arma控制圖參數(shù)選擇與分析

1元控制圖技術(shù)統(tǒng)計(jì)過(guò)程控制（spc）是20世紀(jì)20年代由韋勒斯特爾韋赫（websterhervist）提出的一種統(tǒng)計(jì)控制方法。主要統(tǒng)計(jì)工具是生產(chǎn)圖。自1924年休哈特博士提出第一張控制圖后,控制圖技術(shù)在提高過(guò)程質(zhì)量方面得到了廣泛的應(yīng)用?？刂茍D技術(shù)在應(yīng)用中獲得重大效益后,很多專家學(xué)者在這一分支領(lǐng)域作了不少改進(jìn)與發(fā)展。在一元控制圖技術(shù)中,相繼出現(xiàn)了由Page于1954年提出的累積和(cumulativesum,CUSUM)控制圖,Roberts于1959年提出的EWMA(exponentiallyweightedmovingaverage)控制圖。2000年,Wei.J在EWMA控制圖的基礎(chǔ)上,提出了ARMA(autoregressionmovingaverage)控制圖,它充分利用了歷史數(shù)據(jù),而且對(duì)數(shù)據(jù)的處理更有特色。ARMA控制圖既可以對(duì)IID過(guò)程也可以對(duì)自相關(guān)過(guò)程進(jìn)行控制,本文僅對(duì)應(yīng)用于IID變量的ARMA控制圖的性能進(jìn)行討論2arma統(tǒng)計(jì)量的初始化假設(shè)Xi(i=1,2,…,N)是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列,并且可以順序得到,則ARMA控制圖的統(tǒng)計(jì)量被定義為一般化的一階自回歸滑動(dòng)平均形式:式中:θ、φ為待定常數(shù),滿足|β|<1,且|φ|<1,β三θ/θ0,θ0=1+θ-φ。ARMA統(tǒng)計(jì)量的初值Z0一般取為E(X)。根據(jù)式(1)可得ARMA控制圖統(tǒng)計(jì)量Z的數(shù)學(xué)期望和方差分別為:3arma控制圖權(quán)重的變化在一元控制圖技術(shù)中,各種控制圖的差異主要是由于統(tǒng)計(jì)量不同造成的,而對(duì)統(tǒng)計(jì)量理解的關(guān)鍵是如何利用從生產(chǎn)過(guò)程中陸續(xù)得到的數(shù)據(jù),即對(duì)歷史數(shù)據(jù)加權(quán)問(wèn)題。以常規(guī)控制圖中最簡(jiǎn)單的單值X控制圖為例,其統(tǒng)計(jì)量即為觀測(cè)值Xi。在最基本的判異準(zhǔn)則“點(diǎn)出界就判異”的條件下,從歷史數(shù)據(jù)的權(quán)重角度來(lái)看,質(zhì)量控制僅依賴于對(duì)當(dāng)前數(shù)據(jù)的控制,也就是說(shuō),當(dāng)前數(shù)據(jù)的權(quán)重為ωn=1,而與歷史數(shù)據(jù)無(wú)關(guān),即歷史數(shù)據(jù)的權(quán)重都為ωR-k=0,n-1≥k≥1。在“界內(nèi)點(diǎn)排列不隨機(jī)”的判異準(zhǔn)則條件下,雖對(duì)歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行了考慮,但因不隨機(jī)排列所涉及的歷史數(shù)據(jù)不確定,因此很難給出數(shù)值上的權(quán)重表示。圖1(a)給出了常規(guī)單值X控制圖的權(quán)重(點(diǎn)出界就判異的條件下)。同理可對(duì)CUSUM控制圖、滑動(dòng)平均(movingaverage)控制圖、EWMA控制圖的歷史數(shù)據(jù)權(quán)重情況進(jìn)行分析,結(jié)果如圖1(b)～(d)所示。ARMA控制圖的統(tǒng)計(jì)量Zi用所有數(shù)據(jù)加權(quán)平均形式表示為:式中:α=φθ0-θ。因此,除當(dāng)前觀測(cè)值以外,以指數(shù)形式遞減,距離當(dāng)前數(shù)據(jù)越遠(yuǎn),權(quán)重越小。ARMA控制圖的統(tǒng)計(jì)量給當(dāng)前觀測(cè)值Xi一個(gè)靈活的權(quán)重θ0,可以通過(guò)不同的參數(shù)組合θ、φ來(lái)獲取不同的權(quán)重θ0。