2020-2021中考專題復(fù)習(xí)：等腰三角形

一、選擇題

1.一個(gè)等腰三角形兩邊的長(zhǎng)分別為限和田，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為（）

A.10小+3小B.5/+6啦

C.10小+36或54+6y[2D.無(wú)法確定

2.

(2020.臨沂)如圖，在A/U3C中，AB=AC,NA=40。，CD//AB,則

NBCD=()

A.40°B.50°C.60°.D.70°

3.

如圖，在AABC中，AB=AC=5,BC=6,點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，MN，AC于點(diǎn)N

,則MN等于（）

A-5B5

4.（2020.畢節(jié)）已知等腰三角形兩邊的長(zhǎng)分別為3和7,則此等腰三角形的周

長(zhǎng)為（）

A.13B.17C.13或17D.13或10

5.（2020.煙臺(tái)）量角器測(cè)角度時(shí)擺放的位置如圖所示，在aAOB中，射線OC

交邊A8于點(diǎn)。，則NAOC的度數(shù)為（）

A.60°B.70°C.80°D.85°

6.一條船從海島A出發(fā)，以15海里/時(shí)的速度向正北航行，2小時(shí)后到達(dá)海島B

處.燈塔C在海島在海島A的北偏西42。方向上，在海島B的北偏西84。方向上.

則海島B到燈塔C的距離是（）

A.15海里B.20海里C.30海里D.60海里

7.（2019?梧州）如圖，OE是△ABC的邊A8的垂直平分線，。為垂足，DE交AC

于點(diǎn)E,且AC=8，BC=5,則△5EC的周長(zhǎng)是

A.12B.13

C.14D.15

8.

如圖，在△ABC中，AB=AC,BC=12,E為AC邊的中點(diǎn)，線段BE的垂直平分

線交邊于點(diǎn)D設(shè)8。=無(wú)，tan/AC8=y,則（）

B.2x-7=9

C.3x—/=15D.4x~y2=21

二'填空題

9.已知等腰三角形的底角是30。，腰長(zhǎng)為2內(nèi)，則它的周長(zhǎng)是.

10.如圖，將AABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)150。，得到△AOE,這時(shí)點(diǎn)8,C,。恰

好在同一直線上，則N8的度數(shù)為

E

11.如圖，△ABC是等腰三角形,AB=AC,NBAO45。，點(diǎn)。在AC邊上，將△A3。

繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到△AQT,且點(diǎn)少，D,B在同一直線上，則NA8D的

度數(shù)是.

12.定義:等腰三角形的頂角與其一個(gè)底角的度數(shù)的比值人稱為這個(gè)等腰三角形的

“特征值”.若等腰三角形ABC中，NA=80。，則它的特征值上.

13.

如圖，在AABC中，AB=AC,E為的中點(diǎn)，BD1AC,垂足為。.若NEAO=2

0°,則'

14.如圖，等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,分別連接AP,BP,CP,若AP=6,BP=8,

CP=10,貝ISAABP+SABPC=-

15.（2019?哈爾濱）在△ABC中，ZA=50°,NB=30。，點(diǎn)。在AB邊上，連接CO,

若△ACD為直角三角形，則NBCO的度數(shù)為.

16.一個(gè)等腰三角形的一邊長(zhǎng)是2,一個(gè)外角是120。，則它的周長(zhǎng)是.

三、解答題

17.

已知：如圖，B,E,F,。四點(diǎn)在同一條直線上，AB=DC,BE=CF,

C.求證：OA=OD.

18.(2020?廣東)如題20圖，在△ABC中，點(diǎn)O、E分別是A8、AC邊上的點(diǎn)，BD=CE,

ZABE=ZACD,BE與CD相交于點(diǎn)凡求證：△ABC是等腰三角形.

19.如圖，在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,。是AB邊上一點(diǎn)(點(diǎn)。與A,B

不重合)，連接CD,將線段CD繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。得到線段CE,連

接DE交于點(diǎn)F,連接BE.

(1)求證:△

(2)當(dāng)/時(shí)，求尸的度數(shù).

20.

如圖，在四邊形A8CD中，ZDAB=ZABC=90°,AB=BC,E是A3的中點(diǎn)，CE

±BD,連接AC交。E于點(diǎn)M.

⑴求證：AD=BE；

(2)求證：AC是線段EO的垂直平分線；

是等腰三角形嗎？說(shuō)明理由.

21.(2020.荊門)如圖，△ABC中，AB=AC,NB的平分線交AC于D,AE//BC

交8。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,AFL43交BE于點(diǎn)凡

(1)若NBAC=40。，求NAFE的度數(shù)；

(2)若AO=OC=2,求AF的長(zhǎng).

22.(12分)如圖，在等邊三角形A8C中，點(diǎn)E是邊AC上一定點(diǎn)，點(diǎn)。是直

線8c上一動(dòng)點(diǎn)，以。E為一邊作等邊三角形。EE連接CE

【問(wèn)題解決】

如圖1,若點(diǎn)。在邊上，求證：CE+CF=CD；

【類比探究】

如圖2,若點(diǎn)。在邊3c的延長(zhǎng)線上，請(qǐng)?zhí)骄烤€段CE,CF與CO之間存在怎樣

的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由.

