...wd......wd......wd...《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》作業(yè)集及答案第1章概率論的根本概念§1.1隨機(jī)試驗(yàn)及隨機(jī)事件1.(1)一枚硬幣連丟3次，觀察正面H﹑反面T出現(xiàn)的情形.樣本空間是：S=；(2)一枚硬幣連丟3次，觀察出現(xiàn)正面的次數(shù).樣本空間是：S=；2.(1)丟一顆骰子.A：出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，則A=；B：數(shù)點(diǎn)大于2，則B=.(2)一枚硬幣連丟2次，A：第一次出現(xiàn)正面，則A=；B：兩次出現(xiàn)同一面，則=；C：至少有一次出現(xiàn)正面，則C=.§1.2隨機(jī)事件的運(yùn)算1.設(shè)A、B、C為三事件，用A、B、C的運(yùn)算關(guān)系表示以下各事件：(1)A、B、C都不發(fā)生表示為：.(2)A與B都發(fā)生,而C不發(fā)生表示為：.(3)A與B都不發(fā)生,而C發(fā)生表示為：.(4)A、B、C中最多二個(gè)發(fā)生表示為：.(5)A、B、C中至少二個(gè)發(fā)生表示為：.(6)A、B、C中不多于一個(gè)發(fā)生表示為：.2.設(shè)：則〔1〕，〔2〕，〔3〕，〔4〕=，〔5〕=?！?.3概率的定義和性質(zhì)，則(1),(2)()=,(3)=.2.則=.§1.4古典概型1.某班有30個(gè)同學(xué),其中8個(gè)女同學(xué),隨機(jī)地選10個(gè),求:(1)正好有2個(gè)女同學(xué)的概率,(2)最多有2個(gè)女同學(xué)的概率,(3)至少有2個(gè)女同學(xué)的概率.2.將3個(gè)不同的球隨機(jī)地投入到4個(gè)盒子中,求有三個(gè)盒子各一球的概率.§1.5條件概率與乘法公式1．丟甲、乙兩顆均勻的骰子，點(diǎn)數(shù)之和為7,則其中一顆為1的概率是。2.則?！?.6全概率公式有10個(gè)簽，其中2個(gè)“中〞，第一人隨機(jī)地抽一個(gè)簽，不放回，第二人再隨機(jī)地抽一個(gè)簽，說明兩人抽“中‘的概率一樣。第一盒中有4個(gè)紅球6個(gè)白球，第二盒中有5個(gè)紅球5個(gè)白球，隨機(jī)地取一盒，從中隨機(jī)地取一個(gè)球，求取到紅球的概率?！?.7貝葉斯公式某廠產(chǎn)品有70%不需要調(diào)試即可出廠，另30%需經(jīng)過調(diào)試，調(diào)試后有80%能出廠，求〔1〕該廠產(chǎn)品能出廠的概率，〔2〕任取一出廠產(chǎn)品,求未經(jīng)調(diào)試的概率。將兩信息分別編碼為A和B傳遞出去，接收站收到時(shí)，A被誤收作B的概率為0.02，B被誤收作A的概率為0.01，信息A與信息B傳遞的頻繁程度為3:2，假設(shè)接收站收到的信息是A，問原發(fā)信息是A的概率是多少§1.8隨機(jī)事件的獨(dú)立性1.電路如圖，其中A,B,C,D為開關(guān)。設(shè)各開關(guān)閉合與否相互獨(dú)立，且每一開關(guān)閉合的概率均為p,求L與R為通路〔用T表示〕的概率。ABLRCD甲，乙,丙三人向同一目標(biāo)各射擊一次，命中率分別為0.4,0.5和0.6，是否命中，相互獨(dú)立，求以下概率:(1)恰好命中一次,(2)至少命中一次。第1章作業(yè)答案§1.11：〔1〕；〔2〕2：〔1〕；〔2〕正正，正反正正，反反正正，正反，反正}?！?.21：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)或；2：(1)；(2)；(3)；〔4〕或；〔5〕?！?.31：(1)=0.3,(2)=0.2,(3)=0.7.2：)=0.4.§1.41：(1),(2)(,(3)1-(.2：.§1.51：.2/6；2：1/4。§1.61：設(shè)A表示第一人“中〞，則P(A)=2/10設(shè)B表示第二人“中〞，則P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=兩人抽“中‘的概率一樣,與先后次序無關(guān)。