經(jīng)濟增長理論——索羅模型第一節(jié)資本積累一.基本假設(shè)條件（1）勞動力和技術(shù)水平保持不變。（2）兩部門經(jīng)濟（居民和生產(chǎn)者）：Y=C+I。（3）生產(chǎn)函數(shù)規(guī)模不變Y=F（K，L）規(guī)模收益不變：λY=F（λK,λL）（4）儲蓄函數(shù)S=sY，s----儲蓄率,0≤s≤110/17/20231中國礦業(yè)大學(xué)管理學(xué)院徐建博經(jīng)濟增長理論——索羅模型第一節(jié)資本積累10/8/2023二.資本積累和穩(wěn)態(tài)1.人均生產(chǎn)函數(shù)（供給角度）索洛生產(chǎn)函數(shù)為Y=F（K，L）由于規(guī)模報酬不變，λY=F（λK,λL）為簡化分析：我們把上述變量都變成人均量令λ=1/L，得Y/L=F（K/L,1）用y=Y/L代表人均產(chǎn)出，k=K/L代表人均資本存量，得：y=F（k，1）=f（k）即人均產(chǎn)出只與人均資本有關(guān)。10/17/20232中國礦業(yè)大學(xué)管理學(xué)院徐建博二.資本積累和穩(wěn)態(tài)1.人均生產(chǎn)函數(shù)（供給角度）10/8/二.資本積累和穩(wěn)態(tài)2.人均消費函數(shù)（需求角度）假設(shè):個人可支配收入DPI即為國民收入(Y)

自發(fā)消費a為零。C=a+bY=bY人均消費函數(shù)的推導(dǎo)由Y=C+I兩邊同除以L得：Y/L=C/L+I/L令C/L=c，稱人均消費；I/L=i，稱人均投資。

y=c+i

①10/17/20233中國礦業(yè)大學(xué)管理學(xué)院徐建博二.資本積累和穩(wěn)態(tài)2.人均消費函數(shù)（需求角度）10/8/由S=sY,DPI=C+S，DPI=Y得：C=(1-s)Y兩邊同除以L得到人均量，用小寫字母代替有：c=（1-s）y代入①式得：

y=（1-s）y+ii=sy該式表明投資與產(chǎn)出成正比。10/17/20234中國礦業(yè)大學(xué)管理學(xué)院徐建博由S=sY,DPI=C+S，DPI=Y得：10/8/二.資本積累和穩(wěn)態(tài)3.投資函數(shù)前面的分析得到i=sy

和y=f(k)，整理得：i=sf(k)從式中可以看出：

(1)人均資本k越高，產(chǎn)出f（k）和人均投資i就越大。

(2)投資也取決于儲蓄率，儲蓄率越高，則在資本存量和產(chǎn)出水平一定的條件下，投資水平越高，但是同時消費越少。10/17/20235中國礦業(yè)大學(xué)管理學(xué)院徐建博二.資本積累和穩(wěn)態(tài)3.投資函數(shù)10/8/20235中國礦業(yè)0kyyicsf(k)f(k)產(chǎn)出、消費和投資的關(guān)系s1f(k)i110/17/20236中國礦業(yè)大學(xué)管理學(xué)院徐建博0kyyicsf(k)f(k)產(chǎn)出、消費和投資的關(guān)系s1f(二.資本積累和穩(wěn)態(tài)4.

