第七節(jié)二項(xiàng)分布、超幾何分布、正態(tài)分布第十一章內(nèi)容索引0102強(qiáng)基礎(chǔ)增分策略增素能精準(zhǔn)突破課標(biāo)解讀衍生考點(diǎn)核心素養(yǎng)1.了解伯努利試驗(yàn),掌握二項(xiàng)分布及其數(shù)字特征,并能解決簡單的實(shí)際問題.2.了解超幾何分布及其均值,并能解決簡單的實(shí)際問題.3.了解服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量,借助頻率分布直方圖的幾何直觀,了解正態(tài)分布的特征.4.了解正態(tài)分布的均值、方差及其含義.1.二項(xiàng)分布及其應(yīng)用2.超幾何分布及其應(yīng)用3.正態(tài)分布及其應(yīng)用數(shù)學(xué)建模數(shù)據(jù)分析數(shù)學(xué)運(yùn)算強(qiáng)基礎(chǔ)增分策略知識梳理1.n重伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布(1)n重伯努利試驗(yàn)把只包含兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做

.

將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為n重伯努利試驗(yàn).實(shí)際原型是有放回地抽樣檢驗(yàn)問題

伯努利試驗(yàn)

(2)二項(xiàng)分布一般地,在n重伯努利試驗(yàn)中,設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1),用X表示事件A發(fā)生的次數(shù),則X的分布列為P(X=k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n,如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式,則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,記作

.

(3)兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布,則E(X)=

,D(X)=

.

若X~B(n,p),則E(X)=

,D(X)=

.

X~B(n,p)pp(1-p)npnp(1-p)微點(diǎn)撥判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):(1)在一次試驗(yàn)中,事件A發(fā)生與不發(fā)生,二者必居其一,且A發(fā)生的概率不變;(2)試驗(yàn)可以獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行n次.微思考兩點(diǎn)分布(0—1分布)和二項(xiàng)分布有什么關(guān)系?提示

兩點(diǎn)分布是一種特殊的二項(xiàng)分布,即是n=1的二項(xiàng)分布;二項(xiàng)分布可以看作兩點(diǎn)分布的一般形式.2.超幾何分布一般地,假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件,其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù),則X的分布列為其中n,M,N∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式,那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.微點(diǎn)撥超幾何分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系

不同點(diǎn)聯(lián)系假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件,其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件,用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù),若采用有放回抽樣的方法抽取,則隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,即X~B(n,p)(其中p=

);若采用不放回抽樣的方法隨機(jī)抽取則隨機(jī)變量X服從超幾何分布二項(xiàng)分布和超幾何分布都可以描述隨機(jī)抽取n件產(chǎn)品中次品的分布規(guī)律,并且二者的均值相同.對于不放回抽樣,當(dāng)n遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于N時(shí),每抽取一次后,對N的影響很小,超幾何分布可以用二項(xiàng)分布近似3.正態(tài)分布(1)正態(tài)曲線函數(shù)f(x)=,x∈R,其中μ∈R,σ>0為參數(shù),我們稱f(x)為正態(tài)密度函數(shù),稱它的圖象為正態(tài)分布密度曲線,簡稱正態(tài)曲線.特別地,當(dāng)μ=0,σ=1時(shí),相應(yīng)曲線稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線.(2)正態(tài)曲線特點(diǎn)

①曲線位于x軸上方,與x軸不相交.當(dāng)|x|無限增大時(shí),曲線無限接近x軸.②曲線與x軸之間的區(qū)域的面積為1.③曲線是單峰的,它關(guān)于直線x=μ對稱.⑤當(dāng)σ一定時(shí),曲線的位置由μ確定,曲線隨著μ的變化而沿x軸平移.⑥當(dāng)μ取定值時(shí),正態(tài)曲線的形狀由σ確定,σ較小時(shí),峰值高,曲線“瘦高”,表示隨機(jī)變量X的分布比較集中,如圖1所示;σ較大時(shí),峰值低,曲線“矮胖”,表示隨機(jī)變量X的分布比較分散,如圖2所示.(3)正態(tài)分布的定義及表示

若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x)=,x∈R,則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,記為

.

服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量是一種連續(xù)型隨機(jī)變量

假設(shè)X~N(μ,σ2),可以證明:對給定的k∈N*,P(μ-kσ≤X≤μ+kσ)是一個(gè)只與k有關(guān)的定值.特別地,①P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈

.

②P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈

.

③P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈

.