BC

B

圖1S2

2020-2021中考專題復(fù)習(xí)：等腰三角形?答案

一、選擇題

1.【答案】［解析］A因?yàn)?=5小，V18=3&?當(dāng)55為腰長(zhǎng)時(shí)，

三角形的周長(zhǎng)為10小+3啦；當(dāng)5小為底邊長(zhǎng)時(shí)，因?yàn)?啦+372=6啦

=［無(wú)>^72<775，所以不能構(gòu)成三角形，故三角形的周長(zhǎng)為10小+3^2.

2.【答案】D

【解析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的等邊對(duì)等角且A8=AC,

ZA=40，可得：ZABC=ZACB=70;然后根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等且

CD//AB可得：NBCD=ZABC=70，所以選D.

3.【答案】C【解析】此題應(yīng)首先連接AM,則AM_LBC.，AM=A/AC2-CM2

=4,然后由三角形面積：SAACM=\AMXCM.SAACM=\

12

ACxMN.得：AMxCM=ACxMN.，MN=5.也可以利用△ACMsaMCN.得：

ACAM.AMxCM12

CM=MN'，，MN=-AC-=亍

4.【答案】B,

【解析】本題考查等腰三角形的三邊關(guān)系.

解：分兩種情況討論：若3為底邊，腰長(zhǎng)為7,則此等腰三角形的周長(zhǎng)為3+7

+7=17；

若7為底邊，腰長(zhǎng)為3,則此等腰三角形不存在，因?yàn)?+3V7,不符合三角形

的三邊關(guān)系，

故選B.

5.【答案】?.?0A=03,NAOB=140°,

1

/.ZA=ZB=2(180°-140°)=20°,

,/ZAOC=60°,

ZADC=ZA+ZAOC=20°+60°=80°,

故選：C.

6.【答案】C

【解析】根據(jù)題意畫圖，如圖，NA=42。，ZDBC=84°,AB=15x2=30(海里),

，ZC=ZDBC-ZA=42°,BC=BA=30（海里）.

7.【答案】B

【解析】???。石是△ABC的邊A8的垂直平分線，,：

AC=8,BC=5,.?.△BEC的周長(zhǎng)是：

BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC=13.故選B.

8.【答案】8

【解析】連接DE,過(guò)點(diǎn)A作AFLBC,垂足為E過(guò)E作EGLBC,垂足為G；A

B=AC,AF1BC,BC=12,，BF=FC=6,又是AC的中點(diǎn)，EG±BC,

，EG〃AF,.*.CG=FG=1

CF=3,?.,在心^CEG中，fa〃C=黑，/.EG=CG^tanC=3y；/.DG=BF+FG

—BD=6+3—x=9—x,=HD是BE的垂直平分線，；.BD=DE=x,:在RdE

GD中，由勾股定理得，ED2=DG2+EG2,.,.x2=(9-x)2+(3y)2,化簡(jiǎn)整理得，

2x-y2=9.

二、填空題

9.【答案】6+43［解析］過(guò)等腰三角形的頂點(diǎn)作底邊的垂線，設(shè)底邊為2a,那么

cos30°=^?所以a=3,所以周長(zhǎng)=6+4祗

10.【答案】15。［解析］???△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)150。得到△ADE,

：.ZBAD=150°,XABC出MADE,AB=AD,

C.^BAD是等腰三角形，

，ZB=ZADB=^(180°-ZBAD)=15°.

11.【答案】22.5°［解析］根據(jù)題意可知△A3。之△ACO',.?.NBAC=NC4￡>'=45°,

AD'=AD,

1800-45°

，ZADD'=ZAD'D=—'—=67.5°.

VD;D,B三點(diǎn)在同一直線上，

，ZABD=ZADD'-ZBAC=22.5°.

O1

12.【答案】《或*［解析］①當(dāng)NA為頂角時(shí)，等腰三角形兩底角的度數(shù)

為:-2—=50°,

二特征值\=券=*

)0。1

②當(dāng)NA為底角時(shí)，頂角的度數(shù)為:180。-80。-80。=20。，，特征值上孟=7

故答案為|或;.

13.【答案】50［解析］:AB=AC,E為BC的中點(diǎn)，

/.ZBAE=ZEAD=20°.ZBAD=40°,

又YBD，AC,NABD=90。一/BAD=90。-40°=50°.

14.【答案】16亞24［解析］將4ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。到^CBP',連接PP',

所以PC=%=6,BP=BP',NPBP，=60。,所以△BPP是等邊三角形，其邊長(zhǎng)BP

為8,

所以PP'=8,S&BPP=166,

因?yàn)镻C=10,所以PP/pcZuPC2,

所以△PP'C是直角三角形，S“P，C=24,所以

SAABP+SABPC=SABPP+SAPPC=16524.

