2022年高考數(shù)學(xué)真題分類精編一、集合和常用邏輯用語(yǔ)一、單選題1.（2022·全國(guó)甲（理））設(shè)全集，集合，則?U(A∪B)=（A. B. C. D.2.（2022·全國(guó)甲（文））設(shè)集合，則（）A. B. C. D.3.（2022·全國(guó)乙（文））集合，則（）A. B. C. D.4.（2022·全國(guó)乙（理））設(shè)全集，集合M滿足?UM={1,3}，則（A. B. C. D.5.（2022·新高考Ⅰ卷）若集合，則（）A. B. C. D.6.（2022·新高考Ⅱ卷）已知集合，則（）A. B. C. D.7.（2022·北京卷T1）已知全集，集合，則?UA=（）A. B. C. D.8.（2022·浙江卷T1）設(shè)集合，則（）A. B. C. D.9.（2022·北京卷T6）設(shè)是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件10.（2022·浙江卷T4）設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件二、復(fù)數(shù)一、單選題1.（2022·全國(guó)甲（理））若，則（）A. B. C. D.2.（2022·全國(guó)甲（文））若．則（）A. B. C. D.3.（2022·全國(guó)乙（文））設(shè)，其中為實(shí)數(shù)，則（）A. B. C. D.4.（2022·全國(guó)乙（理））已知，且，其中a，b為實(shí)數(shù)，則（）A. B. C. D.5.（2022·新高考Ⅰ卷）2.若，則（）A. B. C.1 D.26.（2022·新高考Ⅱ卷）（）A. B. C. D.7.（2022·北京卷T2）若復(fù)數(shù)z滿足，則（）A.1 B.5 C.7 D.258.（2022·浙江卷T2）已知（為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.三、不等式一、選擇題1.（2022·全國(guó)甲（文）T12）已知，則（）A. B. C. D.2.（2022·全國(guó)甲（理）T12）已知，則（）A. B. C. D.3.（2022·新高考Ⅰ卷T7）設(shè)，則（）A. B. C. D.4.（2022·新高考Ⅱ卷T12）對(duì)任意x，y，，則（）A. B.C. D.四、平面向量一、選擇題1.（2022·全國(guó)乙（文）T3）已知向量，則（）A.2 B.3 C.4 D.52.（2022·全國(guó)乙（理）T3）已知向量滿足，則（）A. B. C.1 D.23.（2022·新高考Ⅰ卷T3）在中，點(diǎn)D在邊AB上，．記，則（）A. B. C. D.4.（2022·新高考Ⅱ卷T4）已知，若，則（）A. B. C.5 D.6二、填空題1.（2022·全國(guó)甲（文）T13）已知向量．若，則______________．2.（2022·全國(guó)甲（理）T13）設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且，，則_________．五、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)一、選擇題1.（2022·全國(guó)甲（文T7）(理T5)）函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（）A. B.C. D.2.（2022·全國(guó)甲（文T8）(理T6)）.當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則（）A. B. C. D.13.（2022·全國(guó)乙（文T8）如圖是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間的大致圖像，則該函數(shù)是（）

A. B. C. D.4.（2022·全國(guó)乙（理）T12）已知函數(shù)的定義域均為R，且．若的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，，則（）A. B. C. D.5.（2022·新高考Ⅰ卷T10）已知函數(shù)，則（）A.有兩個(gè)極值點(diǎn) B.有三個(gè)零點(diǎn)C.點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心 D.直線是曲線的切線6.（2022·新高考Ⅰ卷T12）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（）A. B. C. D.7.（2022·新高考Ⅱ卷T8）若函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，則（）A. B. C.0 D.18.（2022·北京卷T4）己知函數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有（）A. B.C. D.9.（2022·北京卷T7）在北京冬奧會(huì)上，國(guó)家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù)，為實(shí)現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻(xiàn)．如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和的關(guān)系，其中T表示溫度，單位是K；P表示壓強(qiáng)，單位是．下列結(jié)論中正確的是（）

A.當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于液態(tài)B.當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于氣態(tài)C.當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)D.當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)10.（2022·浙江卷T7）已知，則（）A.25 B.5 C. D.二、填空題1.（2022·全國(guó)乙（文T16）若是奇函數(shù)，則_____，______．2.（2022·全國(guó)乙（理）T16）已知和分別是函數(shù)（且）的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)．若，則a的取值范圍是____________．3.（2022·新高考Ⅰ卷T15）若曲線有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是______________．4.（2022·新高考Ⅱ卷T14）寫出曲線過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線方程：____________，____________．5.（2022·北京卷T11）函數(shù)的定義域是_________．6.（2022·北京卷T14）設(shè)函數(shù)若存在最小值，則a的一個(gè)取值為________；a的最大值為___________．7.（2022·浙江卷T14）已知函數(shù)則________；若當(dāng)時(shí)，，則的最大值是_________．解答題1.（2022·全國(guó)甲（文）T20）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線．（1）若，求a；（2）求a的取值范圍．2.（2022·全國(guó)甲（理）T21）已知函數(shù)．（1）若，求a的取值范圍；（2）證明：若有兩個(gè)零點(diǎn)，則環(huán)．3.（2022·全國(guó)乙（文）T20）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的最大值；（2）若恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．4.（2022·全國(guó)乙（理）T21）已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．5.（2022·新高考Ⅰ卷T22）已知函數(shù)和有相同最小值．（1）求a；（2）證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．6.（2022·新高考Ⅱ卷T22）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍；（3）設(shè)，證明：．7.（2022·北京卷T20）已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處切線方程；（2）設(shè)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；（3）證明：對(duì)任意的，有．8.（2022·浙江卷T22）設(shè)函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）已知，曲線上不同的三點(diǎn)處的切線都經(jīng)過點(diǎn)．證明：（?。┤?，則；（ⅱ）若，則．（注：是自然對(duì)數(shù)底數(shù)）六、數(shù)列一、選擇題1.（2022·全國(guó)乙（文）T10）已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為168，，則（）A.14 B.12 C.6 D.32.（2022·全國(guó)乙（理）T8）已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為168，，則（）A.14 B.12 C.6 D.33.（2022·全國(guó)乙（理）T4）嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測(cè)，成為我國(guó)第一顆環(huán)繞太陽(yáng)飛行人造行星，為研究嫦娥二號(hào)繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列：，，，…，依此類推，其中．則（）A B. C. D.4.（2022·新高考Ⅱ卷T3）中國(guó)的古建筑不僅是擋風(fēng)遮雨的住處，更是美學(xué)和哲學(xué)的體現(xiàn)．如圖是某古建筑物的剖面圖，是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為，若是公差為0.1的等差數(shù)列，且直線的斜率為0.725，則（）A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.95.（2022·浙江卷T10）已知數(shù)列滿足，則（）A. B. C. D.二、填空題1.（2022·全國(guó)乙（文）T13）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，則公差_______．2.（2022·北京卷T15）己知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和滿足．