【類型綜述】線段和差的最值問題，常見的有兩類：第一類問題是“兩點之間，線段最短”．兩條動線段的和的最小值問題，常見的是典型的“牛喝水”問題，核心是指出一條對稱軸“河流”第二類問題是“兩點之間，線段最短”結(jié)合“垂線段最短”．【辦法揭秘】兩條動線段的和的最小值問題，常見的是典型的“牛喝水”問題，核心是指出一條對稱軸“河流”（如圖1）．三條動線段的和的最小值問題，常見的是典型的“臺球兩次碰壁”或“光的兩次反射”問題，核心是指出兩條對稱軸“反射鏡面”（如圖2）．兩條線段差的最大值問題，普通根據(jù)三角形的兩邊之差不大于第三邊，當(dāng)三點共線時，兩條線段差的最大值就是第三邊的長．如圖3，PA與PB的差的最大值就是AB，此時點P在AB的延長線上，即P′．解決線段和差的最值問題，有時候求函數(shù)的最值更方便，本講不涉及函數(shù)最值問題．圖1圖2圖3如圖4，正方形ABCD的邊長為4，AE平分∠BAC交BC于E．點P在AE上，點Q在AB上，那么△BPQ周長的最小值是多少呢？如果把這個問題看作“牛喝水”問題，AE是河流，但是點Q不擬定?。谝徊?，應(yīng)用“兩點之間，線段最短”．如圖5，設(shè)點B有關(guān)“河流AE”的對稱點為F，那么此刻PF＋PQ的最小值是線段FQ．第二步，應(yīng)用“垂線段最短”．如圖6，在點Q運動過程中，F(xiàn)Q的最小值是垂線段FH．這樣，由于點B和河流是擬定的，因此點F是擬定的，于是垂線段FH也是擬定的．圖4圖5圖6【典例分析】例1如圖1，二次函數(shù)y＝a(x2－2mx－3m2)（其中a、m是常數(shù)，且a＞0，m＞0）的圖像與x軸分別交于A、B（點A位于點B的左側(cè)），與y軸交于點C(0,－3)，點D在二次函數(shù)的圖像上，CD//AB，聯(lián)結(jié)AD．過點A作射線AE交二次函數(shù)的圖像于點E，AB平分∠（1）用含m的式子表達(dá)a；（2）求證：為定值；（3）設(shè)該二次函數(shù)的圖像的頂點為F．探索：在x軸的負(fù)半軸上與否存在點G，聯(lián)結(jié)GF，以線段GF、AD、AE的長度為三邊長的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一種滿足規(guī)定的點G即可，并用含m的代數(shù)式表達(dá)該點的橫坐標(biāo)；如果不存在，請闡明理由．圖1思路點撥1．不算不懂得，一算真奇妙．通過二次函數(shù)解析式的變形，寫出點A、B、F的坐標(biāo)后，點D的坐標(biāo)也能夠?qū)懗鰜恚cE的縱坐標(biāo)為定值是算出來的．2．在計算的過程中，第（1）題的結(jié)論及其變形重復(fù)用到．3．注意到點E、D、F到x軸的距離正好是一組常見的勾股數(shù)（5，3，4），因此過點F作AD的平行線與x軸的交點，就是規(guī)定的點G．滿分解答（1）將C(0,－3)代入y＝a(x2－2mx－3m2)，得－3＝－3am2．因此因此am(x－3m)＝1．結(jié)合，于是得到x＝4m當(dāng)x＝4m時，y＝a(x＋m)(x－3m)＝5am2＝5．因此點E的坐標(biāo)為(因此．圖2圖3（3）如圖3，由E(4m,5)、D(2m,－3)、F(可知點E、D、F到x軸的距離分別為5、4、3．那么過點F作AD的平行線與x軸的負(fù)半軸的交點，就是符合條件的點G．證明以下：作FF′⊥x軸于F′，那么．因此．因此線段GF、AD、AE的長圍成一種直角三角形．此時GF′＝4m．因此GO＝3m，點G的坐標(biāo)為(－考點伸展第（3）題中的點G的另一種狀況，就是GF為直角三角形的斜邊．此時．因此．因此．此時．例2如圖1，已知拋物線的方程C1：(m＞0)與x軸交于點B、C，與y軸交于點E，且點B在點C的左側(cè)．（1）若拋物線C1過點M(2,2)，求實數(shù)m的值；（2）在（1）的條件下，求△BCE的面積；（3）在（1）的條件下，在拋物線的對稱軸上找一點H，使得BH＋EH最小，求出點H的坐標(biāo)；（4）在第四象限內(nèi)，拋物線C1上與否存在點F，使得以點B、C、F為頂點的三角形與△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，請闡明理由．