第二節(jié)成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析第十章內(nèi)容索引0102強基礎增分策略增素能精準突破課標解讀衍生考點核心素養(yǎng)1.了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計意義,了解樣本相關(guān)系數(shù)與標準化數(shù)據(jù)向量夾角的關(guān)系.會通過樣本相關(guān)系數(shù)比較多組成對數(shù)據(jù)的相關(guān)性.2.了解一元線性回歸模型的含義,了解模型參數(shù)的統(tǒng)計意義,了解最小二乘法原理,掌握一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計,會用一元線性回歸模型進行預測.3.理解2×2列聯(lián)表的統(tǒng)計意義,了解獨立性檢驗及其應用.1.數(shù)據(jù)的相關(guān)性2.一元線性回歸模型及其應用3.列聯(lián)表與獨立性檢驗數(shù)據(jù)分析數(shù)學運算強基礎增分策略知識梳理1.變量的相關(guān)關(guān)系(1)兩個變量有關(guān)系,但又沒有確切到可由其中一個去精確地決定另一個的程度,這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系.是一種非確定的關(guān)系,不是函數(shù)關(guān)系

(2)正相關(guān)、負相關(guān)從整體上看,當一個變量的值增加時,另一個變量的相應值也呈現(xiàn)_______的趨勢,我們就稱這兩個變量正相關(guān);如果當一個變量的值增加時,另一個變量的相應值呈現(xiàn)

的趨勢,則稱這兩個變量負相關(guān).

增加

減小

(3)線性相關(guān)、非線性相關(guān)一般地,如果兩個變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負相關(guān),而且散點落在一條

附近,我們就稱這兩個變量線性相關(guān).

一般地,如果兩個變量具有相關(guān)性,但不是線性相關(guān),那么我們就稱這兩個變量非線性相關(guān)或曲線相關(guān).直線

微點撥由散點圖判斷兩個變量正相關(guān)、負相關(guān)的方法:當散點圖中的點散布在平面直角坐標系中從左下角到右上角的區(qū)域時,兩個變量正相關(guān);當散點圖中的點散布在平面直角坐標系中從左上角到右下角的區(qū)域時,兩個變量負相關(guān).2.樣本相關(guān)系數(shù)

微點撥當r>0時,稱成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān);當r<0時,稱成對樣本數(shù)據(jù)負相關(guān).微思考成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度的強弱與樣本相關(guān)系數(shù)r有怎樣的關(guān)系?提示

樣本相關(guān)系數(shù)r的取值范圍為[-1,1],當|r|越接近1時,成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強;當|r|越接近0時,成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱.3.一元線性回歸模型

(1)數(shù)學表述式:如果兩個變量之間的關(guān)系可以表示為

我們稱該式為Y關(guān)于x的一元線性回歸模型.其中,Y稱為因變量或響應變量,x稱為自變量或解釋變量;a和b為模型的未知參數(shù),a稱為截距參數(shù),b稱為斜率參數(shù);e是Y與bx+a之間的隨機誤差.(2)經(jīng)驗回歸方程

(3)利用R2刻畫回歸效果

微點撥經(jīng)驗回歸方程不一定都有實際意義.回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的方法,只有在散點圖大致呈線性時,求出的經(jīng)驗回歸方程才有實際意義.4.列聯(lián)表與獨立性檢驗(1)2×2列聯(lián)表如圖,給出成對分類變量數(shù)據(jù)的交叉分類頻數(shù)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計表稱為2×2列聯(lián)表.XY合計Y=0Y=1X=0aba+bX=1cdc+d合計a+cb+da+b+c+d(2)獨立性檢驗

利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨立的方法稱為χ2獨立性檢驗,讀作“卡方獨立性檢驗”,簡稱獨立性檢驗.常用的小概率值和臨界值表α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828作為判斷χ2大小的標準

對點演練1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)利用散點圖可以直觀判斷兩個變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系.(

)(2)事件X,Y關(guān)系越密切,則由觀測數(shù)據(jù)計算得到的χ2越大.(

)(4)兩個變量的樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1,它們的線性相關(guān)程度越強.(

)√√×√2.(多選)下列說法不正確的有(

)A.經(jīng)驗回歸方程適用于一切樣本和總體B.經(jīng)驗回歸方程一般都有局限性C.樣本取值的范圍會影響經(jīng)驗回歸方程的適用范圍D.經(jīng)驗回歸方程得到的預測值是響應變量的精確值答案

