矩陣論復(fù)習(xí)一.線性空間1.線性空間的概念2.線性空間的基，維數(shù)與坐標(biāo)（基變換與與坐標(biāo)變換）3.線性子空間的概念與運(yùn)算

(1)定義(2)運(yùn)算（交與和，直和）西北工業(yè)大學(xué)矩陣論復(fù)習(xí)

1.判斷1，sinx,cosx

的線性相關(guān)性.2.若

1,

2,…,

r線性無(wú)關(guān)，則向量組

1=

1+k1

r,

2=

2+k2

r,,

r=

r

(kiK)也線性無(wú)關(guān).3.求向量組分別生成的子空間的交的基和維數(shù).西北工業(yè)大學(xué)矩陣論復(fù)習(xí)4.設(shè)V1,V2

分別是證明Kn=V1V25.設(shè)S,A,T分別為Knn中對(duì)稱，反對(duì)稱，上三角方陣構(gòu)成的子空間，證明：Knn=S

A,Knn=T

A.

西北工業(yè)大學(xué)矩陣論復(fù)習(xí)二.線性變換

1.定義T:VV且T(k+l)=kT(

)+lT(

)2.線性變換的值域與核

R(T)=L(T(

1),T(

2),T(

n)),N(T)={

T(

)=

,

V}3.線性變換的矩陣T

(

1,

2,,n)=(

1,

2,,n)A

rankT=rankA,nullT=n-rankA（

1,

2,,n為線性空間V的一個(gè)基）

4.線性變換的運(yùn)算加法，數(shù)乘，乘法，逆，多項(xiàng)式.西北工業(yè)大學(xué)矩陣論復(fù)習(xí)5.化簡(jiǎn)線性變換的矩陣

(1)線性變換的特征值與特征向量

(2)在不同基下的矩陣相似

(3)C上的線性空間V上的T

，一定存在V的一個(gè)基使得T在該基下的矩陣是Jordan矩陣

(4)C上的線性空間Vn上的T，存在V的一個(gè)基使得T在該基下的矩陣為對(duì)角陣

T有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。

(5)Hamilton定理與矩陣的最小多項(xiàng)式西北工業(yè)大學(xué)矩陣論復(fù)習(xí)6.不變子空間

定義:W是V的子空間，T是V的線性變換，如果對(duì)

W,有T(

)W,則W是T的不變子空間.西北工業(yè)大學(xué)矩陣論復(fù)習(xí)

1.求K22上的線性變換T：T(X)=AX的值域R(T)與核N(T)的基與維數(shù),其中設(shè)T,S

是V的線性變換，T2=T,S2=S,ST=TS,證明

(S+T)2=S+T

ST=O.3.設(shè)T,S

是V上線性變換，且T2=T,S2=S

，證明

(1)R(T)=R(S)TS=S,ST=T(2)N(T)=N(S)TS=T,ST=S設(shè)P[x]2的線性變換T

T(a+bx+cx2)=(4a+6b)+(-3a-5b)x+(-3a-6b+c)x2求P[x]2的一個(gè)基，使T在該基下的矩陣為對(duì)角矩陣.西北工業(yè)大學(xué)矩陣論復(fù)習(xí)5.設(shè)V是C上的n維線性空間，T是V上的線性變換，其中

1,2,,n是V的一個(gè)基.證明：V

的包含

n的T

的不變子空間只有V.西北工業(yè)大學(xué)矩陣論復(fù)習(xí)6.設(shè)線性空間V3的線性變換T在基

1,2,3下的矩陣證明：W=L(

2-1,3-1)是T的不變子空間.西北工業(yè)大學(xué)矩陣論復(fù)習(xí)7.求下列矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形8.求下列矩陣的最小多項(xiàng)式西北工業(yè)大學(xué)矩陣論復(fù)習(xí)9.設(shè)A

