第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學年上海市黃浦區(qū)重點中學高三（上）月考數(shù)學試卷（10月份）一、單選題（本大題共4小題，共18.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.“a=1”是“直線x+ay?A.必要不充分條件 B.充分不必要條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件2.已知α，β是兩個不同的平面，則下列命題中正確的是(

)A.如果兩條直線都平行于同一個平面，那么這兩條直線互相平行

B.過已知平面的一條斜線有且只有一個平面與已知平面垂直

C.平面α不垂直平面β，但平面α內(nèi)存在直線垂直于平面β

D.若直線l不垂直于平面α，則在平面α內(nèi)不存在與l垂直的直線3.已知{an}為等比數(shù)列，{an}的前n項和為Sn，前A.若S2024>S2023，則數(shù)列{an}單調(diào)遞增

B.若T2024>T2023，則數(shù)列{an4.已知m，n，p∈R，若三次函數(shù)f(x)=x3+mx2+nx+A.(13,1) B.(1二、填空題（本大題共12小題，共54.0分）5.已知集合M=[0,+∞)，N=[6.若扇形的圓心角為π3，面積為2π3，則扇形的半徑為______7.設(shè)復數(shù)z滿足(1+2i)z=8.若某圓錐高為3，其側(cè)面積與底面積之比為2：1，則該圓錐的體積為______．9.已知(1?2x)n的二項展開式中第3項與第10項的二項式系數(shù)相等，則展開式中含10.如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)(單位：件)，若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則x=

(1)

，y=

(2

11.若關(guān)于x的不等式組x?1x?2≤0|x12.已知冪函數(shù)f(x)=xα(α∈R)13.已知拋物線y2=2x的焦點為F，過點F的直線與拋物線交于A，B兩點，則4|14.已知函數(shù)f(x)=?x2+2,x15.如圖梯形ABCD，AB/?/CD且AB=5，AD16.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足：f(x+2)=?f(x)，且當三、解答題（本大題共5小題，共78.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題14.0分)

如圖，直三棱柱ABC?A′B′C′內(nèi)接于高為2的圓柱中，已知∠ACB=90°，AA18.(本小題14.0分)

已知函數(shù)f(x)=2sin(x+π3)?cosx．

(1)若0≤x≤π2，求函數(shù)f(x)的值域；19.(本小題14.0分)

已知某電子公司生產(chǎn)某款手機的年固定成本為40萬美元，每生產(chǎn)1萬部還需另投入16萬美元，設(shè)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款手機x萬部并全部銷售完，每萬部的銷售收入為R(x)萬美元，且R(x)=400?6x,0≤x≤407400x?40000x2,x20.(本小題18.0分)

已知定義域為R的函數(shù)f(x)=?2x+a2x+1是奇函數(shù)．

(1)求實數(shù)a的值；

21.(本小題18.0分)

已知A，B分別是橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右頂點，O為坐標原點，|AB|=6，點(2,53)在橢圓C上，過點P(0,?3)的直線l交橢圓C于M，N兩個不同的點．

(1)求橢圓C的標準方程；

(答案和解析1.【答案】B

【解析】解：當a=1時，直線x+ay?1=0與直線ax?y+1=0顯然相互垂直，

所以“a=1”是“直線x+ay?1=0與直線ax?y+1=0相互垂直”的充分條件；

當直線x+ay?1=0與直線ax?y+1=0相互垂直時，1×2.【答案】B

【解析】解：正方體ABCD?A1B1C1D1中，直線A1B1、直線B1C1都平行于平面ABCD，而直線A1B1與B1C1相交，A不正確；

如圖，直線l是平面α的斜線，l∩α=O，點P是直線l上除斜足外的任意一點，

過點P作PA⊥α于點A，則直線OA是斜線l平面α內(nèi)射影，直線l與直線OA確定平面β，

而PA?平面β，則平面β⊥平面α，即過斜線l一個平面垂直于平面α，

因平面的一條斜線在此平面內(nèi)的射影是唯一的，則直線l直線OA確定的平面β唯一，

所以過已知平面的一條斜線有且只有一個平面與已知平面垂直，B正確；

如果平面α內(nèi)存在直線垂直于平面β，由面面垂直的判斷知，平面α垂直于平面β，

因此，平面α不垂直平面β，則平面α內(nèi)不存在直線垂直于平面β，C不正確；

如圖，在正方體ABCD?3.【答案】D

【解析】解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，

對于A，如取am=12m，滿足S2024>S2023，但{am}不是遞增數(shù)列，故A錯誤；

對于B，如取am=?2m，滿足T2024>T2023，但{am}不是遞增數(shù)列，故B錯誤；

對于C，如取am=12m，則S4.【答案】D

【解析】解：∵f(?1)=f(1)<32，f(0)=f(2)>2，

∴?1+m?n+p=1+m+n+pp=8+4m+25.【答案】(?【解析】解：∵集合M=[0,+∞)，N=[a,+∞)，且M?N，

∴實數(shù)a的取值范圍是6.【答案】2

【解析】解：設(shè)扇形的半徑為r，

則該扇形的面積為S=12×π3r2=2π3，解得r=7.【答案】5【解析】解：(1+2i)z=5i，

則z=5i18.【答案】3π【解析】解：設(shè)此圓錐的底面半徑為r，母線長為l，則l2=r2+9，

因為圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，

扇形的弧長是圓錐底面圓的周長，扇形的半徑是圓錐母線長，

所以S側(cè)=12?2πr?l=πrl，S底=πr2，又側(cè)面積與底面積之比為2：1，

所以πrlπr29.【答案】?1320【解析】解：因為(1?2x)n的二項展開式中第3項與第10項的二項式系數(shù)相等，

可得Cn2=Cn9，即n=2+9=11，即二項式為(1?2x)11，

其展開式的通項為10.【答案】3；【解析】解：由題意甲組數(shù)據(jù)為56，62，65，70+x，74；乙組數(shù)據(jù)為59，61，67，60+y，78要使兩組數(shù)據(jù)中位數(shù)相等