AD

解析

樣本或總體具有線性相關(guān)關(guān)系時,才可求經(jīng)驗回歸方程,而且由經(jīng)驗回歸方程得到的函數(shù)值是近似值,而非精確值,因此經(jīng)驗回歸方程有一定的局限性,所以A,D錯誤.故選AD.3.為大力提倡“厲行節(jié)約,反對浪費”,某市通過隨機詢問100名性別不同的居民是否能做到“光盤”,得到如下的列聯(lián)表:性別做不到“光盤”能做到“光盤”男4510女3015附:α0.100.050.005xα2.7063.8417.879參照附表,得到的正確結(jié)論是(

)A.依據(jù)小概率值α=0.01的獨立性檢驗,認為該市居民能否做到“光盤”與性別有關(guān)聯(lián)B.依據(jù)小概率值α=0.01的獨立性檢驗,認為該市居民能否做到“光盤”與性別無關(guān)聯(lián)C.依據(jù)小概率值α=0.10的獨立性檢驗,認為該市居民能否做到“光盤”與性別有關(guān)聯(lián)D.依據(jù)小概率值α=0.10的獨立性檢驗,認為該市居民能否做到“光盤”與性別無關(guān)聯(lián)答案

C

解析

零假設為H0:該市居民能否做到“光盤”與性別無關(guān)聯(lián).由表計算得χ2=

≈3.03>2.706=x0.10,依據(jù)α=0.10的獨立性檢驗,我們推斷H0不成立,即認為該市居民能否做到“光盤”與性別有關(guān)聯(lián),并且該推斷犯錯誤的概率不超過0.10.故選C.增素能精準突破考點一數(shù)據(jù)的相關(guān)性典例突破例1.(1)(多選)有一散點圖如圖所示,在5組(x,y)數(shù)據(jù)中去掉D(3,10)后,下列說法正確的是(

)A.經(jīng)驗回歸方程不變B.樣本相關(guān)系數(shù)r變大C.各組數(shù)據(jù)對應的點到經(jīng)驗回歸直線的距離的平方和變小D.變量x與變量y的相關(guān)程度變強(2)上圖是具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量的一組數(shù)據(jù)的散點圖和經(jīng)驗回歸直線,若去掉一個點使得余下的5個點所對應的數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)最大,則應當去掉的點是(

)A.DB.EC.FD.A答案

(1)BCD

(2)B

解析

(1)根據(jù)D點在散點圖中的位置可知,D比較偏離經(jīng)驗回歸直線,故去掉D(3,10)后,數(shù)據(jù)比原來集中,相關(guān)程度變強,經(jīng)驗回歸方程有所改變,A錯誤,B,C,D都正確.故選BCD.(2)因為樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值越大,|r|越接近于1,則說明兩個變量的線性相關(guān)程度越強.因為點E到直線的距離最遠,所以去掉點E,余下的5個點所對應的數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)最大,故選B.方法總結(jié)判斷成對數(shù)據(jù)的相關(guān)關(guān)系的三種方法

A.0<r1<r2<1 B.0<r2<r1<1C.-1<r1<r2<0 D.-1<r2<r1<0答案

D

解析

由散點圖得兩個變量負相關(guān),所以r1<0,r2<0,因為剔除點(10,21)后,剩下數(shù)據(jù)線性相關(guān)程度更強,|r|更接近于1,所以-1<r2<r1<0.故選D.考點二一元線性回歸模型及其應用(多考向探究)考向1.經(jīng)驗回歸方程及應用典例突破例2.如圖是2016~2020年全國碩士研究生報考人數(shù)的折線圖.注:年份代碼1~5分別對應年份2016~2020(1)建立y關(guān)于t的經(jīng)驗回歸方程;(2)根據(jù)(1)中的經(jīng)驗回歸方程,預測2022年全國碩士研究生報考人數(shù).方法總結(jié)求經(jīng)驗回歸方程的步驟

