第一章1.2.2空間中的平面與空間向量課程標(biāo)準(zhǔn)1.理解平面的法向量的定義并能在空間直角坐標(biāo)系中正確地求出某一平面的法向量;2.能用向量語言表達線面、面面的垂直、平行關(guān)系;3.理解三垂線定理及其逆定理.基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升目錄索引

成果驗收·課堂達標(biāo)檢測基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)知識點1平面的法向量平面的位置關(guān)系問題一般借助平面的法向量處理

(1)如果α是空間中的一個平面,n是空間中的一個非零向量,且表示n的有向線段所在的直線與平面α

,則稱n為平面α的一個法向量.此時,也稱n與平面α垂直,記作

.

(2)平面的法向量的求法在空間直角坐標(biāo)系下,求平面的法向量的一般步驟:①設(shè)平面的法向量為n=(x,y,z);②找出(求出)平面內(nèi)的兩個不共線的向量a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2);垂直

n⊥α④解方程組,取其中的一組解,即得平面的一個法向量.名師點睛如果n是平面α的法向量,則對于任意實數(shù)λ≠0,向量λn也是平面α的法向量.過關(guān)自診1.[人教A版教材習(xí)題]判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)零向量不能作為直線的方向向量和平面的法向量.(

)(2)在空間直角坐標(biāo)系中,j=(0,0,1)是坐標(biāo)平面Oxy的一個法向量.(

)2.若n=(2,-3,1)是平面α的一個法向量,則下列向量中能作為平面α的法向量的是(

)A.(0,-3,1) B.(2,0,1)C.(-2,-3,1) D.(-2,3,-1)√√D知識點2用空間向量處理線面(面面)平行或垂直關(guān)系(1)如果v是直線l的一個方向向量,n是平面α的一個法向量,則當(dāng)________

時,l與α垂直;當(dāng)n⊥v時,

.

(2)如果n1是平面α1的一個法向量,n2是平面α2的一個法向量,則當(dāng)________

時,α1與α2垂直;當(dāng)n1∥n2時,α1與α2平行,或者α1與α2重合.n∥v

l與α平行,或者l在α內(nèi)

n1⊥n2名師點睛解答這類問題的關(guān)鍵:一是要清楚直線的方向向量,平面的法向量和直線、平面的位置關(guān)系之間的內(nèi)在聯(lián)系;二是熟練掌握判斷向量共線、垂直的方法.在把向量問題轉(zhuǎn)化為幾何問題時,要注意兩者的區(qū)別,直線的方向向量和平面平行,則直線可能在平面內(nèi),也可能與平面平行.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)若平面外的一條直線的方向向量與平面的法向量垂直,則該直線與平面平行.(

)(2)直線的方向向量與平面的法向量的方向相同或相反時,直線與平面垂直.(

)(3)兩個平面的法向量平行,則這兩個平面平行或重合;兩個平面的法向量垂直,則這兩個平面垂直.(

)√√√2.設(shè)直線l的一個方向向量d=(6,2,3),平面α的一個法向量n=(-1,3,0),則直線l與平面α的位置關(guān)系是(

)A.垂直B.平行C.直線l在平面α內(nèi)D.平行或直線l在平面α內(nèi)D知識點3三垂線定理及三垂線定理的逆定理這兩個定理即為線面垂直判定與性質(zhì)的引申

三垂線定理:如果

的一條直線與平面的一條斜線在該平面內(nèi)的

垂直,則它也和這條

垂直.

三垂線定理的逆定理:如果平面內(nèi)的一條直線和這個平面的一條斜線垂直,則它也和這條

在該平面內(nèi)的

垂直.

平面內(nèi)

射影斜線斜線射影過關(guān)自診在平面α內(nèi)和這個平面的斜線l垂直的直線(

)A.只有一條B.可能一條也沒有C.可能有一條也可能有兩條D.有無數(shù)多條D重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一求平面的法向量【例1】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,E為PD的中點.AB=AP=1,AD=,試建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,求平面ACE的一個法向量.解

因為PA⊥平面ABCD,底面ABCD為矩形,所以AB,AD,AP兩兩垂直.