圖1思路點撥1．第（3）題是典型的“牛喝水”問題，當(dāng)H落在線段EC上時，BH＋EH最?。?．第（4）題的解題方略是：先分兩種狀況畫直線BF，作∠CBF＝∠EBC＝45°，或者作BF//EC．再用含m的式子表達(dá)點F的坐標(biāo)．然后根據(jù)夾角相等，兩邊對應(yīng)成比例列有關(guān)m的方程．滿分解答設(shè)對稱軸與x軸的交點為P，那么．因此．解得．因此點H的坐標(biāo)為．由，得．整頓，得0＝16．此方程無解．圖2圖3圖4②如圖4，作∠CBF＝45°交拋物線于F，過點F作FF′⊥x軸于F′，由于∠EBC＝∠CBF，因此，即時，△BCE∽△BFC．在Rt△BFF′中，由FF′＝BF′，得．解得x＝2m．因此F′．因此BF′＝2m＋2，．由，得．解得．綜合①、②，符合題意的m為．考點伸展第（4）題也能夠這樣求BF的長：在求得點F′、F的坐標(biāo)后，根據(jù)兩點間的距離公式求BF的長．例3如圖1，拋物線y＝ax2＋bx＋c通過A(－1,0)、B(3,0)、C(0,3)三點，直線l是拋物線的對稱軸．（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)點P是直線l上的一種動點，當(dāng)△PAC的周長最小時，求點P的坐標(biāo)；圖1思路點撥第（2）題是典型的“牛喝水”問題，點P在線段BC上時△PAC的周長最?。疂M分解答當(dāng)點P落在線段BC上時，PA＋PC最小，△PAC的周長最小．設(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點為H．由，BO＝CO，得PH＝BH＝2．因此點P的坐標(biāo)為(1,2)．圖2考點伸展在直線l上與否存在點M，使△MAC為等腰三角形，若存在，直接寫出全部符合條件的點M的坐標(biāo)；若不存在，請闡明理由．③如圖5，當(dāng)CM＝CA時，CM2＝CA2．解方程1＋(m－3)2＝10，得m＝0或6．當(dāng)M(1,6)時，M、A、C三點共線，因此此時符合條件的點M的坐標(biāo)為(1,0)．圖3圖4圖5例4如圖1，已知A、B是線段MN上的兩點，，，．以A為中心順時針旋轉(zhuǎn)點M，以B為中心逆時針旋轉(zhuǎn)點N，使M、N兩點重疊成一點C，構(gòu)成△ABC，設(shè)．（1）求x的取值范疇；（2）若△ABC為直角三角形，求x的值；（3）探究：△ABC的最大面積？圖1思路點撥1．根據(jù)三角形的兩邊之和不不大于第三邊，兩邊之差不大于第三邊列有關(guān)x的不等式組，能夠求得x的取值范疇．2．分類討論直角三角形ABC，根據(jù)勾股定理列方程，根據(jù)根的狀況擬定直角三角形的存在性．3．把△ABC的面積S的問題，轉(zhuǎn)化為S2的問題．AB邊上的高CD要根據(jù)位置關(guān)系分類討論，分CD在三角形內(nèi)部和外部兩種狀況．滿分解答（1）在△ABC中，，，，因此解得．邊平方，得．整頓，得．兩邊平方，得．整頓，得因此（）．當(dāng)時（滿足），取最大值，從而S取最大值．圖2圖3②如圖3，若點D在線段MA上，則．同理可得，（）．易知此時．綜合①②得，△ABC的最大面積為．考點伸展第（3）題解無理方程比較煩瑣，迂回一下能夠避免煩瑣的運算：設(shè)，例如在圖2中，由列方程．整頓，得．因此．因此．例5如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2－2ax－3a（a＜0）與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），通過點A的直線l：y＝kx＋b與y軸負(fù)半軸交于點C，與拋物線的另一種交點為D，且CD＝4（1）直接寫出點A的坐標(biāo)，并求直線l的函數(shù)體現(xiàn)式（其中k、b用含a的式子表達(dá)）；（2）點E是直線l上方的拋物線上的動點，若△ACE的面積的最大值為EQ\F(5,4)，求a的值；（3）設(shè)P是拋物線的對稱軸上的一點，點Q在拋物線上，以點A、D、P、Q為頂點的四邊形能否成為矩形？若能，求出點P的坐標(biāo)；若不能，請闡明理由．圖1備用圖思路點撥1．