水平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.知道水平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)的幾種常見模型，并會(huì)找它們的臨界條件.2.掌握?qǐng)A周運(yùn)動(dòng)臨界問題的分析方法．物體做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，若物體的線速度大小、角速度發(fā)生變化，會(huì)引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)發(fā)生變化，進(jìn)而出現(xiàn)某些物理量或運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的突變，即出現(xiàn)臨界狀態(tài)．水平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)常見的臨界問題：(1)物體恰好(沒有)發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，靜摩擦力達(dá)到最大值．(2)物體恰好要離開接觸面，物體與接觸面之間的彈力為0.(3)繩子恰好斷裂，繩子的張力達(dá)到最大承受值．(4)物體所受支持力為0或繩子剛好伸直，繩子的張力恰好為0.例1(2022·河北邯鄲一中高二學(xué)業(yè)考試)如圖所示，A、B、C三個(gè)物體放在旋轉(zhuǎn)的水平圓盤上，物體與盤面間的最大靜摩擦力均是其重力的k倍(最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力)，三物體的質(zhì)量分別為2m、m、m，它們離轉(zhuǎn)軸的距離分別為R、R、2R.當(dāng)圓盤旋轉(zhuǎn)時(shí)，若A、B、C三物體均相對(duì)圓盤靜止，則下列說法正確的是()A．A的向心加速度最大B．B和C所受摩擦力大小相等C．當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)速緩慢增大時(shí)，C比A先滑動(dòng)D．當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)速緩慢增大時(shí)，B比A先滑動(dòng)答案C解析A、B、C三物體角速度相同，an＝ω2r，則物體C的向心加速度最大，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；摩擦力提供向心力，F(xiàn)fB＝mω2R，F(xiàn)fC＝mω2·(2R)，物體B所受摩擦力小于物體C所受摩擦力，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；物體恰好滑動(dòng)時(shí)，kmg＝mω2r，ω＝eq\r(\f(kg,r))，故滑動(dòng)的臨界角速度與質(zhì)量無關(guān)，r越大，臨界角速度越小，故物體C先滑動(dòng)，A、B同時(shí)滑動(dòng)，選項(xiàng)C正確，D錯(cuò)誤．針對(duì)訓(xùn)練如圖所示，水平轉(zhuǎn)盤上放有一質(zhì)量為m的物體(可視為質(zhì)點(diǎn))，連接物體和轉(zhuǎn)軸的繩子長為r，物體與轉(zhuǎn)盤間的最大靜摩擦力是其壓力的μ倍，轉(zhuǎn)盤的角速度由零逐漸增大，求：(重力加速度為g)(1)繩子對(duì)物體的拉力為零時(shí)的最大角速度；(2)當(dāng)角速度為eq\r(\f(3μg,2r))，繩子對(duì)物體拉力的大?。鸢?1)eq\r(\f(μg,r))(2)eq\f(1,2)μmg解析(1)當(dāng)恰由最大靜摩擦力提供向心力，繩子拉力為零時(shí)轉(zhuǎn)速達(dá)到最大，設(shè)此時(shí)轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω0，根據(jù)牛頓第二定律有μmg＝mω02r，得ω0＝eq\r(\f(μg,r)).(2)當(dāng)ω＝eq\r(\f(3μg,2r))時(shí)，ω＞ω0，所以繩子的拉力F和最大靜摩擦力共同提供向心力，此時(shí)，F(xiàn)＋μmg＝mω2r解得F＝eq\f(1,2)μmg.例2(2022·南通市高一期末)如圖所示，水平轉(zhuǎn)盤上放有質(zhì)量為m的物塊，物塊到轉(zhuǎn)軸的距離為r.一段繩的一端與物塊相連，另一端系在圓盤中心上方eq\f(4,3)r處，繩恰好伸直，物塊和轉(zhuǎn)盤間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，設(shè)物塊受到的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，已知重力加速度為g.(1)當(dāng)水平轉(zhuǎn)盤以角速度ω1勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，繩上恰好有張力，求ω1的值；(2)當(dāng)水平轉(zhuǎn)盤以角速度ω2勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，物塊恰好離開轉(zhuǎn)盤，求ω2的值．