第十一章概率與統(tǒng)計(jì)第八課時(shí)統(tǒng)計(jì)案例知識(shí)梳理一、殘差分析1．線性回歸模型y＝bx＋a＋e中，a，b叫做模型的未知參數(shù)，e叫做隨機(jī)誤差．我們可以建立回歸方程為bx＋a中的估計(jì)量，由于

，所以

是e的估計(jì)量，這樣，對(duì)于樣本點(diǎn)(i＝1,2，…，n)相對(duì)于它們的隨機(jī)誤差為ei＝y(tǒng)i－

＝y(tǒng)i－bxi－a(i＝1,2，…，n)，其估計(jì)值為(i＝1,2，…，n)，

稱為相應(yīng)于樣本點(diǎn)(i＝1,2，…，n)的殘差．2．殘差平方和Q＝當(dāng)Q的值越小，說明線性回歸模型的擬合效果越好．3．相關(guān)指數(shù)用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，其計(jì)算公式是：R2的值越大，說明殘差平方和越小，也就是說模型的擬合效果越好，在線性回歸模型中，R2表示解釋變量對(duì)預(yù)報(bào)變量變化的貢獻(xiàn)率，R2越接近于1，表示回歸效果越好．二、獨(dú)立性檢驗(yàn)1．用變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類別，這種變量成為分類變量．例如：是否吸煙，宗教信仰，國(guó)籍等．2．列出兩個(gè)變量的頻數(shù)表，成為列聯(lián)表．3．一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的值域分別是{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2列聯(lián)表)為2×2列聯(lián)表K2＝(其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量)，則利用獨(dú)立性檢驗(yàn)判斷表來判斷“x與y的關(guān)系”．注意：常將k＝叫做K2的觀測(cè)值．這種利用隨機(jī)變量K2(或說用K2的觀測(cè)值k)來確定在多大程度上可以認(rèn)為“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法稱為兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)．經(jīng)過對(duì)統(tǒng)計(jì)量分布的研究，已經(jīng)得到了兩個(gè)臨界值：3.841與6.635.當(dāng)根據(jù)具體的數(shù)據(jù)算出的觀測(cè)值k＞3.841時(shí)，有95%的把握說事件A與B有關(guān)；當(dāng)k＞6.635時(shí)，有99%的把握說事件A與B有關(guān)；當(dāng)k≤3.841時(shí)，認(rèn)為事件A與B是無關(guān)的．基礎(chǔ)自測(cè)1．用獨(dú)立性檢驗(yàn)來考察兩個(gè)變量x與y是否有關(guān)系，當(dāng)統(tǒng)計(jì)量K2的值()A．越大，“x與y是有關(guān)系的”成立可能性越小B．越大，“x與y是有關(guān)系的”成立可能性越大C．越小，“x與y是沒有關(guān)系的”成立可能性越小D．與“x與y有關(guān)系”成立的可能性無關(guān)B2．已知隨機(jī)事件A與B，經(jīng)計(jì)算得到K2的范圍是3.841＜K2＜6.635，則(下表是K2的臨界值表，供參考)()A.有95%把握說事件A與B有關(guān)B．有95%把握說事件A與B無關(guān)C．有99%把握說事件A與B有關(guān)D．有99%把握說事件A與B無關(guān)A3．樣本相關(guān)系數(shù)r的取值范圍是___________．[－1,1]4．若一組觀測(cè)值(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)之間滿足yi＝a＋bxi＋ei(i＝1,2，…，n)，若ei＝0恒成立，r為相關(guān)系數(shù)，則r2＝____________.1為了對(duì)2010年佛山市中考成績(jī)進(jìn)行分析，從60分以上的全體同學(xué)中隨機(jī)抽出8位，他們的數(shù)學(xué)(已折算為百分制)、物理、化學(xué)分?jǐn)?shù)對(duì)應(yīng)如下表：(1)若規(guī)定85分(包括85分)以上為優(yōu)秀，求這8位同學(xué)中數(shù)學(xué)和物理分?jǐn)?shù)均為優(yōu)秀的頻率；(2)用變量y與x、z與x的相關(guān)系數(shù)說明物理與數(shù)學(xué)、化學(xué)與數(shù)學(xué)的相關(guān)程度；(3)求y與x、z與x的線性回歸方程(系數(shù)精確到0.01)，并用相關(guān)指數(shù)比較所求回歸模型的效果．參考數(shù)據(jù)：解析：(1)由表中可以看出，所選出的8位同學(xué)中，數(shù)學(xué)和物理分?jǐn)?shù)均為優(yōu)秀的人數(shù)是3人，其頻率是.(2)變量y與x、z與x的相關(guān)系數(shù)分別是

r＝≈0.99，r′＝≈0.99.可以看出，物理與數(shù)學(xué)、化學(xué)與數(shù)學(xué)的成績(jī)都是高度正相關(guān).(3)設(shè)y與x、z與x的線性回歸方程分別是根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出

b＝≈0.65，a＝85－0.65×77.5＝34.63，

b′＝≈0.72，a′＝81－0.72×77.5＝25.20.所以y與x和z與x的回歸方程分別是

＝0.72x＋25.20.又y與x、z與x的相關(guān)指數(shù)是

R2＝1－≈0.98、R′2＝1－≈0.83.故回歸模型

＝0.65x＋34.63比回歸模型

＝0.72x＋25.20的擬合效果好．變式探究1．某校醫(yī)務(wù)室抽查了10名學(xué)生在高一和高二時(shí)的體重(單位：kg)如下表：(1)利用相關(guān)系數(shù)r判斷y與x是否具有相關(guān)關(guān)系？(2)若y與x具有相關(guān)關(guān)系，試估計(jì)高一體重為78kg的學(xué)生在高二時(shí)的體重．解析：(1)＝71，＝72.3，