過點E作x軸的垂線交AD于F，那么△AEF與△CEF是共底的兩個三角形．2．以AD為分類原則討論矩形，當(dāng)AD為邊時，AD與QP平行且相等，對角線AP＝QD；當(dāng)AD為對角線時，AD與PQ互相平分且相等．滿分解答（1）由y＝ax2－2ax－3a＝a(x＋1)(x－3)，得A由CD＝4AC，得xD＝4．因此D(4,5由A(－1,0)、D(4,5a)，得直線l的函數(shù)體現(xiàn)式為y＝ax＋a由yD－yA＝y(tǒng)P－yQ，得yP＝26a．因此P(1,26由AP2＝QD2，得22＋(26a)2＝82＋(16a)2整頓，得7a2＝1．因此．此時P．②如圖3，如果AD為矩形的對角線，那么AD與PQ互相平分且相等．由xD＋xA＝xP＋xQ，得xQ＝2．因此Q(2,－3a由yD＋yA＝y(tǒng)P＋yQ，得yP＝8a．因此P(1,8由AD2＝PQ2，得52＋(5a)2＝12＋(11a)整頓，得4a2＝1．因此．此時P．圖1圖2圖3考點伸展第（3）題也能夠這樣解．設(shè)P(1,n)．①如圖2，當(dāng)AD時矩形的邊時，∠QPD＝90°，因此，即．解得．因此P．因此Q．將Q代入y＝a(x＋1)(x－3)，得．因此．②如圖3，當(dāng)AD為矩形的對角線時，先求得Q(2,－3a由∠AQD＝90°，得，即．解得．【變式訓(xùn)練】1．如圖，已知，覺得圓心，長為半徑作，是上一種動點，直線交軸于點，則面積的最大值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】當(dāng)直線AN與⊙B相切時，△AOM面積的最大．設(shè)BM=x，由切割線定理表達(dá)出MN，可證明△BNM∽△AOM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得x，然后求得△AOM面積．【詳解】當(dāng)直線AN與⊙B相切時，△AOM面積的最大．連接AB、BN，在Rt△AOB和Rt△ANB中∴Rt△AOB≌Rt△ANB，∴AN=AO=2，解得x=，S△AOM=．故選B．2．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，其中AB=4，∠AOC=120°，P為⊙O上的動點，連AP，取AP中點Q，連CQ，則線段CQ的最大值為（）A．3B．1+C．1+3D．1+【答案】D【解析】【分析】如圖，連接OQ，作CH⊥AB于H．首先證明點Q的運動軌跡為以AO為直徑的⊙K，連接CK，當(dāng)點Q在CK的延長線上時，CQ的值最大，運用勾股定理求出CK即可解決問題.【詳解】解：如圖，連接OQ，作CH⊥AB于H．∵AQ=QP，∴OQ⊥PA，∴∠AQO=90°，∴點Q的運動軌跡為以AO為直徑的⊙K，連接CK，3．如圖，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，P是邊CD上一點，將△ADP沿直線AP對折，得到△APQ．當(dāng)射線BQ交線段CD于點F時，DF的最大值是（）A．3B．2C．D．【答案】C【解析】4．如圖，由兩個長為，寬為的全等矩形疊合而得到四邊形，則四邊形面積的最大值是（）A．15B．16C．19D．20【答案】A【解析】如圖1，作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，，∵AD∥BC,AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵兩個矩形的寬都是3，∴AE=AF=3，∵S四邊形ABCD=AE?BC=AF?CD，∴BC=CD，∴平行四邊形ABCD是菱形。如圖2，，5．如圖，在菱形ABCD中，AB=6，∠A=135°，點P是菱形內(nèi)部一點，且滿足，則PC+PD的最小值為（）A．B．C．6D．【答案】B【解析】分析：在BC上截取點E使CE=BC=2,過點E作EF//AD，交AD于點F，由可知點P線段EF上，作C’與C有關(guān)EF對稱，連接DC’，則DC’的長即是PC+PD的最小值.詳解：在BC上截取點E使CE=BC=2,過點E作EF//AD，交AD于點F，∴∴當(dāng)點P在線段EF上是時，.6．