X~N(μ,σ2)0.68270.95450.9973微點(diǎn)撥1.若X服從正態(tài)分布,即X~N(μ,σ2),要充分利用“正態(tài)曲線關(guān)于直線X=μ對稱”和“曲線與x軸之間的區(qū)域的面積為1”.2.在實(shí)際應(yīng)用中,通常認(rèn)為服從正態(tài)分布N(μ,σ2)的隨機(jī)變量X只取[μ-3σ,μ+3σ]中的值,這在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱為3σ原則.微思考正態(tài)分布函數(shù)中的μ,σ的含義是什么?提示

若X~N(μ,σ2),則E(X)=μ,D(X)=σ2.對點(diǎn)演練1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)二項(xiàng)分布是一個(gè)概率分布,其公式相當(dāng)于(a+b)n展開式的通項(xiàng),其中a=p,b=1-p.(

)(2)從4名男演員和3名女演員中選出4名,其中女演員的人數(shù)X服從超幾何分布.(

)(3)正態(tài)分布中的參數(shù)μ和σ完全確定了正態(tài)分布,參數(shù)μ是正態(tài)分布的均值,σ是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差.(

)(4)一個(gè)隨機(jī)變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和,它就服從或近似服從正態(tài)分布.(

)√×√√答案

A

3.(2022新高考Ⅱ,13)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,σ2),若P(2<X≤2.5)=0.36,則P(X>2.5)=

.

答案

0.14解析由題意可知,P(X>2)=0.5,故P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X≤2.5)=0.14.增素能精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一二項(xiàng)分布及其應(yīng)用典例突破例1.(2022山東濟(jì)寧一模)血液檢測是診斷某病人是否患某種疾病的重要依據(jù).通過提取病人的血液樣本進(jìn)行檢測,樣本的某一指標(biāo)會呈現(xiàn)陽性或陰性.若樣本指標(biāo)呈陽性,說明該樣本攜帶病毒;若樣本指標(biāo)呈陰性,說明該樣本不攜帶病毒.根據(jù)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn),每個(gè)疑似病例的樣本呈陽性(即樣本攜帶病毒)的概率均為p(0<p<1).現(xiàn)有4例疑似病例,分別對其進(jìn)行血液樣本檢測.多個(gè)樣本檢測時(shí),既可以逐個(gè)化驗(yàn),也可以將若干個(gè)樣本混合在一起化驗(yàn),混合樣本中只要攜帶病毒,則混合樣本化驗(yàn)結(jié)果就會呈陽性.若混合樣本呈陽性,則將該組中各個(gè)樣本再逐個(gè)化驗(yàn);若混合樣本呈陰性,則該組各個(gè)樣本均為陰性.現(xiàn)有以下兩種方案:方案一,逐個(gè)化驗(yàn);方案二,平均分成兩組化驗(yàn).在該疾病爆發(fā)初期,由于檢測能力不足,化驗(yàn)次數(shù)的期望值越小,則方案越“優(yōu)”.(2)若將該4例疑似病例樣本進(jìn)行化驗(yàn),且方案二比方案一更“優(yōu)”,求p的取值范圍.則這4例疑似病例中呈陽性的病例個(gè)數(shù)X的分布列為

方法總結(jié)二項(xiàng)分布的解題策略

對點(diǎn)訓(xùn)練1一家醫(yī)藥研究所從中草藥中提取并合成了甲、乙兩種抗“H病毒”的藥物,經(jīng)試驗(yàn),服用甲、乙兩種藥物痊愈的概率分別為,現(xiàn)已進(jìn)入藥物臨床試用階段,每個(gè)試用組由4位該病毒的感染者組成,其中2人試用甲種抗病毒藥物,2人試用乙種抗病毒藥物.如果試用組中,甲種抗病毒藥物治愈人數(shù)超過乙種抗病毒藥物的治愈人數(shù),那么稱該組為“甲類組”.(1)求一個(gè)試用組為“甲類組”的概率;(2)觀察3個(gè)試用組,用η表示這3個(gè)試用組中“甲類組”的個(gè)數(shù),求η的分布列和均值.考點(diǎn)二超幾何分布及其應(yīng)用典例突破例2.某高中學(xué)校德育處在全校組織了知識問卷測試,并從中隨機(jī)抽取了12份問卷,得到其測試成績(百分制)如下:52,63,67,68,72,76,76,76,82,88,93,94.(1)寫出該樣本的中位數(shù),若該校共有3000名學(xué)生,試估計(jì)該校測試成績在70分以上的人數(shù);(2)從所抽取的70分以上的學(xué)生中再隨機(jī)選取4人,記ξ表示測試成績在80分以上的人數(shù),求ξ的分布列和均值.所以ξ的分布列為

