2021年普通高等學(xué)校招生全國文科數(shù)學(xué)統(tǒng)一考試試卷

第I卷

一、選擇題：本大題共12小題。每小題5分，在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求

的。

1.已知集合A={%[-1<x<2},B={x|0<x<3},貝!JAUB=

A.(-1,3)B.(-1,0)C.(0,2)D.(2,3)

2.若a為實數(shù)，且2^=3+i,則。=

1+z

A.-4B.-3C.3D.4

3.根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國二氧化碳年排放量(單位：萬噸)柱形圖，以下結(jié)論中不正確

的是

A.逐年比較，2008年減少二氧化碳排放量的效果顯著

B.2007年我國治理二氧化碳排放顯現(xiàn)成效

C.2006年以來我國二氧化碳年排放量呈逐漸減少趨勢

D.2006年以來我國二氧化碳年排放量與年份正相關(guān)4.

向量a=(l,-1)b=(-l,2),則(2a+b).a=

5設(shè)S”是數(shù)列｛a,J的前〃項和，若因+/+。5=3,則$5=

A.5B.7C.9D.11

6一個正方體被一個平面截取一部分后，剩余部分的三視圖如圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比

值為

1111

A.-B.-C.-D.-

8765

7.已知三點A(1,O),B(0忑),C(2,、6),則A48C外接圓的圓心到原點的距離為

A.-B也1C.”二D.-

3,333

8右邊程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中“更相減損術(shù)”.執(zhí)行該程序框圖,

若輸入的人分別為14、18,則輸出的。=

A.0B.2C.4D.14

9已知等比數(shù)列｛a｝滿足a=1,aa=4(a—1),則。=

n1彳3542

11

A.2B.1C.-D.-

28

D已知A、8是球。的球面上兩點，乙408=90",。為該球面上的動點.若三棱錐。-ABC體積

的最大值為36,則球。的表面積為

A.36?B.64?C.144〃D.256?

H如圖，長方形ABC。的邊AB=2,BC=\,。是AB的中點，點戶沿著8C、CD與。A運動，

記ZBOP=x.將動點P到A、B兩點距離之和表示為x的函數(shù)/(x),則y=/(x)的圖象大致為

12.設(shè)函數(shù)/(x)=ln(l+|x|)-一二，則使得/(x)>f(2x—1)成立的x的取值范圍是

l+x~

11

A.(-,1)B.(-oo,-)U(l,4w)

C.(」,1)D.(-oo,-2)U(L+oo)

3333

二.填空題：共4小題，每小題5分.

13.已知函數(shù)/(x)="3—2x的圖象過點(—1,4),則。=.......

x+y-5W0

u若％、y滿足約束條件12%->一120,則z=2x+y的最大值為.......

x-2y+l<0

5已知雙曲線過占(4F)，且漸近線方程為〉=±1工，則該雙曲線的標準方程為.......

…、’2

B已知曲線y=x+lnx在點(1,1)處的切線與曲線y=or2+(a+2)x+l相切，則a=.......

三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步

驟.17、(本小題滿分12分)

AABC中，D是BC上的點，AD平分/BAC,BD=2DC.

sinNB

(I)求

sinZC

(II)若NBAC=60°,求NB.18、(本

小題滿分12分）

某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，從A,B兩地區(qū)分別隨機調(diào)查了40個用戶，根據(jù)用戶對產(chǎn)品的

滿意度評分，得分A地區(qū)用戶滿意評分的頻率分布直方圖和B地區(qū)用戶滿意度評分的頻數(shù)分布表.

B地區(qū)用戶滿意度評分的頻數(shù)分布表

滿意度評分分組[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)

頻數(shù)2814106

（I）在答題卡上作出B地區(qū)用戶滿意度評分的頻數(shù)分布直方圖，并通過直方圖比較兩地區(qū)滿意度

評分的平均值及分散程度（不要求計算出具體值，給出結(jié)論即可）

（II）根據(jù)用戶滿意度評分，將用戶的滿意度分為三個等級;

滿意度評分低于70分70分到80分不低于90分

滿意度等級不滿意滿意非常滿意

估計哪個地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大？說明理由.

19、（本小題滿分12分）

如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=16,BC=10,如1=8,點E,分別在A1B1,D1C1上，A1E=D1F=4.

過點E.F的平面a與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形.

(I)在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由)

(TT)求平面a把該長方體分成的兩部分體積的比值.20、(本小

題滿分12分)

22

XyJ-

已知橢圓C：-y+—=1(a>Z?>0)的離心率為拳，點(2,隹)在C上.

(I)求C的方程.

(II)直線1不過原點0且不平行于坐標軸，1與C有兩個交點A,B,線段AB的中點為M.直線0M

的斜率與直線1的斜率的乘積為定值.

21、(本小題滿分12分)

已知函數(shù)f(x)=lnx+a(1-x)

(I)討論f(x)的單調(diào)性；

(II)當f(x)有最大值，且最大值大于2a-2時，求a的取值范圍.

請考生在第22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分，作答時請寫清題號。22、

(本小題滿分10分)選修4-1,幾何證明選擇

如圖，0為等腰三角形ABC內(nèi)一點，圓0與AABC的底邊BC交于M,N兩點，與底邊上的高AD交于G,

且與AB,AC分別相切于E,F兩點.

