2024屆內(nèi)蒙古自治區(qū)烏蘭察布市集寧區(qū)一中高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，若是函數(shù)一個(gè)零點(diǎn)，則的值為()A.0 B.C.1 D.2．如圖，某綠色蔬菜種植基地在A處，要把此處生產(chǎn)的蔬菜沿道路或運(yùn)送到形狀為四邊形區(qū)域的農(nóng)貿(mào)市場(chǎng)中去，現(xiàn)要求在農(nóng)貿(mào)市場(chǎng)中確定一條界線(xiàn)，使位于界線(xiàn)一側(cè)的點(diǎn)沿道路運(yùn)送蔬菜較近，而另一側(cè)的點(diǎn)沿道路運(yùn)送蔬菜較近，則該界線(xiàn)所在曲線(xiàn)為（）A.圓 B.橢圓C.雙曲線(xiàn) D.拋物線(xiàn)3．已知直線(xiàn)，若異面，，則的位置關(guān)系是（）A.異面 B.相交C.平行或異面 D.相交或異面4．已知F為橢圓的右焦點(diǎn)，A為C的右頂點(diǎn)，B為C上的點(diǎn)，且垂直于x軸．若直線(xiàn)AB的斜率為，則橢圓C的離心率為（）A. B.C. D.5．設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，則=（）A.26 B.19C.11 D.96．如圖所示，已知三棱錐，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，且，，，用，，表示，則等于（）A. B.C. D.7．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，首項(xiàng)為，公比為，則（）A. B.C. D.8．曲線(xiàn)y＝lnx在點(diǎn)M處的切線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，則該切線(xiàn)的斜率為（）A.1 B.eC.－1 D.9．已知呈線(xiàn)性相關(guān)的變量x與y的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：若其回歸直線(xiàn)方程是，則（）x24568y34.5m7.59A.6.5 B.6C.6.1 D.710．甲，乙、丙、丁、戊共5人隨機(jī)地排成一行，則甲、乙相鄰，丙、丁不相鄰的概率為（）A. B.C. D.11．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，是線(xiàn)段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）A.不存在點(diǎn)使得異面直線(xiàn)與所成角為90°B.存在點(diǎn)使得異面直線(xiàn)與所成角為45°C.存在點(diǎn)使得二面角的平面角為45°D.當(dāng)時(shí)，平面截正方體所得的截面面積為12．已知在平面直角坐標(biāo)系中，圓的方程為，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)垂直.若直線(xiàn)與圓交于兩點(diǎn)，則的面積為A.1 B.C.2 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．?dāng)?shù)列滿(mǎn)足，則_______________.14．從10名大學(xué)畢業(yè)生中選3個(gè)人擔(dān)任村主任助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒(méi)有入選不同選法的種數(shù)為_(kāi)__________.15．點(diǎn)為橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最小值為_(kāi)__________.16．假設(shè)要考查某公司生產(chǎn)的袋裝牛奶的質(zhì)量是否達(dá)標(biāo)，現(xiàn)從800袋牛奶中抽取60袋進(jìn)行檢驗(yàn)，利用隨機(jī)數(shù)法抽取樣本時(shí)，先將800袋牛奶按000，001，，799進(jìn)行編號(hào)，若從隨機(jī)數(shù)表第7行第8列的數(shù)開(kāi)始向右讀，則得到的第4個(gè)的樣本個(gè)體的編號(hào)是______（下面摘取了隨機(jī)數(shù)表第7行到第9行）844217533157245506887704744767217633502583921206766301637859169556671998105071751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429966027954三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓與直線(xiàn)相切，點(diǎn)G為橢圓上任意一點(diǎn)，，，且的最大值為3（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線(xiàn)與橢圓C交于不同兩點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，當(dāng)?shù)拿娣e取最大值時(shí)，求的取值范圍18．（12分）如圖，在三棱柱中，平面ABC，，，，點(diǎn)D，E分別在棱和棱上，且，，M為棱中點(diǎn)（1）求證：；（2）求直線(xiàn)AB與平面所成角的正弦值19．（12分）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，（）.（Ⅰ）三棱錐的體積分別為，當(dāng)為何值時(shí)，最大？最大值為多少？（Ⅱ）若平面，證明：平面平面.20．（12分）已知函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)（1）求a的取值范圍；（2）設(shè)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，證明：21．（12分）已知直三棱柱中，，，E、F分別是、的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn).（1）證明：；（2）當(dāng)時(shí)，求直線(xiàn)BF與平面DEF所成角的正弦值.22．（10分）如圖,是平行四邊形，已知，,平面平面.（1）證明：；（2）若，求平面與平面所成二面角的平面角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】首先根據(jù)題意求出，然后設(shè)函數(shù)，利用以及的單調(diào)性，并結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算即可求解.【詳解】由題意可知，，所以，不妨設(shè)，()，故，從而，易知在上單調(diào)遞增，故，即，從而.故選：A.2、C【解析】設(shè)是界限上的一點(diǎn)，則，即，再根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義即可得出答案.