2021年中考數(shù)學(xué)第三輪壓軸題專題沖刺復(fù)習(xí)：圓的綜合

1、如圖，O為RtAABC的直角邊AC上一點(diǎn)，以O(shè)C為半徑的OO與斜邊AB相

切于點(diǎn)D,交OA于點(diǎn)E.已知BC=6,AC=3.

(1)求AD的長；

(2)求圖中陰影部分的面積.

2、如圖，已知等腰直角三角形ABC,點(diǎn)P是斜邊BC上一點(diǎn)(不與B,C重合),

PE是4ABP的外接圓。0的直徑.

(1)求證：4APE是等腰直角三角形；

(2)若。。的直徑為2,求PC'+PB'的值.

3、如圖，在AABC中，AB=AC,以A8為直徑的。。交AC邊于點(diǎn)。，過點(diǎn)

。作CT//45,與過點(diǎn)3的切線交于點(diǎn)F,連接BD.

(1)求證：BD=BF；

(2)若AB=10,8=4,求BC的長.

4、如圖，Ab是。。的直徑，CD與O。相切于點(diǎn)C，與A8的延長線交于。.

3

(2)若AC=2,A3=—C。，求O0半徑.

2

5、如圖，在RtaABC中，ZC=RtZ,以BC為直徑的。0交AB于點(diǎn)D,切線DE

交AC于點(diǎn)E.

(2)若AD=16,DE=10,求BC的長.

6、如圖，在AABC中，AC=BC,ZACB=90°,。0(圓心0在aABC內(nèi)部)經(jīng)過B、

C.兩點(diǎn)，交AB于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作。。的切線交AC于點(diǎn)F.延長CO交AB于點(diǎn)G,

作ED〃AC交CG于點(diǎn)D

(1)求證：四邊形CDEF是平行四邊形

(2)若BC=3,tanZDEF=2,求BG的值.

A

7、如圖，48是◎。的直徑，弦切與49交于點(diǎn)過點(diǎn)6的切線社與切的延

長線交于點(diǎn)只連接OC,CB.

(1)求證：AE*EB=CE*ED,

CF0

(2)若。。的半徑為3,0拄2BE,—求tan/。%的值及〃葉的長.

DE5

8、將一副三角板Rtz^AB力與Rtz^ACB(其中NABD=90°,ZD=60°,ZACB=90°,

ZABC=45°)如圖擺放，RtAABD中ND所對直角邊與RtAACB斜邊恰好重合.以

AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)C,且與AD交于點(diǎn)E,分別連接EB,EC.

(1)求證:EC平分NAEB；

(2)求"的值.

bABEC

E

DB

9、如圖，AB是。0直徑，點(diǎn)C在。0上，AD平分NCAB,BD是。0的切線，AD

與BC相交于點(diǎn)E.

(1)求證:BD=BE；

(2)若DE=2,BD=V5?求CE的長.

10、如圖，AB為。。的直徑，。為AC的中點(diǎn)，連接0。交弦AC于點(diǎn)兒過點(diǎn)。

作￡)E〃AC,交84的延長線于點(diǎn)E.

(1)求證：DE是。。的切線；

(2)連接CD,若。4=A七=4,求四邊形ACDE的面積.

11、如圖，AABC內(nèi)接于00,AC是直徑,BC=BA,在NACB的內(nèi)部作NACF=30°,

且CF=CA,過點(diǎn)F作FH_LAC于點(diǎn)H,連接BF.

(1)若CF交。0于點(diǎn)G,。。的半徑是4,求正的長；

(2)請判斷直線BF與。0的位置關(guān)系，并說明理由.

B

12、如圖，已知AABC內(nèi)接于。0,點(diǎn)C在劣弧AB上(不與點(diǎn)A,B重合)，點(diǎn)D

為弦BC的中點(diǎn)，DEIBC,DE與AC的延長線交于點(diǎn)E,射線A0與射線EB交于點(diǎn)

F,與交于點(diǎn)G,設(shè)NGAB=a,ZACB=P,ZEAG+ZEBA=y,

(1)點(diǎn)點(diǎn)同學(xué)通過畫圖和測量得到以下近似數(shù)據(jù):

a30°40°50°60°

120°130°140°150°

Y150°140°130°120°

猜想：8關(guān)于a的函數(shù)表達(dá)式，丫關(guān)于a的函數(shù)表達(dá)式，并給出證明:

(2)若丫=135°,CD=3,AABE的面積為4ABC的面積的4倍，求。0半徑的長.?

