第1頁（共1頁）難點突破——三角形全等證明題練習50道（含詳細解析）1．如圖所示，，，，相交于點，求證：（1）；（2）．2．如圖，點，，，在同一條直線上，，，垂足分別為，，且，．求證：．3．如圖，中，是邊上的中線，，為直線上的點，連接，，且．（1）求證：；（2）若在原有條件基礎(chǔ)上再添加，你還能得出什么結(jié)論．（不用證明）（寫2個）4．如圖，，，點是上一點，且，延長交于點．（1）求證：；（2）如果，，求的度數(shù)．5．如圖，已知為的中點，，，點、為垂足，且．求證：是等腰三角形．6．已知：如圖，，，．求證：．7．如圖所示，，，添加一個適當?shù)臈l件，使（不再添加其它線段，不再標注或使用其他字母）．8．如圖，，是的高且相交于點，點是延長線上的一點．（1）試說明：；（2）若，，線段與會相等嗎？請說明理由．9．如圖，，，，點，是垂足，，求證：（1）；（2）．10．如圖，點在線段上，，，，平分．求證：于點．11．如圖：已知在中，，，點是上任意一點，，且，與相交于點．（1）試判斷的形狀，并說明理由．（2）是否存在點，使？如果存在，求出此時的長，如果不存在，請說明理由．12．如圖，在中，，于，于．求證：．13．如圖，點，，，在一條直線上，且，若，．求證：．證明：14．已知：如圖，點是外角平分線上的一點．（1）比大?。海ㄌ睢啊薄ⅰ啊被颉啊保?）證明（1）中的結(jié)論．15．如圖，在中，是邊上的中線，于點，交的延長線于點，，求證：．16．如圖所示，兩個形狀相同，大小不同的等腰三角形與如圖放置，為它們共同的頂角頂點，、、在同一條直線上，連接．（1）你能在圖中找到一對全等三角形嗎？證明你的結(jié)論；（2）若，求的度數(shù)．17．已知，如圖，直線，線段，點在直線上，且，，且，連接、，．（1）請在下圖中補全圖形，并寫出的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；（2）如圖，當點在點下方，點在線段的延長線上，且，直線與交于點，試問的度數(shù)是否是定值？若是定值，求出并說明理由．18．已知等腰三角形中，點為中點，點是延長線上一動點，點是延長線上一動點連接、，且．（1）如圖1，若，求證：；（2）如圖2，若，、、三條線段還滿足（1）中的結(jié)論嗎？若滿足，則直接證明；若不滿足，請寫出結(jié)論并證明．19．已知為所在平面內(nèi)一點，且，，，垂足分別為點、，．（1）如圖1，當點在邊上時，判斷的形狀；并證明你的結(jié)論；（2）如圖2，當點在內(nèi)部時，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明：若不成立，請舉出反例（畫圖說明，不需證明）．20．如圖，在中，，點為邊上的一點，延長至點，使得，當時，過點作于．（1）求證：；（2）若，．求的長度和的長度．21．如圖（1），，，，．點在線段上以的速度由點向點運動，同時，點在線段上由點向點運動．它們運動的時間為（1）若點的運動速度與點的運動速度相等，當時，判斷線段與滿足的關(guān)系，并說明理由．（2）如圖（2），將圖（1）中的，為改“”，其它條件不變．設(shè)點的運動速度為，是否存在實數(shù)，使得與全等？若存在，求出相應(yīng)的、的值；若不存在，請說明理由．22．如圖，，，，點在線段上．（1）求證：．（2）求的度數(shù)．23．已知：如圖，點、、、在同一條直線上，，，，求證：．24．如圖，點在外部，點在邊上，與交于點，若，．求證：（1）；（2）．25．已知：如圖，，，連結(jié)，，交于，連結(jié)．求證：（1）；（2）平分．26．如圖所示，已知中，、、分別在，和邊上，且，，過作于．求證：．27．已知在中，，分別過，兩點作互相平行的直線，，過點的直線分別交直線，于點，．（1）如圖1，若，求證：；（2）如圖2，，判斷線段，與之間的關(guān)系，并說明理由．28．閱讀下列材料，并完成任務(wù)．箏形的定義：兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做箏形，幾何圖形的定義通?？勺鳛閳D形的性質(zhì)也可以作為圖形的判定方法．也就是說，如圖，若四邊形是一個箏形，則，；若，，則四邊形是箏形．如圖，四邊形是一個箏形，其中，．對角線，相交于點，過點作，，垂足分別為，．求證：四邊形是箏形．29．如圖，在中，中，，與交于點．（1）試確定與間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）若，求的度數(shù)．30．如圖，為的高，為上一點，交于，且有，．求證：（1）；（2）．31．在等腰和等腰中，，，連接、交于點．