給出下列四個(gè)結(jié)論：①的第2項(xiàng)小于3；②為等比數(shù)列；③為遞減數(shù)列；④中存在小于的項(xiàng)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________．三、解答題1.（2022·全國(guó)甲（文T18）(理T17）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知．（1）證明：是等差數(shù)列；（2）若成等比數(shù)列，求的最小值．2.（2022·新高考Ⅰ卷T17）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）證明：．3.（2022·新高考Ⅱ卷T17）已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且．（1）證明：；（2）求集合中元素個(gè)數(shù)．4.（2022·北京卷T21）已知為有窮整數(shù)數(shù)列．給定正整數(shù)m，若對(duì)任意的，在Q中存在，使得，則稱Q為連續(xù)可表數(shù)列．（1）判斷是否為連續(xù)可表數(shù)列？是否為連續(xù)可表數(shù)列？說明理由；（2）若為連續(xù)可表數(shù)列，求證：k的最小值為4；（3）若為連續(xù)可表數(shù)列，且，求證：．5.（2022·浙江卷T20）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差．記的前n項(xiàng)和為．（1）若，求；（2）若對(duì)于每個(gè)，存在實(shí)數(shù)，使成等比數(shù)列，求d的取值范圍．七、三角函數(shù)與解三角形一、選擇題1.（2022·全國(guó)甲（文）T5）將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到曲線C，若C關(guān)于y軸對(duì)稱，則的最小值是（）A. B. C. D.2.（2022·全國(guó)甲（理）T11）設(shè)函數(shù)在區(qū)間恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.3.（2022·全國(guó)乙（文）T11）函數(shù)在區(qū)間的最小值、最大值分別為（）A. B. C. D.4.（2022·新高考Ⅰ卷T6）記函數(shù)的最小正周期為T．若，且的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則（）A.1 B. C. D.35.（2022·北京卷T5）已知函數(shù)，則（）A.在上單調(diào)遞減 B.在上單調(diào)遞增C.在上單調(diào)遞減 D.在上單調(diào)遞增6.（2022·北京卷T10）在中，．P為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.7.（2022·浙江卷T6）為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)（）A.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度8.（2022·新高考Ⅱ卷T6）角滿足，則（）A. B.C. D.9.（2022·新高考Ⅱ卷T9）函數(shù)的圖象以中心對(duì)稱，則（）A.在單調(diào)遞減B.在有2個(gè)極值點(diǎn)C.直線是一條對(duì)稱軸D.直線是一條切線二、填空題1.（2022·全國(guó)甲（理）T16）已知中，點(diǎn)D在邊BC上，．當(dāng)取得最小值時(shí)，________．2.（2022·全國(guó)乙（理）T15）記函數(shù)的最小正周期為T，若，為的零點(diǎn)，則的最小值為____________．3.（2022·北京卷T13）若函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為，則________；________．4.（2022·浙江卷T11）我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱為“三斜求積”，它填補(bǔ)了我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個(gè)空白．如果把這個(gè)方法寫成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三邊，S是三角形的面積．設(shè)某三角形的三邊，則該三角形的面積___________．5（2022·浙江卷T13）若，則__________，_________．三、解答題1.（2022·全國(guó)乙（文）T17）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c﹐已知．（1）若，求C；（2）證明：2.（2022·全國(guó)乙（理）T17）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．（1）證明：；（2）若，求的周長(zhǎng)．3.（2022·新高考Ⅰ卷T18）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）若，求B；（2）求的最小值．4.（2022·新高考Ⅱ卷T18）記的三個(gè)內(nèi)角分別為A，B，C，其對(duì)邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為，已知．（1）求的面積；（2）若，求b．5.（2022·北京卷T16）在中，．（1）求；（2）若，且的面積為，求的周長(zhǎng)．6.（2022·浙江卷T18）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知．（1）求的值；（2）若，求的面積．八、概率統(tǒng)計(jì)一、單選題1.（2022·全國(guó)甲（文T2）（理T2））某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識(shí)．為了解講座效果，隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民，讓他們?cè)谥v座前和講座后各回答一份垃圾分類知識(shí)問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖：

則（）A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于C.講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差2.（2022·全國(guó)甲（文）T6）從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無放回隨機(jī)抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為（）A. B. C. D.3.（2022·全國(guó)乙（文）T）4.分別統(tǒng)計(jì)了甲、乙兩位同學(xué)16周的各周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)（單位：h），得如下莖葉圖：則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A.甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的樣本中位數(shù)為7.4B.乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的樣本平均數(shù)大于8C.甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)大于8的概率的估計(jì)值大于0.4D.乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)大于8的概率的估計(jì)值大于0.64.（2022·全國(guó)乙（理）T10）某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝概率分別為，且．記該棋手連勝兩盤的概率為p，則（）A.p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關(guān) B.該棋手在第二盤與甲比賽，p最大C.該棋手在第二盤與乙比賽，p最大 D.該棋手在第二盤與丙比賽，p最大5.（2022·新高考Ⅰ卷T5）從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為（）A. B. C. D.6.（2022·新高考Ⅱ卷T5）有甲乙丙丁戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰的不同排列方式有多少種（）A.12種 B.24種 C.36種 D.48種7.（2022·北京卷T）8.若，則（）A.40 B.41 C. D.二、填空題1.（2022·全國(guó)甲（理）T15）從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為________．2.（2022·全國(guó)乙（文T14)(理T13)）從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為____________．3.（2022·新高考Ⅱ卷T13）已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且，則____________．4.（2022·浙江卷T12）已知多項(xiàng)式，則__________，___________．5.（2022·新高考Ⅰ卷T13）的展開式中的系數(shù)為________________（用數(shù)字作答）．6.（2022·浙江卷T15）現(xiàn)有7張卡片，分別寫上數(shù)字1，2，2，3，4，5，6．從這7張卡片中隨機(jī)抽取3張，記所抽取卡片上數(shù)字最小值為，則__________，_________．三、解答題1.（2022·全國(guó)甲（文）T）（2022·全國(guó)甲（文）T17）甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車均由A和B兩家公司運(yùn)營(yíng)，為了解這兩家公司長(zhǎng)途客車的運(yùn)行情況，隨機(jī)調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個(gè)班次，得到下面列聯(lián)表：準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)A24020B21030（1）根據(jù)上表，分別估計(jì)這兩家公司甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率；（2）能否有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān)？附：，0.1000.0500.0102.7063.8416.6352.（2022·全國(guó)甲（理）T19）甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒有平局．