(I)證明：EF//BC;

(II)若AG等于圓0的半徑，且AE=MN=2點，求四邊形EBCF的面積

23、(本小題滿分10分)選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

(x=tcosa

在直線坐標系xOy中，曲線3：，y=，sina(t為參數(shù)，tw0)其中0Wa?〃.在以o為極點，x

軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線Cz：p=2sin6,c“P=2有cos6L

(i)求G與C3交點的直角坐標；

(II)若G與C2相交于點A,G與a相交于點B,求|AB|的最大值.

24、(本小題滿分10分)選修4-5：不等式選講

設(shè)a,b,c,d均為正數(shù)，且a+b=c+d.證明：

(I)若ab>cd,則+^Jb>tjc+^Jd;

(II)1Jci+Jb>&+ijd是|a-bI<Ic-d|的充要條件.

2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

文科數(shù)學(xué)試題答案

一.選擇題

(1)A(2)D(3)D(4)C(5)A(6)D

(7)B(8)B(9)C(10)C(11)B(12)A

二.選擇題

%22

(13)-2(14)8(15)=1(16)8

三.解答題

(17)解:

(I)由正弦定理得

ADBDADDC

sin/Bsin/BADsinZCsinACAD

因為AD平分NB4C,O5=2DC,所以鄴/2=DC=]

sinZC~BD2

(II)因為NC=180°—(N8AC+N8),N3AC=60°,所以

sinZC=sin(ZSAC+ZB)=亭os/8+-sinZB.

由(I)知2sin/8=5皿/。,所以1311/8=更，即NB=30°。

3

(18)解:

(I)

領(lǐng)率/組跑，

0.040

0.035

0.030

().025

0.020

().015

0.010

0.005

滿意度評分

O5060708090100

通過兩地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖可以看出，B地區(qū)用戶滿意度評分的平均值高于A

地區(qū)用戶滿意度評分的平均值；B地區(qū)用戶滿意度評分比較集中，而A地區(qū)用戶滿意度評分比較分散。

(II)A地區(qū)用戶滿意度等級為不滿意的概率大。

記a表示事件：“A地區(qū)用戶滿意度等級為不滿意”；CB表示事件：“B地區(qū)用戶滿意度等級為不滿

意”。

由直方圖得P(a)的估計值為(0.01+0.02+0.03)X10=0.6,

P(CB)的估計值為(0.005+0.02)X10=0.25.

所以A地區(qū)用戶滿意度等級為不滿意的概率大。

(19)解：

(I)交線圍成的正方形EHGF如圖:

(II)作EM1AB,垂足為M,貝I」AM=AE=4,EBI=12,EM=AAI=8.因為EHGF為正方形，所以EH=EF=BC=10.

于是城圖EH2-EM?=6,A"=10,”8=6.因為長方體被平面a分為兩個高為10的直棱柱，所以

97

其體積的比值為一(一也正確)

79

(20)解:

)由題意有?"一.二?__=1,

(I

a2"+/

：8,從=4。所以C的方程為+E=L

解得CC

84

(II)設(shè)直線I:y=Ax+伙女。0力wO),A(X1,y),B(X2，y2)，M(%“，丁”)?將y=依+人代入

爐V2222

—+2_=1得(2%+\)x+Akbx+2b-8=0

84

柏丫M+X)一2kh.「.b

2p+l

y1

于是直線0M的斜率3,=，?=———,即匕.k=--1

X”,2%2

所以直線0.M的斜率與直線/的斜率的乘積為定值。

(21)解:

、1

(I)f(x)的TH義域為(0,+8)J(x)=--a

X

若。<0,則f(x)>0,所以/(x)在(0,+00)單調(diào)遞增。

111

若〃>0,則當X￡((L)時，/(X)>0,當匕§(,+8)時，/(幻<0,所以/任)幽0,)單調(diào)

aaa

1

遞增，在J+8)單調(diào)遞減。

a

(H)由(I)知，當a40時，/(幻在(0,+8)無最大值；當a>0時，/(x)在大三1取得最

a

大值，最大值為/(3=1〃(士+a(l—1)=—Inaa-io

aaa

因此/(J)>2<z-2等價于l〃a+a-l<0

a

令g(a)=l〃a+a-1,則g(a)在(0,+8)單調(diào)遞增，g(l)=0

于是，當0<a<1時g(a)<0；當a>l時，g(a)>0

因此，a的取值范圍是(0,1)

(22)解：

(I)由于「ABC是等腰三角形，AO_L8C,所以AO是NCA8的平行線。又因為||。分別

于AB,AC相切于點E,F,所以AE=AE,故從而EF口5C。

(II)由(I)知AE=AF,AD1EF,故是EV的垂直平分線，又所為11。的弦,

所以。在A。上。

連接OE,OM,則OELAE

由AG等于11。的半徑得AO=2OE,所以NOAE=30°.因

此「ABC和ZAEF都是等邊三角形。

因為AE=2W，所以AO=4,OE=2。

因為0M=OE=2,DM=LMN=忑,所以。0=1于是

AD=5,AB=10直

3

所以四邊形EBCF的面積為1xJ。/辛乂忑—1睡(20*忑=163

2322V23

(23)解:

(I)曲線C2的直角坐標方程為/+丁2-2丁=0,曲線&的直角坐標方程為％2+〉2一2點7=0.