折舊(1)含義:折舊是資本隨著使用和時間的變化而受到的損耗和減少。

為簡單起見，假設(shè)一個經(jīng)濟中所有的資本都以一個固定的比例δ折損減少。（δ稱平均折舊率）這樣，如果年初資本數(shù)為k,當(dāng)年折舊掉的資本數(shù)量就是δk，與k成正比。10/17/20237中國礦業(yè)大學(xué)管理學(xué)院徐建博二.資本積累和穩(wěn)態(tài)4.折舊10/8/20237中國礦業(yè)大折舊0kδkδk10/17/20238中國礦業(yè)大學(xué)管理學(xué)院徐建博折舊0kδkδk10/8/20238中國礦業(yè)大學(xué)管理學(xué)院二.資本積累和穩(wěn)態(tài)5.資本積累和穩(wěn)態(tài)綜合以上，一個經(jīng)濟中投資和折舊對資本存量的影響能夠用下列方程反映：Δk=i－δk=sf（k）－δk其中，Δk是這一年中新增的資本量，反映資本存量變化。當(dāng)sf（k）>δk，則Δk>0，資本存量增加；當(dāng)sf（k）<δk，則Δk<0，資本存量減少;當(dāng)sf（k）=δk，則Δk=0，資本存量不變。10/17/20239中國礦業(yè)大學(xué)管理學(xué)院徐建博二.資本積累和穩(wěn)態(tài)5.資本積累和穩(wěn)態(tài)10/8/20239k1k2k*i*=δk*δk*0kysf(k)投資、折舊和穩(wěn)態(tài)f(k)10/17/202310中國礦業(yè)大學(xué)管理學(xué)院徐建博k1k2k*i*=δk*δk*0kysf(k)投資、折舊和穩(wěn)說明（1）資本存量的不斷增加反映了經(jīng)濟的增長，因為人均產(chǎn)出與人均資本成正比y=f(k)（2）當(dāng)Δk=0時，資本存量會保持穩(wěn)定不變的水平。我們稱這個資本存量水平為資本存量水平的“穩(wěn)定狀態(tài)”，簡稱“穩(wěn)態(tài)”，記為k*。（3）穩(wěn)定狀態(tài)是一個經(jīng)濟的長期均衡，具有一種真正的穩(wěn)定性。不管經(jīng)濟的初始水平是什么，最后總是會達到穩(wěn)定狀態(tài)的資本水平。10/17/202311中國礦業(yè)大學(xué)管理學(xué)院徐建博說明（1）資本存量的不斷增加反映了經(jīng)濟的增長，因為人均產(chǎn)s2f(k)k2*i*=δk*1k1*s1f(k)0yδkk三、儲蓄率變化對穩(wěn)定狀態(tài)影響10/17/202312中國礦業(yè)大學(xué)管理學(xué)院徐建博s2f(k)k2*i*=δk*1k1*s1f(k)0yδkk三、儲蓄率變化的影響1.儲蓄率變化，形成新的穩(wěn)態(tài)。

和原來的穩(wěn)態(tài)相比，儲蓄率提高形成新穩(wěn)態(tài)具有較高的資本存量水平和較高的產(chǎn)出。降低儲蓄率，則結(jié)果相反。2.儲蓄率對經(jīng)濟增長速度的影響

儲蓄率對一個經(jīng)濟穩(wěn)定狀態(tài)的影響，在一定程上說明了儲蓄率的高低對經(jīng)濟增長速度的影響。(1)較高的儲蓄率意味著較高的資本存量穩(wěn)定狀態(tài)。

當(dāng)一個經(jīng)濟的當(dāng)前資本存量水平一定時，儲蓄率提高就意味著與穩(wěn)定狀態(tài)之間存在著更大的差距，這樣經(jīng)濟增長就會有較大的空間和速度。但這僅僅是暫時的。(2)

