2023-2024學(xué)年甘肅省天水市第六中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．直線與圓相切，則實(shí)數(shù)等于（）A.或 B.或C.3或5 D.5或32．已知函數(shù)在上可導(dǎo)，且，則與的大小關(guān)系為A. B.C. D.不確定3．如圖在平行六面體中，與的交點(diǎn)記為．設(shè)，，，則下列向量中與相等的向量是（）A. B.C. D.4．2013年9月7日，總書記在哈薩克斯坦納扎爾巴耶夫大學(xué)發(fā)表演講在談到環(huán)境保護(hù)問(wèn)題時(shí)提出“綠水青山就是金山銀山”這一科學(xué)論新．某市為了改善當(dāng)?shù)厣鷳B(tài)環(huán)境，2014年投入資金160萬(wàn)元，以后每年投入資金比上一年增加20萬(wàn)元，從2021年開(kāi)始每年投入資金比上一年增加10%，到2024年底該市生態(tài)環(huán)境建設(shè)投資總額大約為（）（其中，，）A.2559萬(wàn)元 B.2969萬(wàn)元C.3005萬(wàn)元 D.3040萬(wàn)元5．如圖，正三棱柱中，，則與平面所成角的正弦值等于（）A. B.C. D.6．若雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為A.y=±2x B.y=C. D.7．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，，，則的最小值為（）A. B.C D.8．已知公比不為1的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，，則（）A.2 B.4C.5 D.259．古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中描述了圓錐曲線共性，并給出了圓錐曲線的統(tǒng)一定義，只可惜對(duì)這一定義歐幾里得沒(méi)有給出證明.經(jīng)過(guò)了500年，到了3世紀(jì)，希臘數(shù)學(xué)家帕普斯在他的著作《數(shù)學(xué)匯篇》中，完善了歐幾里得關(guān)于圓錐曲線的統(tǒng)一定義，并對(duì)這一定義進(jìn)行了證明.他指出，到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線；當(dāng)時(shí)，軌跡為橢圓；當(dāng)時(shí)，軌跡為拋物線；當(dāng)時(shí)，軌跡為雙曲線.現(xiàn)有方程表示的曲線是雙曲線，則的取值范圍為（）A. B.C. D.10．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，且它們的離心率之積為1，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.11．已知A，B，C三點(diǎn)不共線，O是平面ABC外一點(diǎn)，下列條件中能確定點(diǎn)M與點(diǎn)A，B，C一定共面的是A. B.C. D.12．已知x，y滿足約束條件，則的最大值為（）A.3 B.C.1 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則k的取值范圍是______14．已知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)________15．若雙曲線的左、右焦點(diǎn)為，，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且，為坐標(biāo)原點(diǎn)，又，則該雙曲線的離心率為_(kāi)_________.16．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，四棱臺(tái)的底面為正方形，面，（1）求證：平面；（2）若平面平面，求直線m與平面所成角的正弦值18．（12分）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為．已知橢圓的短軸長(zhǎng)為4，離心率為（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)為直線與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)且（為原點(diǎn)），求直線的斜率19．（12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，且成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列前項(xiàng)和，求使成立的的最小值20．（12分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和；（2）求的值.21．（12分）已知首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，滿足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和22．（10分）已知函數(shù)．其中e為然對(duì)數(shù)的底數(shù)（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，討論函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】先求出圓的圓心和半徑，再利用圓心到直線的距離等于半徑列方程可求得結(jié)果【詳解】由，得，則圓心為，半徑為2，因?yàn)橹本€與圓相切，所以，得，解得或，故選：C2、B【解析】由,所以.3、B【解析】利用空間向量的加法和減法法則可得出關(guān)于、、的表達(dá)式.【詳解】故選：B.4、B【解析】前7年投入資金可看成首項(xiàng)為160，公差為20的等差數(shù)列，后4年投入資金可看成首項(xiàng)為260，公比為1.1的等比數(shù)列，分別求和，即可求出所求【詳解】2014年投入資金160萬(wàn)元，以后每年投入資金比上一年增加20萬(wàn)元，成等差數(shù)列，則2020年投入資金萬(wàn)元，年共7年投資總額為，從2021年開(kāi)始每年投入資金比上一年增加，則從2021年到2024年投入資金成首項(xiàng)為，公比為1.1，項(xiàng)數(shù)為4的等比數(shù)列，故從2021年到2024年投入總資金為，故到2024年底該市生態(tài)環(huán)境建設(shè)投資總額大約為萬(wàn)元故選：5、C【解析】取中點(diǎn)，連接，，證明平面，從而可得為與平面所成角，再利用三角函數(shù)計(jì)算的正弦值.