第01講因式分解內(nèi)容導(dǎo)航串講知識(shí)：思維導(dǎo)圖串講知識(shí)點(diǎn)，有的放矢重點(diǎn)速記：知識(shí)點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)梳理，查漏補(bǔ)缺舉一反三：核心考點(diǎn)能舉一反三，能力提升復(fù)習(xí)提升：真題感知+提升專練，全面突破知識(shí)點(diǎn)01因式分解的概念因式分解的定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化成了幾個(gè)整式的積的形式，這樣的式子變形叫做這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.知識(shí)點(diǎn)02提公因式法因式分解①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；注意:挖掘隱含公因式;有時(shí)公因式有顯性完全相同類型，也有隱性互為相反數(shù)的類型。提取公因數(shù)時(shí)，最好能一次性提取完.知識(shí)點(diǎn)03運(yùn)用公式法因式分解運(yùn)用公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；運(yùn)用公式法：a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2?？键c(diǎn)一：判斷是否因式分解例1．（24-25八年級(jí)下·遼寧遼陽·期中）下列等式從左到右的變形是因式分解的是（

）A． B．C． D．【變式1-1】（24-25八年級(jí)下·內(nèi)蒙古包頭·期中）下列等式，從左到右的變形，屬于因式分解的是（

）A． B．C． D．【變式1-2】（2025·貴州畢節(jié)·三模）下列從左到右的變形中，是因式分解的是（

）A． B．C． D．【變式1-3】（24-25七年級(jí)下·浙江杭州·期中）下列由左到右的變形，屬于因式分解的是（

）A． B．C． D．考點(diǎn)二：已知因式分解的結(jié)果求參數(shù)例2.（24-25七年級(jí)下·浙江溫州·期中）若，則常數(shù)．【變式2-1】（24-25七年級(jí)上·上海普陀·期末）已知整式可以因式分解為，如果、、都為整數(shù)，那么的值為．【變式2-2】（24-25八年級(jí)上·新疆巴音郭楞·期末）若多項(xiàng)式能分解成兩個(gè)因式的積，且其中一個(gè)因式為，則的值為．【變式2-3】（24-25八年級(jí)上·河南周口·期中）關(guān)于的代數(shù)式分解因式得，則的值為．考點(diǎn)三：公因式例3.（2025·河南三門峽·二模）把多項(xiàng)式分解因式，應(yīng)提取的公因式為．【變式3-1】（24-25八年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·期中）多項(xiàng)式的公因式是．【變式3-2】（24-25八年級(jí)上·山東泰安·期中）多項(xiàng)式的公因式是．【變式3-3】（23-24七年級(jí)下·湖南株洲·期末）與的公因式是．考點(diǎn)四：綜合提公因式和公式法因式分解例4．（24-25八年級(jí)下·山東青島·期中）把下列各式分解因式：(1)(2)【變式4-1】（24-25八年級(jí)下·陜西西安·階段練習(xí)）因式分解．(1)．(2)【變式4-2】（24-25八年級(jí)下·甘肅張掖·期中）因式分解(1)；(2)；(3)【變式4-3】（24-25八年級(jí)上·山東濱州·期中）分解因式：(1)；(2)；(3)；(4)．考點(diǎn)五：利用因式分解求值例5.（2025·廣東深圳·二模）已知，則．【變式5-1】（24-25七年級(jí)下·山東青島·期中）已知，則．【變式5-2】（2025·河北唐山·二模）若，，則的值為．【變式5-3】（24-25八年級(jí)下·四川·期中）若，則的值為．考點(diǎn)六：十字相乘法因式分解例6.（24-25八年級(jí)上·江西上饒·期末）閱讀下列材料：將分解因式，我們可以按下面的方法解答：解：步驟：①豎分二次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)：，．②交叉相乘，驗(yàn)中項(xiàng)：．③橫向?qū)懗鰞梢蚴剑海覀儗⑦@種用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法．試用上述方法分解因式：(1)；(2)；【變式6-1】（24-25八年級(jí)上·河南漯河·期末）下面是小華學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一篇日記，請(qǐng)認(rèn)真閱讀，并完成后面的任務(wù)．2024年12月12日