變式探究本例條件不變,試求直線PC的一個方向向量和平面PCD的一個法向量.規(guī)律方法

求平面的法向量的注意事項(1)選向量:在選取平面內(nèi)的向量時,要選取不共線的兩個向量.(2)取特值:在求n的坐標(biāo)時,可令x,y,z中一個為特殊值得另兩個值,得到平面的一個法向量.(3)注意0:提前假定法向量n=(x,y,z)的某個坐標(biāo)為某特定值時一定要注意這個坐標(biāo)不為0.變式訓(xùn)練1[北師大版教材例題]已知點A(0,1,1),B(1,2,1),C(2,1,3),求平面ABC的一個法向量的坐標(biāo).不妨取x=1,得y=z=-1,所以平面ABC的一個法向量的坐標(biāo)為(1,-1,-1).探究點二有關(guān)空間向量的證明問題角度1.利用空間向量證明平行問題【例2】

已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E,F分別是BB1,DD1的中點,求證:(1)FC1∥平面ADE;(2)平面ADE∥平面B1C1F.令z2=2,得y2=-1,所以n2=(0,-1,2).因為n1=n2,即n1∥n2,所以平面ADE∥平面B1C1F.規(guī)律方法

證明線面、面面平行問題的方法(1)用向量法證明線面平行:①證明直線的方向向量與平面內(nèi)的某一向量是共線向量且直線不在平面內(nèi);②證明直線的方向向量可以用平面內(nèi)兩個不共線向量表示且直線不在平面內(nèi);③證明直線的方向向量與平面的法向量垂直且直線不在平面內(nèi),如例2(1)中,FC1?平面ADE一定不能漏掉.(2)利用空間向量證明面面平行,通常是證明兩平面的法向量平行.當(dāng)然要注意當(dāng)法向量坐標(biāo)中有0時,要使用n1=λn2這一形式.變式訓(xùn)練2[人教A版教材例題]如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,CC1=2.線段B1C上是否存在點P,使得A1P∥平面ACD1?解

以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因為A,C,D1的坐標(biāo)分別為(3,0,0),(0,4,0),(0,0,2),取z=6,則x=4,y=3,所以n=(4,3,6)是平面ACD1的一個法向量.角度2.證明線面垂直問題【例3】

如圖所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都為2,D為CC1的中點.求證:AB1⊥平面A1BD.證明

如圖所示,取BC的中點O,連接AO.因為△ABC為正三角形,所以AO⊥BC.因為在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,且平面ABC∩平面BCC1B1=BC,AO?平面ABC,所以AO⊥平面BCC1B1.取B1C1的中點O1,以O(shè)為坐標(biāo)原點,OB,OO1,OA所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,又因為BA1∩BD=B,BA1,BD?平面A1BD,所以AB1⊥平面A1BD.變式探究本例中增加條件,E,F分別是BC,BB1的中點,求證:EF⊥平面ADE.證明

建系同例3:點E與點O重合.即EF⊥EA,EF⊥ED.又EA∩ED=E,EA,ED?平面ADE,∴EF⊥平面ADE.規(guī)律方法

1.用坐標(biāo)法證明線面垂直的常用方法

2.對于容易建系的幾何載體要盡量用坐標(biāo)法處理有關(guān)垂直問題,如果只用基向量法解決涉及的線性運算和數(shù)量積運算比較復(fù)雜.而建系后只需一切交給坐標(biāo)即可.變式訓(xùn)練3如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是BB1,D1B1的中點.求證:EF⊥平面B1AC.證明

(方法一)設(shè)正方體的棱長為2,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(2,0,0),C(0,2,0),B1(2,2,2),E(2,2,1),F(1,1,2),又AB1∩AC=A,AB1,AC?平面B1AC,∴EF⊥平面B1AC.同理,EF⊥B1C.又AB1∩B1C=B1,AB1,B1C?平面B1AC,∴EF⊥平面B1AC.角度3.證明面面垂直問題【例4】如圖,在四棱錐E-ABCD中,AB⊥平面BCE,CD⊥平面BCE,AB=BC=CE=2CD=2,∠BCE=120°.求證:平面ADE⊥平面ABE.證明

