數(shù);(3)項數(shù)只有一項.符合以上三個特征的函數(shù)才是冪函數(shù),如y=x2,y=(x+2)2,y=xx等都不是冪函數(shù).α特別提醒1.不要把冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)混淆,冪函數(shù)的底數(shù)為自變量,指數(shù)為常數(shù)且可正可負,而指數(shù)函數(shù)恰好相反,底數(shù)為常數(shù)且是不為1的正數(shù),指數(shù)為自變量.2.冪函數(shù)y=x0的圖象為兩段平行于x軸的射線.過關(guān)自診1.下列函數(shù),是冪函數(shù)的為

.(填序號)

①y=3x2;②y=x2+1;③y=-;④

;⑤y=;⑥y=2x.④⑤

2.[人教A版教材習(xí)題]已知冪函數(shù)y=f(x)的圖象過點(2,),求這個函數(shù)的解析式.知識點2

函數(shù)y=x,y=x2,y=x3,,y=x-1的圖象與性質(zhì)

冪函數(shù)y=xy=x2y=x3

y=x-1圖象

冪函數(shù)y=xy=x2y=x3

y=x-1定義域RR

(-∞,0)∪(0,+∞)值域R[0,+∞)R[0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

奇函數(shù)單調(diào)性增函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù),在區(qū)間(-∞,0)上是減函數(shù)

在區(qū)間(0,+∞),(-∞,0)上均是減函數(shù)定點(1,1)R[0,+∞)

非奇非偶函數(shù)

增函數(shù)

增函數(shù)

名師點睛除函數(shù)

外,其余四個函數(shù)都具有奇偶性.過關(guān)自診[人教A版教材習(xí)題]利用冪函數(shù)的性質(zhì),比較下列各題中兩個值的大小:(1)(-1.5)3,(-1.4)3;解

設(shè)f(x)=x3,則f(x)在R上為增函數(shù).因為-1.5<-1.4,所以(-1.5)3<(-1.4)3.知識點3

冪函數(shù)共有的性質(zhì)1.所有的冪函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)上都有定義,因此在第一象限內(nèi)都有圖象,并且圖象都通過點

.

2.如果α>0,則冪函數(shù)的圖象通過原點,并且在區(qū)間

上是增函數(shù).

3.如果α<0,則冪函數(shù)在區(qū)間

上是減函數(shù),且在第一象限內(nèi):當(dāng)x從右邊趨向于原點時,圖象在y軸右方且無限地逼近y軸;當(dāng)x無限增大時,圖象在x軸上方且無限地逼近x軸.

(1,1)[0,+∞)(0,+∞)名師點睛1.冪函數(shù)的性質(zhì)的補充說明對于一個具體的冪函數(shù),一般先要確定其定義域和奇偶性,必要的情況下,可將分數(shù)指數(shù)冪轉(zhuǎn)化成根式.2.冪函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)的特征過關(guān)自診1.下列說法正確的有(

)①冪函數(shù)的圖象均過點(1,1);②冪函數(shù)的圖象均在兩個象限內(nèi)出現(xiàn);③冪函數(shù)在第四象限內(nèi)可以有圖象;④對于冪函數(shù)y=xα,當(dāng)α>0時,冪函數(shù)在第一象限內(nèi)為增函數(shù);⑤任意兩個冪函數(shù)的圖象最多有兩個交點.A.1個

B.2個

C.3個

D.4個B解析

對于冪函數(shù)y=xα,當(dāng)x=1時,y=1,所以冪函數(shù)的圖象均過點(1,1),故①正確;冪函數(shù)

的圖象沒有在兩個象限內(nèi)出現(xiàn),故②不正確;當(dāng)x>0時,xα>0,所以冪函數(shù)的圖象不可能在第四象限,故③不正確;當(dāng)α>0時,冪函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,故④正確;冪函數(shù)y=x與y=x3的圖象的交點為(-1,-1),(0,0),(1,1),共3個,故⑤不正確.故正確的說法有2個.2.已知冪函數(shù)

在(0,+∞)上是減函數(shù),則實數(shù)a的值為

.

