2023-2024學(xué)年北京市東城區(qū)第五十五中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖所示，一圓形紙片的圓心為O，F(xiàn)是圓內(nèi)一定點，M是圓周上一動點，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設(shè)CD與OM交于點P，則點P的軌跡是（）A.圓 B.雙曲線C.拋物線 D.橢圓2．設(shè)是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在平面內(nèi)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限3．已知函數(shù)（是的導(dǎo)函數(shù)），則（）A.21 B.20C.16 D.114．函數(shù)的值域為（）A. B.C. D.5．已知拋物線的焦點為，為坐標(biāo)原點，點在拋物線上，且，點是拋物線的準(zhǔn)線上的一動點，則的最小值為（）.A. B.C. D.6．下列雙曲線中，漸近線方程為的是A. B.C. D.7．在中，角所對的邊分別為，，，則外接圓的面積是（）A. B.C. D.8．如圖，雙曲線，是圓的一條直徑，若雙曲線過，兩點，且離心率為，則直線的方程為（）A. B.C. D.9．方程表示的曲線經(jīng)過的一點是（）A. B.C. D.10．拋物線焦點坐標(biāo)為（）A. B.C. D.11．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點，且它們的離心率之積為1，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.12．空間四點共面，但任意三點不共線，若為該平面外一點且，則實數(shù)的值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．矩形ABCD中，，在CD邊上任取一點M，則的最大邊是AB的概率為______14．過點，且垂直于的直線方程為_______________.15．已知點，，其中，若線段的中點坐標(biāo)為，則直線的方程為________16．如圖，在正四棱錐中，為棱PB的中點，為棱PD的中點，則棱錐與棱錐的體積之比為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，已知頂點，，動點分別在軸，軸上移動，延長至點，使得，且.（1）求動點的軌跡；（2）過點分別作直線交曲線于兩點，若直線的傾斜角互補，證明：直線的斜率為定值；（3）過點分別作直線交曲線于兩點，若，直線是否經(jīng)過定點？若是，求出該定點，若不是，說明理由.18．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點，，（1）求直線BC的方程；（2）記的外接圓為圓M，若直線OC被圓M截得的弦長為4，求點C的坐標(biāo)19．（12分）已知橢圓經(jīng)過點，（1）求橢圓的方程；（2）已知直線的傾斜角為銳角，與圓相切，與橢圓交于、兩點，且的面積為，求直線的方程20．（12分）如圖所示，在空間四邊形中，，分別為，的中點，，分別在，上，且．求證：（1）、、、四點共面；（2）與的交點在直線上21．（12分）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且.（1）求角C的大??；（2）若，求△ABC面積的最大值.22．（10分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，ADC=PAB=90°，BC=CD=AD.E為棱AD的中點，異面直線PA與CD所成的角為90°.（I）在平面PAB內(nèi)找一點M，使得直線CM∥平面PBE，并說明理由；(II)若二面角P-CD-A的大小為45°，求直線PA與平面PCE所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)題意知,所以,故點P的軌跡是橢圓.【詳解】由題意知，關(guān)于CD對稱，所以，故，可知點P的軌跡是橢圓.【點睛】本題主要考查了橢圓的定義，屬于中檔題.2、A【解析】計算出復(fù)數(shù)即可得出結(jié)果.【詳解】由于，對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，在第一象限，故選：A.3、B【解析】根據(jù)已知求出，即得解.【詳解】解：由題得，所以.