13、已知AB是。。的直徑，AT是。。的切線，Z4BT=50°,交。。于點(diǎn)

C,￡是46上一點(diǎn)，延長CE交。。于點(diǎn)。.

(1)如圖①，求NT和NCD8的大??；

(2)如圖②，當(dāng)3E=3C時(shí)，求NCDO的大小.

14、如圖，已知。0的半徑長為1,AB、AC是。0的兩條弦，且AB=AC,BO的延

長線交AC于點(diǎn)D,聯(lián)結(jié)OA、0C.

(1)求證:AOAD^AABD；

(2)當(dāng)aOCD是直角三角形時(shí)，求B、C兩點(diǎn)的距離；

(3)記△AOB、AAOD,AC0D的面積分別為一、&、S3,如果是A和S3的比

例中項(xiàng)，求0D的長.

備用圖

15、有兩個(gè)內(nèi)角分別是它們對角的一半的四邊形叫做半對角四邊形.

(1)如圖1,在半對角四邊形他CD中，ZB=-ZD,ZC=-ZA,求N8與/C的

22

度數(shù)之和；

⑵如圖2,銳角△ABC內(nèi)接于OO,若邊他上存在一點(diǎn)。，使得3￡>=8O,NOBA

的平分線交OA于點(diǎn)E,連結(jié)DE并延長交4C于點(diǎn)F,=求證：四

邊形D8CF是半對角四邊形；

⑶如圖3,在⑵的條件下，過點(diǎn)。作。6人OB于點(diǎn)H,交8c于點(diǎn)G,當(dāng)DH=BG

時(shí)，求與△MC的面積之比.

16、如圖，已知線段AB=2,MN_LAB于點(diǎn)M,且AM=BM,P是射線MN上一動(dòng)點(diǎn)，E,

D分別是PA,PB的中點(diǎn)，過點(diǎn)A,M,D的圓與BP的另一交點(diǎn)C(點(diǎn)C在線段BD

上)，連結(jié)AC,DE.

(1)當(dāng)NAPB=28°時(shí)，求NB和CM的度數(shù)；

(2)求證：AC=ABo

(3)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中

①當(dāng)MP=4時(shí)，取四邊形ACDE一邊的兩端點(diǎn)和線段MP上一點(diǎn)Q,若以這三

點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，且Q為銳角頂點(diǎn)，求所有滿足條件的MQ的值；

②記AP與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為F,將點(diǎn)F繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)G,當(dāng)點(diǎn)G恰

好落在MN上時(shí)，連結(jié)AG,CG,DG,EG,直接寫出4ACG和ADEG的.面積之比.

B

參考答案

2021年中考數(shù)學(xué)第三輪壓軸題專題沖刺復(fù)習(xí)：圓的綜合

1、如圖，O為RtAABC的直角邊AC上一點(diǎn)，以O(shè)C為半徑的OO與斜邊AB相

切于點(diǎn)D,交OA于點(diǎn)E.已知BC=G，AC=3.

(1)求AD的長；

(2)求圖中陰影部分的面積.

【答案工(1)在RtZ\ABC中，AB=」AC2+BC?=舊+(后=26

VBC±0C

，BC是。0的切線

VAB是。0的切線

/.BD=BC=>/3

/.AD=AB-BD=V3

(2)在RtZXABC中，sinA=—=^=-

AB2+2

ZA=30°

?.?AB切。0于點(diǎn)D

AODIAB

/.ZA0D=90°-ZA=60°

=tanA=tan30

AD

.OD_#)

/.0D=l

?C_60乃X『_7t

??陰影—―麗-―

2、如圖，已知等腰直角三角形ABC,點(diǎn)P是斜邊BC上一點(diǎn)(不與B,C重合),

PE是AABP的外接圓。0的直徑.

(1)求證：4APE是等腰直角三角形；

(2)若。。的直徑為2,求PU+PB2的值.