是一個(gè)6階方陣，其特征多項(xiàng)式為

()=(

+2)2(

-1)4,最小多項(xiàng)式為mA(

)=(

+2)(

-1)3,

求出A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形.10.對(duì)于n階方陣A，如果使Am=O成立的最小正整數(shù)為m，則稱A是m次冪零矩陣，證明所有n階n-1次冪零矩陣彼此相似，并求其若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形.西北工業(yè)大學(xué)矩陣論復(fù)習(xí)歐式空間與酉空間

1.定義,度量矩陣((,)=xTAy,A是某基的度量矩陣,x和y分別是

和

在該基下的坐標(biāo))2.正交基與規(guī)范正交基(sthmidt

正交化)3.正交補(bǔ)

4.對(duì)稱變換與正交變換(T,)=(,T)T在規(guī)范正交基下的矩陣為實(shí)對(duì)稱矩陣.(T,T)=(,)T在規(guī)范正交基下的矩陣為正交矩陣.5.n階方陣酉相似于上三角矩陣n階方陣A酉相似對(duì)角矩陣

A是正規(guī)矩陣.西北工業(yè)大學(xué)矩陣論復(fù)習(xí)練習(xí)題

1.在歐式空間R22中的內(nèi)積為取（1）求W

的一個(gè)基；（2）利用W與W

的基求R2

2的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基.2.已知?dú)W式空間Vn的基

1,2,,n的度量矩陣為A,證明在Vn中存在基

1,

2,,n，使?jié)M足西北工業(yè)大學(xué)矩陣論復(fù)習(xí)設(shè)

1,

2;1,

2是歐式空間V2兩個(gè)基,又

1=1-2

2,2=1-2,

(

1,1)=1,(

1,2)=-1,(

2,1)=2,(

2,2)=0分別求基

1,2與

1,2的度量矩陣.4.設(shè)實(shí)線性空間Vn的基

1,

2,

,

n，設(shè)，

Vn在該基下的坐標(biāo)分別為(

1,,n)T,(

1,,n)T;定義(,)=

1

1+

+

n

n證明：（1）(

,

)是Vn的內(nèi)積；西北工業(yè)大學(xué)矩陣論復(fù)習(xí)

（2）在該內(nèi)積下，基

1,

2,

,

n是Vn的標(biāo)準(zhǔn)正交基.設(shè)A

Rmn，證明在列向量空間Rm中，

R

(A)=N(AT)設(shè)T是n維Eulid空間V的線性變換，

T(

1,

2,

,

n)=(

1,

2,

,

n)A證明：T為對(duì)稱變換

ATG=GA，其中G為

1,

2,

,

n的度量矩陣.7.設(shè)n維Eulid空間Vn的基

1,

2,

,

n的度量矩陣為G,

正交變換T在該基下的矩陣為A，證明:(1)T

1,T

2,

,T

n是Vn的基；（2）ATGA=G.西北工業(yè)大學(xué)矩陣論復(fù)習(xí)8.設(shè)

1,2,,n是n維歐式空間V的標(biāo)準(zhǔn)正交基，T是V中的正交變換，由

1,2,,r(r<n)生成的r維子空間W=L(

1,2,,r)是T的不變子空間，證明：W的正交補(bǔ)空間

W

=L(

r+1,r+2,,n)也是T的不變子空間.9.設(shè)矩陣空間R22的子集V={X=(xij)

x11+x22=0}(1)驗(yàn)證V是R22的子空間，并求V的一個(gè)基。西北工業(yè)大學(xué)矩陣論復(fù)習(xí)(2)給定V中的變換T：TX=X+XT(XV),驗(yàn)證T是線性變換。(3)求T的全體特征值與特征向量。9.給定線性空間V6的基x1,x2,,x6及線性變換T：Txi=xi+2x7-i

（1）求T的全部特征值與特征向量；（2）判斷是否存在另一個(gè)基，使T在該基下的矩陣是對(duì)角矩陣？若存在，把它構(gòu)造出來(lái)。西北工業(yè)大學(xué)矩陣論復(fù)習(xí)V中的線性變換為T(X)=XP+XT,

任意X

V，

1.給出子空間V

的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基；

2.驗(yàn)證T是V

中的對(duì)稱變換；

3.求V

的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，使T

在該基下的矩陣為對(duì)角矩陣.

