1.1

命題及其關系高二數(shù)學選修1-1

第一章常用邏輯用語常用邏輯用語“數(shù)學是思維的科學”邏輯是研究思維形式和規(guī)律的科學.

邏輯用語是我們必不可少的工具.

通過學習和使用常用邏輯用語,掌握常用邏輯用語的用法,糾正出現(xiàn)的邏輯錯誤,體會運用常用邏輯用語表述數(shù)學內容的準確性、簡捷性.1.1.1命題思考?特點：①都是陳述句;②都可以判斷真假.下列語句的表述形式有什么特點?你能判斷它們的真假嗎?(1)若直線a∥b,則直線a和直線b無公共點;(2)2+4=7;(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行;(4)若x2=1,則x=1;(5)兩個全等三角形的面積相等;(6)3能被2整除.（√）（√）（√）（×）（×）（×）命題的概念一般地,在數(shù)學中,我們把用語言、符號或式子表達的,可以判斷真假的陳述句叫做命題判斷為真的語句叫真命題。判斷為假的語句叫假命題。結論：命題的定義的要點：能判斷真假的陳述句．看看下列語句是不是命題？（1）今天天氣如何？（2）你是不是作業(yè)沒交？（3）這里景色多美啊?。?）-2不是整數(shù)。（5）4>3。（6）

x>4。不是（疑問句）不是（疑問句）不是（感嘆句）

是

是不是例1.下列語句中哪些是命題？是真命題還是假命題？(1)空集是任何集合的子集;(2)若整數(shù)a是素數(shù)，則a是奇數(shù);(3)指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)嗎？(4)若空間中兩條直線不相交，則這兩條直線平行;(5);(6)x>15.真命題真命題假命題假命題上面(2)(4)具有“若p,則q”的形式.本章中我們只討論這種形式.“若p,則q”也可寫成“如果p,那么q”“只要p,就有q”等形式.其中p叫做命題的條件,q叫做命題的結論.記做:（不是命題）（不是命題）命題“若整數(shù)a是素數(shù)，則a是奇數(shù)。”具有“若p則q”的形式。qp通常,我們把這種形式的命題中的p叫做命題的條件,q叫做命題的結論?！叭魀則q”形式的命題是命題的一種形式而不是唯一的形式,也可寫成“如果p,那么q”，“只要p,就有q”等形式?！叭魀則q”形式的命題的優(yōu)點是條件與結論容易辨別,缺點是太格式化且不靈活.“若p則q”形式的命題例2．指出下列命題的條件p和結論q：

（1）若整數(shù)a能被2整除，則a是偶數(shù)；（2）若四邊形是菱形，則它的對角線互相垂直且平分．

解：(1)條件p：整數(shù)a能被2整除，結論q：整數(shù)a是偶數(shù)。

(2)寫成若p，則q

的形式：若四邊形是菱形，則它的對角線互相垂直且平分。條件p：四邊形是菱形，結論q：四邊形的對角線互相垂直且平分。

數(shù)學中有一些命題雖然表面上不是“若p，則q”的形式,例如“垂直于同一條直線的兩個平面平行”，但是把它的形式作適當改變，就可以寫成“若p，則q”的形式：

若兩個平面垂直于同一條直線，則這兩個平面平行．這樣，它的條件和結論就很清楚了．

“若p則q”形式的命題的書寫例3.將下列命題改寫成“若p,則q”的形式,并判斷真假:（1）垂直于同一條直線的兩條直線平行；若兩條直線垂直于同一直線，則這兩條直線平行。假（2）負數(shù)的立方是負數(shù);（3）對頂角相等.若一個數(shù)是負數(shù)，則這個數(shù)的立方是負數(shù)。若兩個角是對頂角，則這兩個角相等。真真例3.將下列命題改寫成“若p,則q”的形式,并判斷真假:（4）垂直于同一條直線的兩個平面平行；（5）兩個全等三角形的面積相等；（6）3能被2整除；若兩個平面垂直于同一直線，則這兩個平面平行。若兩個三角形全等，則這兩個三角形的面積相等。若一個數(shù)是3，則這個數(shù)能被2整除。真假真習題：課本P４2.判斷下列命題的真假：（1）能被6整除的整數(shù)一定能被3整除；（2）若一個四邊形的四條邊相等，則這個四邊形是正方形；（3）二次函數(shù)的圖象是一條拋物線；（4）兩個內角等于450

的三角形是等腰三角形．（真命題）（真命題）（真命題）（假命題）3．把下列命題改寫成“若p，則q”的形式，并判斷它們的真假：（1）等腰三角形兩腰的中線相等；（2）偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱；（3）垂直于同一個平面的兩個平面平行．解：（1）若一個三角形是等腰三角形，則該三角形的兩腰上的中線相等,它是真命題;（2）若一個函數(shù)是偶函數(shù)，則它的圖象關于y軸對稱,它是真命題;（3）若兩個平面垂直于同一個平面，則這兩個平面平行,它是假命題.1.1.2四種命題思考：