三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍．已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立．（1）求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；（2）用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望．3.（2022·全國(guó)乙（文T19）(理T19）某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山．為估計(jì)一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹木，測(cè)量每棵樹的根部橫截面積（單位：）和材積量（單位：），得到如下數(shù)據(jù)：樣本號(hào)ｉ12345678910總和根部橫截面積0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材積量0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并計(jì)算得．（1）估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；（2）求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；（3）現(xiàn)測(cè)量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為．已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比．利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值．附：相關(guān)系數(shù)．4.（2022·新高考Ⅰ卷T20）一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對(duì)照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對(duì)照組1090（1）能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？（2）從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”．與的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對(duì)患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R．（?。┳C明：；（ⅱ）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出的估計(jì)值，并利用（ⅰ）的結(jié)果給出R的估計(jì)值．附，0.0500.0100.001k3.8416.63510.8285.（2022·新高考Ⅱ卷T19）在某地區(qū)進(jìn)行流行病調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100名某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖．（1）估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）估計(jì)該地區(qū)一人患這種疾病年齡在區(qū)間的概率；（3）已知該地區(qū)這種疾病的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?，從該地區(qū)任選一人，若此人年齡位于區(qū)間，求此人患該種疾病的概率．（樣本數(shù)據(jù)中的患者年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）6.（2022·北京卷T18）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績(jī)達(dá)到以上（含）的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)．為預(yù)測(cè)獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績(jī)，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，935，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立．（1）估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；（2）設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E（X）；（3）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？（結(jié)論不要求證明）九、立體幾何一、單選題1.（2022·全國(guó)甲（文、理）T4）如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1，則該多面體的體積為（）

A.8 B.12 C.16 D.202.（2022·全國(guó)甲（文）T9）在長(zhǎng)方體中，已知與平面和平面所成的角均為，則（）A. B.AB與平面所成的角為C. D.與平面所成的角為3.（2022·全國(guó)甲（文）T10）甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和．若，則（）A. B. C. D.4.（2022·全國(guó)甲（理）T7）在長(zhǎng)方體中，已知與平面和平面所成的角均為，則（）A. B.AB與平面所成的角為C. D.與平面所成的角為5.（2022·全國(guó)甲（理）T8）沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國(guó)古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”，如圖，是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是的AB中點(diǎn)，D在上，．“會(huì)圓術(shù)”給出的弧長(zhǎng)的近似值s的計(jì)算公式：．當(dāng)時(shí)，（）

A. B. C. D.6.（2022·全國(guó)甲（理）T9）甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和．若，則（）A. B. C. D.7.（2022·全國(guó)乙（文）T9）在正方體中，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，則（）A.平面平面 B.平面平面C.平面平面 D.平面平面8.（2022·全國(guó)乙（文）T12）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（）A. B. C. D.9.（2022·全國(guó)乙（理）T7）在正方體中，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，則（）A.平面平面 B.平面平面C.平面平面 D.平面平面10.（2022·全國(guó)乙（理）T9）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（）A. B. C. D.11.（2022·新高考Ⅰ卷T4）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫(kù).已知該水庫(kù)水位為海拔時(shí)，相應(yīng)水面的面積為；水位為海拔時(shí)，相應(yīng)水面的面積為，將該水庫(kù)在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫(kù)水位從海拔上升到時(shí)，增加的水量約為（）（）A. B. C. D.12.（2022·新高考Ⅰ卷T8）已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（）A. B. C. D.13.（2022·新高考Ⅰ卷T9）已知正方體，則（）A.直線與所成的角為 B.直線與所成的角為C.直線與平面所成的角為 D.直線與平面ABCD所成的角為14.（2022·新高考Ⅱ卷T7）正三棱臺(tái)高為1，上下底邊長(zhǎng)分別為和，所有頂點(diǎn)在同一球面上，則球的表面積是（）A. B. C. D.15.（2022·新高考Ⅱ卷T11）如圖，四邊形為正方形，平面，，記三棱錐，，的體積分別為，則（）A. B.C. D.16.（2022·北京卷T9）已知正三棱錐的六條棱長(zhǎng)均為6，S是及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合．設(shè)集合，則T表示的區(qū)域的面積為（）A. B. C. D.17.（2022·浙江卷T8）如圖，已知正三棱柱，E，F(xiàn)分別是棱上的點(diǎn)．記與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（）A. B. C. D.二、解答題1.（2022·全國(guó)甲（文）T19）小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面是邊長(zhǎng)為8（單位：）的正方形，均為正三角形，且它們所在的平面都與平面垂直．（1）證明：平面；（2）求該包裝盒的容積（不計(jì)包裝盒材料的厚度）．2.（2022·全國(guó)甲（理）T18）在四棱錐中，底面．（1）證明：；（2）求PD與平面所成的角的正弦值．3.（2022·全國(guó)乙（文）T18）如圖，四面體中，，E為AC的中點(diǎn)．

（1）證明：平面平面ACD；（2）設(shè)，點(diǎn)F在BD上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求三棱錐的體積．4.（2022·全國(guó)乙（理）T18）如圖，四面體中，，E為的中點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）設(shè)，點(diǎn)F在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求與平面所成的角的正弦值．5.（2022·新高考Ⅰ卷T19）如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．

（1）求A到平面的距離；（2）設(shè)D為的中點(diǎn)，，平面平面，求二面角的正弦值．6.（2022·新高考Ⅱ卷T20）如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若，，，求二面角的正弦值．7.（2022·北京卷T17）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，，M，N分別為，AC的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線AB與平面BMN所成角的正弦值．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．8.（2022·浙江卷T19）如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設(shè)M，N分別為的中點(diǎn)．

