【第一組】寶山

20.已知片、居分別為橢圓「：?+：/=1的左、右焦點，例為「上的一點.

(1)若點〃的坐標(biāo)為(1,小)(相>0),求△耳咽的面積；

(2)若點M的坐標(biāo)為(0,1),且直線>=自一,(ZeR)與「交于兩不同點A、B,

求證：加月為定值，并求出該定值；

(3)如圖，設(shè)點A/的坐標(biāo)為(s,f),過坐標(biāo)原點。作圓V:(x-s)2+(y-/尸=，(其中r

為定值，0<r<1,且|s|Hr)的兩條切線，分別交「于點P、Q,直線QP、OQ的斜率

分別記為勺、k2,如果左他為定值，試問：是否存在銳角。，使得2IOPHOQ如5-sec6?

若存在，試求出。的一個值；若不存在，請說明理由.”

【第二組】崇明

丫2

20.已知橢圓「：二+V=1的左右頂點分別為A、B,P為直線x=4上的動點，直線由

4,

與橢圓「的另一交點為C,直線依與橢圓「的另一交點為D.

(1)若點C的坐標(biāo)為(0,1),求點尸的坐標(biāo)；

(2)若點尸的坐標(biāo)為(4』)，求以8。為直徑的圓的方程；

(3)求證：直線CD過定點.

【第三組】虹口

20.已知點4一1,0)、5(1,0),直線/:℃+勿+c=0(其中a,仇ceR),點P在直線/上.

(1)若a、b、c是常數(shù)列，求|P3|的最小值；

(2)若。、。、c是成等差數(shù)列，且P4JJ,求|PB|的最大值；

(3)若a、b、c是成等比數(shù)列，且R4_U,求|PB|的取值范圍.

AOBx

【第四組】普陀

is.雙曲線r：藍(lán)-'=1的左、右焦點分別為耳、F2,直線/經(jīng)過F2且與r的兩條漸近線

中的一條平行，與另一條相交且交點在第一象限.

(1)設(shè)尸為「右支上的任意一點，求|2耳|的最小值；

(2)設(shè)。為坐標(biāo)原點，求。到/的距離，并求/與「的交點坐標(biāo).

【第五組】長寧

18.設(shè)拋物線r：y2=4x的焦點為F,直線-〃=0經(jīng)過尸且與「交于A、B兩點.

(1)若［45|=8,求〃?的值；

(2)設(shè)。為坐標(biāo)原點，直線AO與「的準(zhǔn)線交于點C,求證：直線平行于x軸.

【第六組】徐匯

22

18.設(shè)橢圓+二=1（帆＞0）的兩個焦點分別為是耳、居，〃是橢圓上任意一點,

nr+1nr'2

△耳Mg的周長為2+2JL

（1）求橢圓的方程；

（2）過橢圓在y軸負(fù)半軸上的頂點5及橢圓右焦點F2作一直線交橢圓于另一點N,

求/耳松的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）.

【第七組】閔行

22

20.已知橢圓「：「+二=1(&>〃>())過點(0,2),其長軸長、焦距和短軸長三者的平

ab~

方依次成等差數(shù)列，直線/與x軸的正半軸和y軸分別交于點。、P,與橢圓「相交于兩點

M、N,各點互不重合，且滿足P必=4知。，PN=^2NQ.

(1)求橢圓「的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線/的方程為y=—x+l,求;+?的值；

(3)若4+4=-3,試證明直線/恒過定點，并求此定點的坐標(biāo).

【第八組】青浦

20.已知動點用到直線x+2=0的距離比到點尸(1,0)的距離大1.

(1)求動點用所在的曲線C的方程；

(2)已知點P(l,2),A、8是曲線C上的兩個動點，如果直線P4的斜率與直線P8的斜

率互為相反數(shù)，證明直線AB的斜率為定值，并求出這個定值；

(3)已知點P(l,2),A、8是曲線C上的兩個動點，如果直線Q4的斜率與直線P8的斜

率之和為2,證明：直線4?過定點.

【第九組】嘉定

20.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知橢圓「：二+[=1（?！盗Γ?）的長軸長為6,且經(jīng)過

Q-b~

點?！?6），A為左頂點，8為下頂點，橢圓上的點F在第一象限，PA交y軸于點C，PB

交x軸于點D.