【解答】(1)證明：［AB=AC,ZBAC=90°,

/.ZC=ZABC=45O,

/.ZAEP=ZABP=45O,

；PE是直徑，

AZPAB=90°,

/.ZAPE=ZAEP=45°,

/.AP=AE,

/.△PAE是等腰直角三角形.

(2)作PM_LAC于M,PN_LAB于N,則四邊形PMAN是矩形,

，PM=AN,

?.'△PCM,ARNB都是等腰直角三角形，

，PC=&PM,PB=&PN,

.\PC2+PB2=2(PM2+PN2)=2(AN2+PN2)=2PA2=PE2=22=4.

ArB

E

3、如圖，在AABC中，AB=AC,以AB為直徑的。。交4c邊于點(diǎn)Q,過點(diǎn)

C作CF//AB,與過點(diǎn)8的切線交于點(diǎn)F，連接BD.

(1)求證：BD=BF；

(2)若AB=10,CO=4,求BC的長.

【答案】

(1)VAB=AC

：.ZABC=ZACB

■:CF//AB

：.ZABC=ZFCB

ZACB=ZFCB,即CB平分NDCF

???AB為。。直徑

/.ZADB=90°,即8D_LAC

???BF為。。的切線

二BF±AB

■:CF//AB

：.BF1CF

/.BD=BF

⑵二四=/C=10,CD=4,

/.AD=AC-CD=10-4=6:

2222

在RtAABD中，BD=-,￡D=IO-6=64.

在RtABDC中，BC=J"?+5=<64+16=A#

即BC的長為4道

4、如圖，A8.是。。的直徑，CO與0。相切于點(diǎn)C,與A8的延長線交于。.

(1)求證：AADC-ACDB；

3

(2)若AC=2,AB==CD,求。。半徑.

2

【答案】：(」)首先連接CO,根據(jù)CD與。0相切于點(diǎn)C,可得：Z0CD=90°；然

后根據(jù)AB是圓0的直徑，可得：ZACB=90°,據(jù)此判斷出NCAD=NBCD,即可推

得△ADCs^CDB.學(xué)?科網(wǎng)

33

(2)首先設(shè)CD為x,則AB=—x,0C=0B=-x,用x表示出OD、BD；然后根據(jù)^

24

ADC-ACDB,可得：—=—,據(jù)此求出CB的，值是多少，即可求出。0半徑是

CBBD

多少.

試題解析：(1)證明：如圖，連接co,

,.,CD與。0相切于點(diǎn)C,

.\Z0CD=90°,

??.AB是圓。的直徑，

/.ZACB=90<>,

/.ZACO=ZBCD,

,/ZACO=ZCAD,

/.ZCAD=ZBCD,

在ZkADC和aCDB中，

ZAD=ABCD

AADC=ZCDB

/.AADCOOACDB.

(2)解：設(shè)CD為x,

則AB=2x,0C=0B=-X,

24

VZ0CD=90°,

：.0D=y/0C2+CD2=J(-xY+x2=。x

V44

5Q|

/.BD=0D-0B=-x——x=—x,

442

由(1)知，AADC^ACDB,

然

繆

:?-

而

而

2x

即=

而-

l

r

解得CB=1,

.,.AB=^AC2+BC2=正,

，。。半徑是涉

5、如圖，在RtaABC中，ZC=RtZ,以BC為直徑的。0交AB于點(diǎn)D,切線DE

交AC于點(diǎn)E.

(1)求證：ZA=ZADE；

(2)若AD=16,DE=10,求BC的長.

【答案】(1)證明：連結(jié)OD,〈DE是。。的切線,

.,.Z0DE=90°,

ZADE+ZBD0=90°,

VZACB=90°,

/.ZA+ZB=90°,

又?.?OD=OB,

ZB=ZBDO,

，ZADE=ZA.

(2)解：連結(jié)CD,VZADE=ZA,

.\AE=DE,

..?BC是。。的直徑,ZACB=90°.

...EC是。。的切線，，DE=EC,

.\AE=EC.