（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．十、解析幾何一、選擇題1．（2022年全國(guó)甲卷）已知橢圓的離心率為，分別為C的左、右頂點(diǎn)，B為C的上頂點(diǎn)．若，則C的方程為（

）A． B． C． D．2．（2022年全國(guó)甲卷）橢圓的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對(duì)稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．3．（2022年全國(guó)乙卷）設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)，若，則（

）A．2 B． C．3 D．4．（2022年全國(guó)乙卷）雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為，以C的實(shí)軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C交于M，N兩點(diǎn)，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．二、填空題1．（2022年全國(guó)甲卷）設(shè)點(diǎn)M在直線上，點(diǎn)和均在上，則的方程為______________．2．（2022年全國(guó)甲卷）記雙曲線的離心率為e，寫出滿足條件“直線與C無公共點(diǎn)”的e的一個(gè)值______________．3．（2022年全國(guó)甲卷）若雙曲線的漸近線與圓相切，則_________．4．（2022年全國(guó)乙卷）過四點(diǎn)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為____________．5．（2022年新高考1卷）寫出與圓和都相切的一條直線的方程________________．6．（2022年新高考1卷）已知橢圓，C的上頂點(diǎn)為A，兩個(gè)焦點(diǎn)為，，離心率為．過且垂直于的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，，則的周長(zhǎng)是________________．7．（2022年新高考2卷）設(shè)點(diǎn)，若直線關(guān)于對(duì)稱的直線與圓有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是________．8．（2022年新高考2卷）已知直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點(diǎn)，l與x軸，y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，且，則l的方程為___________．三、解答題1．（2022年全國(guó)甲卷）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，過F的直線交C于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí)，．(1)求C的方程；(2)設(shè)直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當(dāng)取得最大值時(shí)，求直線AB的方程．【答案】(1)；(2).2．（2022年全國(guó)乙卷）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸、y軸，且過兩點(diǎn)．(1)求E的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足．證明：直線HN過定點(diǎn)．4．（2022年新高考2卷）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為．(1)求C的方程；(2)過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在C上，且．過P且斜率為的直線與過Q且斜率為的直線交于點(diǎn)M.從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立：①M(fèi)在上；②；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.參考答案一、集合和常用邏輯用語(yǔ)一、單選題1.【答案】D【解析】由題意，，所以,所以?U2.【答案】A【解析】因?yàn)?，，所以?.【答案】A【解析】因?yàn)?，，所以?.【答案】A【解析】由題知,對(duì)比選項(xiàng)知，正確,錯(cuò)誤5.【答案】D詳解），故，6.【答案】B【解析】，故，7.【答案】D【解析】由補(bǔ)集定義可知：?UA={x|?3<x≤?2或，即?8.【答案】D詳解），9.【答案】C【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，記為不超過的最大整數(shù).若為單調(diào)遞增數(shù)列，則，若，則當(dāng)時(shí)，；若，則，由可得，取，則當(dāng)時(shí)，，所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”；若存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，取且，，假設(shè)，令可得，且，當(dāng)時(shí)，，與題設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，則，即數(shù)列是遞增數(shù)列.所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”.所以，“是遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的充分必要條件.10.【答案】A【解析】因?yàn)榭傻茫寒?dāng)時(shí)，，充分性成立；當(dāng)時(shí)，，必要性不成立；所以當(dāng)，是的充分不必要條件.二、復(fù)數(shù)一、單選題1.【答案】C2.【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，所以?.【答案】A【解析】因?yàn)镽，，所以，解得：．4.【答案】A【解析】由,得,即5.【答案】D【解析】由題設(shè)有，故，故，6.【答案】D【解析】，7.【答案】B【解析】由題意有，故．8.【答案】B【解析】，而為實(shí)數(shù)，故，三、不等式一、選擇題1.【答案】A【解析】由可得，而，所以，即，所以．又，所以，即，所以．綜上，．2.【答案】A【解析】因?yàn)?因?yàn)楫?dāng)所以,即,所以；設(shè)，，所以在單調(diào)遞增，則,所以，所以,所以，3.【答案】C【解析】設(shè)，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，設(shè)，則,令，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，所以4.【答案】BC【解析】因?yàn)椋≧），由可變形為，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，所以A錯(cuò)誤，B正確；由可變形為，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以C正確；因?yàn)樽冃慰傻?，設(shè)，所以，因此，所以當(dāng)時(shí)滿足等式，但是不成立，所以D錯(cuò)誤．四、平面向量一、選擇題1.【答案】D【解析】因?yàn)?，所?2.【答案】C【解析】解：∵，又∵∴9，∴3.【答案】B【解析】因?yàn)辄c(diǎn)D在邊AB上，，所以，即，所以．4.【答案】C【解析】解：,,即,解得,二、填空題1.【答案】或【解析】由題意知：，解得.2.【答案】【解析】解：設(shè)與的夾角為，因?yàn)榕c的夾角的余弦值為，即，又，，所以，所以．五、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)一、選擇題1.【答案】A【解析】令，則，所以為奇函數(shù)，排除BD；又當(dāng)時(shí)，，所以，排除C.2.【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)椋砸李}可知，，，而，所以，即，所以，因此函數(shù)在上遞增，在上遞減，時(shí)取最大值，滿足題意，即有．3.【答案】A【解析】設(shè)，則，故排除B;設(shè)，當(dāng)時(shí)，，所以，故排除C;設(shè)，則，故排除D.4.【答案】D【解析】因?yàn)榈膱D像關(guān)于直線對(duì)稱，所以，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，代入得，即，所以?因?yàn)?，所以，即，所?因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，?lián)立得，，所以的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，所以因?yàn)?，所?所以.5.【答案】AC【解析】由題，，令得或，令得，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，所以是極值點(diǎn)，故A正確；因，，，所以，函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上無零點(diǎn)，綜上所述，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；令，該函數(shù)的定義域?yàn)?，，則是奇函數(shù)，是的對(duì)稱中心，將的圖象向上移動(dòng)一個(gè)單位得到的圖象，所以點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心，故C正確；令，可得，又，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，故D錯(cuò)誤.6.【答案】BC【解析】因?yàn)?，均為偶函?shù)，所以即，，所以，，則，故C正確；函數(shù)，的圖象分別關(guān)于直線對(duì)稱，又，且函數(shù)可導(dǎo)，所以，所以，所以，所以，，故B正確，D錯(cuò)誤；若函數(shù)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設(shè)條件，所以無法確定的函數(shù)值，故A錯(cuò)誤.7.【答案】A【解析】因?yàn)?