【詳解】取中點(diǎn)，連接，，在正三棱柱中，底面是正三角形，∴，又∵底面，∴，又，∴平面，∴為與平面所成角，由題意，，，在中，.故選：C6、B【解析】雙曲線的離心率為，漸進(jìn)性方程為，計(jì)算得，故漸進(jìn)性方程為.【考點(diǎn)定位】本小題考查了離心率和漸近線等雙曲線的性質(zhì).7、A【解析】由橢圓的定義可得；利用基本不等式，若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).【詳解】根據(jù)橢圓的定義可知，，即，因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立.故選：A8、B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)求得，從而可得出答案.【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，所以，則.故選：B.9、C【解析】對(duì)方程進(jìn)行化簡(jiǎn)可得雙曲線上一點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線之比為常數(shù)，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】已知方程可以變形為，即，∴其表示雙曲線上一點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線之比為常數(shù)，又由，可得，故選：C.10、A【解析】計(jì)算雙曲線的焦點(diǎn)為，離心率，得到橢圓的焦點(diǎn)為，離心率，計(jì)算得到答案.【詳解】雙曲線的焦點(diǎn)為，離心率，故橢圓的焦點(diǎn)為，離心率，即.解得，故橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓和雙曲線的離心率，焦點(diǎn)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.11、D【解析】首先利用坐標(biāo)法，排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，然后對(duì)符合的選項(xiàng)驗(yàn)證存在使得，由此得出正確選項(xiàng).【詳解】不妨設(shè).對(duì)于A選項(xiàng)，，由于的豎坐標(biāo)，故不在平面上，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于B選項(xiàng)，，由于的豎坐標(biāo)，故不在平面上，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于C選項(xiàng)，，由于的豎坐標(biāo)，故不在平面上，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于D選項(xiàng)，，由于的豎坐標(biāo)為，故在平面上，也即四點(diǎn)共面.下面證明結(jié)論一定成立：由，得，即，故存在，使得成立，也即四點(diǎn)共面.故選：D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間四點(diǎn)共面的證明方法，考查空間向量的線性運(yùn)算，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.12、A【解析】由題意首先畫出可行域，然后結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解最大值即可.【詳解】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A處取得最大值，聯(lián)立直線方程：，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為：，據(jù)此可知目標(biāo)函數(shù)的最大值為：.故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求線性目標(biāo)函數(shù)的最值，當(dāng)時(shí)，直線過(guò)可行域且在y軸上截距最大時(shí)，z值最大，在y軸截距最小時(shí)，z值最?。划?dāng)時(shí)，直線過(guò)可行域且在y軸上截距最大時(shí)，z值最小，在y軸上截距最小時(shí)，z值最大.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求導(dǎo)得有兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)有一個(gè)不等于1的零點(diǎn)，分離參數(shù)得，令，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性并作出的圖象，根據(jù)圖象即可得出k的取值范圍【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，解得或，若函?shù)有2個(gè)極值點(diǎn)，則函數(shù)與圖象在上恰有1個(gè)橫坐標(biāo)不為1的交點(diǎn)，而，令，令或，故在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，如圖所示，由圖可得.故答案為：14、【解析】求導(dǎo)易得函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)和，根據(jù)題意，由求解.