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于D，點E，F(xiàn)分別在AD，AB是，則BE＋EF的最小值是A．4B．4.8C．5D．5.4【答案】B【解析】作F有關(guān)AD的對稱點M,連接BM交AD于E,連接EF,過B作BN⊥AC于N,已知AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于D，根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)可得BD=CD=3，AD平分∠BAC,即可得點M在AC上,在Rt△ABD中，由勾股定理求得AD=4，因此，由此求得BN=4.8，再由點F有關(guān)AD的對稱點M可得EF=EM，因此BE+EF=BE+EM=BM，根據(jù)垂線段最短得出:BM≥BN,即BE+EF≥4.8,即BE+EF的最小值是4.8，故選B.7．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=8，D，E是AB和BC上的動點，連接CD，DE則CD+DE的最小值為（）A．8B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，可得C的對稱點C’，然后過C’作垂線可得C’E，再根據(jù)垂線段最短可知CD+DE最短，再運用直角三角形的性質(zhì)求得CC’的長，繼而得知△CC’E∽△ABC，運用相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求出答案.【詳解】過C作C有關(guān)AB的對稱點C’，然后過C’作C’E⊥BC，垂足為E，交AB于D，則C’E=C’D+DE=CD+DE最短，∵AC=4,BC=8∴AB=∴CF==二、解答題8．問題發(fā)現(xiàn)：（）如圖①，中，，，，點是邊上任意一點，則的最小值為__________．（）如圖②，矩形中，，，點、點分別在、上，求的最小值．（）如圖③，矩形中，，，點是邊上一點，且，點是邊上的任意一點，把沿翻折，點的對應(yīng)點為點，連接、，四邊形的面積與否存在最小值，若存在，求這個最小值及此時的長度；若不存在，請闡明理由．【答案】(1);(2)的最小值為.(3)【解析】試題分析：（1）根據(jù)兩種不同辦法求面積公式求解；（2）作有關(guān)的對稱點，過作的垂線，垂足為，求的長即可;(3)連接，則，，則點的軌跡為覺得圓心，為半徑的一段?。^作的垂線，與⊙交于點，垂足為，由求得GM的值，再由求解即可.試題解析：（）從到距離最小即為過作的垂線，垂足為，，∴，（）作有關(guān)的對稱點，過作的垂線，垂足為，且與交于，則的最小值為的長，設(shè)與交于，則，∴，且，∴，，∴，∴，即的最小值為．（）連接，則，∴，，．9．問題提出：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半徑為2，P為圓上一動點，連結(jié)AP、BP，求AP+BP的最小值．（1）嘗試解決：為理解決這個問題，下面給出一種解題思路：如圖2，連接CP，在CB上取點D，使CD=1，則有，又∵∠PCD=∠BCP，∴△PCD∽△BCP．∴，∴PD=BP，∴AP+BP=AP+PD．請你完畢余下的思考，并直接寫出答案：AP+BP的最小值為．（2）自主探索：在“問題提出”的條件不變的狀況下，AP+BP的最小值為．（3）拓展延伸：已知扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，點P是上一點，求2PA+PB的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）13．【解析】試題分析：（1）連結(jié)AD，最短為AD==；（2）連接CP，在CA上取點D，使CD＝，則有＝，可證△PCD∽△ACP，得到PD＝AP，故AP＋BP＝BP＋PD，從而AP＋BP的最小值為BD；（3）延長OA到點E，使CE＝6，連接PE、OP，可證△OAP∽△OPE，得到EP＝2PA，得到2PA＋PB＝EP＋PB，當(dāng)E、P、B三點共線時，得到最小值．