下列四個命題中，命題（１）與命題（２）（３）（４）的條件和結論之間分別有什么關系？（１）若f(x)是正弦函數(shù)，則f(x)是周期函數(shù)；（２）若f(x)是周期函數(shù)，則f(x)是正弦函數(shù)；（３）若f(x)不是正弦函數(shù)，則f(x)不是周期函數(shù)；（４）若f(x)不是周期函數(shù)，則f(x)不是正弦函數(shù)；思考下列四個命題中，命題（１）與命題（２）的條件和結論之間分別有什么關系？（１）若f(x)是正弦函數(shù)，則f(x)是周期函數(shù)；（２）若f(x)是周期函數(shù)，則f(x)是正弦函數(shù)；特點：條件和結論互換了

一般地，對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論和條件，那么我們把這樣的兩個命題叫做互逆命題．其中一個命題叫做原命題，另一個叫做原命題的逆命題．即若將原命題表示為：若p，則q．則它的逆命題為：若q，則p．

即交換原命題的條件和結論即得其逆命題．例：給出命題“同位角相等，兩直線平行”寫出其逆命題．

分析:

條件:同位角相等;

結論：兩直線平行．(原命題)條件:兩直線平行;結論:同位角相等．(逆命題)其逆命題：兩條直線平行，同位角相等．探究：如果原命題是真命題，那么它的逆命題一定是真命題嗎？

例1．等邊三角形的三個內角相等．例2．若f(x)是正弦函數(shù)，則f(x)是周期函數(shù)；

逆命題：三個內角相等的三角形是等邊三角形．逆命題：若f(x)是周期函數(shù)，則f(x)是正弦函數(shù)．

（真命題）（真命題）（假命題）（真命題）原命題是真命題，它的逆命題不一定是真命題．思考下列四個命題中，命題（１）與命題（3）的條件和結論之間分別有什么關系？

（１）若f(x)是正弦函數(shù)，則f(x)是周期函數(shù)；（3）若f(x)不是正弦函數(shù)，則f(x)不是周期函數(shù)；特點：將條件和結論同時否定了

一般地，對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論恰好是另一個命題的條件的否定和結論的否定，我們把這樣的兩個命題叫做互否命題．如果把其中的一個命題叫做原命題，那么另一個叫做原命題的的否命題．即若將原命題表示為：若p，則q．則它的否命題為：若┐p，則┐q.即同時否定原命題的條件和結論，即得其否命題.例：寫出命題“同位角相等，兩直線平行”的否命題.

條件:同位角不相等;

結論:兩直線不平行．(否命題)分析:條件:同位角相等;結論：兩直線平行．(原命題)否命題：同位角不相等，兩直線不平行.分析:條件：整數(shù)a不能被２整除;結論：a是奇數(shù)．(原命題)例：寫出命題“若整數(shù)a不能被２整除，則a是奇數(shù)”的否命題.

條件：整數(shù)a能被２整除;結論：a不是奇數(shù)．(否命題)否命題：若整數(shù)a能被２整除，則a是偶數(shù).探究：如果原命題是真命題，那么它的否命題一定是真命題嗎？

否命題：同位角不相等，兩直線不平行.例1.原命題：同位角相等，兩直線平行.例2.原命題：若f(x)是正弦函數(shù)，則f(x)是周期函數(shù).否命題：若f(x)不是正弦函數(shù)，則f(x)不是周期函數(shù).（真命題）（真命題）（真命題）（假命題）原命題是真命題，它的否命題不一定是真命題.思考:下列四個命題中，命題（１）與命題（4）的條件和結論之間分別有什么關系？

（１）若f(x)是正弦函數(shù)，則f(x)是周期函數(shù)；（４）

若f(x)不是周期函數(shù)，則f(x)不是正弦函數(shù)；特點：交換原命題的條件和結論，并且同時否定了一般地，對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論恰好是另一個命題的結論的否定和條件的否定，我們把這樣的兩個命題叫做互為逆否命題．其中一個命題叫做原命題，另一個叫做原命題的的逆否命題．即若將原命題表示為：若p，則q,則它的逆否命題為：若┐q，則┐p.即交換原命題的條件和結論，并且同時否定，則得其逆否命題.例：寫出命題“同位角相等，兩直線平行”

的逆否命題.

分析:

條件:同位角相等;

結論：兩直線平行．(原命題)條件:兩直線不平行;結論:同位角不相等．(逆否命題)其逆否命題：兩直線不平行，同位角不相等.探究：如果原命題是真命題，那么它的逆否命題一定是真命題嗎？

例1.原命題：同位角相等，兩直線平行.

逆否命題：兩直線不平行，同位角不相等.例2.原命題：f(x)是正弦函數(shù)，則f(x)是周期函數(shù)；若逆否命題：f(x)不是周期函數(shù)，則f(x)不是正弦函數(shù)；（真命題）（真命題）（真命題）（真命題）原命題是真命題，它的逆否命題一定是真命題.四種命題的概念與表示形式，即如果原命題為：若p，則q，則它的：逆命題為：若q，則p，即交換原命題的條件和結論即得其逆命題.