XVDE=10,

/.AC=2DE=20,

在RtAADC中，DC=也冰-/=】三

設(shè)BD=x,

在RtzSBDC中,BC2=X+122,在Rt/^ABC中,BC2=(x+16)2-202,

.,.X2+12=(X+16)2-202,解得x=9,

..加==H

6、如圖，在△ABC中，AC=BC,ZACB=90°,。0(圓心0在aABC內(nèi)部)經(jīng)過B、

C兩點(diǎn)，交AB于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作的切線交AC于點(diǎn)F.延長CO交AB于點(diǎn)G,

作ED〃AC交CG于點(diǎn)D

(1)求證：四邊形CDEF是平行四邊形；

(2)若BC=3,tanZDEF=2,求BG的值.

【答案】(1)連接CE,

Y在AABC中，AC=BC,ZACB=90°,

.,.ZB=45°,

?.?EF是。。的切線，

/.ZFEC=ZB=45°,ZFE0=90°,

.*.ZCE0=45o,

VDE/7CF,

/.ZECD=ZFEC=45O,

.,.ZE0C=90°,

...EF〃OD,

四邊形CDEF是平行四邊形；

(2)過G作GN_LBC于N,

/.△GMB是等腰直角三角形，

，MB=GM,

???四邊形CDEF是平行四邊形，

；.NFCD=NFED,

VZACD+ZGCB=ZGCB+ZCGM=90°,

ZCGM=ZACD,

NCGM=NDEF,

VtanZDEF=2,

CM

/.tanZCGM=—=2,

GM

；.CM=2GM,

，CM+BM=2GM+GM=3,

.\GM=1,

.,.BG=V2GM=V2.

7、如圖，48是◎。的直徑，弦切與49交于點(diǎn)過點(diǎn)6的切線社與切的延

長線交于點(diǎn)只連接oc,CB.

(1)求證：AE*EB=CE*EDx

CFQ

(2)若。。的半徑為3,052BE,—=求tan/仍。的值及〃尸的長.

DE5

【答案】

試題分析：(D直接根據(jù)題意得出進(jìn)而利用切線的性質(zhì)的出答案；

(2)利用已知得出EC,DE的長，再利用勾股定理得出C尸的長，［即可得出s/OBC的值，再利用全等

三角形的判定與性質(zhì)得出DP的長.

4EED

試題解析：(D證明：連接4D,：/1=/B8,^4ED=ACEB,/.AAED^ACEB,：.—=—,/.

CEEB

AE*EB=CE'EDi

(2)解：:。。的半徑為3,：.OA=OB=OOZ,二0序2BE,.?.密2,BE=i,1尺5,

CE91

；J=乙，.?.設(shè)編9x,密弘‘：AE?EB=CE?ED,，5Xl=9x?5x,解得：否=—,

DE53

也=-,(不合題意舍去)，，誨9A=3,止5方*，過點(diǎn)。作CFLAB于FJ：0仁C合3,

33

二幅上上密1,.?.止2,在RtZXOCF中，?:/CF年90°,:.CHC,:.C再

2

2&,在中，VZ67^=90°,二tanN仍信竺=^^=艱，'：CFYAB

BF2

于F,：./CFB=90°,?.?辟是。。的切線，力8是。。的直徑，，N叱=90°,二

ZCFB^ZEBP,在△性和△核中，?：4CFB=/PBE,EQEF,4FE84BEP,：.

54

/\CFE^/\PBE(ASA),:?E4C53,J.DI^EP-ED^3--=學(xué)科&網(wǎng)

33

B

8、將一副三角板RtZ\AB-D與RtZ\ACB(其中NABD=90°,ZD=60°,ZACB=90°,

ZABC=45°)如圖擺放，RtAABD中ND所對直角邊與RtAACB斜邊恰好重合.以

AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)3且與AD交于點(diǎn)E,分別連接EB,EC.

(1)求證：EC平分NAEB；

(2)求整妊的值.

'△BEC

【解答】(1)證明：’.?RtAACB中，ZACB=90°,ZABC=45°,

.,.ZBAC=ZABC=45°,

VZAEC=ZABC,ZBEC=ZBAC,

NAEC=NBEC,

即EC平分NAEB；

(2)解：如圖，設(shè)AB與CE交于點(diǎn)M.

VEC平分NAEB,

?迎毒

*'MB-EB'

在RtAABD中，ZABD=90°,ZD=60°,

/.ZBAD=30°,

?.?以AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)E,

AZAEB=90°,

.,.tanNBAE="=叵

AE3

.,.AE=V3BE,

?AMAEr~

??MB=EB=^-

作AFLCE于F,BGLCE于G.