試題解析：（1）連結(jié)AD，最短為AD==；（2）連接CP，在CA上取點D，使CD＝，則有＝，又∵∠PCD＝∠ACP，∴△PCD∽△ACP，∴＝，∴PD＝AP，∴AP＋BP＝BP＋PD，∴AP＋BP的最小值為BD==；考點：圓的綜合題．10．已知二次函數(shù)y=x2+2bx+c（b、c為常數(shù)）．（Ⅰ）當(dāng)b=1，c=﹣3時，求二次函數(shù)在﹣2≤x≤2上的最小值；（Ⅱ）當(dāng)c=3時，求二次函數(shù)在0≤x≤4上的最小值；（Ⅲ）當(dāng)c=4b2時，若在自變量x的值滿足2b≤x≤2b+3的狀況下，與其對應(yīng)的函數(shù)值y的最小值為21，求此時二次函數(shù)的解析式．【答案】（Ⅰ）﹣4（Ⅱ）①3，②﹣b2+3；③8b+19（Ⅲ）①y=x2+x+7，②b=﹣（舍）或b=（舍）③b=或b=﹣2，此時二次函數(shù)的解析式為y=x2+x+7或y=x2﹣4x+16【解析】（Ⅰ）把b=2，c=﹣3代入函數(shù)解析式，求二次函數(shù)的最小值；（Ⅱ）根據(jù)當(dāng)c=5時，若在函數(shù)值y=l的狀況下，只有一種自變量x的值與其對應(yīng)，得到x2+bx+5=1有兩個相等是實數(shù)根，求此時二次函數(shù)的解析式；（Ⅲ）當(dāng)c=b2時，寫出解析式，分三種狀況減小討論即可．（Ⅲ）當(dāng)c=4b2時，二次函數(shù)的解析式為y=x2+2bx+4b2，它的開口向上，對稱軸為x=﹣b的拋物線，①若﹣b＜2b，即b＞0時，在自變量x的值滿足2b≤x≤2b+3的狀況下，與其對應(yīng)的函數(shù)值y隨x增大而增大，∴當(dāng)x=2b時，y=（2b）2+2b×2b+（2b）2=12b2為最小值，∴12b2=21，∴b=或b=﹣（舍）∴二次函數(shù)的解析式為y=x2+x+7，②若2b≤﹣b≤2b+3，即﹣1≤b≤0，當(dāng)x=﹣b時，代入y=x2+2bx+4b2，得y最小值為3b2，∴3b2=21∴b=﹣（舍）或b=（舍），③若﹣b＞2b+3，即b＜﹣1，在自變量x的值滿足2b≤x≤2b+3的狀況下，與其對應(yīng)的函數(shù)值y隨x增大而減小，∴當(dāng)x=2b+3時，代入二次函數(shù)的解析式為y=x2+2bx+4b2中，得y最小值為12b2+18b+9，∴12b2+18b+9=21，∴b=﹣2或b=（舍），∴二次函數(shù)的解析式為y=x2﹣4x+16．總而言之，b=或b=﹣2，此時二次函數(shù)的解析式為y=x2+x+7或y=x2﹣4x+16“點睛”本題考察了二次函數(shù)的最值：當(dāng)a＞0時，拋物線在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減少；在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，由于圖象有最低點，因此函數(shù)有最小值，當(dāng)x=﹣時，y=；當(dāng)a＜0時，拋物線在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大；在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而減少，由于圖象有最高點，因此函數(shù)有最大值，當(dāng)x=﹣時，y=；擬定一種二次函數(shù)的最值，首先看自變量的取值范疇，當(dāng)自變量取全體實數(shù)時，其最值為拋物線頂點坐標(biāo)的縱坐標(biāo)；當(dāng)自變量取某個范疇時，要分別求出頂點和函數(shù)端點處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值，從而獲得最值．11．已知四邊形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，BC=3．（1）如圖1，若P為AB邊上一點以PD，PC為邊作平行四邊形PCQD，請問對角線PQ的長與否存在最小值？如果存在，請求出最小值，如果不存在，請闡明理由．（2）若P為AB邊上任意一點，延長PD到E，使DE=PD，再以PE，PC為邊作平行四邊形PCQE，請問對角線PQ的長與否也存在最小值？如果存在，請直接寫出最小值，如果不存在，請闡明理由．（3）如圖2，若P為直線DC上任意一點，延長PA到E，使AE=AP，以PE、PB為邊作平行四邊形PBQE，請問對角線PQ的長與否存在最小值？如果存在，請求出最小值，如果不存在，請闡明理由．【答案】（1）存在，理由見解析，當(dāng)PQ⊥AB時，PQ的長最小，即為4．（2）存在，理由見解析，當(dāng)PQ⊥AB時，PQ的長最小，即為5．（3）存在，理由見解析，最小值為【解析】試題分析：（1）在平行四邊形PCQD中，設(shè)對角線PQ與DC相交于點G，則G是DC的中點，過點Q作QH⊥BC，交BC的延長線于H，使得