，令可得，，所以，令可得，，即，所以函?shù)為偶函數(shù)，令得，，即有，從而可知，，故，即，所以函數(shù)的一個(gè)周期為．因?yàn)椋?，，，，所以一個(gè)周期內(nèi)的．由于22除以6余4，所以．8.【答案】C【解析】，故A錯(cuò)誤，C正確；，不是常數(shù)，故BD錯(cuò)誤；9.【答案】D【解析】當(dāng)，時(shí)，，此時(shí)二氧化碳處于固態(tài)，故A錯(cuò)誤.當(dāng)，時(shí)，，此時(shí)二氧化碳處于液態(tài)，故B錯(cuò)誤.當(dāng)，時(shí)，與4非常接近，故此時(shí)二氧化碳處于固態(tài)，另一方面，時(shí)對(duì)應(yīng)的是非超臨界狀態(tài)，故C錯(cuò)誤.當(dāng)，時(shí)，因,故此時(shí)二氧化碳處于超臨界狀態(tài)，故D正確.10.【答案】C【解析】因?yàn)?，，即，所以．二、填空題1.【答案】①.；②.．【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．由可得，，所以，解得：，即函數(shù)的定義域?yàn)?，再由可得，．即，在定義域內(nèi)滿足，符合題意．2.【答案】【解析】解：，因?yàn)榉謩e是函數(shù)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，若時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則此時(shí)，與前面矛盾，故不符合題意，若時(shí)，則方程的兩個(gè)根為，即方程的兩個(gè)根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，令，則，設(shè)過原點(diǎn)且與函數(shù)的圖象相切的直線的切點(diǎn)為，則切線的斜率為，故切線方程為，則有，解得，則切線的斜率為，因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以，解得，又，所以，綜上所述，的范圍為.3.【答案】【解析】∵，∴，設(shè)切點(diǎn)為,則,切線斜率,切線方程為：,∵切線過原點(diǎn)，∴,整理得：,∵切線有兩條，∴,解得或,∴的取值范圍是,4.【答案】①.②.【解析】解：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；當(dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；5.【答案】【解析】解：因?yàn)?，所以，解得且，故函?shù)的定義域?yàn)椋?.【答案】①0（答案不唯一）②.1【解析】解：若時(shí)，，∴；若時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，故沒有最小值，不符合題目要求；若時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，∴或，解得，綜上可得；7.【答案】①.②.【解析】由已知，，所以，當(dāng)時(shí)，由可得，所以，當(dāng)時(shí)，由可得，所以，等價(jià)于，所以，所以的最大值為.解答題1.【答案】（1）3（2）（小問1詳解）由題意知，，，，則在點(diǎn)處的切線方程為，即，設(shè)該切線與切于點(diǎn)，，則，解得，則，解得；（小問2詳解），則在點(diǎn)處的切線方程為，整理得，設(shè)該切線與切于點(diǎn)，，則，則切線方程為，整理得，則，整理得，令，則，令，解得或，令，解得或，則變化時(shí)，的變化情況如下表：01000則的值域?yàn)?，故的取值范圍?2.【答案】（1）（2）證明見的解析（小問1詳解）的定義域?yàn)?，?得當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增，若,則,即所以的取值范圍為（小問2詳解）由題知,一個(gè)零點(diǎn)小于1,一個(gè)零點(diǎn)大于1不妨設(shè)要證,即證因?yàn)?即證因?yàn)?即證即證即證下面證明時(shí)，設(shè)，則設(shè)所以,而所以,所以所以在單調(diào)遞增即,所以令所以在單調(diào)遞減即,所以；綜上,,所以.（點(diǎn)睛）關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題極值點(diǎn)偏移問題，關(guān)鍵點(diǎn)是通過分析法，構(gòu)造函數(shù)證明不等式這個(gè)函數(shù)經(jīng)常出現(xiàn)，需要掌握3.【答案】（1）（2）（小問1詳解）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以；（小問2詳解），則，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以，此時(shí)函數(shù)無零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減；又，當(dāng)x趨近正無窮大時(shí)，趨近于正無窮大，所以僅在有唯一零點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，又，所以有唯一零點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減；此時(shí)，又，當(dāng)n趨近正無窮大時(shí)，趨近負(fù)無窮，所以在有一個(gè)零點(diǎn)，在無零點(diǎn)，所以有唯一零點(diǎn)，符合題意；綜上，a的取值范圍為.4.【答案】（1）（2）（小問1詳解）的定義域?yàn)楫?dāng)時(shí),,所以切點(diǎn)為,所以切線斜率為2所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為（小問2詳解）設(shè)若,當(dāng),即所以在上單調(diào)遞增,故在上沒有零點(diǎn),不合題意若,當(dāng),則所以在上單調(diào)遞增所以,即所以在上單調(diào)遞增,故在上沒有零點(diǎn),不合題意若(1)當(dāng),則,所以在上單調(diào)遞增所以存在,使得,即當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增所以當(dāng)當(dāng)所以在上有唯一零點(diǎn)又沒有零點(diǎn),即在上有唯一零點(diǎn)(2)當(dāng)設(shè)所以在單調(diào)遞增所以存在,使得當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增又所以存在,使得,即當(dāng)單調(diào)遞增,當(dāng)單調(diào)遞減有而,所以當(dāng)所以在上有唯一零點(diǎn),上無零點(diǎn)即在上有唯一零點(diǎn)所以,符合題意所以若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍為5.【答案】（1）（小問1詳解）的定義域?yàn)?，而，若，則，此時(shí)無最小值，故.的定義域?yàn)?，?當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，故.當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，故.因?yàn)楹陀邢嗤淖钚≈?，故，整理得到，其中，設(shè)，則，故為上的減函數(shù)，而，故的唯一解為，故的解為.綜上，.（小問2詳解）由（1）可得和的最小值為.當(dāng)時(shí)，考慮的解的個(gè)數(shù)、的解的個(gè)數(shù).設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，而，，設(shè)，其中，則，故在上為增函數(shù)，故，故，故有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即的解的個(gè)數(shù)為2.設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，而，，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)即的解的個(gè)數(shù)為2.當(dāng)，由（1）討論可得、僅有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由（1）討論可得、均無零點(diǎn)，故若存在直線與曲線、有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則.設(shè)，其中，故，設(shè)，，則，故在上為增函數(shù)，故即，所以，所以在上為增函數(shù)，而，，故在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且：當(dāng)時(shí)，即即，當(dāng)時(shí)，即即，因此若存在直線與曲線、有三個(gè)不同交點(diǎn)，故，此時(shí)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，此時(shí)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，故，，，所以即即，故為方程的解，同理也為方程的解又可化為即即，故為方程的解，同理也為方程的解，所以，而，故即.（點(diǎn)睛）思路點(diǎn)睛：函數(shù)的最值問題，往往需要利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，此時(shí)注意對(duì)參數(shù)的分類討論，而不同方程的根的性質(zhì)，注意利用方程的特征找到兩類根之間的關(guān)系.6.【答案】（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）（小問1詳解）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（小問2詳解）設(shè)，則，又，設(shè)，則，若，則，因?yàn)闉檫B續(xù)不間斷函數(shù)，故存在，使得，總有，故在為增函數(shù)，故，故在為增函數(shù)，故，與題設(shè)矛盾.若，則，下證：對(duì)任意，總有成立，證明：設(shè)，故，故在上為減函數(shù)，故即成立.由上述不等式有，故總成立，即在上為減函數(shù)，所以.當(dāng)時(shí)，有，所以在上為減函數(shù)，所以.綜上，.（小問3詳解）取，則，總有成立，令，則，故即對(duì)任意的恒成立.所以對(duì)任意的，有，整理得到：，故，故不等式成立.7.【答案】（1）（2）在上單調(diào)遞增.（3）證明見解析（小問1詳解）解：因?yàn)?，所以，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，又，∴切線斜率∴切線方程為：（小問2詳解）解：因?yàn)?，所以，令，則，∴在上單調(diào)遞增，∴∴在上恒成立，∴上單調(diào)遞增.（小問3詳解）解：原不等式等價(jià)于，令，，即證，∵，，由（2）知在上單調(diào)遞增，∴，∴∴在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，∴，所以命題得證.8.