經(jīng)濟在長期中只要達到它的穩(wěn)態(tài)，就不會再繼續(xù)增長。10/17/202313中國礦業(yè)大學(xué)管理學(xué)院徐建博三、儲蓄率變化的影響1.儲蓄率變化，形成新的穩(wěn)態(tài)。10/8查閱資料并利用索洛經(jīng)濟增長模型解釋：（1）我國經(jīng)濟最近幾年增長速度都很高，會不會一直這么高下去？（2）日本和德國是兩個成功的經(jīng)濟增長事例。二戰(zhàn)期間摧毀了兩國的大量資本存量。但是，戰(zhàn)后的幾十年中，這兩個國家經(jīng)歷了最迅速的增長。在1948年到1972年間，日本每年人均產(chǎn)出為8.2%，德國的每年人均產(chǎn)出增長率為5.7%。相比之下，美國每年的人均產(chǎn)出增長率僅為2.2%。為什么戰(zhàn)后的日本、德國的經(jīng)濟會得到高速的增長？10/17/202314中國礦業(yè)大學(xué)管理學(xué)院徐建博查閱資料并利用索洛經(jīng)濟增長模型解釋：10/8/202314中思考題某國生產(chǎn)函數(shù)Y=K0.5L0.5,s=0.3,δ=10%。求：穩(wěn)定狀態(tài)的人均資本存量k*,人均產(chǎn)出y*。解答:y=k0.5sf（k）=δk,求出k*=9,y*=310/17/202315中國礦業(yè)大學(xué)管理學(xué)院徐建博思考題某國生產(chǎn)函數(shù)Y=K0.5L0.5,s=0.3,第二節(jié)資本積累的黃金律盡管高的儲蓄率可帶來高的經(jīng)濟增長速度，但高的資本數(shù)量和高產(chǎn)出，其實并不是一個經(jīng)濟所追求的目標(biāo)。人們的目標(biāo)是長期中的消費福利。高儲蓄是以低消費為代價的。因此，選擇最佳穩(wěn)態(tài)，應(yīng)該以高消費作為選定穩(wěn)態(tài)的標(biāo)準(zhǔn)。一.假設(shè)條件1.索洛模型成立2.儲蓄率s可以調(diào)整；3.目標(biāo)：未來消費水平最高。討論：多少資本積累是長期消費最優(yōu)的10/17/202316中國礦業(yè)大學(xué)管理學(xué)院徐建博第二節(jié)資本積累的黃金律盡管高的儲蓄率可帶來高的經(jīng)濟增長速度一.假設(shè)條件1.索洛模型成立2.儲蓄率s可以調(diào)整；3.目標(biāo)：未來消費水平最高。10/17/202317中國礦業(yè)大學(xué)管理學(xué)院徐建博一.假設(shè)條件1.索洛模型成立10/8/202317中國礦二、黃金律1.含義:長期中消費水平最高的穩(wěn)定狀態(tài)，被稱為資本積累的“黃金律”水平。2.數(shù)學(xué)表達我們知道：

c=y–i假定穩(wěn)定狀態(tài)的人均資本為k*，則有：i*=sf（k*）=δk*由c=y－i可得,c*=f（k*）－δk*。表明：穩(wěn)定狀態(tài)資本水平的提高，對穩(wěn)定狀態(tài)的人均消費有對立的影響，它通過使產(chǎn)出增加提高消費，但又因為需要有更多的產(chǎn)出去替代折舊掉的資本而使消費減少消費最大化即求c的最大值10/17/202318中國礦業(yè)大學(xué)管理學(xué)院徐建博二、黃金律表明：穩(wěn)定狀態(tài)資本水平的提高，對穩(wěn)定狀態(tài)的人均消費三、黃金律的基本條件1.數(shù)學(xué)推導(dǎo)消費的最大化表現(xiàn)為一階導(dǎo)數(shù)為0。dc/dk=df/dk–