Rt△ADP≌Rt△HCQ，進(jìn)而求出最小值；（2）設(shè)PQ與DC相交于點G，作QH⊥BC，交BC的延長線于H，可得Rt△ADP∽Rt△HCQ，進(jìn)而求出最小值；（3）設(shè)PQ與AB相交于點G，由平行線分線段成比例定理可得.作QH∥PD，交CB的延長線于H，過點C作CK⊥CD，交QH的延長線于K，可證△ADP∽△BHQ，從而.過點D作DM⊥BC于M，則四邊形ABND是矩形，可求∠DCM=45°，從而求出CD、CK的值，可知當(dāng)D與P重疊時的PQ長就是PQ的最小值.解：（1）存在，理由以下：在△ADP和△HCQ中，，∴△ADP≌△HCQ（AAS），∴AD=HC，∵AD=1，BC=3，∴BH=4，∴當(dāng)PQ⊥AB時，PQ的長最小，即為4．（2）存在，理由以下：作QH⊥BC，交BC的延長線于H，同（2）得：∠ADP=∠QCH，∴Rt△ADP∽Rt△HCQ，∴=，∴CH=2，∴BH=BC+CH=3+2=5，∴當(dāng)PQ⊥AB時，PQ的長最小，即為5．（3）存在，理由以下：如圖4，設(shè)PQ與AB相交于點G，∵四邊形PBQE是平行四邊形，∴PE∥BQ，PE=BQ，∴，∵AE=PA，∴BQ=2PA，∴=過點D作DM⊥BC于M，則四邊形ABND是矩形，∴BM=AD=1，DM=AB=2∴CM=BC﹣BM=3﹣1=2=DM，∴∠DCM=45°，∴∠KCH=45°，∴CK=CH?cos45°=5×=，在Rt△CDM中，CD=2，∴CK＞CD，∴當(dāng)PQ⊥CD時，PQ的長最小，但是，P點已經(jīng)不在CD上了，到延長線上了，∴當(dāng)D與P重疊時的PQ長就是PQ的最小值，此時Q與H重疊，PQ=HD===∴最小值為12．（）【問題】如圖，點為線段外一動點，且，．當(dāng)點位于__________時線段的長獲得最大值，且最大值為__________（用含、的式子表達(dá)）．（）【應(yīng)用】點為線段除外一動點，且，．如圖所示，分別以、為邊，作等邊三角形和等邊三角形，連接、．①請找出圖中與相等的線段，并闡明理由．②直接寫出線段長的最大值．（）【拓展】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，點為線段外一動點，且，，．請直接寫出線段長的最大值及此時點的坐標(biāo)．【答案】（）延長線上，；（）①；②（）；【解析】（）當(dāng)三點不共線時，三角形兩邊之和不不大于第三邊，即；當(dāng)在延長線上時，；當(dāng)在線段上時，．故當(dāng)在延長線上時，獲得最大值，且為．（）①依題意得，，運用等邊三角形每個角都是和角的關(guān)系得，最后根據(jù)邊角邊定理證明≌，從而推出．②由于，因此線段的最大值即的最大值．根據(jù)三角形兩邊之和不不大于第三邊，因此最大時即、、三點共線，得到的最大值為，故的最大值為．由（）可知，當(dāng)點在的延長線上時，獲得最大值，又由于，因此此時獲得最大值．如圖2，點在的延長線上時，過點作軸于點．在中，由勾股定理得，因此．由于，，因此是等腰直角三角形，又由于，因此，又由于點，因此，因此點坐標(biāo)為．13．如圖，已知中，，邊上的高，四邊形為內(nèi)接矩形．當(dāng)矩形是正方形時，求正方形的邊長．設(shè)，矩形的面積為，求有關(guān)的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)為什么值時有最大值，并求出最大值．【答案】（1）；（2），當(dāng)時有最大值，并求出最大值．【解析】【分析】見解析.【詳解】解：設(shè)，則，∵四邊形為矩形，∴，∴，∴，∵當(dāng)矩形是正方形時，，∴，解得：；【點睛】運用相似的性質(zhì)求解是解題的核心.14．