2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院1/109第二章導數(shù)與微分第一節(jié)導數(shù)概念第二節(jié)函數(shù)的求導法則第三節(jié)高階導數(shù)第四節(jié)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)相關變化率的導數(shù)第五節(jié)函數(shù)的微分2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院2/109第一節(jié)導數(shù)概念一、引例二、導數(shù)的定義三、導數(shù)的幾何意義四、函數(shù)可導性與連續(xù)性的關系2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院3/109一、引例1.變速直線運動的速度設描述質點運動位置的函數(shù)為則到的平均速度為而在時刻的瞬時速度為2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院4/1092.曲線的切線斜率曲線在M

點處的切線割線MN

的極限位置MT(當時)割線MN

的斜率切線MT的斜率2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院5/109兩個問題的共性:瞬時速度切線斜率所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限.類似問題還有:加速度角速度線密度電流強度是速度增量與時間增量之比的極限是轉角增量與時間增量之比的極限是質量增量與長度增量之比的極限是電量增量與時間增量之比的極限變化率問題2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院6/109二、導數(shù)的定義定義1.

設函數(shù)在點存在,并稱此極限為記作:即則稱函數(shù)若的某鄰域內有定義,在點處可導,在點的導數(shù).2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院7/109運動質點的位置函數(shù)在時刻的瞬時速度曲線在M

點處的切線斜率若上述極限不存在,在點不可導.就說函數(shù)的導數(shù)為無窮大.也稱在注:2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院8/109導函數(shù)的定義

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I內每一點x都對應一個導數(shù)值

則這一對應關系所確定的函數(shù)稱為函數(shù)y=f(x)的導函數(shù)

簡稱導數(shù)

記作易見

求導數(shù)的步驟(1)求增量(2)算比值(3)求極限2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院9/109例1.

求函數(shù)解:說明：對一般冪函數(shù)(為常數(shù))例如，2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院10/109例2.

求函數(shù)的導數(shù).解:則即類似可證得2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院11/109解例3求函數(shù)的導數(shù).即例4求函數(shù)的導數(shù)解即2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院12/109解例5即2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院13/109單側導數(shù)1.左導數(shù):2.右導數(shù):函數(shù)f(x)在某點處可導左導數(shù)和右導數(shù)都存在且相等.函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a

b)內可導是指函數(shù)在區(qū)間內每一點可導

函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a

b]上可導是指函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a

b)內可導

且在a點有右導數(shù)、在b點有左導數(shù)

2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院14/109三、導數(shù)的幾何意義1.幾何意義切線方程為法線方程為2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院15/109

解

所求法線方程為并寫出在該點處的切線方程和法線方程

所求切線及法線的斜率分別為所求切線方程為

即4x+y-4=0

即2x-8y+15=0

,

例6.求等邊雙曲線在點處的切線的斜率2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院16/109例7.

問曲線哪一點有垂直切線?哪一點處的切線與直線平行?寫出其切線方程.解:令得對應則在點(1,1),(–1,–1)處與直線平行的切線方程分別為即故在原點(0,0)有垂直切線2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院17/109四、函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關系定理1.證:設在點x處可導,存在,因此必有其中故所以函數(shù)在點x

連續(xù).注意:

函數(shù)在點x連續(xù)未必可導.反例:在

x=0處連續(xù),

但不可導.即2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院18/109解例8討論函數(shù)在x=0處不可導在x=0處的連續(xù)性和可導性2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院19/109內容小結1.導數(shù)的實質:3.導數(shù)的幾何意義:4.可導必連續(xù),但連續(xù)不一定可導;5.已學求導公式:6.判斷可導性不連續(xù),一定不可導.直接用導數(shù)定義;看左右導數(shù)是否存在且相等.2.增量比的極限;切線的斜率;2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院20/109思考與練習1.

函數(shù)在某點處的導數(shù)區(qū)別:是函數(shù),是數(shù)值;聯(lián)系:注意:有什么區(qū)別與聯(lián)系?？與導函數(shù)2.

設存在,則3.

已知則2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院21/1094.

設,問a

取何值時,在都存在,并求出解:故時此時在都存在,顯然該函數(shù)在x=0連續(xù).2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院22/109解:

因為5.

設存在,且求所以2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院23/109解:

因為6.