圖1(e)～(f)給出了ARMA控制圖中觀測(cè)值的2種代表性的權(quán)重情況。從數(shù)據(jù)加權(quán)角度可以看出:ARMA控制圖的統(tǒng)計(jì)量對(duì)歷史數(shù)據(jù)的權(quán)重處理是最有特色、最靈活的一種。ARMA控制圖對(duì)當(dāng)前觀測(cè)值的處理特點(diǎn),使ARMA可以根據(jù)不同的情況來(lái),選擇不同的控制圖參數(shù)來(lái)提高控制圖檢測(cè)異常原因的能力。而且其他控制圖都可以看作是ARMA控制圖的特殊情況。當(dāng)θ=0,φ=1-λ時(shí),ARMA控制圖退化EWMA控制圖,因此,ARMA控制圖可被認(rèn)為是EWMA控制圖的延伸。對(duì)EWMA控制圖,若λ=1,則EWMA控制圖就完全退化為一張單值X控制圖。若λ→0,則EWMA控制圖的統(tǒng)計(jì)量接近于CUSUM控制圖的統(tǒng)計(jì)量。ARMA控制圖的統(tǒng)計(jì)量還可以向高階形式發(fā)展,即給觀測(cè)值Xi,Xi-1,Xi-2,…相當(dāng)靈活的權(quán)重。但這也涉及相當(dāng)多的參數(shù)問(wèn)題,控制圖的復(fù)雜程度將增加很多。4評(píng)價(jià)控制圖的性能指標(biāo)在一些復(fù)雜控制圖中,2類風(fēng)險(xiǎn)概率α(第1類錯(cuò)誤的概率)和β(第2類錯(cuò)誤的概率)的含義不易定義,α、β的選取也比較困難。因而,學(xué)術(shù)界與企業(yè)界紛紛采用平均鏈長(zhǎng)(averagerunlength,ARL)作為評(píng)價(jià)控制圖的性能指標(biāo)。平均鏈長(zhǎng)是對(duì)某一個(gè)確定的質(zhì)量特性水平,控制圖從開(kāi)始進(jìn)行控制直到發(fā)出警報(bào)信號(hào)為止所抽取的樣本數(shù)。4.1arma控制器圖的界限通常希望過(guò)程處于穩(wěn)態(tài)時(shí),ARL長(zhǎng);而過(guò)程出現(xiàn)異常時(shí),ARL短。如果令E(X)=μ,D(X)=σ2,則ARMA控制圖的界限可設(shè)為:ARMA控制圖的設(shè)計(jì)本質(zhì)是尋找最優(yōu)參數(shù)組合(θ,φ,K)的過(guò)程,所依據(jù)的原則是:對(duì)給定的穩(wěn)態(tài)ARL(0),使過(guò)程出現(xiàn)設(shè)定偏移量的偏移時(shí)具有最小失控ARL。最優(yōu)參數(shù)組合是指對(duì)于固定的穩(wěn)態(tài)ARL(0),使設(shè)定偏移量的偏移時(shí)具有最小失控ARL最小的參數(shù)(θ,φ,K)組合。總的來(lái)說(shuō),最優(yōu)參數(shù)(θ,φ,K)的選擇要依賴于偏移量的幅度。4.2不同arl0值的比較,有以下簡(jiǎn)稱設(shè)計(jì)ARMA控制圖以達(dá)到檢測(cè)過(guò)程給定偏移的目的,其步驟如下:(1)選擇過(guò)程穩(wěn)態(tài)時(shí)可接受的一個(gè)較小的ARL(0);(2)決定必須迅速檢測(cè)出的偏移程度,并確定對(duì)此偏移量使ARL最小的(θ,φ);(3)利用步驟(2)中得到的(θ,φ),尋找滿足步驟(1)要求ARL(0)的控制界參數(shù)K;(4)將上述得到的最優(yōu)參數(shù)(θ,φ,K)組合的失控ARL與相同ARL(0)對(duì)應(yīng)的其他(θ,φ,K)組合的失控ARL比較,從這些不同的(θ,φ,K)組合中,比照失控ARL最小的(θ,φ,K)組合。步驟(1)中要選擇一個(gè)可接受的ARL(0),往往要基于經(jīng)濟(jì)上的考慮:虛發(fā)成本和過(guò)程滯后的成本。步驟(2)中要確定的過(guò)程偏移幅度對(duì)設(shè)計(jì)快速檢測(cè)的ARMA控制圖十分重要,偏移幅度的選擇往往依賴于過(guò)程能力和調(diào)整過(guò)程的成本。本文所考慮的ARL(0)值,取3種最常用的數(shù)值,即ARL(0)=300,500,1000。對(duì)ARL的求解,采用蒙特卡羅模擬方法獲得,模擬次數(shù)為50000次。