對任意的x，有E(Xk)=

，D(Xk)=

2，k=1,2,…則隨機變量§4.2中心極限定理

定理3（同分布中心極限定理）設(shè)隨機變量X1,X2,…,Xn,…相互獨立，服從相同分布，且有有限的數(shù)學(xué)期望和方差，即：的分布函數(shù)Fn(x)滿足：

說明：（1）當(dāng)n較大時，Yn近似地服從N(0,1)，即

（2）當(dāng)n很大時，近似地服從N(n

,n

2),即不論Xi具有怎樣的分布，只要有有限的期望和方差，當(dāng)n很大時，其和就近似地服從正態(tài)分布。

定理4（棣莫佛-拉普拉斯中心極限定理）設(shè)隨機變量

n服從參數(shù)為n,p的二項分布(n=1,2,…,0＜p＜1)，則對于任意實數(shù)x,恒有

證由于服從二項分布的隨機變量

n可視為n個相互獨立的、服從同一參數(shù)p的0-1分布的隨機變量X1,X2,…,Xn之和:其中

由獨立同分布中心極限定理可得

此定理表明，正態(tài)分布是二項分布的極限分布．當(dāng)n充分大時，服從二項分布的隨機變量

n的概率計算可以轉(zhuǎn)化為正態(tài)隨機變量的概率計算：

由于當(dāng)較大n，且p較小時，二項式分布的計算十分麻煩，因此，若用上面的近似公式計算將是非常簡潔的．

解設(shè)表示500輛的士中出事故的車輛數(shù)，則X服從n=500,p=0.006的二項分布,這時保險公司一年賺錢不小于200000元的事件為即事件{0≤X≤4},從而有

例1

某出租車公司有500輛的士參加保險，在一年里的出事故的概率為0.006，參加保險的的士每年交800元的保險費．若出事故，保險公司最多賠償50000元，試利用中心極限定理，計算保險公司一年賺錢不小于200000元的概率．

可見，保險公司在一年里賺錢不小于200000元的概率為0.7781.

例2

設(shè)船舶在某海區(qū)航行，已知每遭受一次波浪的沖擊，縱搖角度大于6

的概率為p=1/3，若船舶遭受了90000次波浪沖擊，問其中有29500～30500次縱搖角度大于的概率是多少？

解設(shè)X為90000次沖擊中縱搖角度大于6

的次數(shù),則

由德莫佛-拉普拉斯中心極限定理，得

例3

現(xiàn)有一批良種率為0.6的種子，從其中任意抽出1000粒，試問在這1000粒種子中，良種所占的比例在2/5至4/5之間的概率是多少?

解抽一粒良種看成是一次隨機試驗，因此抽1000粒種子看作是1000重貝努里試驗．若令X表示1000粒種子中的良種數(shù)，則X服從n=1000,p=0.6的二項分布，故由德莫佛-拉普拉斯中心極限定理可得

例4

在抽樣檢查某種產(chǎn)品的質(zhì)量時，如果發(fā)現(xiàn)次品多于10個，則拒絕接受這批產(chǎn)品．設(shè)產(chǎn)品的次品率為10﹪，問至少應(yīng)抽查多少個產(chǎn)品進行檢查，才能保證拒絕這批產(chǎn)品的概率達到0.9？

解設(shè)應(yīng)抽查n件產(chǎn)品，其中次品數(shù)為Y．記由德莫佛-拉普拉斯中心極限定理，得則要使

即

解得

即至少要抽查147件產(chǎn)品才能保證拒絕這批產(chǎn)品的概率達到0.9．

解

(1)設(shè)Xi表示第i次測量值，

i表示第i次測量產(chǎn)生的隨機誤差(

i=1,2,…,n),

表示所測物理量的真值，則

Xi=

+

i.由題設(shè)

i~U(-1,1)，所以

例5

獨立地多次測量一個物理量，每次測量產(chǎn)生的隨機誤差，都服從(-1,1)內(nèi)的均勻分布．

(1)若取n次測量的算術(shù)平均值作為測量結(jié)果，求它與真值的差小于正數(shù)

的概率；

(2)計算當(dāng)n=36,

=1/6

時概率的近似值；

(3)要使上述概率不小于

=0.95,應(yīng)進行多少次測量?

由題設(shè)知X1,…,Xn獨立同分布，而且故當(dāng)n很大時，由獨立同分布的中心極限定理可知，隨機變量近似服從標(biāo)準正態(tài)分布．于是，所求概率為(2)當(dāng)時(3)由題意可知，現(xiàn)在要