（1）如圖1，若①與的數(shù)量關(guān)系為；②的度數(shù)為．（2）如圖2，若①判斷與之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；②求的度數(shù)．32．如圖，點、、、在同一直線上，、相交于點，，垂足為，，垂足為，且，．（1）求證：；（2）若，求的度數(shù)．33．如圖，在中，，點、、分別在、、邊上，且，．（1）求證：．（2）當時，求的度數(shù)．34．在中，，垂足為，點在上，，連接并延長交于點，連接．（1）求證：．（2）求證：．35．如圖，在和中，與相交于點，，，求證：．36．如圖所示，，，，，，求的度數(shù)．37．如圖，在直角坐標系中有一點，為軸上任意一點，為軸上任意一點，且．（1）當時，的值為；（2）當時，的值是否改變？說明你的理由；（3）探索：當時，與的數(shù)量關(guān)系為．38．已知，如圖，射線平分銳角，且平分鈍角，求證：．39．如圖所示，于點，于點，與交于，且．求證：在的平分線上．40．如圖（1），，，垂足分別為、，．點在線段上以的速度由點向點運動，同時，點在射線上運動．它們運動的時間為（當點運動結(jié)束時，點運動隨之結(jié)束）．（1）若點的運動速度與點的運動速度相等，當時，與是否全等，并判斷此時線段和線段的位置關(guān)系，請分別說明理由；（2）如圖（2），若“，”改為“”，點的運動速度為，其他條件不變，當點、運動到某處時，有與全等，求出相應(yīng)的、的值．41．如圖，在中，，平分，平分，、交于點，，連結(jié)．（1）求證：；（2）線段與之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請說明理由；（3）若，其他條件不變，則（1）和（2）中的結(jié)論是否仍然成立？請直接寫出判斷結(jié)果，不必說明理由．42．已知平分的外角，為射線上一動點．（1）如圖所示，若，求證：；（2）在點運動的過程中，試比較與的大小，并說明你的理由．43．如圖，在中，，于點，點在的延長線上，，，求證：．44．如圖，在和中，點在邊上，，，．求證：．45．如圖，，、分別是、的中點，，垂足為點，，垂足為點，試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．46．如圖，，，，，垂足分別為、．（1）求證：；（2）已知，，求的長．47．如圖，、是的高，，交于點，且，平分．（1）求證：；（2）求的度數(shù)．48．在中，，，平分交于，，在，上，且．（1）求的度數(shù)；（2）求證：．49．已知：如圖，，于點，點在的角平分線上，且點到點、點的距離相等．求證：．50．已知：如圖，點、、、在一條直線上，且，，，．求證：（1）；（2）．

難點突破——三角形全等證明題練習50道（含詳細解析）參考答案與試題解析一．解答題（共50小題）1．如圖所示，，，，相交于點，求證：（1）；（2）．【解答】證明：（1），和都是直角三角形．在和中，，，；（2），，，，．2．如圖，點，，，在同一條直線上，，，垂足分別為，，且，．求證：．【解答】證明：，，，，，，，．3．如圖，中，是邊上的中線，，為直線上的點，連接，，且．（1）求證：；（2）若在原有條件基礎(chǔ)上再添加，你還能得出什么結(jié)論．（不用證明）（寫2個）【解答】（1）證明：是的中線，，，，，在和中，，，（2）可以得出，．（理由等腰三角形三線合一）．4．如圖，，，點是上一點，且，延長交于點．（1）求證：；（2）如果，，求的度數(shù)．【解答】（1）證明：，，，，；（2）解：，，，又，，，．5．如圖，已知為的中點，，，點、為垂足，且．求證：是等腰三角形．【解答】證明：為的中點，，，，，在和中，，，，，是等腰三角形．6．已知：如圖，，，．求證：．【解答】證明：，，在和中，，，．7．如圖所示，，，添加一個適當?shù)臈l件，使（不再添加其它線段，不再標注或使用其他字母）．【解答】解：條件為，理由是：，，，在和中．8．如圖，，是的高且相交于點，點是延長線上的一點．（1）試說明：；（2）若，，線段與會相等嗎？請說明理由．【解答】證明：（1），是的高，，，（2），，，．9．如圖，，，，點，是垂足，，求證：（1）；（2）．【解答】證明：（1），，即．又，，．在與中，，；（2），，．10．如圖，點在線段上，，，，平分．求證：于點．【解答】證明：，，在和中，，，平分，．11．如圖：已知在中，，，點是上任意一點，，且，與相交于點．（1）試判斷的形狀，并說明理由．（2）是否存在點，使？如果存在，求出此時的長，如果不存在，請說明理由．【解答】解：（1）是等腰直角三角形．理由如下：，，，，，，在和中，，，，，，，是等腰直角三角形；（2）存在．