（1）求橢圓「的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若。月+20^=6,求線段AP的長；

（3）試問：四邊形A8DC的面積是否為定值?

若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

【第十組】浦東

2

20.已知橢圓G:1+y2=1,F「居為C1的左、右焦點.

（1）求橢圓G的焦距；

（2）點。（四,學(xué)）為橢圓G一點，與OQ平行的直線/與橢圓G交于兩點A、B,

若△Q45面積為1,求直線/的方程；

（3）已知橢圓C,與雙曲線。2：/一V=1在第一象限的交點為），橢圓孰和雙曲

線C2上滿足|x|>|X,”|的所有點（x,y）組成曲線C,若點N是曲線C上一動點，求NR-NF2

的取值范圍.

【第十一組】楊浦

20.設(shè)A、4分別是橢圓r：「+y2=1(a>1)的左、右頂點，點3為橢圓的上頂點.

a~

(1)若A滴?4月=—4,求橢圓「的方程；

(2)設(shè)。=應(yīng)，居是橢圓的右焦點，點Q是橢圓第二象限部分上一點，若線段尸2。的

中點M在y軸上，求的面積；

(3)設(shè)a=3,點P是直線x=6上的動點，點。和。是橢圓上異于左右頂點的兩點，

且C、。分別在直線班和時上，求證：直線8恒過一定點.

【第十二組】松江

22

20.已知橢圓「二+與=1的右焦點坐標(biāo)為(2,0),且長軸長為短軸長的正

ab"

倍，直線/交橢圓「于不同的兩點M和N.

(1)求橢圓「的方程；

(2)若直線/經(jīng)過點P(0,4),且△OMN的面積為2血，求直線/的方程；

(3)若直線/的方程為y=fcv+r(人工0)，點M關(guān)于x軸的對稱點為直線MN、

分別與x軸相交于P、。兩點，求證：|OP|“OQ|為定值.

【第十三組】金山

20.已知點尸在拋物線C：V=4x上，過點P作圓M:(x—3)2+y2=/(0<r<V2)的

兩條切線，與拋物線C分別交于A、B兩點，切線R4、PB與圓〃分別相切與點E、F.

(1)若點P到圓心"的距離與它到拋物線C的準(zhǔn)線的距離相等，求點P的坐標(biāo)；

(2)若點P的坐標(biāo)為(1,2),且「=&時，求在?尸戶的值：

(3)若點P的坐標(biāo)為(1,2),設(shè)線段AB中點的縱坐標(biāo)為f,求/的取值范圍.

【第十四組】靜安

16.如圖所示，定點尸到定直線/的距離板=3.動點尸到定點尸的距離等于它到定直線

/距離的2倍.設(shè)動點P的軌跡是曲線

（1）請以線段M尸所在的直線為x軸，以線段上的某一點為坐標(biāo)原點0,建立適當(dāng)?shù)?/p>

平面直角坐標(biāo)系xQy,使得曲線「經(jīng)過坐標(biāo)原點0,并求曲線「的方程；

（2）請指出（1）中的曲線「的如下兩個性質(zhì)：①范圍；②對稱性.并選擇其一給予證明.

（3）設(shè)（1）中的曲線「除了經(jīng)過坐標(biāo)原點0,還與x軸交于另一點C,經(jīng)過點尸的直線

加交曲線「于A、8兩點，求證：C41CB.

【第十五組】黃浦

222r2

20.定義：已知橢圓二+二=1(a>b>0),把圓d+y2=-^r稱為該橢圓的協(xié)同

a~b~。+。~

22

圓，設(shè)橢圓C:二+匕=1的協(xié)同圓為圓O(O為坐標(biāo)系原點)，試解決下列問題：

42

(1)寫出協(xié)同圓圓。的方程；

(2)設(shè)直線/是圓。的任意一條切線，且交橢圓C于A、B兩點,求。4?。分的值；

(3)設(shè)M、N是橢圓C上的兩個動點，且過點。作O〃_LA/N,交直線

MN于-H點、,求證：點H總在某個定圓上，并寫出該定圓的方程.

【第一組】

20.(1)m=—fS=-；(2)定值為0；(3)不存在.