否命題為：若┐p，則┐q，即同時否定原命題的條件和結論，即得其否命題.

逆否命題為：若┐q，則┐p，即交換原命題的條件和結論，并且同時否定，則得其逆否命題.總結練習：Ｐ6寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷它們的真假：（1）若一個整數(shù)的末位數(shù)字是0，則這個整數(shù)能被5整除；（2）若一個三角形的兩條邊相等，則這個三角形的兩個角相等；（3）奇函數(shù)的圖象關于原點對稱.補充題：寫出命題“若xy=0,則x=0或y=0”的逆命題、否命題、逆否命題.解：逆命題：若x=0或y=0,則xy=0;

否命題：若xy

0,則x

0且y

0;

逆否命題：若x

0且y

0,則xy

0.1.命題的概念，如何判斷命題？2.四種命題的概念及其形式，怎樣寫出一個簡單的命題（原命題）的逆命題、否命題、逆否命題．小結：1.1.3四種命題間的相互關系（１）若f(x)是正弦函數(shù)，則f(x)是周期函數(shù)；（２）若f(x)是周期函數(shù)，則f(x)是正弦函數(shù)；（３）若f(x)不是正弦函數(shù)，則f(x)不是周期函數(shù)；（４）若f(x)不是周期函數(shù)，則f(x)不是正弦函數(shù)；pqqp┐p┐q┐p┐q我們已經(jīng)知道命題(1)與命題(2)(3)(4)之間的關系．你能說出其中任意兩個命題之間的相互關系嗎？原命題逆命題否命題逆否命題思考?四種命題之間的關系總結原命題若p則q逆命題若q則p否命題若﹁p則﹁q逆否命題若﹁q則﹁p互為逆否同真同假互為逆否同真同假互逆命題真假無關互逆命題真假無關互否命題真假無關互否命題真假無關例1．“若x2+y2≠0，則x，y至少有一個不為0”

是命題A的否命題，寫出命題A及其逆命題、

逆否命題并判斷它們的真假。解：命題A:若x2+y2=0，則x，y全都為0；逆命題：若x，y全都為0，則x2+y2=0；

逆否命題：若x，y至少有一個不為0，則x2+y2≠0．否命題逆命題互為逆否思考：四種命題的真假性是否也有一定的相互關系呢？真真真知識探究例2.原命題：“若x2－3x＋2＝0，則x＝2”，那么其逆命題、否命題和逆否命題分別是什么？這些命題的真假如何？原命題：若x2－3x＋2＝0，則x＝2；逆命題：若x＝2，則x2－3x＋2＝0；否命題：若x2－3x＋2≠0，則x≠2；逆否命題：若x≠2，則x2－3x＋2≠0.（假）（假）（真）（真）知識探究例3.已知原命題：“若x＞0，y＜0，則x＋y＞0”，那么其逆命題、否命題和逆否命題分別是什么？這些命題的真假如何？原命題：若x＞0，y＜0，則x＋y＞0；逆命題：若x＋y＞0，則x＞0，y＜0；否命題：若x≤0，y≥0，則x＋y≤0；逆否命題：若x＋y≤0，則x≤0，y≥0.（假）（假）（假）（假）知識探究原命題逆命題否命題逆否命題

一般地,四種命題的真假性,有而且僅有下面四種情況:思考?通過我們做過的例題和練習題，你能從中發(fā)現(xiàn)四種命題的真假性間有什么規(guī)律嗎？真真真真真假假假假假假假假真真真

四種命題的真假性之間的關系：(1)兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；(2)兩個命題為互逆或互否命題，它們的真假性沒有關系.例4.證明：若x2+y2=0，則x=y=0.證明：若x，y中至少有一個不為0，不妨設x≠0，則x2＞0，所以x2+y2＞0，也就是說x2+y2≠0.

因此，原命題的逆否命題為真命題，從而原命題為真命題.分析:因為原命題和它的逆否命題有相同的真假性，所以當直接證明某一命題為真命題有困難的時，可以通過證明它的逆否命題:若x，y中至少有一個不為0，則x2+y2≠0.為真命題，來間接證明原命題為真命題。證明：若a-b=1，則

a2-b2+2a-4b-3=(a+b)(a-b)+2a-4b-3=a+b+2a-4b-3=3a-3b-3=3(a-b)-3=3×1-3=0

所以原命題的逆否命題為真命題，所以原命題也為真命題。P8練習證明命題的方法方法一：直接法，從命題的條件p出發(fā)，經(jīng)推理直接得出結論p，證明其為真命題；方法二：等價法，證明命題（若p，則q）的等價命題——逆否命題（若┐q，則┐q）為真，則原命題也為真；方法三：反證法，證明命題的否定（若p，則┐q）為假命題，從而間接地證明了命題（若p，則q）為真命題。原詞語否定詞原詞語否定詞等于任意的是至少有一個都是至多有一個大于至少有n個