在AAFM與中，

VZAFM=ZBGM=90°,ZAMF=ZBMG,

.AF_AM_

.?前二而=后r

?也三舞?AF=.

SABEC.E?BGBG

D

9、如圖，AB是。0直徑，點(diǎn)C在。0上，AD平分NCAB,BD是。。的切線，AD

與BC相交于點(diǎn)E.

(1)求證：BD=BE；

(2)若DE=2,BD=J^,求CE的長.

A

【解答】解：（1）設(shè)/BAD=a,

二?AD平分NBAC

/.ZCAD=ZBAD=a,

；AB是。0的直徑,.,.ZACB=90°,

...ZABC=90°-2a,

OBD是。。的切線,

ABD±AB,

ZDBE=2a,

ZBED=ZBAD+ZABC=90°-a,

I.ZD=180°-ZDBE-ZBED=90°-a,

ZD=ZBED,

；.BD=BE

(2)設(shè)AD交。0于點(diǎn)F,CE=x,則AC=2x,連接BF,

?..AB是。。的直徑，

AZAFB=90°,

VBD=BE,DE=2,

.*.FE=FD=1,

VBD=V5，

.?.+tana1,

AAB=^r=2^

在Rt^ABC中，

由勾股定理可知：(2x)2+(x+V5)-(2粕)2

.,?解得：x=-掂或,

5

.?.CE=^S；

5

10、如圖，48為。。的直徑，。為AC的中點(diǎn)，連接交弦AC于點(diǎn)F.過點(diǎn)。

作?！辍ˋC,交84的延長線于點(diǎn)E.

(1)求證：0E是。。的切線；

（2）連接C。，若。4=AE=4,求四邊形ACDE的面積.

試題分析：（1）欲證明DE是◎。的切線，只要證明AC1OD,ED1OD即可.

（2）由△AFO姿△CFC（SAS）,推出S3c=S-＞推出S二方初產(chǎn)S一：,求出^ODE的面積即可.

試題解析：（D：D為粉的中點(diǎn),

/.OD1AC,

■/AC//DE,

.\OD1DE,

二.DE是。。的切線；

(2)解：連接DC,

??'D為AC的中點(diǎn)，

/.OD±AC,AF=CF,

VAC/7DE,且OA=AE,

；.F為0D的中點(diǎn),即OF=FD,

在aAFO和aCFD中，

AF=CF

<ZAFO=4CFD

OF=FD

/.△AFO^ACFD(SAS),

,?S△AFO=SACFD?

??S叫邊般ACDE=SA0OE

在Rt^ODE中，0D=0A=AE=4,

/.0E=8,

JDE=yl0E2-0D2=4G，

*e*S四邊形ACDE=SAODE=-XODXDE=5X4x46=8

DC

Ik如圖，AABC內(nèi)接于。0,AC是直徑,BC=BA,在NACB的內(nèi)部作NACF=30°,

且CF=CA,過點(diǎn)F作FHLAC于點(diǎn)H,連接BF.

(1)若CF交。0于點(diǎn)G,00的半徑是4,求筋的長；

(2)請判斷直線BF與。0的位置關(guān)系，并說明理由.

/.ZCBA=90°,

VBC=BA,0C=0A,

AOB±AC,

VFH±AC,

.?.OB〃FH,

在RtZSCFH中，VZFCH=30°,

.,.FH=yCF,

VCA=CF,

/.FH=^-AC=OC=OA=OB,

...四邊形BOHF是平行四邊形，

VZFH0=90°,

...四邊形BOHF是矩形，

.\BF=OH,

在RtaABC中，VAC=8,

，AB=BC=4a，

VCF=AC=8,

.?.CH=4b，BF=0H=4V3-4,

VBF/7AC,

?BG___BF__4V3-4_V3-1

"AGAC82'

?BG+AG_V3-l+2

-AG2-，

.\AG=4V6-472.

（2）結(jié)論：BF是。。的切線.

理由：由（D可知四邊形OBHF是矩形,

.'.Z0BF=90°,

.".OB1BF,

；.BF是。0的切線.