2：隨機(jī)地取一盒，則每一盒取到的概率都是0.5，所求概率為：p=0.5×0.4+0.5×0.5=0.45§1.71：〔1〕94%〔2〕70/94；2：0.993；§1.8.1：用A,B,C,D表示開關(guān)閉合，于是T=AB∪CD,從而，由概率的性質(zhì)及A,B,C,D的相互獨(dú)立性P(T)=P(AB)+P(CD)-P(ABCD)=P(A)P(B)+P(C)P(D)–P(A)P(B)P(C)P(D)2：(1)0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38；(2)1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88.第2章隨機(jī)變量及其分布§2.1隨機(jī)變量的概念，離散型隨機(jī)變量1一盒中有編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)球，從中隨機(jī)地取3個(gè)，用X表示取出的3個(gè)球中的最大號(hào)碼.,試寫出X的分布律.2某射手有5發(fā)子彈，每次命中率是0.4，一次接一次地射擊，直到命中為止或子彈用盡為止，用X表示射擊的次數(shù),試寫出X的分布律?！?.2分布和泊松分布1某程控交換機(jī)在一分鐘內(nèi)接到用戶的呼叫次數(shù)X是服從λ=4的泊松分布，求(1)每分鐘恰有1次呼叫的概率；(2)每分鐘只少有1次呼叫的概率；(3)每分鐘最多有1次呼叫的概率；2設(shè)隨機(jī)變量X有分布律：X23,Y～π(X),試求：p0.40.6〔1〕P(X=2,Y≤2)；(2)P(Y≤2)；(3)Y≤2,求X=2的概率。§2.3貝努里分布一辦公室內(nèi)有5臺(tái)計(jì)算機(jī)，調(diào)查說明在任一時(shí)刻每臺(tái)計(jì)算機(jī)被使用的概率為0.6，計(jì)算機(jī)是否被使用相互獨(dú)立，問在同一時(shí)刻(1)恰有2臺(tái)計(jì)算機(jī)被使用的概率是多少(2)至少有3臺(tái)計(jì)算機(jī)被使用的概率是多少(3)至多有3臺(tái)計(jì)算機(jī)被使用的概率是多少(4)至少有1臺(tái)計(jì)算機(jī)被使用的概率是多少2設(shè)每次射擊命中率為0.2，問至少必須進(jìn)展多少次獨(dú)立射擊，才能使至少擊中一次的概率不小于0.9§2.4隨機(jī)變量的分布函數(shù)1設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)是：F(x)=求P(X≤0)；P；P(X≥1)，(2)寫出X的分布律。2設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)是：F(x)=,求〔1〕常數(shù)A,(2)P.§2.5連續(xù)型隨機(jī)變量1設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)為：〔1〕求常數(shù)的值；〔2〕求X的分布函數(shù)F(x)，畫出F(x)的圖形，〔3〕用二種方法計(jì)算P(-0.5<X<0.5).2設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為：F(x)=求X的密度函數(shù)，畫出的圖形，(2)并用二種方法計(jì)算P(X>0.5).§2.6均勻分布和指數(shù)分布1設(shè)隨機(jī)變量K在區(qū)間(0,5)上服從均勻分布,求方程4+4Kx+K+2=0有實(shí)根的概率。2假設(shè)打一次所用時(shí)間〔單位：分〕X服從的指數(shù)分布，如某人正好在你前面走進(jìn)亭，試求你等待：〔1〕超過10分鐘的概率；〔2〕10分鐘到20分鐘的概率?！?.7正態(tài)分布1隨機(jī)變量X～N(3,4),(1)求P(2<X≤5),P(-4<X≤10),P(|X|>2),P(X>3)；確定c，使得P(X>c)=P(X<c)。2某產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)X服從正態(tài)分布，μ=160，假設(shè)要求P(120<X<200)≥0.80，試問σ最多取多大§2.8隨機(jī)變量函數(shù)的分布1設(shè)隨機(jī)變量的分布律為；X012p0.30.40.3Y=2X–1,求隨機(jī)變量的分布律。2設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為：，；求隨機(jī)變量Y的密度函數(shù)。3.設(shè)隨機(jī)變量服從〔0，1〕上的均勻分布，，求隨機(jī)變量Y的密度函數(shù)。