狹義相對(duì)論的兩個(gè)基本原理

理論包括狹義理論和廣義理論。愛因斯坦于1905年在光速不變?cè)砗拖鄬?duì)性原理的基礎(chǔ)上建立了狹義相對(duì)論。迄今,所有物理學(xué)(除引力)的基本定律都可以建立在狹義相對(duì)論的基礎(chǔ)上,其結(jié)論都與實(shí)驗(yàn)符合。在所研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)速度遠(yuǎn)小于真空中的光速(低速近似)的極限情況下,狹義相對(duì)論物理學(xué)就與非相對(duì)論物理學(xué)一致。在非低速近似情況下的科學(xué)技術(shù),都必須考慮狹義相對(duì)論效應(yīng)。在引力的影響必須考慮的情況下,可利用牛頓萬有引力定律作為近似;在非近似情況下,就要利用愛因斯坦于1915年建立的廣義相對(duì)論。牛頓萬有引力定律不服從狹義相對(duì)論,與狹義相對(duì)論一致的引力理論,或者說,在相對(duì)慣性系作加速運(yùn)動(dòng)的非慣性系統(tǒng)中的相對(duì)論,就是廣義相對(duì)論,其結(jié)論都與實(shí)驗(yàn)符合。除去引力的影響,廣義相對(duì)論就歸結(jié)為狹義相對(duì)論。在狹義相對(duì)論中,三維空間間隔和一維時(shí)間間隔各自對(duì)不同的慣性系的觀察者都不再是不變的量。狹義相對(duì)論中的時(shí)空是平直時(shí)空,其中的“事件”由四維坐標(biāo)描述。四維時(shí)空間隔在洛侖茲變換下保持不變,還保證了相對(duì)論中因果關(guān)系繼續(xù)成立。這使得能在整個(gè)時(shí)空間上建立一個(gè)整體慣性系(四維平直時(shí)空),時(shí)空特性則由偽歐基里德幾何描述。偽歐基里德幾何與歐基里德幾何在時(shí)間坐標(biāo)與空間坐標(biāo)的表示上有所不同。所有慣性系的時(shí)間坐標(biāo)和空間坐標(biāo)之間以洛侖茲變換相聯(lián)系。洛侖茲變換是光速不變?cè)淼臄?shù)學(xué)表示。它描述任意兩個(gè)相對(duì)作勻速直線運(yùn)動(dòng)的慣性系之間的變換關(guān)系。狹義相對(duì)論的基礎(chǔ),包括狹義相對(duì)論的基本概念和基本原理,四維平直時(shí)空度規(guī),時(shí)間和空間與運(yùn)動(dòng)的相互聯(lián)系,四維時(shí)間間隔的不變性,狹義相對(duì)論中的因果關(guān)系,作用量原理的物理實(shí)質(zhì),時(shí)空對(duì)稱性與守恒定律的關(guān)系,物質(zhì)、運(yùn)動(dòng)與時(shí)空間的關(guān)系等一些方面,本文依次作概要的討論,最后略述與狹義相對(duì)論基礎(chǔ)相關(guān)的近來關(guān)于超光速與光停下來的實(shí)驗(yàn)和議論。1狹義相對(duì)論的基本物理定律在一定的問題中,可將研究對(duì)象簡(jiǎn)化為質(zhì)點(diǎn):有質(zhì)量而無大小的點(diǎn)。質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量用m表示。此處“無大小”是指其尺度接近普朗克空間尺度。所有復(fù)雜體系一般可看作由一些有相互作用的質(zhì)點(diǎn)所組成。質(zhì)點(diǎn)在任何時(shí)候任何情況下都具有波動(dòng)和粒子二象性。在不同情況下,有時(shí)(如在所謂宏觀情況下)以粒子性為主,有時(shí)(如在所謂微觀情況下)以波動(dòng)性為主。宏觀與微觀的分界通常取原子大小的尺度(10-10m)。另一種說法是以包含普朗克常數(shù)的項(xiàng)在所研究的問題中是(宏觀)否(微觀)可忽略為依據(jù)。慣性系是自由質(zhì)點(diǎn)在其中保持靜止或作勻速直線運(yùn)動(dòng)的參考系。自由質(zhì)點(diǎn)是指所受合外力為零的質(zhì)點(diǎn)。慣性系也可用時(shí)空特性來定義:慣性系是具有空間均勻性、時(shí)間均勻性以及空間各向同性的系統(tǒng)。質(zhì)心參考系(簡(jiǎn)稱C系)為相對(duì)系統(tǒng)整體(質(zhì)心)為靜止的參考系,C系中的量帶下腳標(biāo)“。”。實(shí)驗(yàn)室參考系(簡(jiǎn)稱L系)為相對(duì)C系沿x軸負(fù)向以速率v作勻速運(yùn)動(dòng)的參考系,L系中的量不帶腳標(biāo)。在L系中,系統(tǒng)的速率v也就是L系中系統(tǒng)的粒子的平均速率,而在C系中,系統(tǒng)的粒子的平均速率為零。