12、如圖，已知AABC內(nèi)接于。0,點(diǎn)C在劣弧AB上(不與點(diǎn)A,B重合)，點(diǎn)D

為弦BC的中點(diǎn)，DE±BC,DE與AC的延長線交于點(diǎn)E,射線A0與射線EB交于點(diǎn)

F,與。0交于點(diǎn)G,設(shè)NGAB=a,NACB=B,ZEAG+ZEBA=y,

（1）點(diǎn)點(diǎn)同學(xué)通過畫圖和測量得到以下近似數(shù)據(jù)：

a30°40°50°60°

B120°130°140°150°

Y150°140°130°120°

猜想:B關(guān)于a的函數(shù)表達(dá)式，Y關(guān)于a的函數(shù)表達(dá)式，并給出證明：

(2)若丫=135°,CD=3,AABE的面積為AABC的面積的4倍，求。0半徑的長.?

【答案】(1)猜想：B=a+90°,=-a+180°

連接OB,

,由圓周角定理可知:2ZBCA=360°-ZBOA,

V0B=0A,

Z0BA=Z0AB=a,

：.ZB0A=180°-2a,

.?.28=360°-(180°-2a),

B=a+90°,

?；D是BC的中點(diǎn)，DE1BC,

??.OE是線段BC的垂直平分線，

/.BE=CE,ZBED=ZCED,ZEDC=900

'/ZBCA=ZEDC+ZCED,

二.3=90°+ZCED,

/.ZcED=a,

.\ZCED=ZOBA=a,

.MA、E、B四點(diǎn)共圓，

.,.ZEB0+ZEAG=180°,

：.ZEBA+Z0BA+ZEAG=180o,

/.Y+a=180°；

E

(2)當(dāng)丫=135°時(shí),此時(shí)圖形如圖所示,

...a=45°,B=135°,

/.ZB0A=90°,ZBCE=45°,

由(1)可知：0、A、E、B四點(diǎn)共圓，

.*.ZBEC=90o,

VAABE的面積為aABC的面積的4倍，

設(shè)CE=3x,AC=x,

由(1)可知:BC=2CD=6,

VZBCE=45°,

CE=BE=3x,

二由勾股定理可知：(3x)2+(3x)2=62,

x=0,

；.BE=CE=3正，AC=&,

；.AE=AC+CE=40,

在RtAABE中，

由勾股定理可知：AB:=(30):+(4也)

.-.AB=50,

,/ZBA0=45o,

.?.ZA0B=90o,

在Rt—OB中,設(shè)半徑為r,

由勾股定理可知：AB:=2r:,

.'.r=5,

...00半徑的長為5.

13、已知A3是。。的直徑，AT是。。的切線，NA3T=50°,交。。于點(diǎn)

C,E是上一點(diǎn)，延長CE交。。于點(diǎn)。.

(1)如圖①，求NT和N83的大小；

(2)如圖②，當(dāng)時(shí)，求NCDO的大小.

【答案［(1)如圖，連接AC,

???A5是。。的直徑，AT是。。的.切線,

/.AT±AB,EPZTAB=90°.

ZA8T=50°,

AZT=90°-ZABT=40°

由AB是。。的直徑，得NACB=90°,

/.ZCAB=90°-ZABC=40°

/.ZCDB=ZCAB=40o;

(2)如圖，連接AD,

在ZiBCE中,BE=BC,ZEBC=50°,

：.ZBCE=ZBEC=65°,

.,.ZBAD=ZBCD=65°

,/OA=OD

.\Z0DA=Z0AD=65o

ZADC=ZABC=50°

，ZCDO=ZODA-ZADC=15°.

14、如圖，己知。0的半徑長為1,AB、AC是。0的兩條弦，且AB=AC,B0的延

長線交AC于點(diǎn)D,聯(lián)結(jié)OA、0C.

(1)求證：△OADS^ABD；

(2)當(dāng)aocD是直角三角形時(shí)，求B、C兩點(diǎn)的距離；

(3)記ZXAOB、AAOD,AC0D的面積分別為&、S?、S3,如果S?是A和S3的比

例中項(xiàng)，求0D的長.

B

備用圖

【解答】(1)證明：如圖1中,

K

fOA=OA

"AB=AC，

OB=OC

/.△AOB^AAOC,

，ZC=ZB,

VOA=OC,

/.Z0AC=ZC=ZB,VZADO=ZADB,

/.△OAD^AABD.