答案(1)eq\r(\f(μg,r))(2)eq\r(\f(3g,4r))解析(1)當(dāng)水平轉(zhuǎn)盤以角速度ω1勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，繩上恰好有張力，靜摩擦力達(dá)到最大值，則此時(shí)物塊所需向心力恰好完全由最大靜摩擦力提供，則μmg＝mrω12，解得：ω1＝eq\r(\f(μg,r)).(2)物塊恰好離開轉(zhuǎn)盤，則FN＝0，物塊只受重力和繩的拉力，如圖所示，mgtanθ＝mω22rtanθ＝eq\f(3,4)聯(lián)立解得：ω2＝eq\r(\f(3g,4r)).例3(多選)如圖所示，質(zhì)量為m的小球由輕繩a和b分別系于一輕質(zhì)細(xì)桿的A點(diǎn)和B點(diǎn)，當(dāng)輕桿繞軸OO′以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，a繩與水平面成θ角，b繩平行于水平面且長為l，重力加速度為g，則下列說法正確的是()A．小球一定受a繩的拉力作用B．小球所受a繩的拉力隨角速度的增大而增大C．當(dāng)角速度ω>eq\r(\f(g,ltanθ))時(shí)，b繩將出現(xiàn)彈力D．若b繩突然被剪斷，則a繩的彈力一定發(fā)生變化答案AC解析對(duì)小球受力分析可得a繩的彈力在豎直方向的分力平衡了小球的重力，解得FTa＝eq\f(mg,sinθ)，為定值，A正確，B錯(cuò)誤．當(dāng)FTacosθ＝mω2l，即ω＝eq\r(\f(g,ltanθ))時(shí)，b繩的彈力為零，若角速度大于該值，則b繩將出現(xiàn)彈力，C正確．由于b繩可能沒有彈力，故b繩突然被剪斷，a繩的彈力可能不變，D錯(cuò)誤．1.如圖所示，在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的水平圓盤上離轉(zhuǎn)軸某一距離處放一小木塊，該木塊恰能跟隨圓盤做勻速圓周運(yùn)動(dòng)而不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，則在改變下列哪種條件時(shí)，物體仍能與圓盤保持相對(duì)靜止()A．增大圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度B．增大木塊到轉(zhuǎn)軸的距離C．增大木塊的質(zhì)量D．改變上述的任一條件都不能使木塊與圓盤繼續(xù)保持相對(duì)靜止答案C解析木塊剛要發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，最大靜摩擦力提供向心力，此時(shí)有：μmg＝mω2r，角速度ω增大，所需要的向心力Fn＝mω2r增大，mω2r將大于最大靜摩擦力μmg而發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，故A錯(cuò)誤；木塊到轉(zhuǎn)軸的距離越大，需要的向心力Fn＝mω2r越大，則會(huì)發(fā)生滑動(dòng)，故B錯(cuò)誤；木塊在圓盤上發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)的臨界狀態(tài)是μmg＝mω2r，由此可知與質(zhì)量無關(guān)，所以增大木塊的質(zhì)量仍能保持相對(duì)靜止，故C正確，D錯(cuò)誤．2．(2021·嘉興市高一期中)如圖所示，a為置于距圓桌轉(zhuǎn)盤中心r1處的杯子，裝滿水的總質(zhì)量為2m，另有一空杯子b質(zhì)量為m，置于距圓盤中心r2處，已知r2＝2r1，圓盤從靜止開始緩慢地加速轉(zhuǎn)動(dòng)，兩杯子與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ(設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力)，且均未相對(duì)桌面滑動(dòng)，用ω表示圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，下列說法不正確的是()A．b比a先達(dá)到最大靜摩擦力B．a(chǎn)、b所受的摩擦力始終相同C．ω＝eq\r(\f(μg,2r1))是b開始滑動(dòng)的臨界角速度D．當(dāng)ω＝eq\r(\f(μg,2r1))時(shí)，a所受摩擦力的大小為μmg答案B解析杯子隨著圓盤一起轉(zhuǎn)動(dòng)，靜摩擦力提供向心力，a剛要開始滑動(dòng)時(shí)有μ2mg＝2mωa2r1，解得ωa＝eq\r(\f(μg,r1))，b剛要開始滑動(dòng)時(shí)有μmg＝mωb2r2，解得ωb＝eq\r(\f(μg,r2))＝eq\r(\f(μg,2r1))，因?yàn)閎比a先達(dá)到最大靜摩擦力，故b先開始滑動(dòng)，故A、C正確；在杯子b的摩擦力沒有達(dá)到最大前，靜摩擦力提供向心力，由牛頓第二定律可知Ffa＝2mω2r1，F(xiàn)fb＝mω2r2＝2mω2r1，所以a和b受到的摩擦力大小是相等的，方向不同，故B錯(cuò)誤；當(dāng)ω＝eq\r(\f(μg,2r1))時(shí)，a沒有發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，靜摩擦力為Ff＝2mω2r1＝μmg，故D正確．