10.已知?dú)W式空間R22

的子空間中的內(nèi)積為

西北工業(yè)大學(xué)矩陣論復(fù)習(xí)第2章范數(shù)理論向量范數(shù)

1.定義2.結(jié)論：lp范數(shù)

3.等價(jià)性二.矩陣范數(shù)

1.定義2.結(jié)論：

3.等價(jià)性西北工業(yè)大學(xué)矩陣論復(fù)習(xí)習(xí)題：證明：Cnn

中的矩陣范數(shù)與等價(jià).證明:Cnn

中的矩陣范數(shù)與Cn中的向量范數(shù)相容。3.設(shè)A=(aij)mn,定義實(shí)數(shù)證明：是Cmn中的矩陣范數(shù)，且與向量的2-范數(shù)相容.西北工業(yè)大學(xué)矩陣論復(fù)習(xí)4.設(shè)可逆矩陣SRnn,且是Rn中的向量范數(shù).若表示Rnn中從屬于向量范數(shù)的矩陣范數(shù)，試導(dǎo)出與矩陣2-范數(shù)之間的關(guān)系.5.設(shè)Vn

是數(shù)域R上的線性空間，xVn在基(I)x1,x2,,xn下的坐標(biāo)為

=(a1,a2,an)T.(1)證明：是Vn中的向量范數(shù)。

(2)設(shè)xVn在基(II)y1,y2,,yn下的坐標(biāo)為

=(b1,b2,bn)T,且由基(I)到基(II)的過(guò)渡矩陣為C，西北工業(yè)大學(xué)矩陣論復(fù)習(xí)證明：

C為正交矩陣.6.給定矩陣A,BCnn,且B可逆，定義驗(yàn)證是Cn中的向量范數(shù)。7.設(shè)，證明西北工業(yè)大學(xué)矩陣論復(fù)習(xí)第3章矩陣分析及其應(yīng)用矩陣序列{Ak}矩陣級(jí)數(shù)收斂

(A)<r矩陣函數(shù)(定義，AB=BA

eAeB=eA+B)矩陣的微積分()一階線性常系數(shù)（非）齊次微分方程組dx/dt=Ax,通解：x(t)=etAcdx/dt=Ax+b通解：x(t)=etAc+etA西北工業(yè)大學(xué)矩陣論復(fù)習(xí)習(xí)題：設(shè)n階方陣A

不可逆，則cosA亦不可逆。()設(shè)A是n階Householder矩陣，則cos(2A)=已知，判定收斂的根據(jù)是(),冪級(jí)數(shù)的和是().4.已知,則矩陣冪級(jí)數(shù)是(),其理由是().5.設(shè)，則矩陣冪級(jí)數(shù)是().西北工業(yè)大學(xué)矩陣論復(fù)習(xí)6.已知,則sin(At)=().7.設(shè)(aR),則矩陣冪級(jí)數(shù)收斂a().8.設(shè)，

,則西北工業(yè)大學(xué)矩陣論復(fù)習(xí)

（）.9.設(shè)A是可逆矩陣，則().10.已知

(1)求etA;(2)用矩陣函數(shù)的方法求微分方程滿足初始條件x(0)=(0,1,1)T的解.西北工業(yè)大學(xué)矩陣論復(fù)習(xí)11.設(shè)X=(xij)nnRnn,則().12.已知求A.13.已知求