【詳解】解：設(shè)是界限上的一點(diǎn)，則，所以，即，在中，，所以點(diǎn)的軌跡為雙曲線(xiàn)，即該界線(xiàn)所在曲線(xiàn)為雙曲線(xiàn).故選：C.3、D【解析】以正方體為載體說(shuō)明即可.【詳解】如下圖所示的正方體：和是異面直線(xiàn)，，；和是異面直線(xiàn)，，與是異面直線(xiàn).所以?xún)芍本€(xiàn)與是異面直線(xiàn)，，則的位置關(guān)系是相交或異面.故選：D4、D【解析】根據(jù)題意表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，再由直線(xiàn)AB的斜率為，列方程可求出橢圓的離心率【詳解】由題意得，，當(dāng)時(shí)，，得，由題意可得點(diǎn)在第一象限，所以，因?yàn)橹本€(xiàn)AB的斜率為，所以，化簡(jiǎn)得，所以，，得（舍去），或，所以離心率，故選：D5、D【解析】先求得，然后求得.【詳解】依題意，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，所以，所以.故選：D6、A【解析】連接，先根據(jù)已知條件表示出，再根據(jù)求得結(jié)果.【詳解】連接，如下圖所示：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以，故選：A.7、D【解析】根據(jù)求解即可.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列，，所以.故選：D8、D【解析】設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)列方程，由此求得切點(diǎn)坐標(biāo)并求得切線(xiàn)的斜率.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，，故在點(diǎn)的切線(xiàn)的斜率為，所以，所以切點(diǎn)為，切線(xiàn)的斜率為.故選：D9、A【解析】根據(jù)回歸直線(xiàn)過(guò)樣本點(diǎn)的中心進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意可得，，則，解得故選：A.10、A【解析】先求出所有的基本事件，再求出甲、乙相鄰，丙、丁不相鄰的基本事件，根據(jù)古典概型的概率公式求解即可【詳解】甲，乙、丙、丁、戊共5人隨機(jī)地排成一行有種方法，甲、乙相鄰，丙、丁不相鄰的排法為先將甲、乙捆綁在一起，再與戊進(jìn)行排列，然后丙、丁從3個(gè)空中選2個(gè)空插入，則共有種方法，所以甲、乙相鄰，丙、丁不相鄰的概率為，故選：A11、D【解析】由正方體的性質(zhì)可將異面直線(xiàn)與所成的角可轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)與所成角，而當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，可得，可判斷A；與或重合時(shí)，直線(xiàn)與所成的角最小可判斷B；當(dāng)與重合時(shí)，二面角的平面角最小，通過(guò)計(jì)算可判斷C；過(guò)作，交于，交于點(diǎn)，由題意可得四邊形即為平面截正方體所得的截面，且四邊形是等腰梯形，然后利用已知數(shù)據(jù)計(jì)算即可判斷D.【詳解】異面直線(xiàn)與所成的角可轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)與所成角，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)與所成的角為90°，所以A錯(cuò)誤；當(dāng)與或重合時(shí)，直線(xiàn)與所成角最小，為60°，所以B錯(cuò)誤；當(dāng)與重合時(shí)，二面角的平面角最小，，所以，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，過(guò)作，交于，交于點(diǎn)，因?yàn)?，所以、分別是、的中點(diǎn)，又，所以，四邊形即為平面截正方體所得的截面，因?yàn)?，且，所以四邊形是等腰梯形，作交于點(diǎn)，所以，，所以梯形的面積為，所以D正確.故選：D.12、A【解析】∵圓的方程為，即，∴圓的圓心為，半徑為2.∵直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)垂直∴直線(xiàn).∴圓心到直線(xiàn)的距離.∴直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)，又∵坐標(biāo)原點(diǎn)到的距離為，∴的面積為.考點(diǎn)：1、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系；2、三角形的面積公式.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用來(lái)求得，進(jìn)而求得正確答案.【詳解】，，是數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，所以.故答案為：14、49【解析】丙沒(méi)有入選，相當(dāng)于從9個(gè)人中選3人，分為兩種情況：甲乙兩人只有一人入選；甲乙兩人都入選，分別求出每種情況的選法數(shù)，再利用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理即可得解.【詳解】丙沒(méi)有入選，把丙去掉，相當(dāng)于從9個(gè)人中選3人，甲、乙至少有1人入選，分為兩種情況：甲乙兩人只有一人入選；甲乙兩人都入選.甲乙兩人只有一人入選，選法有種；甲乙兩人都入選，選法有種.所以，滿(mǎn)足題意的選法共有種.故答案為：49.【點(diǎn)睛】本題考查組合的應(yīng)用，其中涉及到分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，屬于中檔題.一些常見(jiàn)類(lèi)型的排列組合問(wèn)題的解法：（1）特殊元素、特殊位置優(yōu)先法元素優(yōu)先法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素；位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置；（2）分類(lèi)分步法：對(duì)于較復(fù)雜的排列組合問(wèn)題，常需要分類(lèi)討論或分步計(jì)算，一定要做到分類(lèi)明確，層次清楚，不重不漏；（3）間接法（排除法），從總體中排除不符合條件的方法數(shù)，這是一種間接解題的方法；（4）捆綁法：某些元素必相鄰的排列，可以先將相鄰的元素“捆成一個(gè)”元素，與其它元素進(jìn)行排列，然后再給那“一捆元素”內(nèi)部排列；（5）插空法：某些元素不相鄰的排列，可以先排其它元素，再讓不相鄰的元素插空；（6）去序法或倍縮法；（7）插板法：個(gè)相同元素，分成組，每組至少一個(gè)的分組問(wèn)題.