《空間向量基本定理》教學設計教學目標教學目標1、理解并記住共線向量基本定理、平面向量基本定理、共面向量定理的內容及含義.提升學生的數(shù)學抽象素養(yǎng).2、會用共線向量基本定理、平面向量基本定理、共面向量定理解決空間幾何中的簡單問題．提高邏輯推理、數(shù)學運算的數(shù)學素養(yǎng)．教學重難點教學重難點教學重點：理解共面向量定理教學難點：利用共線向量基本定理、平面向量基本定理、共面向量定理解決空間幾何中的簡單問題.課前準備課前準備PPT課件．教學過程教學過程一、整體概覽問題1：閱讀課本第12-13頁，回答下列問題：（1）本節(jié)將要研究哪類問題？（2）本節(jié)要研究的對象在高中的地位是怎樣的？師生活動：學生帶著問題閱讀課本，老師指導學生概括總結本節(jié)的內容.預設的答案：（1）本節(jié)課主要學習空間向量基本定理第一課時共面向量定理的知識內容．（2）本節(jié)知識主要是回顧平面向量的基本定理，及由平面向量基本定理得到的共面向量定理，是平面向量相關知識向空間的推廣，因此這時的教學應繼續(xù)緊扣“推廣”這一重要環(huán)節(jié)．它對于下一節(jié)學習空間向量基本定理做好了鋪墊，也為今后學習空間向量的直角坐標運算作準備．設計意圖：通過對本節(jié)知識內容的預習，讓學生明晰下一階段的學習目標，初步搭建學習內容的框架.探索新知復習概念問題2：我們在必修第二冊第六章中曾經(jīng)學習過平面向量中的共線向量基本定理和平面向量基本定理，請同學們歸納出共線向量基本定理和平面向量基本定理．（板書：空間向量及其運算第一課時）師生活動：在教師的指導下共同歸納總結共線向量基本定理和平面向量基本定理．教師講解：平面向量中的結論(1)共線向量基本定理:如果a≠0且b∥a,則存在唯一的實數(shù)λ,使得b=λa.(2)平面向量基本定理:如果平面內兩個向量a與b不共線,則對該平面內任意一個向量c,存在唯一的實數(shù)對(x,y),使得c=xa+yb.設計意圖：通過復習,引導學生把握數(shù)學內容的本質,發(fā)展學生數(shù)學學科核心素養(yǎng),使學生加深理解共線向量基本定理和平面向量基本定理,為下面學習空間向量基本定理打下堅實的基礎.2、形成定義觀察上述共線向量基本定理和平面向量基本定理,思考上述結論在空間中是否仍然成立？如何判斷空間中的三個向量是否共面？師生活動：通過類比，學生自己得出共面向量定理的內容．教師講解：可以看出,共線向量基本定理和平面向量基本定理在空間中仍然成立．例如,如圖1-1-16所示的正方體中,P在直線上的充要條件是,存在實數(shù)λ,使得,如果M在底面ABCD內,則一定存在實數(shù)s與t,使得,而且,若ME⊥AD,MF⊥AB,則,另外,在空間中,由平面向量基本定理以及空間向量加法的平行四邊形法則,還可以得到如下空間中三個向量是否共面的判別方法.共面向量定理:如果兩個向量a,b不共線,則向量a,b,c共面的充要條件是,存在唯一的實數(shù)對(x,y),使c=xa+yb.設計意圖：通過引入正方體的具體實例讓學生進一步驗證了共線向量基本定理和平面向量基本定理在空間中仍然成立.由學生自己動手實踐、觀察、比較,抽象概括得出定理,讓學生體會由特殊到般的思維方法,發(fā)展學生的理性思維能力.問題3：如何證明共面向量定理？師生活動：學生自己寫出證明過程，教師給出答案．預設的答案：在共面向量定理的證明中,證明必要性時,因已知條件和求證結論與平面向量基本定理吻合,充分性的證明如下:因為分別與共線,所以都在確定的平面內,又因為是以為鄰邊的平行四邊形的一條對角線所表示的向量,并且此平行四邊形在確定的平面內,所以在確定的平面內,即與共面．設計意圖：通過對定理的證明，強化共面向量定理的理解．三、初步應用例1例1如圖1-1-17所示,已知斜三棱柱,

,在上和BC上分別有一點M和N,且,其中，求證:共面．師生活動：學生嘗試自行解答，由老師指定學生給出證明，教師給出規(guī)范解答．預設的答案：證明因為，=，所以由共面向量定理可知,共面．設計意圖：例1旨在說明共面向量定理的應用，可以通過分析，明確證明目標，應注意讓學生體會解題思路的形成過程，培養(yǎng)學生獨立分析問題解決問題的能力．練習：已知A,B,C三點不共線，對平面ABC外任意一點O，確定在下列條件下，點M是否與A,B,C共面：師生活動：學生根據(jù)例1做出解答，并由教師給出答案．預設的答案：（1）共面；（2）不共面．設計意圖：加強對共面向量定理的應用，培養(yǎng)學生獨立分析問題解決問題的能力．問題4：由共面向量定理是否可得到判斷空間中四點是否共面的方法？師生活動：學生嘗試總結，并相互交流，教師給出答案．預設的答案：如果A,B,C三點不共線,則點P在平面ABC內的充要條件是,存在唯一的實數(shù)對(x,y),使.設計意圖：通過對共面向量定理的理解，得到判斷四點共面的方法，提升學生邏輯推理素養(yǎng)．例2：如圖所示，P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，連接PA，PB，PC，PD，點E，F(xiàn)，G，H分別是△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心，分別延長PE，PF，PG，PH，交對邊于M，N，Q，R，并順次連接MN，NQ，QR，RM．應用向量共面定理證明：E，F(xiàn)，G，H四點共面．師生活動：學生先嘗試識圖，并給出解題思路，教師給出規(guī)范證明過程．預設的答案：∵E，F(xiàn)，G，H分別是所在三角形的重心，∴M，N，Q，R為所在邊的中點，順次連接M，N，Q，R，所得四邊形為平行四邊形，且有eq\o(PE,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PM,\s\up7(→))，eq\o(PF,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PN,\s\up7(→))，eq\o(PG,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PQ,\s\up7(→))，eq\o(PH,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PR,\s\up7(→))．