(2)如圖2中,

/.AD=DC,

/.BA=BC=AC,

.,.△ABC是等邊三角形，

在Rt^OAD中，VOA=1,Z0AD=30°,

OD=-^-OA=~-,

AD=VOA2-OD2=2Y，

.?.BC=AC=2AD=V3.

(3)如圖3中，作OH_LAC于H,設(shè)0D=x.

圖1

.'△DAO^ADBA,

?AD^pD^QA

，DB-AD-AB，

?AD=x=1

'74-AD-AB，

,.AD=V7^+T7.AB=S(X+D,

X

是&和S3的比例中項(xiàng),

?.S/=S|S3,

.§=*ADOH,S產(chǎn)Sw^ACOH,S3=-^-CD0H,

\(^ADOH)2=^ACOH^CDOH,

222

\AD2=ACCD,

.,AC=AB.CD=AC-AD=x^)--4x(x+l)，

、X

?.(即J甲

X

整理得x?+x-1=0,

解得乂=號(hào)或?qū)

經(jīng)檢驗(yàn)：x=Y1N是分式方程的根，且符合題意，

.",OD=^i.

2

15、有兩個(gè)內(nèi)角分別是它們對角的一半的四邊形叫做半對角四邊形.

(1)如圖1，在半對角四邊形MCD中，ZB=-Z￡>,ZC=-ZA,求與/C的

22

度數(shù)之和；

⑵如圖2,銳角△ABC內(nèi)接于OO,若邊上存在一點(diǎn)￡>,使得BD=BO,ZOBA

的平分線交OA于點(diǎn)E，連結(jié)DE并延長交AC于點(diǎn)F，NAFE=2NE4/.求證：四

邊形O8CF是半對角四邊形；

⑶如圖3,在⑵的條件下，過點(diǎn)。作。G人OB于點(diǎn)、H,交BC于點(diǎn)G,當(dāng)DH=BG

時(shí)，求△灰；”與△MC的面積之比.

試題分析：(D在半對角四邊形在8中，NB=g/D,ZC=1ZA

ZA+ZB+ZC+ZD=360°

/.3ZB+3ZC=360°

/.ZB+ZC=12O°

即NB與NC的度數(shù)之和為120。

(2)在ABED和EBEO中

BD=BO

<AEBD=LEBO

BE=BE

：.ABEDg△BEO

/.ZBDE=ZB0E

XVZBCF=|ZBOE

1

，ZBCF=-ZBDE

2

如圖，連接OC

設(shè)NEAF=a,則NAFE=2NEAF=2a

AZEFC=180°-ZAFE=180°-2a

V0A=0C

二Z0AC=Z0CA=a

AZA0C=180°-Z0AC-Z0CA=1800-2a

.?.NABC=《NA0C=：ZEFC

22

四邊形DBCF是半對角四邊形.

⑶如圖，過點(diǎn)0作OM1BC于點(diǎn)M

?.?四邊形DBCF是半對角四邊形

.,.ZABC+ZACB=120°

,.ZBAC=60°

/.ZB0C=2ZBAC=120o

VOB=OC

.,.Z0BC=Z0CB=30°

.?.BC=2BM=?B0=囪BD

VDG10B

二ZHGB=ZBAC=60°

VZDBG=ZCBA

ADBGSACBA

.A儂的面積=（絲）2=1

""式的面積~~BC~3

VDH=BG,BG=2HG

.?.DG=3HG

.△掰曲面積=1

-AH%的面積—3

.△巡的面積=￡

一比的面積—9

16、如圖，已知線段AB=2,MNLAB于點(diǎn)M,且AM.=BM,P是射線MN上一動(dòng)點(diǎn)，E,

D分別是PA,PB的中點(diǎn)，過點(diǎn)A,M,D的圓與BP的另一交點(diǎn)C（點(diǎn)C在線段BD

上），連結(jié)AC,DE.

（1）當(dāng)NAPB=28°時(shí)，求NB和CM的度數(shù)；

（2）求證：AC=ABo

（3）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中

①當(dāng)MP=4時(shí)，取四邊形ACDE一邊的兩端點(diǎn)和線段MP上一點(diǎn)Q,若以這三

點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是