22

【第二組】

20.(1)P(4,3)；(2)(x-l)2+(y+1)2=|；(3)(1,0).

【第三組】

20.(1)V2；(2)P的軌跡％2+(>+1)2=2,最大值2vL(3)(l,+oo).

【第四組】

4127

18.(1)9；(2)

1040

【第五組】

18.設(shè)A(X1,y),B(x2,y2),

(1)F(l,0),得：n=l,……2分

直線/的方程X=")，+1代入>2=4x得：y2-4tnyx-4=0,

，X+>2=4〃2，%%二-4，...4分

22

IAB|=^Xt-x2)+(yt-y2)=&府+D((y+一盯%)=4(加？+1)=8,

m=±l....7分

(2)拋物線V=4x的準(zhǔn)線方程為工二一1,……8分

設(shè)C(—l,%)，由04的方程為〉=工工得：%=—-巴，……11分

王斗X

4

由(1)知：y}y2=-4,即必=----，...13分

3c平行于工軸?....14分

【第六組】

gA

18.(1);——Fy2=1；(2)arccos—.

2.5

【第七組】

x2y2Q

20.(1)一+2-=1；(2)--；(3)(2,0).

124

【第八組】

20.(1)已知動點〃到直線x+2=0的距離比到點尸(1,0)的距離大1,等價于動點用到直

線x=T的距離和到點F(l,0)的距離相等，

由拋物線的定義可得曲線C的方程為丁=4x.

(2)設(shè)直線Q4的斜率為左，

?.?直線Q4的斜率與直線依的斜率互為相反數(shù)，，直線依的斜率為-％,

則/PA:y—2=k(x—1),IpB:y—2=—/r(x—1),

[y—2=k(x—l)

《二n6?一一4%+8=o或M7x??-(2k2?-4k+4)x+(2—幻9？二。，

[y=4x

(2-k}24-2*

即+(24-4)](y-2)=0,A可得AQ------)，

k~k

y—2=-k(x-1)

,n砂？+4y—4左一8=()或％2為2—(2女2+4k+4)x+(左+2)2=0,

{y=4x

即[炒+Qk+4)](y-2)=0,二可得B(^(~?+JkV-,---A---?-k)，

k-k

-4-2k4-2k

/.kAB=—J----J=—l,即直線AB的斜率為定值—1.

2

AB(2+k)(2-左了

nee~

(3)設(shè)直線24的斜率為Z,...直線依的斜率為2-Z,

則/?。簓—2=k(x—1),IPR:y—2=—k{x—1),

y-2=左(x—l)

n妙?一4y-4%+8=0,

y2=4x

。一“)2A_Dk

即出+Qk-4)](y-2)=0,/.可得A(，J,——),

kk

j-2=(2-^)(x-l))

同理得：《，=(2—左?2一4曠+4左=0,

y=4x

k22k

即[(2-k)y-2kKy-2)=0,可得,

9(2-k)2-k

2k4-22

2-k^k_k(k-2)

k2(2-A:>一二―2Z+2

(2-k)2le~

.,2kk(k-2).k2.k(k-2)

??l-y------=—；--------(x-------7)y=(x+1),

A"R-2-kk2-2k+2Q—左)k2-2k+2

直線AS恒過(-1,0).

【第九組】

20.（1）三+二=1；（2）AP=配叵；（3）四邊形ABCD的面為定值6.

945

【第十組】

20.(1)273；(2)y=-x±l；(3)[--,+oo).

'25

【第十一組】

20.(1)4(一兄0)，&(。，0)，8(0,1)，……1分

UUUUUL1UUllUUU

AB=(a,l),AB==—/+l=—4,解得：a2=5,……3分

2

即橢圓r的方程為三+V=1..........4分

5

2

(2)橢圓的方程為]+丁=1,由題意工(1,0)...........6分

設(shè)。（々，為），由線段入。的中點在y軸上，xQ=-\t

代入橢圓方程得：“=￥，即。（一1，］），……8分

SvF/0=Svg”+Svp0M=（（1一日）,2=1一手.....1

771

（3）證明：由題意4（—3,0）,4（3,0）,設(shè)點尸的坐標(biāo)為（6,加），直線班：y=—（X+3），

9

與橢圓方程聯(lián)立消去y得：（9+m2）/+6病犬+9〉-81=0,……12分

-3，/+273m2-3-2m

由韋達(dá)定理％=c（串偌）‘同理a），…14分

9+m2l+/n21+m2

當(dāng)左=/，即二3"+27=3〃廠三3,即加2=3時，直線CO方程為x=』,15分

9+m21+m22

-2m4m3m2-3

當(dāng)％w時,直線CO:y-3(3-小2)(入-1+病

1+m2

4"？33

化簡得：丁=房%(》—$，恒過點(=,())，16分

3(3-m)22

綜上：直線CO恒過點g,0).

