雙材料疊合懸臂梁在自由端受集中力作用時(shí)的理論解

單元梁廣泛應(yīng)用于土木工程中，如車(chē)輛的單元彈簧、電源設(shè)計(jì)中的管道、橋梁等。對(duì)單元梁的強(qiáng)度和變形具有理論和實(shí)際意義。基于材料力學(xué)的梁理論,文獻(xiàn)得到了簡(jiǎn)支疊合梁在純彎曲變形時(shí)的彎曲正應(yīng)力并與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了比較,文獻(xiàn)對(duì)受集中力作用的簡(jiǎn)支疊合梁在橫力彎曲時(shí)的彎曲正應(yīng)力進(jìn)行了分析和實(shí)驗(yàn),它們都得到了彎曲正應(yīng)力沿梁的高度線性分布的結(jié)論。根據(jù)有2個(gè)廣義位移的梁理論,文獻(xiàn)研究了疊合梁的層間接觸壓力的分布情況,其中最新的文獻(xiàn)研究表明:①接觸壓力與上、下層的彎曲剛度之比有關(guān);②疊合梁受集中力作用時(shí),在集中力作用的附近區(qū)域存在著接觸壓力,并隨著離集中力作用處距離的增大,接觸壓力很快幾乎趨于零;③疊合梁受均布載荷作用時(shí),除了在梁的兩端附近區(qū)域外,接觸壓力幾乎是一常量。文獻(xiàn)根據(jù)梁理論,研究了受均布載荷作用的簡(jiǎn)支疊合梁的層間接觸壓力的分布情況。目前,有關(guān)疊合梁的理論解的研究成果很少,本文采用彈性力學(xué)的應(yīng)力函數(shù)法,求解雙材料疊合懸臂梁在自由端受集中力作用時(shí)的理論解,并與有限元數(shù)值模擬結(jié)果進(jìn)行比較。1變量y面將2根長(zhǎng)度和寬度相同、高度和材料不同的矩形截面梁相互自然地疊合在一起,右端固支,左端自由并受集中力F作用,如圖1所示。疊合梁的界面連續(xù)條件為:(v1)y=0=(v2)y=0(1)(σy1)y=0=(σy2)y=0,(τxy1)y=0=(τxy2)y=0,(τxy1)y=0≤f(σy1)y=0(2)力邊界條件為:(σy1)y=-h1=0,(τxy1)y=-h1=0(3)(σy2)y=h2=0,(τxy2)y=h2=0(4)(σxi)x=0=0,∫0-h1(τxy1)x=0bdy+∫h20(τxy2)x=0bdy=-F(5)位移邊界條件為:(ui)x=ly=0=0,(vi)x=ly=0=0,(?vi?x)x=ly=0=0(6)或(ui)x=ly=0=0,(vi)x=ly=0=0,(?ui?y)x=ly=0=0(7)其中,(1)式～(7)式的下標(biāo)i=1,2分別表示上層和下層;f為上、下層之間的摩擦系數(shù);b為梁的寬度。2應(yīng)力函數(shù)的擬合應(yīng)力分量可用應(yīng)力函數(shù)表示為:σx=?2??y2,σy=?2??x2,τxy=-?2??x?y(8)其中,應(yīng)力函數(shù)?滿足雙調(diào)和方程:?4??x4+2?4??x2?y2+?4??y4=0(9)位移與應(yīng)力的關(guān)系為:?u?x=1E(σx-νσy),?v?y=1E(σy-νσx),?u?y+?v?x=2(1+ν)Eτxy(10)其中,E和ν分別為彈性模量和泊松比。3應(yīng)力分量的計(jì)算采用半逆解法求解。由材料力學(xué)方法可知,疊合梁上、下層中的彎曲正應(yīng)力σxi沿梁高分別是線性變化的,故假設(shè):σxi=x(Ai1y+Ai2)(11)其中,Ai1和Ai2(i=1,2)為待定常數(shù)。顯然,邊界條件(5)式中的(σxi)x=0=0自然滿足。將(11)式代入(8)式中的第一式后,積分可得應(yīng)力函數(shù)為:?i=x(16Ai1y3+12Ai2y2)+fi1(x)y+fi2(x)(12)其中,fi1(x)和fi2(x)是x的待定函數(shù)。將(12)式代入(9)式,可求得:fi1(x)=Ai3x3+Ai4x2+Ai5x,fi2(x)=Ai6x3+Ai7x2(13)其中,Ai3～Ai7(i=1,2)為積分常數(shù);fi1(x)中略去了不影響應(yīng)力分量的常數(shù)項(xiàng);fi2(x)中略去了不影響應(yīng)力分量的一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)。將(13)式代入(12)式得到應(yīng)力函數(shù)為:?i=x(16Ai1y3+12Ai2y2)+(Ai3x3+Ai4x2+Ai5x)y+Ai6x3+Ai7x2(14)將(14)式代入(8)式可得應(yīng)力分量為:σxi=x(Ai1y+Ai2)?σyi=(6Ai3x+2Ai4)y+6Ai6x+2Ai7?τxyi=-12Ai1y2-Ai2y-3Ai3x2-2Ai4x-Ai5(15)將(15)式代入(2)～(4)式后,可求得:Ai2=(-1)i-112hiAi1,Ai3=Ai4=Ai5=Ai6=Ai7=0(16)將(16)式代入(15)式,得到:σxi=12Ai1x[2y+(-1)i-1hi]?σyi=0?