故選：B4、C【解析】根據(jù)基本不等式即可求出【詳解】因為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以函數(shù)的值域為故選：C5、A【解析】求出點坐標(biāo)，做出關(guān)于準(zhǔn)線的對稱點，利用連點之間相對最短得出為的最小值【詳解】解：拋物線的準(zhǔn)線方程為，，到準(zhǔn)線的距離為2，故點縱坐標(biāo)為1，把代入拋物線方程可得不妨設(shè)在第一象限，則，點關(guān)于準(zhǔn)線的對稱點為，連接，則，于是故的最小值為故選：A【點睛】本題考查了拋物線的簡單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題6、A【解析】由雙曲線的漸進(jìn)線的公式可行選項A的漸進(jìn)線方程為，故選A.考點：本題主要考查雙曲線的漸近線公式.7、B【解析】利用余弦定理可得，然后利用正弦定理可得，即求.【詳解】因為，所以，由余弦定理得，，所以，設(shè)外接圓的半徑為，由正統(tǒng)定理得，，所以，所以外接圓的面積是.故選：B.8、D【解析】由離心率求得，設(shè)出兩點坐標(biāo)代入雙曲線方程相減求得直線斜率與的關(guān)系得結(jié)論【詳解】由題意，則，即，由圓方程知，設(shè)，，則，，又，兩式相減得，所以，直線方程為，即故選：D9、C【解析】當(dāng)時可得，可得答案.【詳解】當(dāng)時可得所以方程表示的曲線經(jīng)過的一點是，且其它點都不滿足方程，故選：C10、C【解析】由拋物線方程確定焦點位置，確定焦參數(shù)，得焦點坐標(biāo)【詳解】拋物線的焦點在軸正半軸，，，，因此焦點坐標(biāo)為故選：C11、A【解析】計算雙曲線的焦點為，離心率，得到橢圓的焦點為，離心率，計算得到答案.【詳解】雙曲線的焦點為，離心率，故橢圓的焦點為，離心率，即.解得，故橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故選：.【點睛】本題考查了橢圓和雙曲線的離心率，焦點，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，意在考查學(xué)生的計算能力.12、A【解析】由空間向量共面定理構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】空間四點共面，但任意三點不共線，，解得：.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先利用勾股定理得出滿足條件的長度，再結(jié)合幾何概型的概率公式得出答案.【詳解】設(shè)，當(dāng)時，，；當(dāng)時，，所以當(dāng)?shù)降木嚯x都大于時，的最大邊是AB，所以的最大邊是AB的概率為.故答案為：14、【解析】求出，可得垂直于的直線的斜率為，再利用點斜式可得結(jié)果.【詳解】因為，所以，所以垂直于的直線的斜率為，垂直于的直線方程為，化為，故答案為.【點睛】對直線位置關(guān)系的考查是熱點命題方向之一，這類問題以簡單題為主，主要考查兩直線垂直與兩直線平行兩種特殊關(guān)系：在斜率存在的前提下，（1）；（2），這類問題盡管簡單卻容易出錯，特別是容易遺忘斜率不存在的情況，這一點一定不能掉以輕心.15、【解析】根據(jù)中點坐標(biāo)公式求出，再根據(jù)直線的兩點式方程即可得出答案.【詳解】解：由，，得線段的中點坐標(biāo)為，所以，解得，所以直線的方程為，即.故答案為：.16、【解析】根據(jù)圖形可求出與棱錐的體積之比，即可求出結(jié)果【詳解】如圖所示：棱錐可看成正四棱錐減去四個小棱錐的體積得到，設(shè)正四棱錐的體積為，為PB的中點，為PD的中點，所以，而，同理，故棱錐的體積的為，即棱錐與棱錐的體積之比為故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析；（3）.【解析】（1）設(shè)點M,P,Q的坐標(biāo),將向量進(jìn)行坐標(biāo)化，整理即可得軌跡方程；（2）設(shè)點，，直線的傾斜角互補，則兩直線斜率互為相反數(shù)，用斜率公式計算得到，即可計算kAB；（3）若，由兩直線斜率積為-1，可得到關(guān)于與的等量關(guān)系，寫出直線AB的方程，將等量關(guān)系代入直線方程整理可得直線AB經(jīng)過的定點【詳解】（1）設(shè)，，.由，得，即.因為，所以，所以.所以動點的軌跡為拋物線，其方程為.