3.如圖所示，粗糙水平圓盤上，質(zhì)量相等的A、B兩物塊疊放在一起，隨圓盤一起做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則下列說法正確的是()A．A、B都有沿切線方向且向后滑動(dòng)的趨勢(shì)B．B運(yùn)動(dòng)所需的向心力大于A運(yùn)動(dòng)所需的向心力C．盤對(duì)B的摩擦力是B對(duì)A的摩擦力的2倍D．若B相對(duì)圓盤先滑動(dòng)，則A、B間的動(dòng)摩擦因數(shù)μA小于盤與B間的動(dòng)摩擦因數(shù)μB答案C解析把A、B當(dāng)成一個(gè)整體，在水平方向上只受摩擦力作用，所以，摩擦力即物塊所受合外力，提供向心力，摩擦力方向指向圓心，物塊有沿徑向向外滑動(dòng)的趨勢(shì)，故A錯(cuò)誤；物塊做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，向心力F＝meq\f(v2,R)，A、B質(zhì)量相同，一起做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度、半徑也相等，所以，兩者運(yùn)動(dòng)所需的向心力相等，故B錯(cuò)誤；由受力分析可知B對(duì)A的摩擦力等于F，盤對(duì)B的摩擦力等于2F，故C正確；若B相對(duì)圓盤先滑動(dòng)，則2μBmg－μAmg＜μAmg，即μB＜μA，故D錯(cuò)誤．4.(2021·棠湖中學(xué)高一質(zhì)檢)如圖所示，某同學(xué)用硬塑料管和一個(gè)質(zhì)量為m的鐵質(zhì)螺絲帽研究勻速圓周運(yùn)動(dòng)，將螺絲帽套在塑料管上，手握塑料管使其保持豎直并在水平方向做半徑為r的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則只要運(yùn)動(dòng)角速度合適，螺絲帽恰好不下滑，假設(shè)螺絲帽與塑料管間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，認(rèn)為最大靜摩擦力近似等于滑動(dòng)摩擦力．重力加速度為g，則在該同學(xué)手轉(zhuǎn)塑料管使螺絲帽恰好不下滑時(shí)，下列分析正確的是()A．螺絲帽受重力、彈力、摩擦力以及向心力B．螺絲帽受到塑料管的彈力方向水平向外，背離圓心C．此時(shí)手轉(zhuǎn)動(dòng)塑料管的角速度ω＝eq\r(\f(g,μr))D．若塑料管轉(zhuǎn)動(dòng)加快，螺絲帽有可能相對(duì)塑料管發(fā)生運(yùn)動(dòng)答案C解析螺絲帽受重力、彈力和摩擦力三個(gè)力的作用，螺絲帽在水平方向受到的彈力提供向心力，彈力的方向指向圓心，故A、B錯(cuò)誤；螺絲帽恰好不下滑，則螺絲帽受到的重力和最大靜摩擦力平衡，根據(jù)mg＝Ff＝μFN，F(xiàn)N＝mω2r，解得ω＝eq\r(\f(g,μr))，故C正確；若塑料管轉(zhuǎn)動(dòng)加快，則所需向心力增大，彈力增大，最大靜摩擦力增大，螺絲帽受到的重力和靜摩擦力仍然平衡，故D錯(cuò)誤．5．如圖所示，在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的水平圓盤上，沿半徑方向放著用水平細(xì)線相連的質(zhì)量相等的兩個(gè)物體A和B，它們分居圓心兩側(cè)，質(zhì)量均為m，與圓心距離分別為RA＝r，RB＝2r，與盤間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ相同，重力加速度為g，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力．當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)速加快到兩物體剛好還未發(fā)生滑動(dòng)時(shí)，下列說法正確的是()A．此時(shí)繩子張力為FT＝4μmgB．此時(shí)圓盤的角速度為ω＝eq\r(\f(2μg,r))C．此時(shí)A所受摩擦力方向沿半徑指向圓內(nèi)D．若此時(shí)燒斷繩子，A仍相對(duì)盤靜止，B將做離心運(yùn)動(dòng)答案B解析A和B隨著圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，合外力提供向心力，則F＝mω2R，B的運(yùn)動(dòng)半徑比A的半徑大，所以B所需向心力大，細(xì)線拉力相等，所以當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)速加快到兩物體剛好還未發(fā)生滑動(dòng)時(shí)，B的靜摩擦力方向沿半徑指向圓心，A的最大靜摩擦力方向沿半徑指向圓外，對(duì)物體A、B，根據(jù)牛頓第二定律分別得：FT－μmg＝mω2r，F(xiàn)T＋μmg＝mω2·2r，解得：FT＝3μmg，ω＝eq\r(\f(2μg,r))，此時(shí)A所需的向心力大小為FnA＝mω2r＝2μmg，B所需的向心力大小為FnB＝mω2·2r＝4μmg，若此時(shí)燒斷細(xì)線，A、B的最大靜摩擦力均不足以提供物體所需向心力，則A、B均做離心運(yùn)動(dòng)，故B正確，A、C、D錯(cuò)誤．6．