模擬得出的ARMA控制圖最優(yōu)參數(shù)范圍如表1所示。5在ara控制平面上的設(shè)計(jì)中應(yīng)用信噪比5.1arma控制圖信噪比在穩(wěn)健設(shè)計(jì)中常被用以度量產(chǎn)品質(zhì)量特性穩(wěn)健程度的指標(biāo),可用R=μ/σ來(lái)表示。對(duì)ARMA控制圖,定義暫態(tài)RT和穩(wěn)態(tài)RS信噪比如下:假設(shè)原始過(guò)程Xt的均值在T時(shí)刻發(fā)生偏移δσ,那么相應(yīng)統(tǒng)計(jì)量的均值變化為:對(duì)式(10)迭代整理,則在T時(shí)刻后的均值的偏移形式可統(tǒng)一由下式表示:將上述的過(guò)程均值變化代入式(7)～(8),可得兩信噪比表達(dá)為:5.2過(guò)程均值偏移的觀測(cè)方法如果過(guò)程均值發(fā)生偏移時(shí),統(tǒng)計(jì)量Zt在t時(shí)刻位于控制限內(nèi)的概率為:式中:U表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量,由式(14)可知,概率Pt與t時(shí)刻的信噪比Rt大小有關(guān)。Rt值越大Pt值越小,則檢出概率1-Pt值越大,對(duì)異常原因的檢測(cè)能力也越強(qiáng),ARL也越小。若式(12)采用3σ控制方式,當(dāng)信噪比R=4、5時(shí),控制圖分別有84.1%、97.7%的概率立即報(bào)警。RT用來(lái)衡量過(guò)程均值發(fā)生偏移T時(shí)刻,ARMA控制圖檢測(cè)偏移的能力。過(guò)程均值出現(xiàn)大偏移時(shí),RT起關(guān)鍵作用。如果控制圖在最初均值發(fā)生偏移時(shí)未能檢測(cè)到,則隨后的信噪比Rt的變化趨勢(shì)及穩(wěn)態(tài)時(shí)信噪比RS對(duì)隨后是否能有效地檢出過(guò)程均值偏移將起重要作用。因此,可以通過(guò)觀測(cè)在相同偏移量時(shí)不同控制圖參數(shù)的信噪比變化趨勢(shì),就能粗略判斷控制圖的ARL性能。即通過(guò)觀測(cè)ARMA的信噪比的變化趨勢(shì),來(lái)獲得最優(yōu)參數(shù)(φ,θ)的大致范圍,然后再通過(guò)蒙特卡羅仿真模擬來(lái)獲得精確的ARL值及參數(shù)(φ,θ),可避免大范圍的參數(shù)模擬。例如,對(duì)于過(guò)程均值發(fā)生δ=0.5倍標(biāo)準(zhǔn)偏差的偏移,參數(shù)選擇分別為φ=0.95、0.85、0.75、0.35,θ=-0.4、-0.2、-0.1、-0.05、0.1時(shí)信噪比的變化趨勢(shì),如圖2所示。從圖中可以看出,隨著φ的逐漸減少,信噪比逐漸降低,φ=0.95時(shí),信噪比高于其他參數(shù)值的信噪比。當(dāng)φ=0.95時(shí),θ=-0.1～0.1范圍的信噪比性能要強(qiáng)于其他參數(shù)值下的信噪比。因此,根據(jù)信噪比的變化趨勢(shì),可可以得出在參數(shù)φ=0.95,θ=-0.1～0.1條件下,ARMA控制圖的ARL性能最優(yōu),這一點(diǎn)也可以從模擬得到的ARL數(shù)值中得到印證(見(jiàn)表2)。同時(shí),表1的最優(yōu)參數(shù)是包括在由信噪比得出的參數(shù)選擇范圍內(nèi)。對(duì)于其他過(guò)程均值的偏移,可以仿照上述方法獲得ARL最小值的參數(shù)選擇范圍,這里不再贅述。通過(guò)上述分析,可以得出信噪比是控制圖ARL性能的一個(gè)良好指標(biāo)。通過(guò)對(duì)比不同參數(shù)下信噪比的變化趨勢(shì)圖,可以直觀得到使ARMA控制圖的ARL最小化的參數(shù)取值范圍,并在這個(gè)范圍內(nèi),通過(guò)仿真模擬可以得到使ARL最小化的參數(shù)的最優(yōu)值。信噪比方法在求控制圖最優(yōu)值時(shí)可減少仿真計(jì)算量,避免了大范圍的參數(shù)模擬。6兩組arma控制圖比較從歷史數(shù)據(jù)加權(quán)角度對(duì)ARMA控制圖統(tǒng)計(jì)量的分析表明