理由如下：，，，，是等腰直角三角形，，，在中，，，．12．如圖，在中，，于，于．求證：．【解答】證明：，，，，，在和中，，，，，．13．如圖，點，，，在一條直線上，且，若，．求證：．證明：，，，，．【解答】證明：，，，，．故答案為：，，，，．14．已知：如圖，點是外角平分線上的一點．（1）比大?。海ㄌ睢啊?、“”或“”（2）證明（1）中的結(jié)論．【解答】解：（1）結(jié)論：．故答案為．（2）理由：在上截取，使得．，，，，，，．15．如圖，在中，是邊上的中線，于點，交的延長線于點，，求證：．【解答】證明：是上的中線，，，，，又，，，，，，即．16．如圖所示，兩個形狀相同，大小不同的等腰三角形與如圖放置，為它們共同的頂角頂點，、、在同一條直線上，連接．（1）你能在圖中找到一對全等三角形嗎？證明你的結(jié)論；（2）若，求的度數(shù)．【解答】解：（1）能，，理由如下：和是兩個形狀相同，大小不同的等腰三角形，，，，，在和中，，；（2），，，．17．已知，如圖，直線，線段，點在直線上，且，，且，連接、，．（1）請在下圖中補全圖形，并寫出的度數(shù)或或（用含的代數(shù)式表示）；（2）如圖，當點在點下方，點在線段的延長線上，且，直線與交于點，試問的度數(shù)是否是定值？若是定值，求出并說明理由．【解答】解：（1）如圖1，點在點上方時，點在點右側(cè)，，，，，，，點在點上方時，點在點左側(cè)，；如圖，點在點下方時，點在點右側(cè)，，，，，，，點在點下方時，點在點左側(cè)，；故答案為：或或；（2）的度數(shù)是，理由是：如圖2，過作軸于，使，連接，，，，軸，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，．18．已知等腰三角形中，點為中點，點是延長線上一動點，點是延長線上一動點連接、，且．（1）如圖1，若，求證：；（2）如圖2，若，、、三條線段還滿足（1）中的結(jié)論嗎？若滿足，則直接證明；若不滿足，請寫出結(jié)論并證明．【解答】（1）證明：連接，設(shè)交于，如圖1所示：，，，點為中點，，，，，，，，，在和中，，，，，，；（2）解：不滿足（1）中的結(jié)論，；理由如下：連接，取的中點，連接，如圖2所示：，，，，點為中點，，，，，是等邊三角形，，，，，同（1）得：，在和中，，，，，；19．已知為所在平面內(nèi)一點，且，，，垂足分別為點、，．（1）如圖1，當點在邊上時，判斷的形狀；并證明你的結(jié)論；（2）如圖2，當點在內(nèi)部時，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明：若不成立，請舉出反例（畫圖說明，不需證明）．【解答】解：（1）結(jié)論：是等腰三角形．理由：，，．在與中，，，，是等腰三角形．（2）當點在內(nèi)部時，（1）中的結(jié)論仍然成立．理由：如圖2，，，，在與中，，，．，，，即，，是等腰三角形．20．如圖，在中，，點為邊上的一點，延長至點，使得，當時，過點作于．（1）求證：；（2）若，．求的長度和的長度．【解答】（1）證明：，，，，，，；（2）解：設(shè)，，，在中，由勾股定理得：，解得：，，；作于，如圖所示：在和中，，，，，，在和中，，，．21．如圖（1），，，，．點在線段上以的速度由點向點運動，同時，點在線段上由點向點運動．它們運動的時間為（1）若點的運動速度與點的運動速度相等，當時，判斷線段與滿足的關(guān)系，并說明理由．（2）如圖（2），將圖（1）中的，為改“”，其它條件不變．設(shè)點的運動速度為，是否存在實數(shù)，使得與全等？若存在，求出相應(yīng)的、的值；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1），，，在和中，，，，，，；（2）存在的值，使得與全等，①若，則，，可得：，解得：，；②若，則，，可得：，解得：，．22．如圖，，，，點在線段上．（1）求證：．（2）求的度數(shù)．【解答】（1）證明：，，即，在和中，，．（2）解：由（1）得：：．，，．，23．已知：如圖，點、、、在同一條直線上，，，，求證：．【解答】證明：，，，，，在和中，．．．24．如圖，點在外部，點在邊上，與交于點，若，．求證：（1）；（2）．【解答】證明：（1），，即，，，，，，在與中，，．（2）由（1）可得．25．已知：如圖，，，連結(jié)，，交于，連結(jié)．求證：（1）；（2）平分．【解答】證明：（1）在和中，，，；（2），，，在和中，，，，在和中，，，，即平分．26．如圖所示，已知中，、、分別在，和邊上，且，，過作于．求證：．