對點訓練2(2022山東濟南一中高三檢測)某滑雪場開業(yè),下表統(tǒng)計了該滑雪場開業(yè)第x天的滑雪人數(shù)y(單位:百人)的數(shù)據(jù).天數(shù)代碼x1234567滑雪人數(shù)y(百人)11131615202123(1)根據(jù)第1至7天的數(shù)據(jù)分析,可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系,請用樣本相關(guān)系數(shù)加以說明(保留兩位有效數(shù)字);(2)經(jīng)過測算,若一天中滑雪人數(shù)超過3000人時,當天滑雪場可實現(xiàn)盈利,請建立y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程,并預測該滑雪場開業(yè)的第幾天開始盈利.因為樣本相關(guān)系數(shù)|r|接近于1,所以可以推斷x和y這兩個變量線性相關(guān),且相關(guān)程度很強.因為一天中滑雪人數(shù)超過3000人時,當天滑雪場可實現(xiàn)盈利,即2x+9>30時,可實現(xiàn)盈利,解得x>10.5,所以根據(jù)經(jīng)驗回歸方程預測,該滑雪場開業(yè)的第11天開始盈利.考向2.非線性經(jīng)驗回歸方程及應用典例突破例3.已知蘄艾的株高y(單位:cm)與一定范圍內(nèi)的溫度x(單位:℃)有關(guān),現(xiàn)收集了蘄艾的13組觀測數(shù)據(jù),得到如下的散點圖:且(si,yi)與(ti,yi)(i=1,2,3,…,13)的樣本相關(guān)系數(shù)分別為r1,r2,且r2≈-0.9953.(1)用樣本相關(guān)系數(shù)說明用哪種模型建立y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程更合適;(2)根據(jù)(1)的結(jié)果及表中數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程;名師點析解決非線性經(jīng)驗回歸分析問題的一般思路是換元,化非線性為線性,再用經(jīng)驗回歸方程的方法求解.對點訓練3近期,某公交公司分別推出A和B兩種掃碼支付乘車活動,活動設置了一段時間的推廣期,由于推廣期內(nèi)優(yōu)惠力度較大,吸引了越來越多的人開始使用掃碼支付.某線路公交車隊統(tǒng)計了活動剛推出一周內(nèi)每一天使用掃碼支付的人次,用x表示活動推出的天數(shù),y表示每天使用掃碼支付的人次(計10人次為1個單位,例如y=6表示60人次),統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表所示:x1234567y611213466101196根據(jù)以上數(shù)據(jù),繪制了如圖所示的散點圖.(1)根據(jù)散點圖判斷,在推廣期內(nèi),y=a+bx與y=c·dx(c,d均為大于零的常數(shù))哪一個適宜作為掃碼支付的人次y關(guān)于活動推出天數(shù)x的經(jīng)驗回歸方程類型;(給出判斷即可,不必說明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中的數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程,并預測活動推出第8天使用掃碼支付的人次.參考數(shù)據(jù):解

(1)根據(jù)散點圖判斷,y=c·dx適宜作為掃碼支付的人次y關(guān)于活動推出天數(shù)x的經(jīng)驗回歸方程類型.考點三列聯(lián)表與獨立性檢驗典例突破例4.(2022全國甲,文17)甲、乙兩城之間的長途客車均由A和B兩家公司運營,為了解這兩家公司長途客車的運行情況,隨機調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個班次,得到下面列聯(lián)表:公司次數(shù)準點班次數(shù)未準點班次數(shù)A24020B21030(1)根據(jù)上表,分別估計這兩家公司甲、乙兩城之間的長途客車準點的概率;(2)試根據(jù)小概率值α=0.10的獨立性檢驗,分析甲、乙兩城之間的長途客車是否準點與客車所屬公司有沒有關(guān)系.α0.100.050.01xα2.7063.8416.635(2)根據(jù)已知數(shù)據(jù)得到列聯(lián)表如下:公司次數(shù)合計準點班次數(shù)未準點班次數(shù)A24020260B21030240合計45050500零假設為H0:甲、乙兩城之間的長途客車是否準點與客車所屬公司有關(guān).≈3.205>2.706=x0.10.根據(jù)小概率值α=0.10的獨立性檢驗,推斷H0不成立,即認為甲、乙兩城之間的長途客車是否準點與客車所屬公司有關(guān),此推斷犯錯誤的概率不大于0.10.方法總結(jié)獨立性檢驗的一般步驟

對點訓練4某校組織了全體學生參加“建黨100周年”知識競賽,從高一、高二年級各隨機抽取50名學生的競賽成績(滿分100分),統(tǒng)計如下表:分數(shù)段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]高一年級310121510高二年級46101812(1)分別估計高一、高二年級競賽成績的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)以該組數(shù)據(jù)所在區(qū)間的