實(shí)驗(yàn)物理教學(xué)中李薩如圖現(xiàn)象的討論

簡(jiǎn)合振動(dòng)是一種典型的、最基本的機(jī)械振動(dòng)，在北京大學(xué)的理論課教育中起著主導(dǎo)作用。簡(jiǎn)合振動(dòng)合成問(wèn)題是這個(gè)問(wèn)題的一個(gè)難題。通常，在“使用示波器”的實(shí)驗(yàn)中，作為一門(mén)基本的掌握來(lái)培養(yǎng)，它可以用于觀察和測(cè)量示波器的基本結(jié)構(gòu)及其基本的調(diào)整和使用。利用示波器觀察信號(hào)波形并測(cè)量電壓值和周期的內(nèi)容，作為重點(diǎn)內(nèi)容解釋和工作。對(duì)于使用示波器觀察李世如圖，由于許多實(shí)驗(yàn)教材都是簡(jiǎn)單的解釋，因此使用李世如圖解決信號(hào)頻率的原理和操作中幾乎沒(méi)有障礙，因此學(xué)生對(duì)實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的現(xiàn)象沒(méi)有給予重視。一些老師也忽視了這一內(nèi)容，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)實(shí)驗(yàn)的目的不明確，對(duì)理論學(xué)習(xí)中的振動(dòng)合成了解不多。為了解決這個(gè)問(wèn)題，在示波器的使用實(shí)驗(yàn)中，增加了兩種垂直簡(jiǎn)合振動(dòng)合成實(shí)驗(yàn)，以便觀察和應(yīng)用李世如，并通過(guò)使用顯波器對(duì)李世如過(guò)程中的一些現(xiàn)象進(jìn)行了深入的分析，使學(xué)生能夠直觀地理解和更好地理解理論中的這些特定振動(dòng)的合成。1李薩如圖的繪制有兩個(gè)相互垂直的振動(dòng):x=Axcos(ωxt+φx),y=Aycos(ωyt+φy),(1)或者表示成x=Axsin(ωxt+φx),y=Aysin(ωyt+φy).(2)考慮它們的合成,如果其頻率比滿足一定的關(guān)系,即如果分振動(dòng)頻率成整數(shù)比,則其合振動(dòng)的軌跡為一穩(wěn)定的封閉曲線,此曲線稱為李薩如圖.李薩如圖的圖樣形狀和分振動(dòng)的頻率比、初位相以及振幅都有關(guān)系,利用示波器演示時(shí),還跟信號(hào)通道的顯示比例有關(guān).為了研究和討論方便,這里利用MATLAB語(yǔ)言編程描繪出部分李薩如圖,如圖1和圖2.圖中,曲線1～5的函數(shù)疊加如下:1.x=cos(1.1t+π/5),y=cos(1.1t+π/6);2.x=cos(1.1t+π/5),y=cos(4.4t+π/6);3.x=cos(1.1t-π/3),y=cos(1.1t-π/8);4.x=cos(1.1t-π/3),y=cos(1.1t+π/8);5.x=cos(1.1t-π/3),y=0.5cos(1.1t+π/8).2nxcy、fyxy利用雙蹤示波器,可以很方便地得到李薩如圖,再根據(jù)李薩如圖圖形,可以比較兩個(gè)電信號(hào)的頻率,其關(guān)系式如下:NxNy=fyfxΝxΝy=fyfx.(3)其中,fx,fy分別指加在x,y方向上的電信號(hào)的頻率;Nx,Ny分別指李薩如圖圖形與x,y軸的最大交點(diǎn)數(shù).若fx為已知頻率,fy為未知頻率,則有fy=NxNy?fxfy=ΝxΝy?fx,(4)通過(guò)頻率比即可由已知頻率測(cè)量未知頻率.3實(shí)驗(yàn)過(guò)程中的一些現(xiàn)象實(shí)驗(yàn)所用儀器為江蘇綠揚(yáng)電子儀器集團(tuán)有限公司生產(chǎn)的YB43020B示波器和YB33150函數(shù)/任意信號(hào)發(fā)生器.