15.【答案】60°或10°

【解析】分兩種情況：

①如圖1,當(dāng)乙4。。=90。時(shí),

D

B圖1c

ZB=30°,/BCD=90°-30°=60°；

②如圖2,當(dāng)NACO=90。時(shí)，

?.?/A=50°,ZB=30°,=180°-30°-50°=100°,

，ZBC￡>=100o-90o=10°,

綜上，則/BCD的度數(shù)為60。或10。.故答案為：60?；?0。.

16.【答案】6［解析］

已知三角形的一外角為120。，則相鄰內(nèi)角度數(shù)為60。，那么含有60。角的等腰三

角形是等邊三角形.已知等邊三角形的一邊長(zhǎng)為2,則其周長(zhǎng)為6.

三、解答題

17.【答案】

證明：VBE=CF,

.,.BE+EF=CF+EF,即BF=CE.

AB=DC,

在4ABF和4DCE中，＜NB=NC,

,BF=CE,

.,.△ABF^ADCE.

/.AF=DE,ZAFB=ZDEC.

/.OF=OE.

.,.AF-OF=DE-OE,即OA=OD.

18.【答案】

證明：在4BFD和4CFE中，NABE=NACD,NDFB=NCFE,BD=CE,

.?.△BFD絲△CFE(AAS).，NDBF=NECF.YNABE=/ACD；.NDBF+NABE=

ZECF+ZACD.

.,.ZABC=ZACB.AAB=AC.A△ABC是等腰三角形.

【解析】先利用三角形邊邊角的判定方法證明NDBF=NECF,再根據(jù)等式的性

質(zhì)，加上相等角得到NABC=NACB,等角對(duì)等邊，得到AB=AC.根據(jù)等腰三角

形定義得到△ABC是等腰三角形.

19.【答案】

解:(1)證明:?.?線段C。繞點(diǎn)。按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。得到線段CE,

：.ZDCE=9Q°,CD=CE.

又,/ZACB=90°,，ZACB=ZDCE,

：./ACD=NBCE.

'CD=CE,

在△ACO和△BCE中，：5個(gè)巴二"BCE,

,AC—BC,

/.△ACD^ABCE.

(2)VZACB=90°,AC=BC,

：.NA=45。，

?.?△ACO絲△BCE,

：.AD=BE,ZCBE=ZA=45°.

又AD=BF,：.BE=BF,

1800-45°

二ZBEF=ZBFE=-—=67.5°.

20.【答案】

解：(1)證明：VZABC=90°,

.,.ZABD+ZDBC=90°.

VCE1BD,

.,.ZBCE+ZDBC=90°.

/.ZABD=ZBCE.

在ADAB和AEBC中，

NABD=NBCE,

AB=BC,

2DAB=NEBC=90°,

.'.△DAB之△EBC(ASA).

AAD=BE.

(2)證明：..任是AB的中點(diǎn)，，AE=BE.

VBE=AD,

，AE=AD.

...點(diǎn)A在線段ED的垂直平分線上.

VAB=BC,ZABC=90°,

.??ZBAC=ZBCA=45°.

,//BAD=90。，

.".ZBAC=ZDAC=45°.

在aEAC和ADAC中，

(AE=AD,

IZEAC=ZDAC,

IAC=AC,

??.△EAC^ADAC(SAS).

，CE=CD.

...點(diǎn)C在線段ED的垂直平分線上.

.??AC是線段ED的垂直平分線.

(3)ADBC是等腰三角形.

理由：由(1)知△DABgAEBC,，BD=CE.

由(2)知CE=CD.

/.BD=CD.

...△DBC是等腰三角形.

21.【答案】

解：(1)：AB=AC,ZBAC=40°,

：.Z/1BC=yx(180°-40°)=70°.

,：BD平分NA3C,ZABD=ZDBC=1x70°=35°.

\'AF±AB,：.ZBAF=90°.

：.ZAFE=ZBAF+NABO=900+35°=125°.

(2)；BD平分NA5C,BD=BD,AD=CD,

.?.△BDA四ABDC.：.AB=BC.

又A8=AC,：.AB=BC=AC.

.'.△ABC為等邊三角形.AZABC=60°,ZABD=30°.

'：AD=DC=2,：.AB=4.

在Rr/XABF中，AR=A83230°=4X坐=羋.

說(shuō)明：此題中的條件AE〃8C是多余的.

【解析】(1)由“等邊對(duì)等角“求出NABC,由角平分線的定義求出NAB。，ZAFE

是△ABE的外角，因此NAFE=N3AF+NA8。；

⑵由BD既是△ABC的角平分線又是中線可知AB=BC,從而推出△ABC是邊長(zhǎng)

為2的等邊三角形.在RfZXABE中可解出AE

22.【答案】

【問(wèn)題解決】在CD上截取CH=CE,易證△CE”是等邊三角形，得出EH=EC

=CH,證明△OE"&△EEC(SAS),得出即可得出