C系與L系的空間和時(shí)間坐標(biāo)軸分別對(duì)應(yīng)平行,而且設(shè)兩系在各自選定的初始時(shí)刻原點(diǎn)重合。物理量是與測(cè)量單位相聯(lián)系的。物理定律在不同的單位制中的表述形式不同。但是,這種差別只與一些常數(shù)有關(guān)。對(duì)于粒子體系,為單值地確定一個(gè)體系的位置所必需的獨(dú)立量的數(shù)目s稱為該體系的自由度數(shù)。對(duì)于場(chǎng),采用位形空間的維數(shù)的一半為其自由度數(shù)。對(duì)于克萊因-高登場(chǎng),在每一個(gè)空間點(diǎn)有一個(gè)自由度;對(duì)于引力場(chǎng),在每一個(gè)空間點(diǎn)有兩個(gè)自由度。狹義相對(duì)論物理學(xué)以下列兩個(gè)原理(假設(shè))為基礎(chǔ):(1)光速不變?cè)?真空中的光速既不依賴于光源的運(yùn)動(dòng),也不依賴于接收器的運(yùn)動(dòng),在所有慣性系中,它具有相同的數(shù)值。(2)相對(duì)性原理:空間是均勻及各向同性的。時(shí)間是均勻的。在所有慣性系中,基本物理定律可寫為相同的形式。愛因斯坦于1905年在上述兩個(gè)基本假設(shè)(表述略有不同)的基礎(chǔ)上建立狹義相對(duì)論。迄今,所有物理學(xué)(除引力)的基本定律都可以建立在狹義相對(duì)論的基礎(chǔ)上。2洛侖茲度規(guī)張量的時(shí)空特性狹義相對(duì)論中的平直時(shí)空中的一個(gè)“事件”由四維坐標(biāo)xμ=(xi,ct)描述,其中上角標(biāo)希臘字母μ分別取1,2,3,0;而上角標(biāo)拉丁字母i分別取1,2,3,表示空間分量;角標(biāo)0表示時(shí)間分量(另一種等效的表示方法是在時(shí)間分量前面引入虛數(shù)單位)。每一個(gè)事件也只定義到普朗克尺度。在這種意義上,時(shí)空是由事件組成的光滑(連續(xù)可微)流形。時(shí)間間隔和空間距離“趨于零”均理解為趨于普朗克尺度。對(duì)于一個(gè)沒有內(nèi)部結(jié)構(gòu)的、質(zhì)量m全部集中在質(zhì)心的質(zhì)點(diǎn),它的位置可以用時(shí)間-空間坐標(biāo)表示為坐標(biāo)(又稱逆變)四矢xμ=(x1,x2,x3,x0)=(xi,ct)(2.1)其對(duì)偶坐標(biāo)四矢,又稱坐標(biāo)協(xié)變矢量,表示為xv=(x1x2x3x0)=ηνμxμxμ=ημνxvημν=ημν}(2.2)其中,上、下指標(biāo)均取1,2,3,0。括號(hào)中的量稱為矢量的分量。洛侖茲度規(guī)張量的元素為常數(shù),它們不依賴于時(shí)空坐標(biāo),這說明該張量的元素在時(shí)空間中處處具有相同的值,因此,它描述的時(shí)空是整體平直時(shí)空。在數(shù)學(xué)上,將對(duì)角元素均為(+1),而非對(duì)角元素均為零的度規(guī)張量所描述的幾何稱為歐基里德幾何;這里的度規(guī)張量有一個(gè)對(duì)角元素為(-1),稱為偽歐基里德幾何。狹義相對(duì)論物理學(xué)都在平直時(shí)空中討論,都使用偽歐基里德幾何。這使得能在整個(gè)時(shí)空間上建立一個(gè)整體慣性系,時(shí)空特性則由偽歐基里德幾何描述。所有慣性系之間以洛侖茲變換相聯(lián)系。3長(zhǎng)度與時(shí)間的洛倫茲變換洛侖茲變換是光速不變?cè)淼臄?shù)學(xué)表示。它描述任意兩個(gè)相對(duì)作勻速直線運(yùn)動(dòng)的慣性系之間的變換關(guān)系。3.1在l系中的事件由洛侖茲變換,兩個(gè)事件(1和2)在兩個(gè)慣性系中的時(shí)間坐標(biāo)的關(guān)系分別為t′1=γ(t1+uc2x1)t′1=γ(t2+uc2x2)}(3.1)在L′系中,這兩個(gè)事件的時(shí)間間隔為Δt′=γ(Δt′+uc2Δx).(3.2)設(shè)同一個(gè)慣性系中的所有的鐘構(gòu)造相同且都已校準(zhǔn)。如果一個(gè)靜止于L系中的鐘(L′認(rèn)為它是運(yùn)動(dòng)的鐘)的兩個(gè)不同的時(shí)刻對(duì)應(yīng)于所討論的這兩個(gè)事件,則在L系中它們應(yīng)有相同的空間坐標(biāo),于是上式成為Δt′=γΔt(3.3)這說明,在L′系看來,運(yùn)動(dòng)的鐘變慢。