利用信號(hào)發(fā)生器得到所需的信號(hào),接入雙蹤示波器,從而得到李薩如圖的操作過(guò)程極其簡(jiǎn)單,此處不再贅述.現(xiàn)就實(shí)驗(yàn)過(guò)程中出現(xiàn)的一些現(xiàn)象作如下分析與處理.3.1學(xué)生實(shí)驗(yàn)態(tài)度的混亂每次實(shí)驗(yàn),細(xì)心的同學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn),在做相同頻率比的實(shí)驗(yàn)步驟時(shí),使用其它儀器的同學(xué)所得到的李薩如圖跟自己得到的李薩如圖形狀有所不同,學(xué)生常常疑惑不解,如果指導(dǎo)老師不給予及時(shí)地正確指引,常常會(huì)使學(xué)生因?yàn)椴焕斫舛鴳岩蓪?shí)驗(yàn)的可靠性和理論的正確性,導(dǎo)致學(xué)生做實(shí)驗(yàn)的態(tài)度也變得懶散與隨意,從而影響學(xué)生的科學(xué)研究觀和學(xué)習(xí)態(tài)度.3.2教育實(shí)驗(yàn)中李薩如圖的實(shí)驗(yàn)同一組實(shí)驗(yàn)的同學(xué),所用儀器相同,在相同頻率下,兩人前后得出的李薩如圖形狀不相同;即使同一學(xué)生做相同實(shí)驗(yàn),把信號(hào)發(fā)生器上的頻率改變一下,再調(diào)回原頻率,也會(huì)與原頻率下得到的圖形不一致.以上兩種現(xiàn)象是實(shí)驗(yàn)中最常見(jiàn)的,對(duì)該類現(xiàn)象不理解,實(shí)際上是對(duì)李薩如圖形成機(jī)理未能深刻理解所致.此處的李薩如圖實(shí)際上是電子同時(shí)參與了水平和豎直兩個(gè)方向的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),最后落在熒光屏上使熒光屏發(fā)光的光跡圖樣.合成振動(dòng)的軌跡方程推導(dǎo)如下:由(1)式可得:t=±arccos(xAx)+2nπ?φxωxt=±arccos(xAx)+2nπ-φxωx,(5)其中n∈?.把(5)式代入(2)式,并考慮到余弦函數(shù)是偶函數(shù),得:y=Aycos[ωyωxarccosxAx±(φy?ωyωxφx+ωyωx2nπ)].y=Aycos[ωyωxarccosxAx±(φy-ωyωxφx+ωyωx2nπ)].(6)此即為兩個(gè)分振動(dòng)合成為李薩如圖的軌跡方程.從軌跡方程可以看出,要使得到的兩個(gè)李薩如圖形狀相同,4個(gè)簡(jiǎn)諧信號(hào)還必須同時(shí)滿足:ωy1:ωx1=ωy2:ωx2,(7)∣∣φy1?ωy1ωx1φx1∣∣=∣∣φy2?ωy2ωx2φx2+ωy2ωx22n1π+2n2π∣∣|φy1-ωy1ωx1φx1|=|φy2-ωy2ωx2φx2+ωy2ωx22n1π+2n2π|,n1,n2∈?.(8)顯然,要得到相同形狀的兩個(gè)李薩如圖,就并非像同學(xué)們一般想象的那樣,只要兩個(gè)信號(hào)的頻率比相同就可以了,而是還跟他們的初相位有關(guān).盡管在示波器實(shí)驗(yàn)中,利用信號(hào)發(fā)生器使相疊加的兩信號(hào)的頻率比比較容易得到,但由于初相位之間的關(guān)系利用信號(hào)發(fā)生器很難甚至無(wú)法滿足,在做實(shí)驗(yàn)的時(shí)候,各組之間開(kāi)始的時(shí)間不同,儀器之間產(chǎn)生的初相位的差別,兩信號(hào)疊加在一起的時(shí)刻都各不相同,所以盡管(7)式滿足了,但(8)式非常難于滿足,于是,各組在相同頻率比下得到的李薩如圖不相同,也就不足為奇了.甚至可以說(shuō),得到不相同的形狀,反而是正常的.