∵四邊形MNQR為平行四邊形，∴eq\o(EG,\s\up7(→))＝eq\o(PG,\s\up7(→))－eq\o(PE,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PQ,\s\up7(→))－eq\f(2,3)eq\o(PM,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(MQ,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(MN,\s\up7(→))＋eq\o(MR,\s\up7(→)))＝eq\f(2,3)(eq\o(PN,\s\up7(→))－eq\o(PM,\s\up7(→)))＋eq\f(2,3)(eq\o(PR,\s\up7(→))－eq\o(PM,\s\up7(→)))＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)\o(PF,\s\up7(→))－\f(3,2)\o(PE,\s\up7(→))))＋eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)\o(PH,\s\up7(→))－\f(3,2)\o(PE,\s\up7(→))))＝eq\o(EF,\s\up7(→))＋eq\o(EH,\s\up7(→))，∴由共面向量定理得eq\o(EG,\s\up7(→))，eq\o(EF,\s\up7(→))，eq\o(EH,\s\up7(→))共面，所以E，F(xiàn)，G，H四點共面．四、歸納小結，布置作業(yè)問題5：（1）什么是共線向量基本定理？（2）什么是平面向量基本向量？（3）什么是共面向量定理？師生活動：學生嘗試總結，老師適當補充.預設的答案：(1)共線向量基本定理:如果a≠0且b∥a,則存在唯一的實數(shù)λ,使得b=λa.(2)平面向量基本定理:如果平面內兩個向量a與b不共線,則對該平面內任意一個向量c,存在唯一的實數(shù)對(x,y),使得c=xa+yb.（3）共面向量定理:如果兩個向量a與b不共線,則向量a、b、c共面的充要條件是,存在唯一的實數(shù)對(x,y),使c=xa+yb..設計意圖：通過梳理本節(jié)課的內容，能讓學生更加明確空間向量的概念的有關知識．布置作業(yè)：教科書第16頁練習A1,2題．五、目標檢測設計1.O，A，B，C為空間四點，且向量eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))不能構成空間的一個基底，則()A．eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))共線 B．eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))共線C．eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))共線 D．O，A，B，C四點共面設計意圖：考查學生對共線向量基本定理的應用．2.對于空間的任意三個向量a，b,2a－3b，它們一定是()A．共面向量 B．共線向量C．不共面向量 D．既不共線也不共面的向量設計意圖：考查學生對共面向量定理的簡單應用．3．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且eq\o(A1E,\s\up7(→))＝2eq\o(ED1,\s\up7(→))，F(xiàn)在對角線A1C上，且eq\o(A1F,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up7(→))．求證：E，F(xiàn)，B三點共線．設計意圖：考查學生對共線向量基本定理的應用．參考答案：1．D[由eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))不能構成基底知eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))三向量共面，所以O，A，B，C四點共面．]2．A[根據(jù)共面向量定理知a，b,2a－3b一定共面．]3．[證明]設eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AD,\s\up7(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up7(→))＝c．∵eq\o(A1E,\s\up7(→))＝2eq\o(ED1,\s\up7(→))，eq\o(A1F,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up7(→))，∴eq\o(A1E,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(A1D1,\s\up7(→))，eq\o(A1F,\s\up7(→))＝eq\f(2,5)eq\o(A1C,\s\up7(→))，∴eq\o(A1E,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)b，eq\o(A1F,\s\up7(→))＝eq\f(2,5)(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AA1,\s\up7(→)))＝eq\f(2,5)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AA1,\s\up7(→)))＝eq\f(2,5)a＋eq\f(2,5)b－eq\f(2,5)c．∴eq\o(EF,\s\up7(→))＝eq\o(A1F,\s\up7(→))－eq\o(A1E,\s\up7(→))＝eq\f(2,5)a－eq\f(4,15