3.2慢不同的時(shí)率由(3.2)式看出,L′系中的時(shí)間間隔與L系中的空間間隔和時(shí)間間隔都有關(guān)。例如,分別靜止于這兩個(gè)慣性系中的兩個(gè)鐘,它們的快慢不同,即“時(shí)率”不同,需要校準(zhǔn)。由(3.1)式看出,L′系中的時(shí)間與L系中的空間位置和時(shí)間都有關(guān)。例如,靜止于L系中的不同地點(diǎn)的一系列鐘,都同時(shí)指示零點(diǎn)時(shí),在L′系看來,處于L系中不同地點(diǎn)的鐘指示一系列不同的時(shí)刻?！皶r(shí)差”不同,需要校準(zhǔn)。由此看來,處于不同慣性系中的鐘存在“時(shí)率”和“時(shí)差”的不同,需要校準(zhǔn)。由上列兩式可以計(jì)算出這些差別,因此,時(shí)鐘的校準(zhǔn)是可能的。3.3有“3.2”式和3.5有一種說法認(rèn)為,在L′系看來,L系的鐘是運(yùn)動(dòng)的鐘,因而變慢,如(3.3)式所示;同理,在L系看來,L′系的鐘是運(yùn)動(dòng)的鐘,應(yīng)有Δt=γΔt′.(3.4)將(3.3)式代入(3.4)式,則Δt=γ2Δt.(3.5)因此,只要這兩個(gè)慣性系之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度v不等于零,(3.5)式就是矛盾的。這種說法的錯(cuò)誤在于,只要v不等于零,(3.3)式和(3.4)式就不能同時(shí)成立。事實(shí)上,對(duì)于一個(gè)靜止于L系中的鐘(L′認(rèn)為它是運(yùn)動(dòng)的鐘),才有(3.3)式;同理,對(duì)于一個(gè)靜止于L′系中的鐘(L認(rèn)為它是運(yùn)動(dòng)的鐘),才有(3.4)式。當(dāng)v不等于零時(shí),靜止于L系中的鐘不可能在L′中也是靜止。因此,(3.5)式不成立。這就是所謂的“時(shí)鐘佯謬”,即關(guān)于相對(duì)論中時(shí)鐘問題的虛假的荒謬。3.4兩個(gè)事件在l系中的同時(shí)發(fā)生由(3.2)式,只有兩個(gè)事件在L系中同時(shí)(Δt=0)而且同地(Δx=0)發(fā)生,在L′系中才是同時(shí)(Δt′=0)發(fā)生。兩個(gè)事件在L系中同時(shí)但不同地發(fā)生,則在L′系中不是同時(shí)發(fā)生。同理,兩個(gè)事件在L′系中同時(shí)而且同地發(fā)生,在L系中才是同時(shí)發(fā)生;兩個(gè)事件在L′系中同時(shí)但不同地發(fā)生,則在L系中不是同時(shí)發(fā)生。在一個(gè)慣性系中同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件,在另一個(gè)慣性系中認(rèn)為不一定是同時(shí)發(fā)生。這就是相對(duì)論中的“同時(shí)的相對(duì)性”。一般來說,兩個(gè)事件在不同慣性系中發(fā)生的先后次序有可能顛倒。例如,由(3.2)式,在L系中Δt>0,在L′系中有可能Δt′<0。反之亦然。但是,有因果關(guān)系的兩個(gè)事件的先后次序是不可能顛倒的?？傊?在相對(duì)論中,不同慣性系中“同時(shí)”的概念具有相對(duì)性,但是因果關(guān)系將仍然有效。3.5-vt2由洛侖茲變換,兩個(gè)事件(1和2)在兩個(gè)慣性系中沿相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向的空間坐標(biāo)的關(guān)系分別為x′1=γ(x1-vt1)x′2=γ(x2-vt2)}(3.6)在L′系中,這兩個(gè)事件的空間間隔為Δx′=γ(Δx-vΔt).(3.7)設(shè)同一個(gè)慣性系中所有的尺構(gòu)造相同且都已校準(zhǔn)。如果一個(gè)靜止于L系中的尺(L′認(rèn)為它是運(yùn)動(dòng)的尺)的起點(diǎn)和終點(diǎn)對(duì)應(yīng)于所討論的這兩個(gè)事件,則在L系中它們應(yīng)有相同的時(shí)間坐標(biāo),于是(3.7)式成為Δx′=γΔx.(3.8)這說明,在L′系看來,運(yùn)動(dòng)的尺縮短了。3.6v不等于l系中的尺與2x.3.在相對(duì)論中,對(duì)于運(yùn)動(dòng)的尺縮短,也有一種說法,認(rèn)為在L′系看來,L系的尺是運(yùn)動(dòng)的尺,因而縮短,如(3.8)所示;同理,在L系看來,L′系的尺是運(yùn)動(dòng)的尺,因此應(yīng)有Δx=γΔx′.