【解答】證明：連接、，如右圖所示，，，在和中，，，，，是等腰的中線，．27．已知在中，，分別過，兩點作互相平行的直線，，過點的直線分別交直線，于點，．（1）如圖1，若，求證：；（2）如圖2，，判斷線段，與之間的關(guān)系，并說明理由．【解答】（1）證明：如圖1，延長交于點，，，又，，又，，，，，，，，又，，在和中，，，；（2）解：；理由如下：如圖2，在上截取，連接，，，為等邊三角形，，是等邊三角形，，，，，，，，又，，，在與中，，，，，又，，即．28．閱讀下列材料，并完成任務(wù)．箏形的定義：兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做箏形，幾何圖形的定義通?？勺鳛閳D形的性質(zhì)也可以作為圖形的判定方法．也就是說，如圖，若四邊形是一個箏形，則，；若，，則四邊形是箏形．如圖，四邊形是一個箏形，其中，．對角線，相交于點，過點作，，垂足分別為，．求證：四邊形是箏形．【解答】證明：在和中，，，又，，垂足分別為，，；，，，即平分，又，，四邊形是箏形．29．如圖，在中，中，，與交于點．（1）試確定與間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）若，求的度數(shù)．【解答】解：（1），理由如下：即：在和中（2）是和的外角，，30．如圖，為的高，為上一點，交于，且有，．求證：（1）；（2）．【解答】證明：（1）為的邊上的高，和為直角三角形．．在和中，，△；（2），．與是對頂角，，．31．在等腰和等腰中，，，連接、交于點．（1）如圖1，若①與的數(shù)量關(guān)系為；②的度數(shù)為．（2）如圖2，若①判斷與之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；②求的度數(shù)．【解答】解：（1）①，，，在和中，，，；故答案為：，②，，，，又，，在中，，；故答案為：；（2）①，理由如下：，，，在和中，，，；②，，又，，，，又在中，，．32．如圖，點、、、在同一直線上，、相交于點，，垂足為，，垂足為，且，．（1）求證：；（2）若，求的度數(shù)．【解答】（1）證明：，，，，，，即，在和中，，（2）解：，，，由（1）知，，33．如圖，在中，，點、、分別在、、邊上，且，．（1）求證：．（2）當時，求的度數(shù)．【解答】（1）證明：，，在和中，，；（2）解：中，，，由（1）知：，又，．34．在中，，垂足為，點在上，，連接并延長交于點，連接．（1）求證：．（2）求證：．【解答】證明：（1）是的高，，，是等腰直角三角形，，在和中，，，；（2）如圖，在上截取，，，在和中，，，，，，是等腰直角三角形，．35．如圖，在和中，與相交于點，，，求證：．【解答】證明：在和中，，，，，．36．如圖所示，，，，，，求的度數(shù)．【解答】解：，，在與中，，；；，，．37．如圖，在直角坐標系中有一點，為軸上任意一點，為軸上任意一點，且．（1）當時，的值為10；（2）當時，的值是否改變？說明你的理由；（3）探索：當時，與的數(shù)量關(guān)系為．【解答】解：（1）作軸于，軸于，如圖1所示：，，，當時，，與重合，與重合，，；故答案為：10；（2）當時，的值不改變，理由如下：作軸于，軸于，如圖2所示：則，，，，在和中，，，，；（3）當時，與的數(shù)量關(guān)系為，理由如下：作軸于，軸于，如圖3所示：同（2）得：，，；故答案為：．38．已知，如圖，射線平分銳角，且平分鈍角，求證：．【解答】證明：射線平分銳角，且平分鈍角，，，，在和中，，，．39．如圖所示，于點，于點，與交于，且．求證：在的平分線上．【解答】證明：于點，于點，，在和中，，，，在的平分線上．40．如圖（1），，，垂足分別為、，．點在線段上以的速度由點向點運動，同時，點在射線上運動．它們運動的時間為（當點運動結(jié)束時，點運動隨之結(jié)束）．（1）若點的運動速度與點的運動速度相等，當時，與是否全等，并判斷此時線段和線段的位置關(guān)系，請分別說明理由；（2）如圖（2），若“，”改為“”，點的運動速度為，其他條件不變，當點、運動到某處時，有與全等，求出相應(yīng)的、的值．【解答】解：（1），，，，，在和中，，；，，，，；（2）存在的值，使得與全等，①若，則，，可得：，解得：，；②若，則，，可得：，解得：，．41．如圖，在中，，平分，平分，、交于點，，連結(jié)．（1）求證：；（2）線段與之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請說明理由；（3）若，其他條件不變，則（1）和（2）中的結(jié)論是否仍然成立？請直接寫出判斷結(jié)果，不必說明理