如圖，拋物線與坐標(biāo)軸相交于、、三點，是線段上一動點（端點除外），過作，交于點，連接．直接寫出、、的坐標(biāo)；求拋物線的對稱軸和頂點坐標(biāo)；求面積的最大值，并判斷當(dāng)?shù)拿娣e取最大值時，以、為鄰邊的平行四邊形與否為菱形．【答案】（1）、、．對稱軸是直線，頂點坐標(biāo)是．（3）以、為鄰邊的平行四邊形不是菱形．【解析】【分析】（1）設(shè)y=0，解一元二次方程即可求出A和B的坐標(biāo)，設(shè)x=0，則可求出C的坐標(biāo)．（2）拋物線：，因此拋物線的對稱軸是直線x=1，頂點坐標(biāo)是（1，﹣）．（3）設(shè)P（x，0）（﹣2＜x＜4），由PD∥AC，可得到有關(guān)PD的比例式，由此得到PD和x的關(guān)系，再求出C到PD的距離（即P到AC的距離），運用三角形的面積公式可得到S和x的函數(shù)關(guān)系，運用函數(shù)的性質(zhì)即可求出三角形面積的最大值，進(jìn)而得到x的值，因此PD可求，而PA≠PD，因此PA、PD為鄰邊的平行四邊形不是菱形．【詳解】（3）設(shè)P（x，0）（﹣2＜x＜4）．∵PD∥AC，∴，解得：．∵C到PD的距離（即P到AC的距離）：，∴△PCD的面積，∴，∴△PCD面積的最大值為3，當(dāng)△PCD的面積取最大值時，x=1，PA=4﹣x=3，，由于PA≠PD，因此以PA、PD為鄰邊的平行四邊形不是菱形．【點睛】本題考察了二次函數(shù)和坐標(biāo)軸的交點問題、平行線分線段成比例定理、特殊角的銳角三角形函數(shù)值、二次函數(shù)的最值問題以及菱形的鑒定，題目的綜合性較強，難度中檔．15．如圖，拋物線過O、A、B三點，A（4,0）B（1，-3），P為拋物線上一點，過點P的直線y=x+m與對稱軸交于點Q.（1）直線PQ與x軸所夾銳角的度數(shù)，并求出拋物線的解析式.（2）當(dāng)點P在x軸下方的拋物線上時，過點C(2,2)的直線AC與直線PQ交于點D，求：PD+DQ的最大值；②PD.DQ的最大值.【答案】（1）直線PQ與x軸所夾銳角的度數(shù)為45°，拋物線的解析式為y=x2-4x；(2)①PD+DQ的最大值為6;②PD·DQ的最大值為18.【解析】【分析】（1）根據(jù)直線的解析式求得直線PQ與x軸所夾銳角的度數(shù)，根據(jù)拋物線過O、A、B三點可求得解析式；（2）①過點C作CH∥x軸交直線PQ于點H，可得△CHQ是等腰三角形，進(jìn)而得出AD⊥PH，得出DQ=DH，從而得出PD+DQ=PH，過P點作PM⊥CH于點M，則△PMH是等腰直角三角形，得出PH=PM，由于當(dāng)PM最大時，PH最大，通過求得PM的最大值，從而求得PH的最大值；②由①可知：PD+PH≤6，設(shè)PD=a，則DQ≤6-a，得出PD?DQ≤a（6-a）=-a2+6a=-（a-3）2+18，當(dāng)點P在拋物線的頂點時，a=3，得出PD?DQ≤18．【詳解】（1）對于直線y=x+m，∵k=1＞0，∴直線PQ與x軸所夾銳角的度數(shù)為45°，∵拋物線拋物線通過點O，∴設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx，把A（4,0）B（1，-3）代入得，解得，∴拋物線的解析式為y=x2-4x.則△PMH為等腰直角三角形,∴PH=PM,當(dāng)PM最大時,PH最大,∴當(dāng)點P在拋物線頂點處時PM取最大值,此時PM=6,∴PH的最大值為6,即PD+DQ的最大值為6;②由①可知PD+DQ≤6,設(shè)PD=a,則DQ≤6-a.設(shè)點P的坐標(biāo)為(n,n2-4n),設(shè)AC的解析式為y=k?x+b?，將點A和點C的坐標(biāo)代入得，解得，則直線AC的解析式為y=-x+4，如圖所示，延長PM交AC于點N，∴PD=a=PN=[4-n-（n2-4n）]=-（n2-3n-4）=-（n-）2+，又∵-<0,0<n<4,16．問題提出（1）如圖1，點A為線段BC外一動點，且BC=a，AB=b，填空：當(dāng)點A位于時，線段AC的長獲得最大值，且最大值為（用含a，b的式子表達(dá)）．