第2章作業(yè)答案§2.11：X345p0.10.30.62：X12345p0.40.6×0.40.6×0.6×0.40.6×0.6×0.6×0.40.6×0.6×0.6×0.6×1§2.21：(1)P(X=1)=P(X≥1)–P(X≥2)=0.981684–0.908422=0.073262,(2)P(X≥1)=0.981684,(3)P(X≤1)=1-P(X≥2)=1–0.908422=0.091578。2：(1)由乘法公式：P(X=2,Y≤2)=P(X=2)P(Y≤2|X=2)=0.4×()=2〔2〕由全概率公式：P(Y≤2)=P(X=2)P(Y≤2|X=2)+P(X=3)P(Y≤2|X=3)=0.4×5+0.6×=0.27067+0.25391=0.52458〔3〕由貝葉斯公式：P(X=2|Y≤2)=§2.31：設(shè)X表示在同一時(shí)刻被使用的臺(tái)數(shù)，則X～B(5,0.6),(1)P(X=2)=(2)P(X≥3)=(3)P(X≤3)=1-(4)P(X≥1)=1-2：至少必須進(jìn)展11次獨(dú)立射擊.§2.41：〔1〕P(X≤0)=0.5；P=0.5；P(X≥1)=0.5，(2)X的分布律為：X-11P0.50.52：(1)A=1,(2)P=1/6§2.51：〔1〕，〔2〕；〔3〕P(-0.5<X<0.5)=；或=F(0,5)–F(-0.5)=。2：〔1〕〔2〕§2.61：3/52：§2.71：(1)0.5328,0.9996,0.6977,0.5；(2)c=3，2：σ≤31.25?！?.81：Y-113p0.30.40.32：，3：；第3章多維隨機(jī)變量§3.1二維離散型隨機(jī)變量設(shè)盒子中有2個(gè)紅球，2個(gè)白球，1個(gè)黑球，從中隨機(jī)地取3個(gè)，用X表示取到的紅球個(gè)數(shù)，用Y表示取到的白球個(gè)數(shù)，寫出(X,Y)的聯(lián)合分布律及邊緣分布律。設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為：XY012試根椐以下條件分別求a和b的值；00.10.2a(1)；10.1b0.2(2)；(3)設(shè)是的分布函數(shù)，?！?.2二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為：求〔1〕常數(shù)k；〔2〕P(X<1/2,Y<1/2)；(3)P(X+Y<1)；(4)P(X<1/2)。2．的聯(lián)合密度函數(shù)為：求〔1〕常數(shù)k；〔2〕P(X+Y<1)；(3)P(X<1/2)?！?.3邊緣密度函數(shù)設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)如下，分別求與的邊緣密度函數(shù)。2.設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)如下，分別求與的邊緣密度函數(shù)?！?.4隨機(jī)變量的獨(dú)立性(X,Y)的聯(lián)合分布律如下，XY123試根椐以下條件分別求a和b的值；11/61/91/18(1)；2ab1/9(2)；〔3〕與相互獨(dú)立。(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)如下，求常數(shù)c，并討論與是否相互獨(dú)立第3章作業(yè)答案§3.11：XY122：(1)a=0.1b=0.310.40.30.7(2)a=0.2b=0.220.30.0.3(3)a=0.3b=0.10.70.31§3.21：(1)k=1；(2)P(X<1/2,Y<1/2)=1/8；(3)P(X+Y<1)=1/3；(4)P(X<1/2)=3/8。2：(1)k=8；(2)P(X+Y<1)=1/6；(3)P(X<1/2)=1/16?！?.31：；；2：；；§3.41：〔1〕a=1/6b=7/18；(2)a=4/9b=1/9；〔3〕a=1/3,b=2/9。2：c=6,X與Y相互獨(dú)立。第4章隨機(jī)變量的數(shù)字特征§4.1數(shù)學(xué)期望1．盒中有5個(gè)球，其中2個(gè)紅球，隨機(jī)地取3個(gè)，用X表示取到的紅球的個(gè)數(shù)，則EX是：〔A〕1；〔B〕1.2；〔C〕1.5；〔D〕2.設(shè)有密度函數(shù)：,求,并求大于數(shù)學(xué)期望的概率。