方法總結(jié)求超幾何分布的分布列的步驟

對點(diǎn)訓(xùn)練2為了解學(xué)生自主學(xué)習(xí)期間完成數(shù)學(xué)套卷的情況,一名教師對某數(shù)學(xué)小組的所有學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查,調(diào)查結(jié)果如下表.人數(shù)套數(shù)12345男生人數(shù)14322女生人數(shù)01331(1)從這個(gè)小組的學(xué)生中任選一名男生、一名女生,求這兩名學(xué)生完成套卷數(shù)之和為4的概率;(2)若從完成套卷數(shù)不少于4的學(xué)生中任選4人,設(shè)選到的男生人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列.解

(1)設(shè)事件A為“從這個(gè)小組的學(xué)生中隨機(jī)選取一名男生、一名女生,這兩名學(xué)生完成套卷數(shù)之和為4”,由題意可知所以隨機(jī)變量X的分布列為

考點(diǎn)三正態(tài)分布及其應(yīng)用(多考向探究)考向1.正態(tài)分布的概率計(jì)算典例突破例3.(1)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,σ2),且(2)某校在一次月考中有900人參加考試,數(shù)學(xué)考試的成績服從正態(tài)分布X~N(90,a2)(a>0,試卷滿分150分),統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示數(shù)學(xué)考試成績在70分到110分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的,則此次月考中數(shù)學(xué)考試成績不低于110分的學(xué)生約有

人.

答案

(1)A

(2)180

解析

(1)因?yàn)殡S機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,σ2),由對稱性可知,P(X<1)=P(X>3).名師點(diǎn)析正態(tài)分布下兩類常見的概率計(jì)算(1)利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性研究相關(guān)概率問題,涉及的知識主要是“正態(tài)曲線關(guān)于直線x=μ對稱”“曲線與x軸之間的區(qū)域的面積為1”.(2)利用3σ原則求概率問題時(shí),要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的μ,σ進(jìn)行對比聯(lián)系,確定它們屬于[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]中的哪一個(gè).對點(diǎn)訓(xùn)練3(1)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),若P(x>-1)+P(x≥5)=1,則μ=(

)A.-1 B.1 C.-2 D.2(2)(2022山東德州三模)已知某種袋裝食品每袋質(zhì)量X~N(500,16),則隨機(jī)抽取10000袋這種食品,袋裝質(zhì)量在區(qū)間[492,504]的約有

袋(質(zhì)量單位:g).(附:X~N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973).

答案

(1)D

(2)8186

解析

(1)因?yàn)殡S機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則對稱軸為X=μ.又P(X>-1)+P(X≥5)=1,而P(X>-1)+P(X≤-1)=1,所以P(X≥5)=P(X≤-1),所以5和-1關(guān)于對稱軸對稱,則μ==2.故選D.(2)由題意得P(500-4≤X≤500+4)≈0.682

7,P(500-8≤X≤500+8)≈0.954

5,故P(492≤X≤504)≈0.135

9+0.682

7=0.818

6,則袋裝質(zhì)量在區(qū)間[492,504]的約有10

000×0.818

6=8

186(袋).考向2.正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用典例突破例4.某省高考改革方案指出:該省高考考生總成績將由語文、數(shù)學(xué)、英語3門統(tǒng)一高考成績和學(xué)生從思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物學(xué)6門等級性考試科目中自主選擇3個(gè),在獲得該次考試有效成績的考生(缺考考生或未得分的考生除外)總?cè)藬?shù)的相應(yīng)比例的基礎(chǔ)上劃分等級,位次由高到低分為A,B,C,D,E五等21級.該省的某市為了解本市9630名學(xué)生的某次選考化學(xué)成績水平,統(tǒng)計(jì)在全市范圍內(nèi)選考化學(xué)的原始成績,發(fā)現(xiàn)其成績服從正態(tài)分布N(69,49).現(xiàn)從某校隨機(jī)抽取了50名學(xué)生,將所得成績整理后,繪制出如圖所示的頻率分布直方圖.

(2)現(xiàn)從該校50名考生成績在[80,100]的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩人,該兩人成績排名(從高到低)在全市前13名的人數(shù)記為X,求隨機(jī)變量X的分布列.參考數(shù)據(jù):若X~N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.所以0.001

35×9

630≈13,所以全市前13名的成績在90分以上,該50名考生成績中90分以上的有0.08×50=4(人).X的分布列為

名師點(diǎn)析解答正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用題,其關(guān)鍵是如何轉(zhuǎn)化,同時(shí)應(yīng)熟練掌握正態(tài)分布在[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]三個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率.在此過程中會用到歸納思想和數(shù)形結(jié)合思想.對點(diǎn)訓(xùn)練4為了監(jiān)控生產(chǎn)某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件,并測量其尺寸(單位:cm).根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn),可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(μ,σ2).(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在[μ-3σ,μ