δ=0MPk-δ=0MPk=δ因此，MPk=δ就是消費最大化的基本條件，即：資本的邊際產(chǎn)出等于折舊率。10/17/202319中國礦業(yè)大學(xué)管理學(xué)院徐建博三、黃金律的基本條件1.數(shù)學(xué)推導(dǎo)10/8/202319中國Cg*kg*δkf(k)k0y2.資本積累的黃金律水平10/17/202320中國礦業(yè)大學(xué)管理學(xué)院徐建博Cg*kg*δkf(k)k0y2.資本積累的黃金律水平10/Cg*kg*δkf(k)k0y通過儲蓄率選擇黃金律穩(wěn)態(tài)sgf(k)10/17/202321中國礦業(yè)大學(xué)管理學(xué)院徐建博Cg*kg*δkf(k)k0y通過儲蓄率選擇黃金律穩(wěn)態(tài)sgf練習(xí)題某國生產(chǎn)函數(shù)Y=K0.5L0.5,δ=10%。求：（1）黃金律穩(wěn)態(tài)時的人均資本存量k*,人均產(chǎn)出y*；（2）儲蓄率達到什么水平可以使資本存量達到黃金律穩(wěn)態(tài)。解答:(1)y=k0.5MPK=dy/dk=1/2K-0.5.求出k=25,y=5(2)sf（k）=δk,5s=0.25,s=0.510/17/202322中國礦業(yè)大學(xué)管理學(xué)院徐建博練習(xí)題某國生產(chǎn)函數(shù)Y=K0.5L0.5,δ=10%第三節(jié)人口增長與技術(shù)進步前面的分析表明，高儲蓄能提高一個經(jīng)濟的穩(wěn)態(tài)資本存量和產(chǎn)出。在原來資本水平較低時，有更多的發(fā)展空間，促進經(jīng)濟增長。但資本積累本身不能帶來持續(xù)的經(jīng)濟增長。要解釋一個經(jīng)濟的持續(xù)增長就必須擴展基本的索洛模型，即把原來沒有考慮的兩個因素：人口增長和技術(shù)進步引入模型。因為現(xiàn)實當(dāng)中，一個國家的人口或技術(shù)總是在不斷變化的。10/17/202323中國礦業(yè)大學(xué)管理學(xué)院徐建博第三節(jié)人口增長與技術(shù)進步前面的分析表明，高儲蓄能提高一個經(jīng)一、人口增長的影響1.基本假設(shè)：（1）索洛模型成立；（2）人口增長率為n.2.人口增長的影響假設(shè)勞動力人口以固定速率n增長,則y=Y/L，k=K/L兩個變量都會隨著人口增長而下降。假設(shè)下降速度為x。當(dāng)總資本量不變時：K=k×L=（1-x）k×（1+n）L=（1-x+n-xn）k×L由于x、n都很小，xn則更小，可以忽略不計，因此，可得x=n也就是說，當(dāng)人口以n的速度增加時，人均產(chǎn)出y和人均資本k均以n的速度下降。10/17/202324中國礦業(yè)大學(xué)管理學(xué)院徐建博一、人口增長的影響1.基本假設(shè)：10/8/202324中仍然從資本積累的角度來研究。則一年中資本的變化量（新增的資本量）為Δk=i-δk-nk=i-（δ+n）k=sf（k）-（δ+n）k10/17/202325中國礦業(yè)大學(xué)管理學(xué)院徐建博仍然從資本積累的角度來研究。10/8/202325中國礦業(yè)大3.人口增長后穩(wěn)態(tài)的變化現(xiàn)在，考慮了人口的變動，穩(wěn)態(tài)點就會有變化。穩(wěn)態(tài)時，

sf（k）=（δ+n）k（δ+n）k稱為“平衡投資”，即存在折舊和人口增長的情況下，新增投資必須至少等于它，才能使資本存量保持不變，達到穩(wěn)態(tài)。說明：經(jīng)濟處于穩(wěn)態(tài)時，“平衡投資”投資一部分用于對現(xiàn)有資本折舊的彌補δk，一部分給新勞動力提供穩(wěn)態(tài)水平的資本nk