（2）證明：設(shè)點，，若直線的傾斜角互補，則兩直線斜率互為相反數(shù)，又，，所以，，整理得，所以.（3）因為，所以，即，①直線的方程為：，整理得：，②將①代入②得，即，當(dāng)時，即直線經(jīng)過定點.【點睛】本題考查直接法求軌跡方程，考查直線斜率為定值的求法和直線恒過定點問題.18、（1）；（2）.【解析】(1)延長CB交x軸于點N，根據(jù)給定條件求出即可計算作答.(2)利用待定系數(shù)法求出圓M的方程，再由給定弦長確定C點位置，推理計算得解.【小問1詳解】延長CB交x軸于點N，如圖，因，則，又，則有，又，于是得，則直線BC的傾斜角為120°，直線BC的斜率，因此，，即所以直線BC的方程為.【小問2詳解】依題意，設(shè)圓M的方程為，由(1)得：，解得，于是得圓M的方程為，即，圓心，半徑，因直線OC被圓M所截的弦長為4，則直線OC過圓心，其方程為，由解得，即，所以點C的坐標(biāo)是.19、（1）（2）【解析】(1)將點M、N的坐標(biāo)代入橢圓方程計算，求出a、b的值即可；(2)設(shè)l的方程為：，，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可得，直線方程聯(lián)立橢圓方程并消去y，利用韋達(dá)定理表示出，根據(jù)弦長公式求出，進(jìn)而列出關(guān)于k的方程，解之即可.【小問1詳解】橢圓經(jīng)過點，則，解得，【小問2詳解】設(shè)l的方程為：與圓相切設(shè)點，∴（則Δ>0，，，，，，，，，故，20、（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】（1）由平行關(guān)系轉(zhuǎn)化，可得，即可證明四點共面；（2）由條件證明與的交點既在平面上，又在平面上，即可證明.【詳解】證明（1）∵，∴∵，分別為，的中點，∴，∴，∴，，，四點共面（2）∵，不是，的中點，∴，且，故為梯形∴與必相交，設(shè)交點為，∴平面，平面，∴平面，且平面，∴，即與的交點在直線上21、（1）（2）【解析】（1）對，利用正弦定理和誘導(dǎo)公式整理化簡得到，即可求出；（2）先由正弦定理求出c，再由余弦定理和基本不等式求出ab的最大值為1，代入面積公式求面積.【小問1詳解】對于.由正弦定理知：即.所以.所以.所以因為，，所以.所以.因為，所以.【小問2詳解】因為，由正弦定理知：.由余弦定理知：，所以.當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以ab的最大值為1.所以，即面積的最大值為.22、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.【解析】本題考查線面平行、線線平行、向量法等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、分析問題的能力、計算能力.第一問，利用線面平行的定理，先證明線線平行，再證明線面平行；第二問，可以先找到線面角，再在三角形中解出正弦值，還可以用向量法建立直角坐標(biāo)系解出正弦值.試題解析：（Ⅰ）在梯形ABCD中，AB與CD不平行.延長AB，DC，相交于點M（M∈平面PAB），點M即為所求的一個點.理由如下：由已知，BC∥ED，且BC=ED.所以四邊形BCDE是平行四邊形.從而CM∥EB.又EB平面PBE，CM平面PBE，所以CM∥平面PBE.（說明：延長AP至點N，使得AP=PN，則所找的點可以是直線MN上任意一點）（Ⅱ）方法一：由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A，所以CD⊥平面PAD.從而CD⊥PD.所以PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以PDA=45°.設(shè)BC=1，則在Rt△PAD中，PA=AD=2.過點A作AH⊥CE，交CE的延長線于點H，連接PH.易知PA⊥平面ABCD，從而PA⊥CE.于是CE⊥平面PAH.所以平面PCE⊥平面PAH.過A作AQ⊥PH于Q，則AQ⊥平面PCE.所以APH是PA與平面PCE所成的角.在Rt△AEH中，AEH=45°，AE=1，所以AH=.在Rt△PAH中，PH==，所以sinAPH==.方法二：由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A，所以CD⊥平面PAD.于是CD⊥PD.從而PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以PDA=45°.由PA⊥AB，可得PA⊥平面ABC