【詳解】由，可得函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)和，，，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，必有解得或故答案為：15、【解析】根據(jù)直線和雙曲線的對(duì)稱性，結(jié)合圓的性質(zhì)、雙曲線的定義、三角形面積公式、雙曲線離心率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由直線與雙曲線的對(duì)稱性可知，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，在三角形中，，所以，是以為直徑的圓與雙曲線的交點(diǎn)，不妨設(shè)在第一象限，，因?yàn)閳A是以為直徑，所以圓的半徑為，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，也在雙曲線上，所以有，聯(lián)立化簡(jiǎn)可得，整理得，，所以，由所以，又因?yàn)?，?lián)立可得，，因?yàn)闉閳A的直徑，所以，即，，所以離心率.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用直線和雙曲線的對(duì)稱性，結(jié)合圓的性質(zhì)進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.16、4【解析】由y2＝2px＝8x知p＝4，又焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離就是p，所以焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）：連結(jié)交交于點(diǎn)O，連結(jié)，，通過(guò)四棱臺(tái)的性質(zhì)以及給定長(zhǎng)度證明，從而證出，利用線面平行的判定定理可證明面；（2）利用線面平行的性質(zhì)定理以及基本事實(shí)可證明，即求與平面所成角的正弦值；通過(guò)條件以及面面垂直的判定定理可證明面面，則為與平面所成角，利用余弦定理求出余弦值，即可求出正弦值.【詳解】（1）證明：連結(jié)交交于點(diǎn)O，連結(jié)，，由多面體為四棱臺(tái)可知四點(diǎn)共面，且面面，面面，面面，∴，∵和均為正方形，，∴，所以為平行四邊形，∴，面，面，∴平面（2）∵面，平面，平面，∴，又∵，∴∴求直線m與平面所成角可轉(zhuǎn)化為求與平面所成角，∵和均為正方形，，且，∴，，∴，又∵面，∴∴面，∴面面，由面面，設(shè)O在面的投影為M，則，∴為與平面所成角，由，可得，又∵，∴∴，直線m與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：（1）找兩個(gè)平面的交線，可通過(guò)兩個(gè)平面的交點(diǎn)找到，也可利用線面平行的性質(zhì)找和交線的平行直線；（2）求直線和平面所成角，過(guò)直線上一點(diǎn)做平面的垂線，則垂足和斜足連線與直線所成角即為直線和平面所成角.18、（1）（2）或【解析】（1）根據(jù)已知條件求得，由此求得橢圓方程.（2）設(shè)出直線的方程，并與橢圓方程聯(lián)立，求得點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)列方程，化簡(jiǎn)求得直線的斜率.【小問(wèn)1詳解】設(shè)橢圓的半焦距為，依題意，，又，可得，．所以，橢圓的方程為小問(wèn)2詳解】由題意，設(shè)．設(shè)直線的斜率為，又，則直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立整理得，可得，代入得，進(jìn)而直線的斜率．在中，令，得，所以直線的斜率為由，得，化簡(jiǎn)得，從而所以，直線的斜率為或19、(1).(2)10.【解析】（1）借助于將轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而得到數(shù)列為等比數(shù)列，通過(guò)首項(xiàng)和公比求得通項(xiàng)公式；（2）整理數(shù)列的通項(xiàng)公式，可知數(shù)列為等比數(shù)列，求得前n項(xiàng)和，代入不等式可求得n的最小值試題解析：（1）由已知，有，即從而又因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，即所以，解得所以，數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列故（2）由（1）得．所以由，得，即因?yàn)椋裕谑?，使成立的n的最小值為10考點(diǎn)：1．?dāng)?shù)列通項(xiàng)公式；2．等比數(shù)列求和20、（1），；（2）.【解析】(1)設(shè)出等差數(shù)列的公差，借助前項(xiàng)和公式列式計(jì)算作答.(2)由(1)的結(jié)論借助裂項(xiàng)相消去求解作答.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因，，則，解得，于是得，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，前項(xiàng)和.【小問(wèn)2詳解】由(1)知，，所以.21、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)已知條件求得數(shù)列的公比，由此求得.（2）利用錯(cuò)位相減求和法求得.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，可得.故數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以【小問(wèn)2詳解】由（1）得，，①，②①②，得所以22、（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和；（2）當(dāng)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn).【解析】(1)求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)大于零求增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于零求減區(qū)間；(2)求導(dǎo)數(shù)，分、、a＞2討論函數(shù)f(x)單調(diào)性和零點(diǎn)即可.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，