。10/17/202326中國礦業(yè)大學(xué)管理學(xué)院徐建博3.人口增長后穩(wěn)態(tài)的變化現(xiàn)在，考慮了人口的變動，穩(wěn)態(tài)點就會k*(δ+n)k有人口增長時的穩(wěn)態(tài)0kysf(k)δkk010/17/202327中國礦業(yè)大學(xué)管理學(xué)院徐建博k*(δ+n)k有人口增長時的穩(wěn)態(tài)0kysf(k)δkk013.人口增長對索洛模型的影響人口增長的引入改變了索洛模型。從三個角度：(1)它能在一定程度上解釋持續(xù)的經(jīng)濟增長。因為人口的增長，盡管人均資本和產(chǎn)出不變，導(dǎo)致總資本和總產(chǎn)出也以速度n增長。(2)人口增長率高的國家，穩(wěn)態(tài)人均資本低，產(chǎn)出低，所以生活水平也低。(比較)(3)人口增長對黃金率穩(wěn)態(tài)的影響：引進人口增長率會改變資本積累黃金律水平。穩(wěn)態(tài)時:i=sf(k)=（δ+n）k*c=y-i=f（k*）-（δ+n）k*消費水平的最大化表現(xiàn)為一階導(dǎo)數(shù)為0。MPk=δ+n即在黃金律穩(wěn)態(tài)：資本的邊際產(chǎn)量=折舊率+人口增長率10/17/202328中國礦業(yè)大學(xué)管理學(xué)院徐建博3.人口增長對索洛模型的影響人口增長的引入改變了索洛模型。人口增長率對穩(wěn)態(tài)的影響k*2(δ+n2)kk*10ksf(k)y(δ+n1)k10/17/202329中國礦業(yè)大學(xué)管理學(xué)院徐建博人口增長率對穩(wěn)態(tài)的影響k*2(δ+n2)kk*10ksf(k計算設(shè)某國的總量生產(chǎn)函數(shù)：Y=K0.5L0.5，資本存量折舊率為5%，人口增長率為1%，儲蓄率為10%。求：（1）均衡時本國的人均資本存量、人均產(chǎn)出及人均消費水平。（2）黃金律穩(wěn)態(tài)時的人均資本量和人均產(chǎn)出以及儲蓄率水平。10/17/202330中國礦業(yè)大學(xué)管理學(xué)院徐建博計算設(shè)某國的總量生產(chǎn)函數(shù)：Y=K0.5L0.5，資本存量折二、技術(shù)進步的影響前面的研究一直基于一個假定，即技術(shù)水平不變，在此條件下考慮資本、勞動的變化對經(jīng)濟增長的影響。事實上，現(xiàn)實中技術(shù)的發(fā)展日新月異，對勞動生產(chǎn)率的提高起到了積極的推動作用。所以，我們有必要把技術(shù)進步引入索洛模型?；炯僭O(shè)：（1）索洛模型成立；（2）人口增長率為n：（3）技術(shù)進步使勞動效率增長率為g。10/17/202331中國礦業(yè)大學(xué)管理學(xué)院徐建博二、技術(shù)進步的影響10/8/202331中國礦業(yè)大學(xué)管理學(xué)1.效率工人/效率勞動力把技術(shù)進步引起的勞動生產(chǎn)率的提高用“E”來表示，原來L個單位的勞動力由于技術(shù)進步的作用，現(xiàn)在相當(dāng)于L×E個勞動力，稱“效率工人”或“效率勞動力”。則生產(chǎn)函數(shù)變?yōu)椋篩=F（K，L）→→→Y=F（K，L*E）

10/17/202332中國礦業(yè)大學(xué)管理學(xué)院徐建博1.效率工人/效率勞動力把技術(shù)進步引起的勞動生產(chǎn)率的提高用例子如：技術(shù)進步引起勞動生產(chǎn)率提高兩倍，

原來投入10個單位的勞動可以生產(chǎn)100個單位的產(chǎn)量，技術(shù)進步后可以生產(chǎn)200個單位，也就相當(dāng)于在原來的技術(shù)水平下投入10*2=20個單位的勞動力。這個勞動力就稱為“效率工人”。L’（效率工人）=L×E（效率）10/17/202333中國礦業(yè)大學(xué)管理學(xué)院徐建博例子如：技術(shù)進步引起勞動生產(chǎn)率提高兩倍，原來投入10個單技術(shù)進步使E以一個固定速率g增長，由于L以n增長，所以L’以（n+g）的速率增長。令Y/（L×E）=y’（每效率工人人均產(chǎn)出存量）令K/（L×E）=k’（每效率工人人均資本存量）則有技術(shù)進步的生產(chǎn)函數(shù)（效率工人的人均生產(chǎn)函數(shù)）仍為：y’=f（k’）10/17/202334中國礦業(yè)大學(xué)管理學(xué)院徐建博技術(shù)進步使E以一個固定速率g增長，由于L以n增長，所以L2.技術(shù)進步對穩(wěn)態(tài)的影響通過轉(zhuǎn)換，我們?nèi)匀豢梢詮馁Y本積累的角度來研究。存在人口增長和技術(shù)進步時，每年的資本損耗會更多。新增資本為:Δk’=i’-δk’