重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一冪函數(shù)的概念B(2)已知函數(shù)f(x)=(m2-m-1)x-5m-3,當(dāng)實數(shù)m為何值時,f(x):①是冪函數(shù);②是冪函數(shù),且是(0,+∞)上的增函數(shù).解

①因為函數(shù)是冪函數(shù),所以m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.②當(dāng)m=2時,f(x)=x-13,函數(shù)在(0,+∞)上是減函數(shù),當(dāng)m=-1時,f(x)=x2,函數(shù)在(0,+∞)上是增函數(shù),綜上,m=-1.規(guī)律方法

冪函數(shù)的判斷方法(1)冪函數(shù)同指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)一樣,也是基本初等函數(shù),同樣也是一種“形式定義”的函數(shù),也就是說必須形如y=xα(α∈R)的函數(shù)才是冪函數(shù).(2)如果函數(shù)以根式的形式給出,則要注意對根式進行化簡整理,再對照冪函數(shù)的定義進行判斷.變式訓(xùn)練1下列函數(shù):③y=x2(x∈N),④y=x-5+3x,⑤y=3x(x∈Z),⑥y=x3x+1.其中是冪函數(shù)的為

.(填序號)

②③

探究點二比較大小【例2】

比較下列各組數(shù)的大小:規(guī)律方法

比較冪形式的兩個數(shù)大小的常用方法

A.a<b<c

B.b<c<a C.c<a<b D.a<c<bC(-1,4)解析

∵冪函數(shù)

(p∈N*)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,∴p2-2p-3<0,解得-1<p<3.∵p∈N*,∴p=1或2.當(dāng)p=1時,f(x)=x-4為偶函數(shù),滿足條件,當(dāng)p=2時,f(x)=x-3為奇函數(shù),不滿足條件,∴a2-1<3a+3,解得-1<a<4.探究點三冪函數(shù)的圖象【例3】

(1)函數(shù)f(x)=的大致圖象是(

)A解析

因為-<0,所以f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減,排除選項B,C;又f(x)的定義域為(0,+∞),所以排除選項D.故選A.(2)如圖所示,圖中的曲線是冪函數(shù)y=xn在第一象限的圖象,已知n取±2,±四個值,則相應(yīng)于C1,C2,C3,C4的n依次為(

)B解析

根據(jù)冪函數(shù)y=xn的性質(zhì),在第一象限內(nèi)的圖象,當(dāng)n>0時,n越大,y=xn遞增速度越快,故C1的n=2,C2的n=,當(dāng)n<0時,|n|越大,曲線越陡峭,所以曲線C3的n=-,曲線C4的n=-2.故選B.規(guī)律方法

畫冪函數(shù)圖象(簡圖)的步驟求定義域→判斷奇偶性→畫在第一象限的圖象→結(jié)合奇偶性畫整個函數(shù)圖象變式訓(xùn)練3函數(shù)(n∈N,n>9)的圖象可能是(

)C成果驗收·課堂達標檢測12341.冪函數(shù)的圖象過點(2,4),則它的單調(diào)遞增區(qū)間是(

)A.(2,+∞) B.[0,+∞)C.(-∞,+∞) D.(-∞,0)B解析

設(shè)f(x)=xα(α為常數(shù)),由2α=4,得α=2,所以f(x)=x2.故其單調(diào)遞增區(qū)間為[0,+∞).1234A.c>a>b B.a>b>cC.b>a>c D.a>c>bB123412343.已知冪函數(shù)y=(m2+m-1)x-5m-3過原點,則實數(shù)m的值為

.

-2解析

因為函數(shù)y=(m2+m-1)x-5m-3為冪函數(shù),所以m2+m-1=1,解得m=-2或m=1,當(dāng)m=-2時,函數(shù)y=x7的圖象過原點,符合題意;當(dāng)m=1時,函數(shù)y=x-8的圖象不經(jīng)過原點,不符合題意.故m=-2.12344.已知冪函數(shù)

(k∈Z)是偶函數(shù),且在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù).(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)若f(2x-1)<f(2-x),求x的取值范圍.1234解

(1)∵m2-2m+2=1,∴m=1.∵f(x)在區(qū)間(0,+∞)上為增函數(shù),∴5k-2k2>0,∴0<k<(k∈Z),即k=1