(3.9)將(3.8)式代入(3.9)式,則Δx=γ2Δx.(3.10)因此,只要這兩個(gè)慣性系之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度v不等于零,(3.10)式就是矛盾的。這種說法的錯(cuò)誤在于,只要v不等于零,(3.8)式和(3.9)式就不能同時(shí)成立。事實(shí)上,對(duì)于一個(gè)靜止于L系中的尺(L′認(rèn)為它是運(yùn)動(dòng)的尺),才有(3.8)式;同理,對(duì)于一個(gè)靜止于L′系中的尺(L認(rèn)為它是運(yùn)動(dòng)的尺),才有(3.9)式。當(dāng)v不等于零時(shí),靜止于L系中的尺不可能在L′中也靜止。尺的起點(diǎn)和終點(diǎn)在L系中是兩個(gè)不同的空間點(diǎn),它們是同時(shí)的;但是在L′系中,它們不是同時(shí)的。因此,(3.10)式不成立。這就是所謂的“長(zhǎng)度佯謬”,即關(guān)于相對(duì)論中長(zhǎng)度問題的虛假的荒謬。3.7光譜線的多普勒紅移公式由洛侖茲變換,可得兩個(gè)不同慣性系中光譜線的頻率之間(當(dāng)忽略高次無窮小項(xiàng)時(shí))的下列變換關(guān)系f′=f(1-u/c).(3.11)這就是光譜線的多普勒紅移公式。4不均勻空間間隔4.1固有時(shí)微商的形成在狹義相對(duì)論中,三維空間間隔和一維時(shí)間間隔各自對(duì)不同的慣性系的觀察者都不再是不變的量。例如運(yùn)動(dòng)的尺縮和鐘慢。因而有必要定義四維時(shí)空中的不變量:時(shí)空間隔(space-timeinterval)ds2=dxμdxμ=ημvdxμdxv=dx′μdx′μ=ds′2.(4.1)其中帶“′”的量與不帶“′”的量分別為在兩個(gè)相對(duì)作勻速直線運(yùn)動(dòng)的慣性系中的坐標(biāo)。容易驗(yàn)證,時(shí)空間隔對(duì)各個(gè)不同的慣性系來講是一個(gè)“不變量”,即時(shí)空間隔在洛侖茲變換下保持不變。實(shí)際上,(4.1)式是狹義相對(duì)論的光速不變?cè)淼臄?shù)學(xué)表示。從后面因果關(guān)系一節(jié)的討論還可看出,時(shí)空間隔在洛侖茲變換下保持不變,還保證了相對(duì)論中因果關(guān)系繼續(xù)成立。在C系中,即在與系統(tǒng)“共動(dòng)”的慣性系中,所測(cè)得的時(shí)間稱為固有時(shí),用字母τ表示。即ds2=-c2dτ2=-c2(1-v2c2)dt2dt=γdτ}(4.2)由于時(shí)空間隔是不變量,所以固有時(shí)間隔也是不變量。因此,所有四維矢量對(duì)固有時(shí)的微商構(gòu)成四維矢量。例如由四維坐標(biāo)矢量對(duì)固有時(shí)的微商構(gòu)成四維速度,由四維速度對(duì)固有時(shí)的微商構(gòu)成四維加速度等。4.2質(zhì)量與能量的關(guān)系系統(tǒng)的四維速度定義為uμ=dxμdτ=γ(v,0,0,c).(4.3)顯然有uμuμ=-c2=-1.(4.4)這也說明四維速度是類時(shí)矢量。若在C系中,系統(tǒng)的質(zhì)量為M0,能量為E0,三維動(dòng)量為G0,則在L系中,系統(tǒng)的四維動(dòng)量矢量(與四維動(dòng)量密度矢量只相差一個(gè)相乘的常數(shù)因子——固有體積V0,對(duì)于單位固有體積元,整體量與密度量均)為pμ=Μ0uμ=γ(Μ0v,0,0,E0/c)=(G,0,0,E/C)G=γG0E=γE0?E0=Μ0c2}(4.5)顯然有pμpμ=-M02c2=G2-E2/c2.(4.6)由此看出,四維動(dòng)量是四維類時(shí)矢量。(4.6)式將三維動(dòng)量、能量和靜止質(zhì)量聯(lián)系起來。由(4.5)式與(4.6)式可得出,在任何慣性系中E=Mc2,M=γM0.(4.7)這是著名的質(zhì)量-能量聯(lián)系關(guān)系。由于光速是一個(gè)普適恒量,因此,在相對(duì)論中,質(zhì)量與能量在本質(zhì)上是相同的物理概念。這個(gè)關(guān)系為原子核能的釋放奠定了理論基礎(chǔ)。在一定條件下,當(dāng)質(zhì)量為M的原子核分裂為一些質(zhì)量為M(i)的碎片時(shí),或一些質(zhì)量為M(i)的粒子聚合為一個(gè)質(zhì)量為M的原子核時(shí),有與“質(zhì)量虧損”相對(duì)應(yīng)的能量釋放。質(zhì)量虧損為ΔΜ=±[Μ-∑iΜ(i)].