取BE的中點O,連接OC,易知OC⊥BE.又AB⊥平面BCE,所以以O(shè)為原點建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz(如圖所示),則又AB⊥平面BCE,OC?平面BCE,所以AB⊥OC.因為BE⊥OC,AB∩BE=B,AB,BE?平面ABE,所以O(shè)C⊥平面ABE,規(guī)律方法

證明面面垂直的兩種方法(1)常規(guī)法:利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直去證明.(2)向量法:證明兩個平面的法向量互相垂直.本例就是用的向量法,關(guān)鍵是明確兩個平面的法向量.變式訓(xùn)練4[人教A版教材習(xí)題]如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=CC1=1,E是CD的中點,F是BC的中點.求證:平面EAD1⊥平面EFD1.取x1=1,則y1=1,z1=1,∴n1=(1,1,1)是平面EAD1的一個法向量.取x2=2,則y2=-1,z2=-1,∴n2=(2,-1,-1)是平面EFD1的一個法向量.又n1·n2=1×2+1×(-1)+1×(-1)=0,∴n1⊥n2,∴平面EAD1⊥平面EFD1.探究點三三垂線定理及其逆定理【例5】如圖所示,已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,側(cè)面PBC⊥底面ABCD.求證:PA⊥BD.證明

如圖,取BC的中點O,連接AO,交BD于點E,連接PO.因為PB=PC,所以PO⊥BC.又平面PBC⊥平面ABCD,平面PBC∩平面ABCD=BC,PO?平面PBC,所以PO⊥平面ABCD,所以AP在平面ABCD內(nèi)的射影為AO.在直角梯形ABCD中,AB=BC=2CD,易知Rt△ABO≌Rt△BCD,所以∠BEO=∠OAB+∠DBA=∠DBC+∠DBA=90°,即AO⊥BD.由三垂線定理,得PA⊥BD.規(guī)律方法

1.三垂線定理及其逆定理用于判定空間直線互相垂直時的注意事項(1)從條件上看,三垂線定理的條件是“和射影垂直”;其逆定理的條件是“和斜線垂直”.(2)從功能上看,三垂線定理用于解決已知共面垂直,證明異面垂直的問題;逆定理正好相反.解決垂心問題需要兩次垂直的證明,都能用上定理和其逆定理的框架結(jié)構(gòu).2.三垂線定理及其逆定理應(yīng)用中的三個環(huán)節(jié)用三垂線定理及其逆定理證明線線垂直的關(guān)鍵在于構(gòu)造三垂線定理的基本圖形,創(chuàng)設(shè)應(yīng)用定理的環(huán)境.構(gòu)造三垂線定理基本圖形時要抓住下面三個環(huán)節(jié):(1)確定投影面;(2)作出垂線;(3)確定射影.變式訓(xùn)練5如圖,BC是Rt△ABC的斜邊,過點A作△ABC所在平面α的垂線AP,連接PB,PC,過點A作AD⊥BC于點D,連接PD,那么圖中的直角三角形共有(

)A.4個

B.6個

C.7個

D.8個D解析

∵AP⊥平面α,∴PD在平面α內(nèi)的射影為AD.∵AD⊥BC,由三垂線定理可得,PD⊥BC,∴△ABC,△ABD,△ACD,△PBD,△PCD,△PAB,△PAD,△PAC均為直角三角形,共8個.故選D.成果驗收·課堂達標(biāo)檢測123451.若直線l的方向向量為a=(1,0,2),平面α的法向量為n=(-2,0,-4),則(

)A.l∥α

B.l⊥αC.l?α

D.l與α相交但不垂直

B解析

∵n=-2a,∴a∥n,即l⊥α.123452.[2023山東濰坊高二階段練習(xí)]過空間三點A(1,1,0),B(1,0,1),C(0,1,1)的平面的一個法向量是(

)A.(1,1,1) B.(1,1,-1) C.(1,0,1) D.(-1,0,1)A12345令z=1,