【第十二組】

20.(1)由題意得：a=y/2b,a2—b1=4,...2分

22

解得：a=20,人=2,J橢圓「的方程為土+匕=1..........4分

84

(2)設(shè)點/、N的坐標(biāo)為時區(qū),%)、N(%,%)，直線/的方程為丁=丘+4,......5分

y=履+4

由方程組42?得：(1+2&2)尤2+16kx+24=0,

X-1

84

.16k24

?.-E'7分

SVOMN=；?4?IN-々I=2依+々)2-4中2=8，:2及，解得:

2

???直線/的方程為'=±*士x+4..........10分

(3)由題意知：M'點的坐標(biāo)為y),……11分

22

將》=履+，代入二+匕=1得：(2k2+l)x2+4ktx+2r-8=0,

84

.4kt2廠一8t

..x.+x=-------7,x,x=------,y+必=4(用+/)+2￡=--——，..

91+2及21-71+2二721272公+]

對于直線丁=履+/，令y=()得：x——,|OP|=|—...14分

kk

對于直線〃TV：y—力=①土工"一》2),

'X2f

令y=()得：*=一)，2("內(nèi))+0=]%+/%=X|(5+f)+X2(3+f)

%+乂%+乂

_2kx{x24-r(x)+^2)_3k

8*t8/

--\OQ\=\——I，|OP|-|C)eH--|l——1=8.16分

tkt

【第十三組】

20.解：(1)設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,y),

y2=4xx=2x=2

則《，解得/-或.3分

[y=2夜」=-2忖

J(x-3)2+y2=U+H

即點P的坐標(biāo)為(2,2&)或(2,-2近)；..................4分

(2)當(dāng)點尸的坐標(biāo)為(1,2),且r=J5時，收|=J(l—3)2+22=2&,…6分

在直角三角形尸ME中，|PE|=病友=#，且NMPE=30°,.....7分

同理，|PP|=遍，且ZMPE=30°,................8分

從而而?所引噌而|cos/EPF=&xJ^xcos6()°=3；.....9分

(3)由題意知切線24、/>8的斜率均存在且不為零,

設(shè)切線方程為y—2=-x—1),……10分

由甲+2I.=r,得(4一產(chǎn))父+8Z+4一尸=0,

,,8

k\+k2=~~~

記切線24、PB的斜率分別為占、k2,貝心r—4，12分

=1

由于切線抬、PB的方程分別為y—2=仁。一1)、y-2=k2(x-l),

v2=4尤,

聯(lián)立，消去x,得4/一4^+8-4占=(),

y-2=kt(x-l)

44

設(shè)A(%，x)、B(x2,y,),則2+y=丁，故--2,

&&

4

同理，y2-----2)...........................14分

k2

于是,=臂十/2=,一2=號一2/10,—6),

即/的取值范圍是［-10,-6).16分

【第十四組】

16.解：（1）在線段ME上取點0,使得0/=2加0,以點。為原點，以線段所在

的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy.（2分）

設(shè)動點P的坐標(biāo)為（x,y）,則有M（—1,0）,

尸（2,0）,由題意，有1A

----r

7（X-2）2+/=2|X+1|,\

整理得：3x2+Ux-y2=0.①（4分）'\、

~M~F->X

（2）①范圍：xNO或x<-4,曲線r

位于直線x=0與x=T兩側(cè).（1分）

②對稱性：

曲線「關(guān)于y=0成軸對稱；（1分）

曲線「關(guān)于％=-2成軸對稱；（1分）

曲線「關(guān)于（一2,0）成中心對稱.（1分）

范圍證明：

3（x+2）2-V=設(shè)，3（x+2）2=/+12>12.