有65=60+y，所以y=5；

又平均數(shù)相同則15×[56+62+65+(70+x)+74]=15×(59+61+67+65+7811.【答案】(?∞,【解析】解：不等式x?1x?2≤0等價于(x?1)(x?2)≤0，且x?2≠0，

解得1≤x<2，

解不等式|x?a|≤2得a?2≤x≤a+2，

因為不等式組12.【答案】(?【解析】【分析】根據(jù)已知條件可求出α的值，得到函數(shù)f(x)的解析式，再利用函數(shù)f【解答】

解：∵冪函數(shù)f(x)=xα(α∈R)的圖象經(jīng)過點(12,4)，

∴4=(12)α，∴α=?2，

∴f(x)=13.【答案】92【解析】解：如下圖示所示：

易知焦點F(12,0)，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，且x1，x2>0，

當直線斜率不存在時(如圖中虛線所示)，可知|AF|=|BF|=1，此時4|AF|+|BF|=5；

當直線斜率存在時，可設(shè)直線方程為14.【答案】3+【解析】解：作出f(x)的圖象如右：由題意，當b=xB，a=xA時，b?a最大，

令?x2+2=1，解得x=?1或1(舍)，故xA=?1；

令x+1x?115.【答案】9513【解析】解：設(shè)<AD，AB>=θ，∵DC/?/AB，則<AD，DC>=θ，

∵AC?BD=0，

∴(AD+DC)?(AD?AB)=0，

∴42?4×5×cosθ+4×2cosθ?2×5=0，化為cosθ=12，

∴θ=π3．

以AB所在直線為x軸，過點D作DO⊥A16.【答案】[1【解析】解：定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(0)=0，則log2a=0，則a=1，

又由f(x+2)=?f(x)可得，f(x)=?f(x+2)=f(x+4)，

則函數(shù)f(x)的最小正周期為4，

由f(x+2)=?f(x)=f(?x)，可得函數(shù)f(x)有對稱軸x=1，

當0≤x≤1時，f(x)=log2(x+1)，單調(diào)遞增，

由奇函數(shù)f(x)圖像關(guān)于原點對稱可得，

當?1≤x≤0時，f(x)=?log2(?x+1)，單調(diào)遞增，

則函數(shù)f(x)在[?1,1]單調(diào)遞增，又函數(shù)f(x)有對稱軸x=1，

則函數(shù)f(x)在[1,3]單調(diào)遞減，

又在x∈[?1,0]內(nèi)，由f(x)=1?log23，

即?log2(?x+1)=117.【答案】解：(1)∵∠ACB=90°，AC=BC=1，∴AB=AC2+BC2=2，

∴底面圓O的半徑r=22，

∴圓柱的側(cè)面積為2πr?AA′=2π，

又圓柱的底面積為πr2=π2，

∴圓柱的表面積S=2π+2×π2=3π．

(2)【解析】(1)由勾股定理可求得底面圓的半徑，分別求得圓柱的側(cè)面積和底面積，進而可求得表面積；

(2)連接A′C，可證得18.【答案】解：(1)f(x)=2sin(x+π3)?cosx

=(sinx+3cosx)?cosx

=sinxcosx+3cos2x

=12sin2x+32cos2x+32

=sin(2x+π3)+32；【解析】(1)利用三角恒等變換化簡f(x)，根據(jù)x的取值范圍即可求出函數(shù)f(x)的值域；

(219.【答案】解：(1)當0<x≤40時，W=xR(x)?(16x+40)=?6x2+384x?40，

當x>40時，W=xR(x)?(16x+40)=?40000x?16x+【解析】(1)分段分別求出利潤W(萬美元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬部)的函數(shù)解析式，再寫為分段函數(shù)的形式即可．

(2)當0<x≤40時，W=?620.【答案】解：(1)因為f(x)=?2x+a2x+1是R上的奇函數(shù)，

所以f(0)=a?12=0，

解得a=1，經(jīng)檢驗，a=1滿足題意，

所以a=1；

(2)f(x)在R上單調(diào)遞減，證明如下：

證明：因為f(x)=1?2x1+2x=22x+1?1，

任取x1，x2∈[0,+∞)，且x1<x2，

所以f(x1)?f(x2)=2(12x1【解析】(1)利用f(0)=0求解；

(2)利用單調(diào)性的定義先證明函數(shù)f(x)在[0,+∞)上單調(diào)性，再利用奇函數(shù)的性質(zhì)可得f(21.【答案】解：(1)由題知|AB|=2a，

因為|AB|=6，

所以2a=6，解得a=3，

又(2,53)在橢圓上，

所以49+259b2=1，

所以b2=5，

則橢圓C的標準方程為x29+y25=1．

(2)由(1)知B(3,0)，

①當直線l的斜率不存在時，

|MN|=2b=25，

以MN為直徑的圓交x軸于(±5,0)，

此時，點B在以MN為直徑的圓的外部，所以θ=π2，

②當直線l的斜率存在時，設(shè)其方程為y=kx?3，M(x1