【答案】（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）（?。┮娊馕?；（ⅱ）見解析.（小問1詳解），當(dāng)，；當(dāng)，，故的減區(qū)間為，的增區(qū)間為.（小問2詳解）（ⅰ）因?yàn)檫^有三條不同的切線，設(shè)切點(diǎn)為，故，故方程有3個(gè)不同的根，該方程可整理為，設(shè)，則，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，因?yàn)橛?個(gè)不同的零點(diǎn)，故且，故且，整理得到：且，此時(shí)，設(shè)，則，故為上的減函數(shù)，故，故（ⅱ）當(dāng)時(shí)，同（?。┲杏懻摽傻茫汗试谏蠟闇p函數(shù)，在上為增函數(shù)，不妨設(shè)，則，因?yàn)橛?個(gè)不同的零點(diǎn)，故且，故且，整理得到：，因?yàn)椋?，又，設(shè)，，則方程即為：即為，記則為有三個(gè)不同的根，設(shè)，，要證：，即證，即證：，即證：，即證：，而且，故，故，故即證：，即證：即證：，記，則，設(shè)，則即，故在上為增函數(shù)，故，所以，記，則，所以在為增函數(shù)，故，故即，故原不等式得證：六、數(shù)列一、選擇題1.【答案】D【解析】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，則，與題意矛盾，所以，則，解得，所以.2.【答案】D【解析】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，則，與題意矛盾，所以，則，解得，所以.3.【答案】D【解析】解：因?yàn)?，所以，，得到，同理，可得，又因?yàn)?，故，；以此類推，可得，，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；，得，故C錯(cuò)誤；，得，故D正確.4.【答案】D【解析】設(shè)，則，依題意，有，且，所以，故，5.【答案】B【解析】∵，易得，依次類推可得由題意，，即，∴，即，，，…，，累加可得，即，∴，即，,又，∴，，，…，，累加可得，∴，即，∴，即；綜上：．二、填空題1.【答案】2【解析】由可得，化簡(jiǎn)得，即，解得.2.【答案】①③④【解析】由題意可知，，，當(dāng)時(shí)，，可得；當(dāng)時(shí)，由可得，兩式作差可得，所以，，則，整理可得，因?yàn)椋獾?，①?duì)；假設(shè)數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)其公比為，則，即，所以，，可得，解得，不合乎題意，故數(shù)列不等比數(shù)列，②錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，，可得，所以，數(shù)列為遞減數(shù)列，③對(duì)；假設(shè)對(duì)任意，，則，所以，，與假設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，④對(duì).三、解答題1.【答案】（1）證明見解析；（2）．（小問1詳解）解：因?yàn)椋储?，?dāng)時(shí)，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以為公差的等差數(shù)列．（小問2詳解）解：由（1）可得，，，又，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以，所以，所以，當(dāng)或時(shí)．2.【答案】（1）（2）見解析（小問1詳解）∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數(shù)列，∴,∴,∴當(dāng)時(shí)，，∴,整理得：,即,∴，顯然對(duì)于也成立，∴的通項(xiàng)公式；（小問2詳解）∴3.【答案】（1）證明見解析；（2）．（小問1詳解）設(shè)數(shù)列的公差為，所以，，即可解得，，所以原命題得證．（小問2詳解）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以滿足等式的解，故集合中的元素個(gè)數(shù)為．4.【答案】（1）是連續(xù)可表數(shù)列；不是連續(xù)可表數(shù)列．（2）證明見解析．（3）證明見解析．（小問1詳解），，，，，所以是連續(xù)可表數(shù)列；易知，不存在使得，所以不是連續(xù)可表數(shù)列．（小問2詳解）若,設(shè)為,則至多，6個(gè)數(shù)字，沒有個(gè)，矛盾；當(dāng)時(shí),數(shù)列，滿足，，，，，，，，．（小問3詳解），若最多有種，若，最多有種，所以最多有種，若，則至多可表個(gè)數(shù)，矛盾,從而若,則，至多可表個(gè)數(shù)，而，所以其中有負(fù)的，從而可表1~20及那個(gè)負(fù)數(shù)（恰21個(gè)），這表明中僅一個(gè)負(fù)的，沒有0，且這個(gè)負(fù)的在中絕對(duì)值最小，同時(shí)中沒有兩數(shù)相同,設(shè)那個(gè)負(fù)數(shù)為，則所有數(shù)之和，，，再考慮排序，排序中不能有和相同，否則不足個(gè)，（僅一種方式），與2相鄰，若不在兩端,則形式，若，則（有2種結(jié)果相同，方式矛盾），，同理，故在一端，不妨為形式，若,則（有2種結(jié)果相同，矛盾），同理不行，，則（有2種結(jié)果相同，矛盾），從而，由于,由表法唯一知3,4不相鄰,、故只能，①或，②這2種情形，對(duì)①：，矛盾，對(duì)②：，也矛盾，綜上．5.【答案】（1）（2）（小問1詳解）因?yàn)?，所以，所以，又，所以，所以，所以，（小?詳解）因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，，，由已知方程的判別式大于等于0，所以，所以對(duì)于任意的恒成立，所以對(duì)于任意的恒成立，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由，可得當(dāng)時(shí)，，又所以七、三角函數(shù)與解三角形一、單選題1.【答案】C【解析】由題意知：曲線為，又關(guān)于軸對(duì)稱，則，解得，又，故當(dāng)時(shí)，的最小值為.2.【答案】C【解析】解：依題意可得，因?yàn)椋?，要使函?shù)在區(qū)間恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，又，的圖象如下所示：則，解得，即．3.【答案】D【解析】，所以在區(qū)間和上，即單調(diào)遞增；在區(qū)間上，即單調(diào)遞減，又，，，所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為.4.【答案】A【解析】由函數(shù)的最小正周期T滿足，得，解得，又因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，且，所以，所以，，所以.5.【答案】C【解析】因?yàn)?對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上不單調(diào)，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上不單調(diào)，D錯(cuò).6.【答案】D【解析】解：依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，因?yàn)?，所以在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，，所以，，所以，其中，，因?yàn)?，所以，即?.【答案】D【解析】因?yàn)?，所以把函?shù)圖象上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度即可得到函數(shù)的圖象．8.【答案】D【解析】由已知得：,即：，即：,所以,9.【答案】AD【解析】由題意得：，所以，，即，又，所以時(shí)，，故．對(duì)A，當(dāng)時(shí)，，由正弦函數(shù)圖象知在上是單調(diào)遞減；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，，由正弦函數(shù)圖象知只有1個(gè)極值點(diǎn)，由，解得，即為函數(shù)的唯一極值點(diǎn)；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，，，直線不是對(duì)稱軸；對(duì)D，由得：，解得或,從而得：或,所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為，切線方程為：即．二、填空題1.【答案】【解析】設(shè)，則在中，，在中，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)取最小值時(shí)，.2.【答案】【解析】解：因?yàn)?，（，）所以最小正周期，因?yàn)?，又，所以，即，又為的零點(diǎn)，所以，解得，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)；3.【答案】①.1②.【解析】∵，∴∴4.【答案】.（解析）（分析）根據(jù)題中所給的公式代值解出．【解析】因?yàn)?，所以?.【答案】①.②.【解析】，∴，即，即，令，，則，∴，即，∴，則．三、解答題1.【答案】（1）；（2）證明見解析．（小問1詳解）由，可得，，而，所以，即有，而，顯然，所以，，而，，所以．（小問2詳解）由可得，，再由正弦定理可得，，然后根據(jù)余弦定理可知，，化簡(jiǎn)得：，故原等式成立．2.【答案】（1）見解析（2）14（小問1詳解）證明：因?yàn)椋?，所以，即，所以；（小?詳解）解：因?yàn)?，由?）得，

由余弦定理可得，則，所以，故，所以，所以的周長(zhǎng)為.