如圖所示，半徑為R的半球形陶罐，固定在可以繞豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)的水平轉(zhuǎn)臺(tái)上，轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)軸與過陶罐球心O的對(duì)稱軸OO′重合．轉(zhuǎn)臺(tái)以一定角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，一質(zhì)量為m的小物塊落入陶罐內(nèi)，經(jīng)過一段時(shí)間后小物塊隨陶罐一起轉(zhuǎn)動(dòng)且相對(duì)罐壁靜止，此時(shí)小物塊受到的摩擦力恰好為0，且它和O點(diǎn)的連線與OO′之間的夾角θ為60°，重力加速度為g.求轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度．答案eq\r(\f(2g,R))解析對(duì)小物塊受力分析，如圖所示：設(shè)此時(shí)的角速度為ω0，由支持力和重力的合力提供向心力，有：mgtanθ＝mRω02sinθ，解得：ω0＝eq\r(\f(gtanθ,Rsinθ))＝eq\r(\f(g,Rcosθ))＝eq\r(\f(2g,R)).7．(2021·宿遷市高一期中)“魔盤”是一種神奇的游樂設(shè)施，它是一個(gè)能繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)的帶有豎直側(cè)壁的大型轉(zhuǎn)盤，隨著“魔盤”轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的增大，“魔盤”上的人可能滑向盤的邊緣．如圖所示，質(zhì)量為m的人(視為質(zhì)點(diǎn))坐在轉(zhuǎn)盤上，與轉(zhuǎn)盤中心O相距r，轉(zhuǎn)盤的半徑為R，人與盤面及側(cè)壁間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度為g.(1)當(dāng)轉(zhuǎn)盤的角速度大小為ω0時(shí)，人未滑動(dòng)，求此時(shí)人受到的摩擦力大小和方向；(2)使轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)速緩慢增大，求人與轉(zhuǎn)盤發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)盤的角速度大小ω；(3)當(dāng)人滑至“魔盤”側(cè)壁時(shí)，只要轉(zhuǎn)盤的角速度不小于某一數(shù)值ωm，人就可以離開盤面，貼著側(cè)壁一起轉(zhuǎn)動(dòng)，試求角速度ωm的大?。鸢?1)mω02r指向轉(zhuǎn)盤中心O點(diǎn)(2)eq\r(\f(μg,r))(3)eq\r(\f(g,μR))解析(1)人做圓周運(yùn)動(dòng)，摩擦力提供向心力，有Ff＝mω02r，方向指向轉(zhuǎn)盤中心O點(diǎn)(2)靜摩擦力提供人做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力，當(dāng)靜摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力時(shí)，此時(shí)的角速度為最大角速度，則μmg＝mω2r解得ω＝eq\r(\f(μg,r))(3)人離開盤面貼著側(cè)壁一起轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，豎直方向受力平衡，水平方向側(cè)壁對(duì)人的支持力提供向心力，則有FN＝mωm2RμFN＝mg解得ωm＝eq\r(\f(g,μR)).8.如圖所示，質(zhì)量為m的木塊，用一輕繩拴著，置于足夠大的水平轉(zhuǎn)盤上，輕繩穿過轉(zhuǎn)盤中央的小孔，與質(zhì)量也為m的小球相連，木塊與轉(zhuǎn)盤間的最大靜摩擦力為其重力的0.2倍，當(dāng)轉(zhuǎn)盤以角速度ω＝4rad/s勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，要保持木塊與轉(zhuǎn)盤相對(duì)靜止，木塊轉(zhuǎn)動(dòng)半徑的范圍是多少？(g取10m/s2)答案見解析解析由于轉(zhuǎn)盤以角速度ω＝4rad/s勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，因此木塊做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需向心力為F＝mrω2.由題可知輕繩的拉力FT＝mg.當(dāng)木塊做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑取最小值時(shí)，其所受最大靜摩擦力與拉力方向相反，則有mg－μmg＝mrminω2，代入數(shù)據(jù)，解得rmin＝0.5m；當(dāng)木塊做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑取最大值時(shí)，其所受最大靜摩擦力與拉力方向相同，則有mg＋μmg＝mrmaxω2，代入數(shù)據(jù)，解得rmax＝0.75m.因此，要保持