(4.8)四維加速度定義為aμ=duμdτ,(4.9)而且容易證明四維加速度與四維速度是“正交”的,即aμuμ=0.(4.10)4.3兩式相除法v根據(jù)洛侖茲變換,在L′系中一個(gè)運(yùn)動(dòng)的粒子經(jīng)過兩個(gè)無限靠近的事件之間的空間間隔為dx′=γ(dx+vdt).(4.11)它們之間的時(shí)間間隔為dt′=γ(dt+vc2dx).(4.12)兩式相除得v′=v+u1+vuc2v′=dx′dt′u=dxdt}(4.13)其中v′是粒子在L′系中的速度,u是粒子在L系中的速度,v是兩系之間的相對(duì)速度。這就是相對(duì)論性的速度合成法則。(1)當(dāng)這些速度都比光速小很多,以至上式的分母可近似看作1時(shí),則得到v′=v+u,即非相對(duì)論性的速度合成法則。(2)當(dāng)這些速度中有一個(gè)是光速時(shí),合速度均為光速。這保證了光速作為極限速度的地位,即任何速度不可能超過光速。對(duì)于逆變換,(4.13)式中負(fù)號(hào)改為正號(hào),以上仍為正確。4.4狹義相對(duì)論中的能量在L系中,觀察者以速度v運(yùn)動(dòng),所研究的體系以速度u運(yùn)動(dòng),觀察者所測(cè)得的體系的能量定義為E=-vμpμpμ=Μ0γ(u,c)=γ(Μ0u,E0/c)vμ=11-v2/c2(v,c)}(4.14)這是一個(gè)在狹義相對(duì)論中普遍適用的能量的定義。一個(gè)重要的特殊情況是,當(dāng)觀察者與體系一道運(yùn)動(dòng)時(shí),即v=u時(shí),也即觀察者與體系相對(duì)靜止時(shí),顯然E0應(yīng)是觀察者所測(cè)得的體系的能量。這一結(jié)果可從(4.14)式立即得到。另一個(gè)重要的特殊情況是,在觀察者為靜止的慣性系L′中,若體系相對(duì)觀察者的速度為v′,觀察者所測(cè)得的體系的能量為E′=γ′E0,γ′=1/1-v′2/c2.(4.15)這是(4.14)式的直接結(jié)果。而且可以驗(yàn)算,(4.15)式中的相對(duì)速度v′滿足相對(duì)論速度合成法則(4.13)式。這在物理上是理所當(dāng)然的。當(dāng)觀察者相對(duì)L系為靜止,則v′=u,因此得到能量的洛侖茲變換關(guān)系。5類空類光式在時(shí)空中,任意兩個(gè)事件之間的關(guān)系不外下述三類:類時(shí)(timelike)、類空(spacelike)和類光(lightlike),它們分別對(duì)應(yīng)于時(shí)空間隔的平方小于、大于和等于零。由于(4.1)式,這三種關(guān)系具有洛侖茲變換不變性。即若兩個(gè)事件在某一個(gè)慣性系中是類空(類時(shí)或類光)的,則它們?cè)谝磺袘T性系中都是類空(類時(shí)或類光)的。由于(4.2)式,具有類時(shí)關(guān)系的兩個(gè)事件可以小于光速的信號(hào)相聯(lián)系;具有類光關(guān)系的兩個(gè)事件可以等于光速的信號(hào)相聯(lián)系;因此,具有類時(shí)或類光關(guān)系的兩個(gè)事件之間(原則上)可能有因果聯(lián)系。類似地,也可以說具有類空關(guān)系的兩個(gè)事件可以“大于光速”的信號(hào)相聯(lián)系。但是,由于在自然界還沒有發(fā)現(xiàn)任何信號(hào)可以大于光速的速度傳遞,因此,具有類空關(guān)系的兩個(gè)事件之間不可能有因果關(guān)系。在相對(duì)論中,“同時(shí)”具有相對(duì)性,它依賴于觀察者與被觀察的對(duì)象之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)。具有類空關(guān)系的兩個(gè)事件發(fā)生的先后次序可以顛倒,但是,這并不違背因果關(guān)系。因?yàn)椤熬哂蓄惪贞P(guān)系的兩個(gè)事件之間不可能有因果關(guān)系”,所以沒有因果關(guān)系的兩個(gè)事件發(fā)生的先后次序顛倒不違背因果關(guān)系。另一方面,由洛侖茲變換可以驗(yàn)證,具有類時(shí)或類光關(guān)系(即可能存在因果關(guān)系)的兩個(gè)事件發(fā)生的先后次序不可能顛倒。這是遵從因果關(guān)系的。綜上所述,在狹義相對(duì)論中,雖然“同時(shí)”具有相對(duì)性,具有類空關(guān)系(即不可能存在因果關(guān)系)的兩個(gè)事件發(fā)生的先后次序也可以顛倒,但是,并沒有因此破壞因果關(guān)系。