–(n+g）k’=sf（k’）-（δ+n+g）k’穩(wěn)態(tài)時，Δk’=0，即：sf（k’）=（δ+n+g）k’10/17/202335中國礦業(yè)大學(xué)管理學(xué)院徐建博2.技術(shù)進步對穩(wěn)態(tài)的影響通過轉(zhuǎn)換，我們?nèi)匀豢梢詮馁Y本積累的有技術(shù)進步的穩(wěn)定狀態(tài)k’*(δ+n+g)k’0ky’sf(k’)10/17/202336中國礦業(yè)大學(xué)管理學(xué)院徐建博有技術(shù)進步的穩(wěn)定狀態(tài)k’*(δ+n+g)k’0ky’sf(k3.技術(shù)進步對經(jīng)濟增長的影響引入技術(shù)進步后，雖然在穩(wěn)定狀態(tài)每效率工人的資本k’=K/（L×E），y’=Y/（L×E）都不變，但人均產(chǎn)出Y/L=y’×E和總產(chǎn)出Y=y’×E×L卻分別以g和n+g的速度增長。這樣，索洛模型才能夠解釋我們所觀察到的經(jīng)濟增長。（生活水平的增長、福利的增長）索洛模型表明技術(shù)進步是一個經(jīng)濟長期持續(xù)增長的源泉。10/17/202337中國礦業(yè)大學(xué)管理學(xué)院徐建博3.技術(shù)進步對經(jīng)濟增長的影響引入技術(shù)進步后，雖然在穩(wěn)定狀態(tài)4.技術(shù)進步對黃金率穩(wěn)態(tài)影響引入技術(shù)進步因素同樣也會改變黃金率穩(wěn)態(tài)的公式。c*=y–i=f（k*）-（δ+n+g）k*即在黃金律穩(wěn)態(tài)：

MPk=δ+n+g也即：MPk-δ=n+g

→資本的凈產(chǎn)出=總產(chǎn)出的增長率10/17/202338中國礦業(yè)大學(xué)管理學(xué)院徐建博4.技術(shù)進步對黃金率穩(wěn)態(tài)影響引入技術(shù)進步因素同樣也會改變黃課后作業(yè)1。有以下生產(chǎn)函數(shù)的索洛增長模型了一個經(jīng)濟：y=k0.5。一個發(fā)達國家儲蓄率為28%，而人口增長率為每年1%。一個不發(fā)達國家儲蓄率為10%，而人口增長率為每年4%。在這兩個國家中，g=0.02,δ=0.04。（1）找出每個國家穩(wěn)定狀態(tài)y的值。（2）求出每個國家黃金律穩(wěn)態(tài)的人均資本存量和儲蓄率。10/17/202339中國礦業(yè)大學(xué)管理學(xué)院徐建博課后作業(yè)1。有以下生產(chǎn)函數(shù)的索洛增長模型了一個經(jīng)濟：y=k解答由題知：sf（k）=(δ+n+g)k0.28k1/2=(0.01+0.02+0.04)kk=16y=4如果儲蓄率下降到10%，人口增長率上升到4%，則計算得：k=1y=110/17/202340中國礦業(yè)大學(xué)管理學(xué)院徐建博解答由題知：sf（k）=(δ+n+g)k10/8/20234三、索羅模型的缺陷1.

模型可以推論：當(dāng)資本存量增長時，由于邊際報酬遞減，經(jīng)濟增長會