設存在,且求所以2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院24/109二、反函數(shù)的求導法則三、復合函數(shù)的求導法則

一、函數(shù)的和、差、積、商的求導法則§2.2

函數(shù)的求導法則四、基本求導法則與導數(shù)公式2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院25/109一、四則運算求導法則

定理1.的和、差、積、商(除分母為0的點外)都在點x

可導,且則2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院26/109此法則可推廣到任意有限項的情形.證:

設,則故結論成立.例如,返回2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院27/109(2)證:

設則有故結論成立.推論:(C為常數(shù))返回2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院28/109

解

例1

例2

y=ex

(sinx+cosx)

求y

=2excosx

解

y

=(ex)

(sinx+cosx)+e

x

(sinx+cosx)

=e

x(sinx+cosx)+e

x(cosx

-sinx)求導法則

例4

y

secx

求y

2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院29/109二、反函數(shù)的求導法則

定理2.y的某鄰域內單調可導,證:在

x

處給增量由反函數(shù)的單調性知且由反函數(shù)的連續(xù)性知因此則2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院30/109

例6

求(arctanx)

及(arccotx)

解

因為y=arctanx是x=tany的反函數(shù)

所以

例5

求(arcsinx)

及(arccosx)

解

因為y=arcsinx是x=siny的反函數(shù)

所以反函數(shù)的求導法則:2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院31/109在點x

可導,三、復合函數(shù)求導法則定理3.在點可導.復合函數(shù)且在點x

可導,證:在點

u可導,故（當時)故有則2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院32/109例如,關鍵:

搞清復合函數(shù)結構,由外向內逐層求導.推廣：此法則可推廣到多個中間變量的情形.2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院33/109

解

復合函數(shù)的求導法則:

例7

例8.

求下列導數(shù):解:

(1)(2)2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院34/109

例9復合函數(shù)的求導法則:

例10

解

解

2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院35/109四、基本求導法則與導數(shù)公式1.常數(shù)和基本初等函數(shù)的導數(shù)(P94)2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院36/1092.導數(shù)的四則運算法則(C為常數(shù))4.復合函數(shù)求導法則3.反函數(shù)求導法則

2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院37/109例11.求解:由于例12.設解:求2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院38/109例13.求解:2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院39/109例14.

設求解:2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院40/109例15.

若存在,求的導數(shù).這兩個記號含義不同練習:

設解:2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院41/109思考與練習1.

設其中在因故正確解法:時,下列做法是否正確?在求處連續(xù),2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院42/1092.

求下列函數(shù)的導數(shù)解:(1)(2)或2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院43/1093.

設求解:方法1

利用導數(shù)定義.方法2

利用求導公式.2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院44/109二、高階導數(shù)的運算法則一、高階導數(shù)的概念§2.3

高階導數(shù)2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院45/109一、高階導數(shù)的概念速度即加速度即引例：變速直線運動2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院46/109定義.若函數(shù)的導數(shù)可導,或即或類似地,二階導數(shù)的導數(shù)稱為三階導數(shù),階導數(shù)的導數(shù)稱為n

階導數(shù),或的二階導數(shù),記作的導數(shù)為依次類推,分別記作則稱2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院47/109所以y3y

1

0

證明

例1

證明:

函數(shù)22xxy-=滿足關系式013=+￠￠yy.

2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院48/109設存在，求下列函數(shù)的二階導數(shù)解:（1）例2.（1）（2）（2）2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院49/109設求解:依次類推,例3.思考:

設問可得2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院50/109例4.

設求解:特別有:解:規(guī)定0!=1例5.設求2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院51/109例6.

設求解:一般地,類似可證:2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院52/109例7.

設求使存在的最高分析:但是不存在.2又階數(shù)2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院53/109二、高階導數(shù)的運算法則都有n

階導數(shù),則(C為常數(shù))萊布尼茲(Leibniz)公式及設函數(shù)2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院54/109用數(shù)學歸納法可證萊布尼茲公式成立.2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院55/109例8.求解:

設則代入萊布尼茲公式,得2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院56/109(1)逐階求導法(2)利用歸納法(3)間接法——利用已知的高階導數(shù)公式(4)利用萊布尼茲公式高階導數(shù)的求法如,2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院57/109例9.