τxyi=-12Ai1y[y+(-1)i-1hi](17)將(17)式代入(10)式,可求得位移分量為:ui=112EiAi1{3x2[2y+(-1)i-1hi]-(2+νi)y2[2y+(-1)i-13hi]}+ωiy+u0i?vi=-16EiAi1x{x2+3νiy[y+(-1)i-1hi]}-ωix+v0i(18)其中,ωi、u0i和v0i(i=1,2)為待定常數(shù)。將(17)式代入(5)式中的最后一式、(18)式代入(1)式和(6)式或(7)式,可求得:Ai1=-EiFE1Ι1+E2Ι2,ωi=Fl22(E1Ι1+E2Ι2),u0i=(-1)i-1Fl2hi4(E1Ι1+E2Ι2),v0i=Fl33(E1Ι1+E2Ι2)(19)其中,Ii=bh3i/12。將(18)式代入(6)式中的第三式或(7)式中的第三式,可得到同樣的關(guān)系式。將(19)式代入(17)式和(18)式,可得應(yīng)力分量為:σxi=-EiF2(E1Ι1+E2Ι2)x[2y+(-1)i-1hi]?σyi=0?τxyi=EiF2(E1Ι1+E2Ι2)y[y+(-1)i-1hi](20)位移分量為:ui=F12(E1Ι1+E2Ι2){3(l2-x2)[2y+(-1)i-1hi]+(2+νi)y2[2y+(-1)i-13hi]}?vi=F6(E1Ι1+E2Ι2){(l-x)2(2l+x)+3νixy[y+(-1)i-1hi]}(21)由(20)式可見(jiàn),在疊合梁的任一橫截面上,上、下層中的彎曲應(yīng)力σxi沿高度分別按線性規(guī)律變化,切應(yīng)力τxyi沿高度分別按拋物線規(guī)律變化;當(dāng)梁在自由端面的受力是按(20)式中第三式的形式分布時(shí),在上、下層之間不存在接觸壓力σyi,當(dāng)梁在自由端面的受力不是按(20)式中第三式的形式分布時(shí),僅在梁的自由端附近的上、下層之間會(huì)產(chǎn)生接觸壓力,而在離自由端較遠(yuǎn)處將不存在接觸壓力,這與文獻(xiàn)的結(jié)果基本吻合。由(21)式中第一式可見(jiàn),由于ui是y的三次函數(shù),因此變形后上、下層中的橫截面不再保持為平面。在(20)式和(21)式中取E2=0即可得到單根梁情況下的應(yīng)力和位移。如在(20)式中取E2=0,并將y換成y-h1/2,便可得到:σx1=-FΙ1xy,σy1=0,τxy1=F2Ι1(y2-h214)(22)(22)式與文獻(xiàn)的結(jié)果相同。4疊合梁在x橫截面上的彎矩和剪力m將(20)式代入:FΝi=(-1)i∫(-1)ihi0σxidy,Μi=(-1)i∫(-1)ihi0σxiydy,FQi=(-1)i∫(-1)ihi0τxyidy(23)可求得上、下層在x橫截面上的軸力、彎矩和剪力分別為:FΝi=0,Μi=EiΙiE1Ι1+E2Ι2Μ,FQi=EiΙiE1Ι1+E2Ι2FQ(24)其中,M=-Fx和FQ=-F分別為疊合梁在x橫截面上的彎矩和剪力。由(24)式可見(jiàn),上、下層中的彎矩和剪力是按抗彎剛度分配的,即抗彎剛度大的層所承擔(dān)的彎矩和剪力大。此外,在梁的自由端面,當(dāng)上層所受的外力之和大于或等于FE1I1/(E1I1+E2I2)時(shí),疊合梁在受力變形時(shí),上、下層之間始終保持相互接觸,上、下層中的應(yīng)力和位移分別按(20)式和(21)式變化;當(dāng)上層所受的外力之和小于FE1I1/(E1I1+E2I2)時(shí),疊合梁在受力變形時(shí),上、下層之間將會(huì)相互分離,各自獨(dú)立變形,下層的變形大于上層的變形,上、下層中的應(yīng)力和位移不再滿足(20)式和(21)式,而是滿足單根梁情況下的應(yīng)力和位移。5單元密度和接觸對(duì)對(duì)圖1所示的疊合梁采用有限元分析軟件Ansys進(jìn)行數(shù)值分析。算例1取疊合梁的長(zhǎng)度l=180mm,寬度b=24mm。上層材料為鋼,其彈性模量E1=206GPa,泊松比ν1=0.3。下層材料為鋁,其彈性模量E2=70GPa,泊松比ν2=0.3。上、下層的高度為h1=h2=24mm,集中力F=2.5kN。采用8節(jié)點(diǎn)帶寬度的實(shí)體單元PLANE82,共劃分了960個(gè)3mm×3mm的單元,在上、下層之間設(shè)置接觸對(duì),上層的下表面設(shè)置為目標(biāo)面,下層的上表面設(shè)置為接觸面,分別取摩擦系數(shù)為f=0和f=0.17進(jìn)行計(jì)算,計(jì)算結(jié)果分別見(jiàn)表1和表2所列?？梢钥闯?理論值與取摩擦系數(shù)f=0的有限元值吻合較好;正應(yīng)力的理論值與有限元值吻合較好。計(jì)算表明,本文得到的理論解是正確的。算例2算例1中取h1=12mm,其余參數(shù)不變。上、下層之間的擠壓應(yīng)力如圖2所示。有限元分析時(shí),共劃分了720個(gè)3mm×3mm的單元,取摩擦系數(shù)f=0,上、下層之間的接觸處理與算例1相同。圖2中還給出了算例1中摩擦系數(shù)f=0時(shí)上、下層之間的擠壓應(yīng)力。由圖2可以看出,上、下層之間的擠壓應(yīng)力的理論值與有限元值在自由端附近相差較大,在離自由端稍遠(yuǎn)處,兩者吻合較好;自由端附近上、下層之間的擠壓應(yīng)力