3.【答案】（1）；（2）．（小問1詳解）因?yàn)?，即，而，所以；（小?詳解）由（1）知，，所以，而，所以，即有．所以．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．4.【答案】（1）（2）（小問1詳解）由題意得，則，即，由余弦定理得，整理得，則，又，則，，則；（小問2詳解）由正弦定理得：，則，則，.5.【答案】（1）（2）（小問1詳解）解：因?yàn)椋瑒t，由已知可得，可得，因此，.（小問2詳解）解：由三角形的面積公式可得，解得.由余弦定理可得，，所以，的周長(zhǎng)為.6.【答案】（1）；（2）．（小問1詳解）由于，，則．因?yàn)?，由正弦定理知，則．（小問2詳解）因?yàn)?，由余弦定理，得，即，解得，而，，所以的面積．八、概率統(tǒng)計(jì)一、單選題1.【答案】B【解析】講座前中位數(shù)為,所以錯(cuò)；講座后問卷答題的正確率只有一個(gè)是個(gè),剩下全部大于等于,所以講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于,所以B對(duì)；講座前問卷答題的正確率更加分散,所以講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差大于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差,所以C錯(cuò)；講座后問卷答題的正確率的極差為，講座前問卷答題正確率的極差為,所以錯(cuò).2.【答案】C【解析】從6張卡片中無放回抽取2張，共有15種情況，其中數(shù)字之積為4的倍數(shù)的有6種情況，故概率為.故選：C.3.【答案】C【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的樣本中位數(shù)為，A選項(xiàng)結(jié)論正確.對(duì)于B選項(xiàng)，乙同學(xué)課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的樣本平均數(shù)為：，B選項(xiàng)結(jié)論正確.對(duì)于C選項(xiàng)，甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)大于的概率的估計(jì)值，C選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤.對(duì)于D選項(xiàng)，乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)大于的概率的估計(jì)值，D選項(xiàng)結(jié)論正確.4.【答案】D【解析】該棋手連勝兩盤，則第二盤為必勝盤，記該棋手在第二盤與甲比賽，且連勝兩盤的概率為則記該棋手在第二盤與乙比賽，且連勝兩盤的概率為則記該棋手在第二盤與丙比賽，且連勝兩盤的概率為則則即，，則該棋手在第二盤與丙比賽，最大.選項(xiàng)D判斷正確；選項(xiàng)BC判斷錯(cuò)誤；與該棋手與甲、乙、丙的比賽次序有關(guān).選項(xiàng)A判斷錯(cuò)誤.5.【答案】D【解析】從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，共有種不同的取法，若兩數(shù)不互質(zhì)，不同的取法有：，共7種，故所求概率.6.【答案】B【解析】因?yàn)楸∫谝黄穑劝驯±?，看做一個(gè)元素，連同乙，戊看成三個(gè)元素排列,有種排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個(gè)元素的中間兩個(gè)位置任選一個(gè)位置插入，有2種插空方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學(xué)共有：種不同的排列方式，7.【答案】B【解析】令，則，令，則，故，二、填空題1.【答案】.【解析】從正方體的個(gè)頂點(diǎn)中任取個(gè)，有個(gè)結(jié)果，這個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的有個(gè)，故所求概率．2.【答案】或0.3【解析】從5名同學(xué)中隨機(jī)選3名的方法數(shù)為甲、乙都入選的方法數(shù)為，所以甲、乙都入選的概率3.【答案】##．【解析】因?yàn)?，所以，因此?.【答案】①.②.【解析】含的項(xiàng)為：，故；令，即，令，即，∴，5.【答案】-28【解析】因?yàn)椋缘恼归_式中含的項(xiàng)為，的展開式中的系數(shù)為-286.【答案】①.，②.##【解析】從寫有數(shù)字1,2,2,3,4,5,6的7張卡片中任取3張共有種取法，其中所抽取的卡片上的數(shù)字的最小值為2的取法有種，所以，由已知可得的取值有1，2，3，4，，，，所以,三、解答題1.【答案】（1）A，B兩家公司長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率分別為，（2）有（小問1詳解）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，A共有班次260次，準(zhǔn)點(diǎn)班次有240次，設(shè)A家公司長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)事件為M，則；B共有班次240次，準(zhǔn)點(diǎn)班次有210次，設(shè)B家公司長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)事件為N，則.A家公司長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率為；B家公司長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率為.（小問2詳解）列聯(lián)表準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)合計(jì)A24020260B21030240合計(jì)45050500=，根據(jù)臨界值表可知，有的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān).2.【答案】（1）；（2）分布列見解析，.（小問1詳解）設(shè)甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的事件依次記為，所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為．（小問2詳解）依題可知，的可能取值為，所以，,，，.即分布列為01020300.160.440.340.06期望.3.【答案】（1）；（2）（3）小問1詳解）樣本中10棵這種樹木的根部橫截面積的平均值樣本中10棵這種樹木的材積量的平均值據(jù)此可估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積為，平均一棵的材積量為小問2詳解）則（小問3詳解）設(shè)該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值為，又已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，可得，解之得．則該林區(qū)這種樹木的總材積量估計(jì)為4.【答案】（1）答案見解析（2）（i）證明見解析；(ii)；（小問1詳解）由已知，又，，所以有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.（小問2詳解）(i)因?yàn)?，所以所以?ii)由已知，，又，，所以5.【答案】（1）歲；（2）；（3）．（小問1詳解）平均年齡（歲）．（小問2詳解）設(shè){一人患這種疾病的年齡在區(qū)間}，所以．（小問3詳解）設(shè)任選一人年齡位于區(qū)間，任選一人患這種疾病，則由條件概率公式可得．6.【答案】（1）0.4（2）（3）丙（小問1詳解）由頻率估計(jì)概率可得甲獲得優(yōu)秀的概率為0.4，乙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，丙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，故答案為0.4（小問2詳解）設(shè)甲獲得優(yōu)秀為事件A1,乙獲得優(yōu)秀為事件A2，丙獲得優(yōu)秀為事件A3，，，.∴X的分布列為X0123P∴（小問3詳解）丙奪冠概率估計(jì)值最大.因?yàn)殂U球比賽無論比賽幾次就取最高成績(jī).比賽一次，丙獲得9.85的概率為，甲獲得9.80的概率為，乙獲得9.78的概率為.并且丙的最高成績(jī)是所有成績(jī)中最高的，比賽次數(shù)越多，對(duì)丙越有利.九、立體幾何一、單選題1.【答案】B【解析】由三視圖還原幾何體，如圖，

則該直四棱柱的體積.2.【答案】D【解析】如圖所示：不妨設(shè)，依題以及長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征可知，與平面所成角為，與平面所成角為，所以，即，，解得．對(duì)于A，，，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，過作于，易知平面，所以與平面所成角為，因?yàn)?，所以，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，與平面所成角為，，而，所以．D正確．3.【答案】C【解析】解：設(shè)母線長(zhǎng)為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，則，所以，又，則，所以，所以甲圓錐的高，乙圓錐的高，所以.4.【答案】D【解析】如圖所示：不妨設(shè)，依題以及長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征可知，與平面所成角為，與平面所成角為，所以，即，，解得．對(duì)于A，，，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，過作于，易知平面，所以與平面所成角為，因?yàn)?，所以，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，與平面所成角為，，而，所以．D正確．5.【答案】B【解析】解：如圖，連接，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，又，所以三點(diǎn)共線，即，又，所以，則，故，所以.6.【答案】C【解析】解：設(shè)母線長(zhǎng)為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，則，所以，又，則，所以，所以甲圓錐的高，乙圓錐的高，所以.7.【答案】A8.【答案】C【解析】設(shè)該四棱錐底面為四邊形ABCD，四邊形ABCD所在小圓半徑為r，設(shè)四邊形ABCD對(duì)角線夾角為，則（當(dāng)且僅當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)等號(hào)成立）即當(dāng)四棱錐的頂點(diǎn)O到底面ABCD所在小圓距離一定時(shí)，底面ABCD面積最大值為又則當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，9.【答案】A【解析】解：在正方體中，且平面，又平面，所以，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正確；如圖，以點(diǎn)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，則，，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，同理可得平面的法向量為，平面的法向量為，平面的法向量為，則，所以平面與平面不垂直，故B錯(cuò)誤；因?yàn)榕c不平行，所以平面與平面不平行，故C錯(cuò)誤；因?yàn)榕c不平行，所以平面與平面不平行，故D錯(cuò)誤，10.【答案】C【解析】設(shè)該四棱錐底面為四邊形ABCD，四邊形ABCD所在小圓半徑為r，設(shè)四邊形ABCD對(duì)角線夾角為，則（當(dāng)且僅當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)等號(hào)成立）即當(dāng)四棱錐的頂點(diǎn)O到底面ABCD所在小圓距離一定時(shí)，底面ABCD面積最大值為又則當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，11.