因果關(guān)系仍然有效。6劑量原理6.1經(jīng)典的路徑演化普朗克反應(yīng)除了相對(duì)論的兩個(gè)基本原理,本文還將費(fèi)曼(Feymann)的路徑積分思想作為作用量原理的物理基礎(chǔ)。這樣做的理由是現(xiàn)代的一些教材和讀物使用路徑積分思想。以微分幾何的語言來說,相對(duì)論中的時(shí)空是光滑的四維流形(manifold),它可看作是事件的集合,也可看作是線匯(congruence)的集合。在線匯中,曲線不相交。一個(gè)事件一定在線匯中的一條曲線上。過任一事件有且只有一條線匯中的曲線通過。另以方面,同一時(shí)空間可以不同的方式劃分為不同的線匯的集合。當(dāng)考慮到事件的普朗克尺度時(shí),線匯中的曲線也應(yīng)該具有普朗克尺度。相對(duì)論物理學(xué)(包括相對(duì)論量子力學(xué))認(rèn)為:在時(shí)空中任何兩個(gè)事件之間可能有無窮多條連接它們的路徑(路徑可以相交,從一個(gè)事件出發(fā)有許多可能的路徑,許多可能的路徑也可以會(huì)聚于一個(gè)事件,各種可能的路徑可看作是各種線匯集所組成的子集族)。每一個(gè)事件可以與一個(gè)物理狀態(tài)相聯(lián)系。物理過程可以看作從一個(gè)物理狀態(tài)向另一個(gè)物理狀態(tài)的演化。每一條路徑可以與一種可能的演化方式相聯(lián)系。經(jīng)典的演化(當(dāng)不考慮經(jīng)典混沌時(shí))對(duì)應(yīng)眾多的可能路徑中的一條,而量子的演化以各種幾率與可能的路徑相聯(lián)系。一般來講,沿各條路徑演化的可能性由幾率描寫。設(shè)一條路徑的某一段對(duì)幾率的貢獻(xiàn)由一個(gè)指數(shù)函數(shù)來描寫,并設(shè)各段路徑對(duì)振幅的貢獻(xiàn)相同,而對(duì)相位的貢獻(xiàn)不同。每一段貢獻(xiàn)的相位與經(jīng)典作用量I成正比。作用量以普朗克常數(shù)為單位來量度。如某一路徑的某一段的貢獻(xiàn)(以角標(biāo)i來標(biāo)志)為ρi=ρ0exp(-iIi/η).(6.1)每一條路徑對(duì)幾率的貢獻(xiàn)等于此路徑各段貢獻(xiàn)相乘,因此作用量相加。從一個(gè)狀態(tài)到另一個(gè)狀態(tài)演化的幾率等于這兩個(gè)狀態(tài)之間所有可能演化路徑的幾率(振幅相同,但相位可能不同)之和。路徑,在三維空間中對(duì)應(yīng)于位置移動(dòng)的軌跡;在四維時(shí)空中對(duì)應(yīng)一條世界線。在其他描述狀態(tài)的抽象空間(稱為位形空間)中,狀態(tài)與代表點(diǎn)對(duì)應(yīng),路徑對(duì)應(yīng)于演化過程。在經(jīng)典情況下,以普朗克常數(shù)為單位的作用量是一個(gè)很大的數(shù)。相鄰路徑的相位差使得它們的貢獻(xiàn)急劇改變符號(hào)而相互抵消。只有在作用量取極值處的附近,作用量變化很小,才有凈的貢獻(xiàn)。因此,在經(jīng)典情況下,作用量的極值對(duì)應(yīng)的經(jīng)典路徑具有特別的重要性。它表示經(jīng)典物理狀態(tài)單一的真實(shí)演化的路徑。6.2從四維時(shí)空事件的時(shí)間新解為以后作準(zhǔn)備,我們先討論時(shí)空間的分葉。利用四維速度和度規(guī)張量可以構(gòu)成所謂的“空間投影算符”pμv=ημv+uμuv,(6.2)利用四維速度矢量和空間投影算符可將任何一個(gè)四維矢量Fμ分解為類時(shí)和類空兩部分,Fμ=fuμ+fμf=-uvFvfμ=ΡμvFv}(6.3)前面已指出,四維速度是類時(shí)矢量,因此(6.3)式中第一式右邊第一項(xiàng)為類時(shí),第二項(xiàng)為類空。用這樣的方法,可以將四維時(shí)空的類時(shí)部分用參量t(稱為時(shí)間)進(jìn)行參量化,任何一個(gè)與參量t對(duì)應(yīng)的三維類空超曲面就是t這個(gè)時(shí)刻的空間,稱為t的“同時(shí)”三維超曲面。這樣,四維時(shí)空間分葉為無窮多個(gè)三維類空超曲面的族,或者說,時(shí)空間是三維類空超曲面的集合。因此,時(shí)空間既可以說是(0維的)事件的集合,也可以說是(1維的)線匯的集合,還可以說是(3維的)類空超曲面的集合。時(shí)空間是以時(shí)間為參量的三維類空超曲面的集合,相當(dāng)于重新將時(shí)空間分解為時(shí)間和空間。這種分解,一方面方便于不同慣性系的描述,另一方面方便于推廣到非慣性系的描述。