陰轉(zhuǎn)晴今天我有一個(gè)新發(fā)現(xiàn)，真是震撼！通過認(rèn)真閱讀“閱讀與思考”的內(nèi)容介紹，我發(fā)現(xiàn)在因式分解中有一類形如二次三項(xiàng)式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三項(xiàng)式的公式為．例如：將二次三項(xiàng)式因式分解，這個(gè)式子的二次項(xiàng)系數(shù)是1，常數(shù)項(xiàng)，一次項(xiàng)系數(shù)，則，如圖所示．任務(wù)：(1)因式分解：．(2)若二次三項(xiàng)式可以分解成兩個(gè)一次因式乘積的形式，求整數(shù)a的所有可能的值．【變式6-2】（24-25八年級(jí)上·遼寧鐵嶺·期末）【閱讀理解】用“十字相乘法”分解因式．Ⅰ．次項(xiàng)系數(shù)．Ⅱ．常數(shù)項(xiàng)，驗(yàn)算：“交叉相乘之和”①，②，③，④．Ⅲ．發(fā)現(xiàn)第③個(gè)“交叉相乘之和”的結(jié)果等于一次項(xiàng)系數(shù)，即，則．像這樣分解因式的方法叫做十字相乘法．【遷移運(yùn)用】仿照此方法，分解因式：(1)；(2)．【變式6-3】（23-24八年級(jí)上·北京東城·期末）利用整式的乘法運(yùn)算法則推導(dǎo)得出：．我們知道因式分解是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關(guān)系可得．通過觀察可把中看作以x為未知數(shù)，a、b、c、d為常數(shù)的二次三項(xiàng)式，此種因式分解是把二次三項(xiàng)式的二次項(xiàng)系數(shù)ac與常數(shù)項(xiàng)bd分別進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸鈦頊愐淮雾?xiàng)的系數(shù)．分解過程可形象地表述為“豎乘得首、尾，叉乘湊中項(xiàng)”，如圖1，這種分解的方法稱為十字相乘法．例如：將二次三項(xiàng)式的二次項(xiàng)系數(shù)2與常數(shù)項(xiàng)12分別進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸?，如圖2，則．根據(jù)閱讀材料解決下列問題：用十字相乘法分解因式：=；(2)用十字相乘法分解因式：=；(3)結(jié)合本題知識(shí)，分解因式：=．考點(diǎn)七：分組分解法因式分解例7．（2025八年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）［閱讀材料］將四項(xiàng)及四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，我們一般使用分組分解法．分組分解法有兩種分法：一是“”分組．二是“”分組．兩種分組的主要區(qū)別就在于多項(xiàng)式中是否存在三項(xiàng)可以構(gòu)成完全平方，若可以構(gòu)成完全平方，則采用“”分組；若無法構(gòu)成，則采用“”分組．例如：；．［應(yīng)用知識(shí)］(1)因式分解：．(2)因式分解：．【變式7-1】（24-25八年級(jí)上·廣東湛江·期末）八年級(jí)課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：將分解因式．【觀察】經(jīng)過小組合作與交流，小明得到了如下的解決方法：原式【類比】（1）請(qǐng)用分組分解法將分解因式．【挑戰(zhàn)】（2）請(qǐng)用分組分解法將分解因式．【變式7-2】（2025·廣東珠?！ざ＃╅喿x理解：分組分解法是分解因式的重要方法之一．請(qǐng)仔細(xì)閱讀以下式子的分解因式：根據(jù)以上三種分組方法進(jìn)行因式分解的啟發(fā)，完成以下題目：(1)分解因式：；(2)分解因式：．【變式7-3】（24-25八年級(jí)下·重慶·期中）閱讀下列材料：某校“數(shù)學(xué)社團(tuán)”活動(dòng)中，研究發(fā)現(xiàn)常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但還有很多的多項(xiàng)式只用上述方法無法分解，如：，細(xì)心觀察這個(gè)式子就會(huì)發(fā)現(xiàn)，前兩項(xiàng)可以提取公因式，后兩項(xiàng)也可提取公因式，前后兩部分分別分解因式后產(chǎn)生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整個(gè)式子的因式分解了，過程為．這種因式分解的方法叫做“分組分解法”，請(qǐng)?jiān)谶@種方法的啟發(fā)下，解決以下問題：(1)分解因式：；(2)分解因式：．考點(diǎn)八：因式分解的應(yīng)用例8.（24-25七年級(jí)下·浙江杭州·階段練習(xí)）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師準(zhǔn)備了若干個(gè)如圖1的三種紙片，A種紙片是邊長(zhǎng)為a的正方形，B種紙片是邊長(zhǎng)為b的正方形，C種紙片是長(zhǎng)為b、寬為a的長(zhǎng)方形．用A種紙片一張，B種紙片一張，C種紙片兩張可拼成如圖2的大正方形．(1)圖2大正方形的面積既可以表示為，又可以表示為，所以可得等式．(2)請(qǐng)利用A型，B型，C型若干張拼出一個(gè)面積為的長(zhǎng)方形，并在圖3的方框中畫出示意圖．研究拼圖發(fā)現(xiàn)可將因式分解為．【變式8-1】（24-25八年級(jí)下·寧夏銀川·期中）先閱讀材料，再回答問題：分解因式：解：將“”看成整體，令、則原式再將還原，得到：原式上述解題過程中用到了“整體思想”，它是數(shù)學(xué)中常用的一種思想．請(qǐng)你用整體思想解決下列問題：(1)因式分解：．(2)因式分解：．(3)知識(shí)運(yùn)用：已知長(zhǎng)方形的兩鄰邊長(zhǎng)分別為，，且滿足，求該長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)．【變式8-2】（24-25八年級(jí)下·廣東揭陽·階段練習(xí)）閱讀材料：利用公式法，可以將一些形如的多項(xiàng)式變形為的形式，我們把這樣的變形方法叫做多項(xiàng)式的配方法，運(yùn)用多項(xiàng)式的配方法及平方差公式能對(duì)一些多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式最大值，最小值等．例如：．例如：求代數(shù)式的最小值．原式．，當(dāng)時(shí)，有最小值是2．根據(jù)以上材料，解答下列問題．(1)分解因式（利用配方法）：；(2)求多項(xiàng)式的最小值；(3)已知a，b，c是的三邊長(zhǎng)，且滿足，求的周長(zhǎng)．【變式8-3】（24-25七年級(jí)下·江蘇無錫·期中）若一個(gè)正整數(shù)x能表示成（a，b是正整數(shù)，且）的形式，則稱這個(gè)數(shù)為“優(yōu)美數(shù)”，a與b是x的一個(gè)平方差分解．例如：因?yàn)?，所?是“優(yōu)美數(shù)”，3與2是5的平方差分解；再如：也是“優(yōu)美數(shù)”．∵（其中x，y是正整數(shù)），所以M也是“優(yōu)美數(shù)”，與y是M的一個(gè)平方差分解．(1)判斷：27是否是“優(yōu)美數(shù)”，如果是，請(qǐng)寫出27的所有平方差分解；如果不是，請(qǐng)說明理由．(2)設(shè)兩個(gè)連續(xù)正奇數(shù)為和（其中n是正整數(shù)），由它們構(gòu)成的“優(yōu)美數(shù)”能被8整除嗎？如果能，請(qǐng)說明理由；如果不能，請(qǐng)舉例說明．(3)已知（x，y是正整數(shù)，k是常數(shù)，且），要使N是“優(yōu)美數(shù)”，請(qǐng)寫出一個(gè)符合條件的一個(gè)k值．一、單選題1．（2025·重慶江津·二模）對(duì)多項(xiàng)式分解因式，正確的選項(xiàng)是（