就算是使用相同儀器的一組同學(xué),甚至是相同儀器的同一位同學(xué),在反復(fù)做同一頻率比的李薩如圖實(shí)驗(yàn)時(shí),由于前后使用的信號(hào)的初相位有變化,得到的李薩如圖的形狀也是不一樣的,除非碰巧剛好滿足(7)式和(8)式關(guān)系,但此種情況出現(xiàn)的幾率非常小.盡管如此,利用得到的不同形狀的李薩如圖圖樣來(lái)求解未知信號(hào)頻率時(shí),得到的頻率結(jié)果卻是一致的,這一點(diǎn)證明所使用的實(shí)驗(yàn)原理就求解未知頻率的方法而言,是絕對(duì)正確、無(wú)庸置疑的.如圖3中,曲線6為x=cos(2t-π/5),y=cos(4t+π/3)疊加;曲線7為x=cos(2t-π/7),y=cos(4t-π/3)疊加.由于各分振動(dòng)的初相位不同,導(dǎo)致曲線形狀不一樣,但很明顯,曲線6和曲線7均滿足(3)式,故求出的未知頻率一定是一致的.3.3頻率比的嚴(yán)格并不穩(wěn)定問(wèn)題實(shí)驗(yàn)中還有一個(gè)重要現(xiàn)象,就是當(dāng)被測(cè)頻率較高時(shí),比如本實(shí)驗(yàn)中,當(dāng)被測(cè)頻率達(dá)到500Hz時(shí),圖像就表現(xiàn)出不穩(wěn)定,呈旋轉(zhuǎn)狀.出現(xiàn)這種現(xiàn)象的同時(shí),一方面學(xué)生非常好奇,覺(jué)得新鮮,好看;但另一方面,也不免要問(wèn)為什么.書(shū)上不是說(shuō)會(huì)得到穩(wěn)定圖樣嗎,那這種現(xiàn)象又做何解釋呢?由于任何儀器都有一個(gè)精度問(wèn)題,當(dāng)用信號(hào)發(fā)生器產(chǎn)生一定頻率的信號(hào)時(shí),會(huì)與理論期望值有所差距,且頻率越高,差距也就越大.這樣,頻率比也就不是所期望的嚴(yán)格的整數(shù)比了,圖樣也就不穩(wěn)定了,且頻率越高時(shí),現(xiàn)象越明顯.因此,隨著時(shí)間的增加,圖樣看起來(lái)也就呈現(xiàn)出旋轉(zhuǎn)狀.這里,筆者通過(guò)MATLAB語(yǔ)言編程模擬出合成的過(guò)程,從中可知:當(dāng)兩分振動(dòng)頻率比成嚴(yán)格整數(shù)比時(shí),圖像穩(wěn)定,保持固定形狀;當(dāng)兩分振動(dòng)頻率不成嚴(yán)格整數(shù)比(某分振動(dòng)頻率與欲設(shè)頻率有微小偏離)時(shí),圖像變得不穩(wěn)定,且隨著時(shí)間增加,會(huì)開(kāi)始旋轉(zhuǎn)起來(lái).模擬結(jié)果跟示波器上觀察到的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象完全吻合,圖4是當(dāng)x=cos(2π×100t),y=cos(2π×400.1t+π/4)的兩信號(hào)疊加時(shí),模擬出的轉(zhuǎn)動(dòng)的圖樣中某兩時(shí)刻的情況截圖.4探究實(shí)驗(yàn)過(guò)程中的問(wèn)題,有助于學(xué)生更好地理解教學(xué)內(nèi)容通過(guò)本實(shí)驗(yàn),不僅使學(xué)生觀察到了簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成的李薩如圖,學(xué)會(huì)了測(cè)量簡(jiǎn)諧振動(dòng)頻率的一種方法,而且,學(xué)生通過(guò)對(duì)實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的一些現(xiàn)象的探討,更加深入理解了理論課中對(duì)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成這一部分理論內(nèi)容的理解,充分體現(xiàn)了實(shí)驗(yàn)課程與理論課程的相