龍文教育學科教師輔導講義因式分解的常用方法方法介紹一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、運用公式法.在整式的乘、除中，我們學過若干個乘法公式，現(xiàn)將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b)=a2-b2---------a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)(a±b)2=a2±2ab+b2———a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3------a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再補充兩個常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；例.已知是的三邊，且，則的形狀是（）A.直角三角形B等腰三角形C等邊三角形D等腰直角三角形解：三、分組分解法.（一）分組后能直接提公因式例1、分解因式：分析：從“整體”看，這個多項式的各項既沒有公因式可提，也不能運用公式分解，但從“局部”看，這個多項式前兩項都含有a，后兩項都含有b，因此可以考慮將前兩項分為一組，后兩項分為一組先分解，然后再考慮兩組之間的聯(lián)系。解：原式==每組之間還有公因式！=例2、分解因式：解法一：第一、二項為一組；解法二：第一、四項為一組；第三、四項為一組。第二、三項為一組。解：原式=原式=====練習：分解因式1、2、（二）分組后能直接運用公式例3、分解因式：分析：若將第一、三項分為一組，第二、四項分為一組，雖然可以提公因式，但提完后就能繼續(xù)分解，所以只能另外分組。解：原式===例4、分解因式：解：原式===練習：分解因式3、4、綜合練習：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）四、十字相乘法.（一）二次項系數(shù)為1的二次三項式直接利用公式——進行分解。特點：（1）二次項系數(shù)是1；（2）常數(shù)項是兩個數(shù)的乘積；（3）一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩因數(shù)的和。例5、分解因式：解：原式=1-1=1-6（-1）+（-6）=-7練習5、分解因式(1)(2)(3)練習6、分解因式(1)(2)(3)（二）二次項系數(shù)不為1的二次三項式——條件：（1）（2）（3）分解結果：=例6、分解因式：分析：1-23-5（-6）+（-5）=-11解：=練習7、分解因式：（1）（2）（3）（4）（三）二次項系數(shù)為1的齊次多項式例7、分解因式：分析：將看成常數(shù)，把原多項式看成關于的二次三項式，利用十字相乘法進行分解。18b1-16b8b+(-16b)=-8b解：==練習8、分解因式(1)(2)(3)（四）二次項系數(shù)不為1的齊次多項式例8、例9、1-2y把看作一個整體1-12-3y1-2(-3y)+(-4y)=-7y(-1)+(-2)=-3解：原式=解：原式=練習9、分解因式：（1）（2）綜合練習（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）思考：分解因式：五、換元法。例10、分解因式（1）（2）解：（1）設2005=，則原式===（2）型如的多項式，分解因式時可以把四個因式兩兩分組相乘。原式=設，則∴原式====練習13、分解因式（1）（2）（3）例11、分解因式（1）觀察：此多項式的特點——是關于的降冪排列，每一項的次數(shù)依次少1，并且系數(shù)成“軸對稱”。這種多項式屬于“等距離多項式”。方法：提中間項的字母和它的次數(shù)，保留系數(shù)，然后再用換元法。解：原式==設，則∴原式=======（2）解：原式==設，則∴原式====練習14、（1）（2）六、添項、拆項、配方法。例15、分解因式（1）解法1——拆項。解法2——添項。原式=原式=========（2）解：原式====練習15、分解因式（1）（2）（3）（4）（5）（6）知識總結歸納因式分解是把一個多項式分解成幾個整式乘積的形式，它和整式乘法互為逆運算，在初中代數(shù)中占有重要的地位和作用，在其它學科中也有廣泛應用，學習本章知識時，應注意以下幾點。1.因式分解的對象是多項式；2.因式分解的結果一定是整式乘積的形式；3.分解因式，必須進行到每一個因式都不能再分解為止；4.公式中的字母可以表示單項式，也可以表示多項式；5.結果如有相同因式，應寫成冪的形式；6.題目中沒有指定數(shù)的范圍，一般指在有理數(shù)范圍內分解；7.因式分解的一般步驟是：（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“變”的步驟。即首先看有無公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前兩個步驟都不能實施，可用分組分解法，分組的目的是使得分組后有公因式可提或可利用公式法繼續(xù)分解；（2）若上述方法都行不通，可以嘗試用配方法、換元法、待定系數(shù)法、試除法、拆項（添項）等方法；下面我們一起來回顧本章所學的內容。