【答案】C【解析】依題意可知棱臺(tái)的高為(m)，所以增加的水量即為棱臺(tái)的體積．棱臺(tái)上底面積，下底面積，∴．12.【答案】C【解析】∵球的體積為，所以球的半徑,設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為，則，,所以，所以正四棱錐的體積，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，正四棱錐的體積取最大值，最大值為，又時(shí)，，時(shí)，,所以正四棱錐的體積的最小值為，所以該正四棱錐體積的取值范圍是.13.【答案】ABD【解析】如圖，連接、，因?yàn)?，所以直線與所成的角即為直線與所成的角，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則，故直線與所成的角為，A正確；連接，因?yàn)槠矫妫矫?，則，因?yàn)?，，所以平面，又平面，所以，故B正確；連接，設(shè)，連接，因?yàn)槠矫?，平面，則，因?yàn)椋?，所以平面，所以為直線與平面所成的角，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，則，，，所以，直線與平面所成的角為，故C錯(cuò)誤；因?yàn)槠矫?，所以為直線與平面所成的角，易得，故D正確.14.【答案】A【解析】設(shè)正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑，所以，即，設(shè)球心到上下底面的距離分別為，球的半徑為，所以，，故或，即或，解得符合題意，所以球的表面積為．15.【答案】CD【解析】設(shè)，因?yàn)槠矫?，，則，，連接交于點(diǎn)，連接，易得，又平面，平面，則，又，平面，則平面，又，過作于，易得四邊形為矩形，則，則，，，則，，，則，則，，，故A、B錯(cuò)誤；C、D正確.16.【答案】B【解析】設(shè)頂點(diǎn)在底面上的投影為，連接，則為三角形的中心，且，故.因?yàn)?，故，故的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓，而三角形內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，故的軌跡圓在三角形內(nèi)部，故其面積為17.【答案】A【解析】如圖所示，過點(diǎn)作于，過作于，連接，則，，，，，，所以，二、解答題1.【答案】（1）證明見解析；（2）．（小問1詳解）如圖所示：，分別取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉槿鹊恼切?，所以，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，同理可得平面，根?jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知，而，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．（小問2詳解）如圖所示：，分別取中點(diǎn)，由（1）知，且，同理有，，，，由平面知識(shí)可知，，，，所以該幾何體的體積等于長(zhǎng)方體的體積加上四棱錐體積的倍．因?yàn)?，，點(diǎn)到平面的距離即為點(diǎn)到直線的距離，，所以該幾何體的體積．2.【答案】（1）證明見解析；（2）.（小問1詳解）證明：在四邊形中，作于，于，因?yàn)?，所以四邊形為等腰梯形，所以，故，，所以，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，所以平面，又因平面，所以；（小?詳解）解：如圖，以點(diǎn)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，，則，則，設(shè)平面的法向量，

則有，可取，則，所以與平面所成角的正弦值為.3.【答案】（1）證明詳見解析（2）（小問1詳解）由于，是的中點(diǎn)，所以.由于，所以，所以，故，由于，平面，所以平面，由于平面，所以平面平面.（小問2詳解）依題意，，三角形是等邊三角形，所以，由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以.，所以，由于，平面，所以平面.由于，所以，由于，所以，所以，所以，由于，所以當(dāng)最短時(shí)，三角形的面積最小值.過作，垂足為，在中，，解得，所以，所以過作，垂足為，則，所以平面，且，所以,所以.4.【答案】（1）證明過程見解析（2）與平面所成的角的正弦值為（小問1詳解）因?yàn)椋珽為的中點(diǎn)，所以；在和中，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以；又因?yàn)槠矫?，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?（小問2詳解）連接，由（1）知，平面，因?yàn)槠矫妫?，所以，?dāng)時(shí)，最小，即的面積最小.因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以是等邊三角形，因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)椋?在中，，所以.以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，又因?yàn)?，所以，所以，設(shè)與平面所成的角的正弦值為，所以，所以與平面所成的角的正弦值為.5.【答案】（1）（2）（小問1詳解）在直三棱柱中，設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為h，則，解得，所以點(diǎn)A到平面的距離為；（小問2詳解）取的中點(diǎn)E,連接AE,如圖，因?yàn)?，所?又平面平面，平面平面，且平面，所以平面，在直三棱柱中，平面，由平面，平面可得，，又平面且相交，所以平面，所以兩兩垂直，以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，由（1）得，所以，，所以，則,所以的中點(diǎn)，則，,設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，可取，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，可取，則，所以二面角的正弦值為.6.【答案】（1）證明見解析（2）小問1詳解）證明：連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接、，因?yàn)槭侨忮F的高，所以平面，平面，所以、，又，所以，即，所以，又，即，所以，，所以所以，即，所以為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面（小問2詳解）解：過點(diǎn)作，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，所以，又，所以，則，，所以，所以，，，，所以，則，，，設(shè)平面法向量為，則，令，則，，所以；設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以；所以設(shè)二面角為，由圖可知二面角為鈍二面角，所以，所以故二面角的正弦值為；7.【答案】（1）見解析（2）見解析（小問1詳解）取的中點(diǎn)為，連接，由三棱柱可得四邊形為平行四邊形，而，則，而平面，平面，故平面，而，則，同理可得平面，而平面，故平面平面，而平面，故平面，（小問2詳解）因?yàn)閭?cè)面為正方形，故，而平面，平面平面，平面平面，故平面，因?yàn)?，故平面，因?yàn)槠矫妫?，若選①，則，而，，故平面，而平面，故，所以，而，，故平面，故可建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，則，故，設(shè)平面的法向量為，則，從而，取，則，設(shè)直線與平面所成的角為，則.若選②，因?yàn)?，故平面，而平面，故，而，故，而，，故，所以，故，而，，故平面，故可建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，則，故，設(shè)平面的法向量為，則，從而，取，則，設(shè)直線與平面所成的角為，則.8.【答案】（1）證明見解析；（2）．（小問1詳解）過點(diǎn)、分別做直線、的垂線、并分別交于點(diǎn)交于點(diǎn)、．∵四邊形和都是直角梯形，，，由平面幾何知識(shí)易知，，則四邊形和四邊形是矩形，∴在Rt和Rt，，∵，且，∴平面是二面角的平面角，則，∴是正三角形，由平面，得平面平面，∵是的中點(diǎn)，，又平面，平面，可得，而，∴平面，而平面．（小問2詳解）因?yàn)槠矫?，過點(diǎn)做平行線，所以以點(diǎn)為原點(diǎn)，，、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為由，得，取，設(shè)直線與平面所成角為，∴．十、解析幾何一、選擇題1．【答案】B【解析】解：因?yàn)殡x心率，解得，，分別為C的左右頂點(diǎn)，則，B為上頂點(diǎn)，所以.所以，因?yàn)樗?，將代入，解得，故橢圓的方程為.2．【答案】A【解析】解法1：設(shè)而不求設(shè)，則則由得：，由，得，所以，即，所以橢圓的離心率，故選A.解法2：第三定義設(shè)右端點(diǎn)為B，連接PB，由橢圓的對(duì)稱性知：故，由橢圓第三定義得：，故所以橢圓的離心率，故選A.3．【答案】B【解析】由題意得，，則，即點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方，代入得，，所以.4．【答案】AC【解析】方法一（幾何法，雙曲線定義的應(yīng)用）情況一M、N在雙曲線的同一支，依題意不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在軸，設(shè)過作圓的切線切點(diǎn)為B，所以，因?yàn)?，所以在雙曲線的左支，，，，設(shè)，由即，則，選A情況二若M、N在雙曲線的兩支，因?yàn)?，所以在雙曲線的右支，所以，，，設(shè)，由，即，則，所以，即，所以雙曲線的離心率選C方法二（答案回代法）特值雙曲線，過且與圓相切的一條直線為，兩交點(diǎn)都在左支,，，則，特值雙曲線，過且與圓相切的一條直線為，兩交點(diǎn)在左右兩支，在右支，，，則，解法三：依題意不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在軸，設(shè)過作圓的切線切點(diǎn)為，若分別在左右支，因?yàn)?，且，所以在雙曲線的右支，又，，，設(shè)，，在中，有，故即，所以，而，，，故，代入整理得到，即，所以雙曲線的離心率若均在左支上，同理有，其中為鈍角，故，故即，代入，，，整理得到：，故，故，二、填空題1．【答案】【解析】方法一：（三點(diǎn)共圓）∵點(diǎn)M在直線上，∴設(shè)點(diǎn)M為，又因?yàn)辄c(diǎn)和均在上，∴點(diǎn)M到兩點(diǎn)的距離相等且為半徑R，∴，，解得，∴，，的方程為.方法二：（圓的幾何性質(zhì)）由題可知，M是以（3，0）和（0，1）為端點(diǎn)的線段垂直平分線y=3x-4與直線的