A.西北工業(yè)大學(xué)矩陣論復(fù)習(xí)第4章矩陣分解三角分解（LU，LDU，Doolittle，Croute，choclesky）存在

A的i階順序主子式(0<i<n)不為零。二.QR分解存在三.滿秩分解四.奇異值分解西北工業(yè)大學(xué)矩陣論復(fù)習(xí)習(xí)題：設(shè)Hm是m階Householder矩陣，In-m是n-m階單位矩陣(m<n)，則是n階Householder矩陣.2.設(shè)Tm是m階Givens矩陣,In-m是n-m階單位矩陣(m<n)，則是n階Givens矩陣.3.用Householder變換求西北工業(yè)大學(xué)矩陣論復(fù)習(xí)的QR分解.4.用Givens變換求矩陣QR分解。西北工業(yè)大學(xué)矩陣論復(fù)習(xí)5.設(shè)ARnn的特征值是

1,2,,n,且AT=A.若BRnn與A正交相抵，則B的奇異值是().西北工業(yè)大學(xué)矩陣論復(fù)習(xí)第5章特征值的估計(jì)及對(duì)稱矩陣的極性Gerschgorin定理二.實(shí)對(duì)稱矩陣的Rayleigh商三.A相對(duì)B的廣義Rayleigh商四.矩陣的直積(A

B

)

西北工業(yè)大學(xué)矩陣論復(fù)習(xí)結(jié)論：1.R(x)的駐點(diǎn)的值是A的特征值(廣義),駐點(diǎn)是對(duì)應(yīng)的特征向量。2.若

1

2

n，則

(A)(AB)(CD)=(AC)(BD)(AB)-1=A-1B-1西北工業(yè)大學(xué)矩陣論復(fù)習(xí)6.f(A,B)=的特征值為f(

i,j).其中

i，j

分別為矩陣A，B的特征值。7.(A

B)(B

A)8.若P-1AP=B,Q-1CQ=D,則

(P

Q)-1(A

C)(P

Q)=B

D9.AXB=D(A

BT)vecX=vecD西北工業(yè)大學(xué)矩陣論復(fù)習(xí)習(xí)題：用Gerschgorin定理分離矩陣的特征值，并在復(fù)平面上畫(huà)圖表示。2.用Gerschgorin定理證明對(duì)角占優(yōu)矩陣可逆.3.用Gerschgorin定理證明西北工業(yè)大學(xué)矩陣論復(fù)習(xí)能夠相似于對(duì)角矩陣，且A的特征值都是實(shí)數(shù).西北工業(yè)大學(xué)矩陣論復(fù)習(xí)4.用Gerschgorin定理分離矩陣的特征值(要求畫(huà)圖表示),并根據(jù)實(shí)矩陣特征值的性質(zhì)改進(jìn)所得結(jié)果。5.用Gerschgorin定理說(shuō)明至少有兩個(gè)實(shí)特征值.西北工業(yè)大學(xué)矩陣論復(fù)習(xí)6.設(shè)A=diag(1,2,,n),m階矩陣B的特征值是

1,2,,m,(m>1),則A

B的特征值是（）。7.已知矩陣Amn,Bnm及Cmm，則方程組AXB=C有解的充分必要條件是（）。8.設(shè)A，B都是酉矩陣，則(AH

B)(A

BH)=().9.設(shè)ACnn,有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量

1,2,n,則A

A的n2個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量是（）。西北工業(yè)大學(xué)矩陣論復(fù)習(xí)10.設(shè)x是m維列向量，y是n維列向量，則().11.已知，則A

I+A2

A的全體特征值為().12.設(shè)xRn是單位列向量，ARnn是正交矩陣，則13.已知A與B的特征值分別為

1,2,,n與

1,1,,n,則矩陣方程A2X+XB2-2AXB=O,有非零解的充要條件是().西北工業(yè)大學(xué)矩陣論復(fù)習(xí)第6章廣義逆投影與正交投影

P是投影矩陣

P2=P；

P是正交投影矩陣

P2=P，PH=P。二.廣義逆的