）A． B． C． D．2．（24-25八年級(jí)下·四川達(dá)州·階段練習(xí)）下列因式分解中，錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．3．（24-25八年級(jí)下·貴州貴陽·期中）若多項(xiàng)式因式分解的結(jié)果為，則的值為（

）A． B． C．19 D．214．（2025·云南·模擬預(yù)測(cè)）若，則的值為（

）A．16 B．4 C．2 D．15．（2025·河南商丘·二模）已知為正整數(shù)，則四個(gè)連續(xù)正整數(shù)可表示為，，，，它們的乘積為，當(dāng)時(shí)，的值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空題6．（2025·廣東清遠(yuǎn)·二模）因式分解：．7．（2025·山東濰坊·一模）因式分解：．8．（24-25八年級(jí)下·重慶綦江·期中）若，，則的值為．9．（2025七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）多項(xiàng)式，，中，它們的公因式是．10．（2025·山東臨沂·二模）定義：若一個(gè)正整數(shù)能表示成兩個(gè)相鄰偶數(shù)，的平方差，即，且的算術(shù)平方根是一個(gè)正整數(shù)，則稱正整數(shù)是“雙方數(shù)”．例如：，，36就是一個(gè)“雙方數(shù)”．若將“雙方數(shù)”從小到大排列，第100個(gè)“雙方數(shù)”為．三、解答題11．（24-25八年級(jí)下·河北保定·期中）因式分解(1)；(2)；(3)12．（2025·寧夏銀川·一模）因式分解：小剛的解題過程如下：第一步……第二步……第三步①請(qǐng)問小剛同學(xué)第一步變形用到的乘法公式是（寫出用字母a，b表示的乘法公式）；②小穎說小剛的步驟中有錯(cuò)誤，小剛第步出現(xiàn)了錯(cuò)誤；③請(qǐng)用小剛的思路給出這道題的正確解法．13．（24-25八年級(jí)下·廣東梅州·期中）閱讀材料：要將多項(xiàng)式分解因式，可以先把它的前兩項(xiàng)分成一組，再把它的后兩項(xiàng)分成一組，從而得到，這時(shí)中又有公因式，于是可以提出，即，我們稱這種方法為分組法．請(qǐng)你利用分組法解答下列問題：(1)解決問題：分解因式．(2)拓展運(yùn)用：已知是的三邊，且滿足，請(qǐng)判斷的形狀并說明理由．14．（24-25八年級(jí)下·四川達(dá)州·期中）我們已經(jīng)學(xué)過將多項(xiàng)式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其實(shí)分解因式的方法還有分組分解法、十字相乘法等．①分組分解法：例如：；②十字相乘法：例如：由圖可得：．(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：①（分組分解法）；②（十字相乘法）；(2)已知a，b，c為的三邊長(zhǎng)，且，求的周長(zhǎng)．15．