如何求下列函數(shù)的

n

階導數(shù)?解:解:(3)解:2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院58/109二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)一、隱函數(shù)的導數(shù)

§2.4隱函數(shù)和參數(shù)方程求導

三、相關變化率2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院59/109一、隱函數(shù)的導數(shù)顯函數(shù)與隱函數(shù)

形如y

f(x)的函數(shù)稱為顯函數(shù)

例如

y

sinx

y

lnx

ex

都是顯函數(shù)

由方程F(x

y)

0所確的函數(shù)稱為隱函數(shù)

把一個隱函數(shù)化成顯函數(shù)

叫做隱函數(shù)的顯化

例如

方程x

y3

1

0確定的隱函數(shù)為

隱函數(shù)的求導法

把方程兩邊分別對x求導數(shù)

然后從所得的新的方程中把隱函數(shù)的導數(shù)解出.2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院60/109

例1

求由方程ey

xy

e

0所確定的隱函數(shù)y的導數(shù)

(ey)

(xy)

(e)

(0)

即ey

y

y+xy

0

方程中每一項對x求導得解

例2

求由方程y5

2y

x

3x7

0所確定的隱函數(shù)y

f(x)在

x

0處的導數(shù)y

|x

0

因為當x

0時

從原方程得y

0

所以5y4

y

2y

1

21x6

0

方程兩邊分別對x求導數(shù)得解

2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院61/109例3.

求橢圓在點處的切線方程.解:

橢圓方程兩邊對

x

求導故切線方程為即2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院62/109

解

上式兩邊再對x求導

得的二階導數(shù)

例4

方程兩邊對x求導

得2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院63/109y

f(x)

[lnf(x)]

對數(shù)求導法適用于求冪指函數(shù)y

[u(x)]v(x)的導數(shù)及多因子之積和商的導數(shù)

此方法是先在y

f(x)的兩邊取對數(shù)

然后用隱函數(shù)求導法求出y的導數(shù)

設y

f(x)

兩邊取對數(shù)

得lny

lnf(x)

兩邊對x

求導

得對數(shù)求導法2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院64/109

例5

求y

xsinx

(x>0)的導數(shù)

解法二

這種冪指函數(shù)的導數(shù)也可按下面的方法求.

解法一

上式兩邊對x

求導

得兩邊取對數(shù)

得lny

sinx

lnx

y

xsinx

esinx·lnx

2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院65/109上式兩邊對x求導

得說明

嚴格來說

本題應分x

4

x

1

2

x

3三種情況討論

但結果都是一樣的

例6

先在兩邊取對數(shù)

得

解

2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院66/109

設x

j(t)具有反函數(shù)t

j-1(x)

且t

j-1(x)與y

y(t)構成復合函數(shù)y

y[j-1(x)]

若x

j(t)和y

y(t)都可導

則二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)

設y與x的函數(shù)關系是由參數(shù)方程?íì==)()(tytxyj確定的.

2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院67/109

解

所求切線的斜率為abdxdyt-==4p.

例7.

求橢圓?íì==tbytaxsincos在相應于4

p=t點處的切線方程.

2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院68/109

再求速度的方向

設a是切線的傾角

則軌道的切線方向為于是拋射體在時刻t的運動速度的大小為

x

(t)=v1

y

(t)=v2-gt

求拋射體在時刻t的運動速度的大小和方向

例8

拋射體運動軌跡的參數(shù)方程為

速度的水平分量與鉛直分量分別為先求速度的大小

解

2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院69/109討論:

已知x

j(t),y

y(t)

如何求y對x的二階導數(shù)y

?例9.

設求例10.

設,且求解:解:2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院70/109的函數(shù)y

f(x)的二階導數(shù)

解

(t

2np

n為整數(shù))

例11．計算由擺線的參數(shù)方程?íì-=-=)cos1()sin(tayttax所確定

2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院71/109

三、相關變化率為兩可導函數(shù)之間有聯(lián)系之間也有聯(lián)系稱為相關變化率相關變化率問題解法:找出相關變量的關系式對

t求導得相關變化率之間的關系式求出未知的相關變化率2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院72/109例12.

一氣球從離開觀察員500m

處離地面鉛直上升,其速率為當氣球高度為500m

時,觀察員視線的仰角增加率是多少?解:

設氣球上升t

分后其高度為h,仰角為

,則兩邊對t求導已知

h=500m時,2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院73/109二、微分的幾何意義一、微分的概念

§2.5函數(shù)的微分

三、微分的運算法則四、微分在近似計算中的應用2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院74/109一、微分的概念

引例:

一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,問此薄片面積改變了多少?設薄片邊長為x,面積為A,則面積的增量為關于△x

的線性主部高階無窮小時為故稱為函數(shù)在的微分當x在取得增量時,變到邊長由其2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院75/109的微分,定義:

若函數(shù)在點的增量可表示為(A

為不依賴于△x的常數(shù))則稱函數(shù)而稱為記作即定理:

函數(shù)在點可微的充要條件是即在點可微,2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院76/109定理:函數(shù)證:“必要性”已知在點可微,則故在點的可導,且在點可微的充要條件是在點處可導,且即2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院77/109定理:函數(shù)在點可微的充要條件是在點處可導,且即“充分性”已知即在點的可導,則2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院78/109注:時,所以時很小時,有近似公式與是等價無窮小,當故當2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院79/109

例1

求函數(shù)y

x2在x

1和x

3處的微分

dy

(x2)

|x

1Dx

2Dx

函數(shù)y

x2在x

3處的微分為

dy

(x2)

|x

3Dx

6Dx

例2

求函數(shù)y

x3當x

2

Dx

0

02時的微分

y

f(x)在點x0可微

Dy

ADx

o(Dx)

dy=f

(x0)Dx

解

函數(shù)y

x2在x

1處的微分為

解

先求函數(shù)在任意點x

的微分

dy

(x3)

Dx

3x2Dx

再求函數(shù)當x

2

Dx

0

02時的微分

dy|x=2,Dx=0.02=3

22

0.02=0.24

=3x2|x=2,Dx=0.022023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院80/109

當|Dx|很小時

|Dy

dy|比|Dx|小得多

因此

在點M的鄰近

我們可以用切線段來近似代替曲線段

Dy是曲線上點的縱坐標的增量;dy是過點(x0

f(x0))的切線上點的縱坐標的增量.

當x從x0變到x0+Dx時

二、微分的幾何意義則有從而導數(shù)也叫作微商自變量的微分,記作記2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院81/109d(xm)

mxm

1dx

d(sinx)

cosxdx

d(cosx)

sinxdx

d(tanx)

sec2xdx

d(cotx)

csc2xdx

d(secx)

secxtanxdx

d(cscx)

cscxcotxdx

d(a

x)

ax

lnadx

d(e

x)

exdx

(xm)

mxm

1

(sinx)

cosx

(cosx)

sinx(tanx)

sec2

x

(cotx)

csc2x

(secx)

secxtanx

(cscx)

cscxcotx

(a

x)

ax

lna

(e

x)

ex微分公式:

導數(shù)公式:

1.基本初等函數(shù)的微分公式三、微分的基本公式和運算法則2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院82/109微分公式:

導數(shù)公式:

2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院83/1092、微分的四則運算法則設u(x),v(x)均可微,則(C

為常數(shù))分別可微,的微分為微分形式不變3.復合函數(shù)的微分則復合函數(shù)2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院84/109

在求復合函數(shù)的導數(shù)時

可以不寫出中間變量

例3

y

sin(2x

1)

求dy

2cos(2x

1)dx

cos(2x

1)

2dx

cos(2x

1)d(2x

1)dy

d(sinu)

cosudu

若y

f(u)

u

j(x)

則dy

f

(u)du

解

把2x

1看成中間變量u

則

例4

解

2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院85/109例5.設求解:利用一階微分形式不變性,有例6.

在下列括號中填入適當?shù)暮瘮?shù)使等式成立:說明:

上述微分的反問題是不定積分要研究的內容.注意:數(shù)學中的反問題往往出現(xiàn)多值性.2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院86/109四、微分在近似計算中的應用1.函數(shù)的近似計算

當很小時,使用原則:得近似等式:2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院87/109特別當很小時,常用近似公式:很小)證明:令得2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院88/109的近似值.解:

設取則例7.求的近似值.解:例8.計算2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院89/109例9.有一批半徑為1cm的球

,為了提高球面的光潔度,解:

已知球體體積為鍍銅體積為V

在時體積的增量因此每只球需用銅約為(g)用銅多少克.估計一下,每只球需要鍍上一層銅,厚度定為0.01cm,2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院90/1092.誤差估計

某量的精確值為A,其近似值為a,稱為a的絕對誤差稱為a的相對誤差若稱為測量

A的絕對誤差限稱為測量

A的相對誤差限2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院91/109誤差傳遞公式:已知測量誤差限為按公式計算

y

值時的誤差故y

的絕對誤差限約為相對誤差限約為若直接測量某量得x,2023/10/11南京中醫(yī)藥大學信息技術學院92/109例10.

設測得圓鋼截面的直徑測量D的

絕對誤差限欲利用公式圓鋼截面積,解:計算