設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為：XY012，00.10.2a則a和b的值是：10.1b0.2〔A〕a=0.1,b=0.3；〔B〕a=0.3,b=0.1；〔C〕a=0.2,b=0.2；〔D〕a=0.15,b=0.25。4．設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)如下：求?！?.2數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)1．設(shè)X有分布律：X0123則是：p0.10.20.30.4〔A〕1；〔B〕2；〔C〕3；〔D〕4.設(shè)有，試驗(yàn)證，但與不相互獨(dú)立。§4.3方差丟一顆均勻的骰子，用X表示點(diǎn)數(shù)，求.有密度函數(shù)：，求D(X).§4.4常見的幾種隨機(jī)變量的期望與方差設(shè),,相互獨(dú)立，則的值分別是：-1.6和4.88；〔B〕-1和4；〔C〕1.6和4.88；〔D〕1.6和-4.88.2.設(shè)，與有一樣的期望和方差，求的值?！睞〕0和8；〔B〕1和7；〔C〕2和6；〔D〕3和5.§4.6獨(dú)立性與不相關(guān)性矩1．以下結(jié)論不正確的選項(xiàng)是〔〕〔A〕與相互獨(dú)立，則與不相關(guān)；〔B〕與相關(guān)，則與不相互獨(dú)立；〔C〕，則與相互獨(dú)立；〔D〕，則與不相關(guān)；2．假設(shè)，則不正確的選項(xiàng)是〔〕〔A〕；〔B〕；〔C〕；〔D〕；3．〔〕有聯(lián)合分布律如下，試分析與的相關(guān)性和獨(dú)立性。XY－101.－11/81/81/801/801/811/81/81/84．是與不相關(guān)的〔〕〔A〕必要條件；〔B〕充分條件：〔C〕充要條件；〔D〕既不必要，也不充分。5.是與相互獨(dú)立的〔〕必要條件；〔B〕充分條件：〔C〕充要條件；〔D〕既不必要，也不充分。6.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)有聯(lián)合密度函數(shù)如下：試驗(yàn)證與不相關(guān)，但不獨(dú)立。第4章作業(yè)答案§4.11：B；2：3/2,2,3/4,37/64；3：D；4：2/3，4/3，17/9；§4.21：D；§4.31：7/2,35/12；2：11/36；§4.41：A；2：B；§4.51：0.2，0.355；2：－1/144,－1/11；§4.61：C；2：C；3：與不相關(guān)，但與不相互獨(dú)立；4：C；5：A；第5章極限定理*§5.1大數(shù)定理§5.2中心極限定理一批元件的壽命〔以小時(shí)計(jì)〕服從參數(shù)為0.004的指數(shù)分布，現(xiàn)有元件30只，一只在用，其余29只備用，當(dāng)使用的一只損壞時(shí)，立即換上備用件，利用中心極限定理求30只元件至少能使用一年〔8760小時(shí)〕的近似概率。某一隨機(jī)試驗(yàn)，“成功〞的概率為0.04，獨(dú)立重復(fù)100次，由泊松定理和中心極限定理分別求最多“成功〞6次的概率的近似值。第5章作業(yè)答案§5.22：0.1788；3：0.889，0.841；第6章數(shù)理統(tǒng)計(jì)根基§6.1數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的幾個(gè)概念有n=10的樣本；1.2，1.4，1.9，2.0，1.5，1.5，1.6，1.4，1.8，1.4，則樣本均值=，樣本均方差，樣本方差。2．設(shè)總體方差為有樣本，樣本均值為，則?！?.2數(shù)理統(tǒng)計(jì)中常用的三個(gè)分布1.查有關(guān)的附表，以下分位點(diǎn)的值：=，=，=。2．設(shè)是總體的樣本，求?！?.3一個(gè)正態(tài)總體的三個(gè)統(tǒng)計(jì)量的分布1．設(shè)總體，樣本，樣本均值，樣本方差，則，，～，～，第6章作業(yè)答案§6.11．；2.；§6.21．-1.29，9.236，-1.3722；2．；§6.31.；第7章參數(shù)估計(jì)§7.1矩估計(jì)法和順序統(tǒng)計(jì)量法設(shè)總體的密度函數(shù)為：，有樣本，求未知參數(shù)的矩估計(jì)。2.每分鐘通過某橋量的汽車輛數(shù)，為估計(jì)的值，在實(shí)地隨機(jī)地調(diào)查了20次，每次1分鐘，結(jié)果如下：次數(shù)：23456