＝51467，10·＝51333，＝110，∵r＞0.75，y與x具有很強(qiáng)的相關(guān)性．

(2)b＝≈1.218，

a＝72.3－1.218×71≈－14.178，∴回歸直線方程為：＝1.218x－14.178，當(dāng)x＝78時(shí)，y＝1.218×78－14.178≈81.即估計(jì)高一體重為78kg的學(xué)生在高二時(shí)的體重約為81kg.(2010年廣州二模)某學(xué)校課題組為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)之間的關(guān)系，隨機(jī)抽取高二年級(jí)20名學(xué)生某次考試成績(jī)(滿分100分)如下表所示：若單科成績(jī)85分以上(含85分)，則該科成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀．(1)根據(jù)上表完成下面的2×2列聯(lián)表(單位：人)：(2)根據(jù)題(1)中表格的數(shù)據(jù)計(jì)算，有多大的把握，認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)之間有關(guān)系？(3)若從這20個(gè)人中抽出1人來了解有關(guān)情況，求抽到的學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)至少有一門不優(yōu)秀的概率．參考數(shù)據(jù)：①假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的值域分別為和，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2列聯(lián)表)為：則隨機(jī)變量K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量；②獨(dú)立檢驗(yàn)隨機(jī)變量K2的臨界值參考表：解析：(1)2×2列聯(lián)表為(單位：人)：(2)提出假設(shè)H0：學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)之間沒有關(guān)系．根據(jù)列聯(lián)表可以求得K2＝≈8.802>7.879.當(dāng)H0成立時(shí)，P(K2>7.879)＝0.005.

所以我們有99.5%的把握認(rèn)為：學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)之間有關(guān)系．(3)由(1)可知數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)都優(yōu)秀的學(xué)生的人數(shù)為5人，則數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)至少有一門不優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為15人．故從20名學(xué)生中抽出1名，抽到的學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)至少有一門不優(yōu)秀的概率為變式探究2．某校高二(1)、(2)班共100名同學(xué)，在分科選擇中，一半同學(xué)(其中男生38人)選擇了物理，另一半(其中男生15人)選擇了歷史．你能否有99%的把握說選科與性別有關(guān)？解析：(1)列出2×2列聯(lián)表：

(2)提出假設(shè)

H0：選科與性別沒有關(guān)系．(3)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算K2的值

K2＝≈21.24.(4)作出判斷因?yàn)楫?dāng)H0成立時(shí)，K2≥6.635的概率約為0.01，所以我們有99%的把握說：選科與性別有關(guān)．3．對(duì)196個(gè)接受心臟搭橋手術(shù)的病人和196個(gè)接受血管清障手術(shù)的病人進(jìn)行了3年的跟蹤研究，調(diào)查他們是否又發(fā)作過心臟病，調(diào)查結(jié)果如下表所示：試根據(jù)上述數(shù)據(jù)比較這兩種手術(shù)對(duì)病人又發(fā)作心臟病的影響有沒有差別．解析：由公式K2＝2≈1.78，因?yàn)?.78＜3.841，所以我們沒有理由說“心臟搭橋手術(shù)”與“又發(fā)作過心臟病”有關(guān)，可以認(rèn)為病人又發(fā)作與否與其做過任何手術(shù)無關(guān)．在對(duì)人們的休閑方式的一次調(diào)查中，共調(diào)查了124人，其中女性70人，男性54人，女性中有43人主要的休閑方式是看電視，另外27人主要的休閑方式是運(yùn)動(dòng)；男性中有21人主要的休閑方式是看電視，另外33人主要的休閑方式是運(yùn)動(dòng)．(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個(gè)2×2的列聯(lián)表；(2)判斷性別與休閑方式是否有關(guān)系．解析：(1)2×2列聯(lián)表如下：(2)假設(shè)“休閑方式與性別無關(guān)”，計(jì)算K2＝≈6.201.因?yàn)镵2＞5.024.所以，有理由認(rèn)為假設(shè)“休閑方式與性別無關(guān)”是不合理的，即有97.5%的把握認(rèn)為“休閑方式與性別有關(guān)”．變式探究4．在一次惡劣氣候的航海過程中，調(diào)查了89位男女乘客的暈船的情況，男乘客暈船的有8人，不暈船的26人；女乘客暈船的有24人，不暈船的31人；請(qǐng)你根據(jù)所給數(shù)據(jù)判斷是否在惡劣氣候下航行，女人比男人更容易暈船？解析：(1)列聯(lián)表(2)假設(shè)：“暈船與性別無關(guān)”，由公式得K2≈3.689，因?yàn)镵2＞2.706，所以我們有90%的把握說暈船與性別有關(guān)(女人更容易暈船)．1．雖然兩個(gè)變量的觀測(cè)數(shù)據(jù)都可以用線性回歸模型來擬合，但不能保證這種模型對(duì)數(shù)據(jù)的擬合效果最好．為更好地刻畫兩個(gè)變量之間的關(guān)系，要根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)來選擇回歸模型．2．獨(dú)立性檢驗(yàn)的必要性：為什么不能只憑列聯(lián)表和圖形下結(jié)論？原因是列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)是樣本數(shù)據(jù)，它只是總體的代表，具有隨機(jī)性，因此需要用列聯(lián)表檢驗(yàn)這個(gè)方法來確認(rèn)所得結(jié)論在多大程度上適用于總體．3．獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想來自于統(tǒng)計(jì)上的假設(shè)檢驗(yàn)思想，它與反證法類似．假設(shè)檢驗(yàn)和反證法都是先假設(shè)結(jié)論不成立，然后根據(jù)是否能夠