1.通過基本思路達到分解多項式的目的例1.分解因式分析：這是一個六項式，很顯然要先進行分組，此題可把分別看成一組，此時六項式變成二項式，提取公因式后，再進一步分解；也可把，，分別看成一組，此時的六項式變成三項式，提取公因式后再進行分解。解一：原式解二：原式=2.通過變形達到分解的目的例1.分解因式解一：將拆成，則有解二：將常數(shù)拆成，則有3.在證明題中的應用例：求證：多項式的值一定是非負數(shù)分析：現(xiàn)階段我們學習了兩個非負數(shù)，它們是完全平方數(shù)、絕對值。本題要證明這個多項式是非負數(shù)，需要變形成完全平方數(shù)。證明：設，則4.因式分解中的轉化思想例：分解因式：分析：本題若直接用公式法分解，過程很復雜，觀察a+b，b+c與a+2b+c的關系，努力尋找一種代換的方法。解：設a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B說明：在分解因式時，靈活運用公式，對原式進行“代換”是很重要的。一元二次方程1、一元二次方程的一般式：，為二次項系數(shù)，為一次項系數(shù)，為常數(shù)項。一元二次方程的解法直接開平方法（也可以使用因式分解法）=1\*GB3①解為：=2\*GB3②解為：=3\*GB3③解為：=4\*GB3④解為：因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法如：此類方程適合用提供因此，而且其中一個根為0配方法=1\*GB3①二次項的系數(shù)為“1”的時候：直接將一次項的系數(shù)除于2進行配方，如下所示：示例：=2\*GB3②二次項的系數(shù)不為“1”的時候：先提取二次項的系數(shù)，之后的方法同上：示例：（4）公式法：一元二次方程，用配方法將其變形為：=1\*GB3①當時，右端是正數(shù)．因此，方程有兩個不相等的實根：=2\*GB3②當時，右端是零．因此，方程有兩個相等的實根：=3\*GB3③當時，右端是負數(shù)．因此，方程沒有實根。備注：公式法解方程的步驟：=1\*GB3①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：，并確定出、、=2\*GB3②求出，并判斷方程解的情況。=3\*GB3③代公式：（要注意符號）3、一元二次方程的根與系數(shù)的關系 法1：一元二次方程的兩個根為： 所以：， 定理：如果一元二次方程定的兩個根為，那么：法2：如果一元二次方程定的兩個根為；那么兩邊同時除于，展開后可得：；法3：如果一元二次方程定的兩個根為；那么=2\*GB3②=1\*GB3①=1\*GB3①=2\*GB3②得：（余下略）=2\*GB3②=1\*GB3①常用變形：，，，，，等例題講解1、（2007北京）解方程：．2、（2007浙江嘉興）解方程：x2＋3＝3(x＋1)．3、（2007湖南株州）已知x＝1是一元二次方程的一個解，且，求的值.4、（2007湖北天門）已知關于x的一元二次方程x2＋4x＋m－1＝0。(1)請你為m選取一個合適的整數(shù)，使得到的方程有兩個不相等的實數(shù)根；(2)設α、β是(1)中你所得到的方程的兩個實數(shù)根，求α2＋β2＋αβ的值。5、（2007安徽?。?jù)報道，我省農作物秸桿的資源巨大，但合理利用量十分有限，2006年的利用率只有30%，大部分秸桿被直接焚燒了，假定我省每年產出的農作物秸桿總量不變，且合理利用量的增長率相同，要使2008年的利用率提高到60%，求每年的增長率。(取≈1.41)6、（2007四川眉山）黃金周長假推動了旅游經濟的發(fā)展．下圖是根據(jù)國家旅游局提供的近年來歷次黃金周旅游收入變化圖．(1)根據(jù)圖中提供的信息．請你寫出兩條結論；(2)根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，求2002年至2004年的“十一”黃金周全國旅游收入平均每年增長的百分率(精確到0．1)7、（2007四川綿陽）已知x1，x2是關于x的方程（x－2）（x－m）=（p－2）（p－m）的兩個實數(shù)根．（1）求x1，x2的值；（2）若x1，x2是某直角三角形的兩直角邊的長，問當實數(shù)m，p滿足什么條件時，此直角三角形的面積最大？及時練習1.(2011江蘇南京，19，6分)解方程x2－4x＋1=02．題甲：已知關于x的方程的兩根為、，且滿足.求的值。3.（2011江蘇無錫，20(1)，4分）解方程：x2+4x?2=0；4.（2011湖北武漢市，17，6分）（本題滿分6分）解方程：x2＋3x＋1=0．5.（2011湖北襄陽，22，6分）汽車產業(yè)是我市支柱產業(yè)之一，產量和效益逐年增加.據(jù)統(tǒng)計，2008年我市某種品牌汽車的年產量為6.4萬輛，到2010年，該品牌汽車的年產量達到10萬輛.若該品牌汽車年產量的年平均增長率從2008年開始五年內保持不變，則該品牌汽車2011年的年產量為多少萬輛？6.（2011山東東營，22，10分）(本題滿分10分)隨著人們經濟