把個(gè)元素排成一排，從個(gè)空中選個(gè)空，各插一個(gè)隔板，有；（8）分組、分配法：有等分、不等分、部分等分之別.15、【解析】設(shè)與平行的直線(xiàn)與相切，求解出此時(shí)的方程，則點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最大值可根據(jù)平行直線(xiàn)間的距離公式求解出.【詳解】設(shè)與平行的直線(xiàn)，當(dāng)與橢圓相切時(shí)有：，所以，所以，所以，由題意取時(shí)，到直線(xiàn)的距離較小此時(shí)與（即）的距離為，所以點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最小值為，故答案為：.16、【解析】根據(jù)隨機(jī)數(shù)表法依次列舉出來(lái)即可.【詳解】根據(jù)隨機(jī)數(shù)表法最先檢測(cè)的3袋牛奶編號(hào)為：331、572、455、068.故答案為：068.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，根據(jù)題意，得到，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，得到，根據(jù)其最小值，求出，即可得出橢圓方程；（2）設(shè)，，，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理，由弦長(zhǎng)公式，以及點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式，求出的面積的最值，得到；得出點(diǎn)的軌跡為橢圓，且點(diǎn)為橢圓的左、右焦點(diǎn)，記，則，得到，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)求出最值.【小問(wèn)1詳解】設(shè)點(diǎn)，由題意知，所以：，則，當(dāng)時(shí)，取得最大值，即，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是【小問(wèn)2詳解】設(shè)，，，則由得，，點(diǎn)O到直線(xiàn)l的距離，對(duì)用均值不等式，則：當(dāng)且僅當(dāng)即，①，S取得最大值．此時(shí)，，，即，代入①式整理得，即點(diǎn)M的軌跡為橢圓且點(diǎn)，為橢圓的左、右焦點(diǎn)，即記，則于是：，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)：當(dāng)時(shí)，，且，故的取值范圍為18、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）由線(xiàn)面垂直、等腰三角形的性質(zhì)易得、，再根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定及性質(zhì)證明結(jié)論；（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，確定相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求的方向向量、面的法向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.【小問(wèn)1詳解】在三棱柱中，平面，則平面，由平面，則，，則，又為的中點(diǎn)，則，又，則平面，由平面，因此，.【小問(wèn)2詳解】以為原點(diǎn)，以，，為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得：，，，，，，.∴，，，，設(shè)為面的法向量，則，令得，設(shè)與平面所成角為，則，∴直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.19、（Ⅰ）,.（Ⅱ）見(jiàn)解析.【解析】（Ⅰ）由題可知，，由和，結(jié)合基本不等式可求最值；（Ⅱ）連接交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，可得為中點(diǎn)，易證得，得平面，所以，進(jìn)而可證得，，所以平面EFM,因?yàn)槠矫?，從而得證.【詳解】（Ⅰ）由題可知，，.所以（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立）所以當(dāng)時(shí)，最大，最大值為.（Ⅱ）連接交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，平面平面，所以，所以為中點(diǎn).連接，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)?，所?因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，所以平面，又平面，所?同理，因?yàn)?，所以平面EFM,因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫鍮1D1M.20、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)值為0的方程有兩個(gè)正根，再構(gòu)造函數(shù)求解作答.(2)將所證不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討其單調(diào)性作答.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得：，依題意，函數(shù)在上有兩個(gè)不同極值點(diǎn)，于是得有兩個(gè)不等的正根，令，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，于是得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，因，恒成立，即當(dāng)時(shí)，的值從遞減到0(不能取0)，又，有兩個(gè)不等的正根等價(jià)于直線(xiàn)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，如圖，因此有，所以a取值范圍是.【小問(wèn)2詳解】由(1)知分別是方程的兩個(gè)不等的正根，，即，作差得，則有，原不等式，令，則，于是得，設(shè)，則，因此，在單調(diào)遞增，則有，即成立，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及不等式恒成立問(wèn)題，將給定不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)思想是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.21、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）由題意建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量證明即可，（2）求出平面DEF的法向量，利用