6.3拉格朗日函數(shù)和密度量一個(gè)物理系統(tǒng)的狀態(tài)由拉格朗日(Lagrange)函數(shù)L(四維坐標(biāo)和四維速度的函數(shù))描寫,設(shè)系統(tǒng)由位形空間中確定的事件A對(duì)應(yīng)的狀態(tài)演化為確定的事件B對(duì)應(yīng)的狀態(tài),則定義作用量I為沿任意連接A和B的路徑的積分I=∫BALdt.(6.4)對(duì)A和B之間的不同路徑,積分的結(jié)果可能不同。對(duì)應(yīng)真實(shí)的經(jīng)典演化過程的路徑使I取極值,即作用量的變分應(yīng)為零δI=0.(6.5)這就是作用量原理。當(dāng)A和B足夠接近時(shí),I取最小值。一般情況下,I為極值即可。I應(yīng)該是洛侖茲變換下的不變量。由時(shí)間間隔與固有時(shí)間隔之間的關(guān)系,可知拉格朗日函數(shù)不是洛侖茲變換下的不變量:L=L0/γ,(6.6)其中,L0為共動(dòng)系中的拉格朗日函數(shù)。現(xiàn)在引入密度量。密度量在相對(duì)論物理學(xué)中具有基本重要性。引入拉格朗日函數(shù)密度(簡(jiǎn)稱拉格朗日密度)將作用量(6.4)式改寫為I=∫λdtdV=∫λdt0dV0=∫λdΩ.(6.7)容易驗(yàn)證,上式中的拉格朗日密度和四維體積分元都是洛侖茲變換下的不變量。6.4拉格朗日方程的求解將作用量(6.7)式變分,即將拉格朗日密度分別對(duì)四維坐標(biāo)和四維速度變分,注意到A與B是兩個(gè)固定點(diǎn),在該處,對(duì)位置的變分應(yīng)為零(因而分部積分積出的項(xiàng)為零);還由于作用量原理對(duì)任意的坐標(biāo)變分元應(yīng)該成立,則得到該物理系統(tǒng)的任何一個(gè)單位體積元的運(yùn)動(dòng)方程:ddτ(?λ?uμ)-?λ?xμ=0.(6.8)這就是相對(duì)論性拉格朗日方程。它在任何慣性系中都成立。四維力密度和四維動(dòng)量密度定義如下:fμ=?λ?xμ,Ρμ=?λ?uμ.(6.9)(拉格朗日密度是不變量這個(gè)事實(shí)保證了它們都是四維矢量)。將(6.9)式代入(6.8)式,拉格朗日方程(6.8)式成為fμ=dpμdτ.(6.10)(6.8)與(6.10)兩式都是洛侖茲協(xié)變的。需要強(qiáng)調(diào)指出,如果(6.9)式中的四維坐標(biāo)的三個(gè)空間分量是空間平動(dòng)坐標(biāo),則四維力密度的三個(gè)空間分量是力密度的分量,四維速度的三個(gè)空間分量是線速度的分量,四維動(dòng)量密度的三個(gè)空間分量是線動(dòng)量密度的分量;如果四維坐標(biāo)的三個(gè)空間分量是空間轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo),則四維力密度的三個(gè)空間分量是力矩密度的分量,四維速度的三個(gè)空間分量是角速度的分量,四維動(dòng)量密度的三個(gè)空間分量是角動(dòng)量密度的分量。至于第四分量,可以看出:四維坐標(biāo)的第四分量是時(shí)間,四維速度的第四分量是光速,四維動(dòng)量密度的第四分量是能量密度,四維力密度的第四分量是功率密度。(6.10)式說明:線動(dòng)量密度的時(shí)間變化率等于力密度;角動(dòng)量密度的時(shí)間變化率等于力矩密度;能量密度的時(shí)間變化率等于功率。四維動(dòng)量和四維動(dòng)量密度的定義方式是不同的:四維動(dòng)量矢量是從四維速度矢量定義的;四維動(dòng)量密度矢量是從拉格朗日密度定義的。體積不是洛侖茲不變量。四維動(dòng)量矢量和四維動(dòng)量密度矢量都是四維矢量,都服從洛侖茲變換。原來,四維矢量和四維密度矢量之間是以固有體積相聯(lián)系的,因此本文在符號(hào)上未將它們區(qū)別,只在上下文中給予說明。6.5拉格朗日方程的拉格朗日方程,拉格朗日方程為—哈密頓方程一個(gè)物理系統(tǒng)的任意單位體積元的狀態(tài)也可以由哈密頓(Hamilton)密度H(四維坐標(biāo)和四維動(dòng)量密度的函數(shù))描寫:H(xμ,pμ)=pμuμ-λ(xμ,uμ).(6.11)由(6.11)式及拉格朗日方程可得?Η?pμ=uμ,?Η?xμ=-dpμdτ=-fμ.(6.12)這就是相對(duì)論性哈密頓方程。它是洛侖茲協(xié)變的。