問題探究（2）點A為線段BC外一動點，且BC=6，AB=3，如圖2所示，分別以AB，AC為邊，作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，連接CD，BE，找出圖中與BE相等的線段，請闡明理由，并直接寫出線段BE長的最大值．問題解決：（3）①如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（2，0），點B的坐標(biāo)為（5，0），點P為線段AB外一動點，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，求線段AM長的最大值及此時點P的坐標(biāo)．②如圖4，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，BC=4，若對角線BD⊥CD于點D，請直接寫出對角線AC的最大值．【答案】（1）CB的延長線上，a+b；（2）①CD=BE，②9；（3）P（2﹣，）（4）AC的最大值為2+2【解析】試題分析：（1）根據(jù)點A位于CB的延長線上時，線段AC的長獲得最大值，即可得到結(jié)論；（2）①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，推出△CAD≌△EAB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD=BE；②由于線段BE長的最大值=線段CD的最大值，根據(jù)（1）中的結(jié)論即可得到成果；（3）連接BM，將△APM繞著點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△PBN，連接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PN=PA=2，BN=AM，根據(jù)當(dāng)N在線段BA的延長線時，線段BN獲得最大值，即可得到最大值為2+3；過P作PE⊥x軸于E，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，即可得到結(jié)論；（4）如圖4中，以BC為邊作等邊三角形△BCM，由△ABC≌△DBM，推出AC=MD，推出欲求AC的最大值，只規(guī)定出DM的最大值即可，由BC=4=定值，∠BDC=90°，推出點D在以BC為直徑的⊙O上運動，由圖象可知，當(dāng)點D在BC上方，DM⊥BC時，DM的值最大；試題解析：解：（1）∵點A為線段BC外一動點，且BC=a，AB=b，∴當(dāng)點A位于CB的延長線上時，線段AC的長獲得最大值，且最大值為BC+AB=a+b．故答案為：CB的延長線上，a+b；（2）①CD=BE，理由：∵△ABD與△ACE是等邊三角形，∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB．在△CAD與△EAB中，，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴CD=BE；②∵線段BE長的最大值=線段CD的最大值，∴由（1）知，當(dāng)線段CD的長獲得最大值時，點D在CB的延長線上，∴最大值為BD+BC=AB+BC=3+6=9；（4）如圖4中，以BC為邊作等邊三角形△BCM．∵∠ABD=∠CBM=60°，∴∠ABC=∠DBM．∵AB=DB，BC=BM，∴△ABC≌△DBM，∴AC=MD，∴欲求AC的最大值，只規(guī)定出DM的最大值即可．∵BC=4=定值，∠BDC=90°，∴點D在以BC為直徑的⊙O上運動，由圖象可知，當(dāng)點D在BC上方，DM⊥BC時，DM的值最大，最大值=2+2，∴AC的最大值為2+2．17．如圖14，是的直徑，，連接．（1）求證：；（2）若直線為的切線，是切點，在直線上取一點，使所在的直線與所在的直線相交于點，連接．①試探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；②與否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請闡明理由．【答案】（1）詳見解析；（2）①②【解析】（