無論是從數(shù)學(xué)方面看還是從物理方面看,一個(gè)二階的拉格朗日方程與兩個(gè)一階的哈密頓方程本質(zhì)上是等效的,對(duì)初始條件的要求也是相同的。在解決具體問題時(shí),二者各有其長(zhǎng)。6.6哈密頓-雅帳篷若考慮變分是沿真實(shí)路徑(因而滿足拉格朗日方程,也當(dāng)然滿足哈密頓方程),起點(diǎn)固定而終點(diǎn)變化,即變分是對(duì)終點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行,僅留下的是分部積分積出的項(xiàng)在變化的終點(diǎn)的值:δΙ=-pμδxμpμ=-?Ι/?xμ}(6.13)由(4.6)式,則有ημv?Ι?xμ?Ι?xv=-Μ0c2.(6.14)這就是相對(duì)論性的哈密頓-雅可比方程。它是洛侖茲協(xié)變的。7時(shí)空對(duì)測(cè)和固定順序的影響7.1洛侖茲協(xié)變式7.2如果時(shí)空間具有均勻性,則時(shí)空間中的物理系統(tǒng)的狀態(tài)將不直接依賴于時(shí)空坐標(biāo),即?λ?xμ=0(7.1)而且,它是洛侖茲協(xié)變的。由(6.9)式中的第一式,這就是四維力密度為零。由拉格朗日方程可得dpμdτ=0(7.2)這就是由時(shí)空間的均勻性導(dǎo)出的四維動(dòng)量密度守恒定律的一般形式。它是洛侖茲協(xié)變的。(7.2)式是四個(gè)等式,其中,三個(gè)空間分量的等式對(duì)應(yīng)動(dòng)量(包括線動(dòng)量和角動(dòng)量)密度守恒,時(shí)間分量的等式對(duì)應(yīng)能量密度守恒。如果時(shí)空間只在某一個(gè)坐標(biāo)方向具有均勻性,即若四維力密度的某個(gè)分量為零,則四維動(dòng)量密度在該方向的分量是守恒的。時(shí)空間的均勻性包含三方面的內(nèi)容:空間平動(dòng)的均勻性,空間轉(zhuǎn)動(dòng)的均勻性和時(shí)間平移的均勻性。空間轉(zhuǎn)動(dòng)的均勻性就是空間各向同性。在這里“均勻性”,“不變性”和“對(duì)稱性”可以通用。這可概括為“時(shí)空間的均勻性”。但是,這里的時(shí)間的對(duì)稱性不包括時(shí)間反演對(duì)稱性。由時(shí)空間的均勻性導(dǎo)出的守恒定律也包含三方面的內(nèi)容:線動(dòng)量密度守恒、角動(dòng)量密度守恒以及能量密度守恒。動(dòng)量包括線動(dòng)量和角動(dòng)量,能量是四維動(dòng)量的第四分量,因此可概括地說“四維動(dòng)量密度守恒”。這種看法的一個(gè)問題是,角動(dòng)量的洛侖茲變換關(guān)系不平常。結(jié)論是:守恒定律與對(duì)稱性相關(guān),四維時(shí)空間的均勻性導(dǎo)出四維動(dòng)量密度守恒。7.2維動(dòng)量密度在時(shí)空中的每一個(gè)事件處,有一個(gè)四維動(dòng)量-應(yīng)力張量。它包含該處所有形式的物質(zhì)和場(chǎng)(除引力場(chǎng))的四維動(dòng)量和應(yīng)力。四維動(dòng)量-應(yīng)力張量由下式定義:Tμv=pμuv-δμvλ.(7.3)它是對(duì)稱張量。將四維動(dòng)量-應(yīng)力張量對(duì)四維坐標(biāo)取偏微商后縮并,由(7.3)式及(6.9)式得?Τμv?xv≡Τμv,v=-δμv?λ?xv=-fμ=-dpμdτ.(7.4)當(dāng)四維力密度為零,即若(7.1)式成立,則得Τμv,v=-dpμdτ=0.(7.5)這就是相對(duì)論性的四維動(dòng)量密度守恒定律。它是洛侖茲協(xié)變的。顯然,它就是(7.2)式。下面指出四維動(dòng)量-應(yīng)力張量的各個(gè)分量的物理意義。四維動(dòng)量-應(yīng)力張量與四維速度縮并的結(jié)果給出該處的四維動(dòng)量密度:Tμvuv=T0μ=dpμ/dV.(7.6)其中,V為三維空間的體積。動(dòng)量-應(yīng)力張量與四維速度縮并兩次后給出能量密度:Tμvuμuv=T00=ρ.(7.7)動(dòng)量-應(yīng)力張量的空間-空間分量Tij是動(dòng)量-應(yīng)力張量與兩個(gè)類空單位坐標(biāo)基矢量縮并的結(jié)果。它們是作用于單位面積(其法線沿j方向)上的力的i方向分量,稱為動(dòng)量流密度或應(yīng)力。時(shí)間-空間分量為能量流密度。時(shí)間-時(shí)間分量為能量密度。例如,理想流體的能量-動(dòng)量-應(yīng)力張量為Tμv=(ρ+p)uμ