專題14弧長(zhǎng)及扇形的面積（3個(gè)知識(shí)點(diǎn)2種題型3種中考考法）【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1.弧長(zhǎng)公式（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)2.扇形的面積（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)3.不規(guī)則圖形面積的求法（難點(diǎn)）【方法二】實(shí)例探索法題型1.弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用題型2.求不規(guī)則圖形的面積的常用特殊方法【方法三】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法1弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用考法2.扇形的面積公式的應(yīng)用考法3.求陰影部分的面積【方法四】成果評(píng)定法【學(xué)習(xí)目標(biāo)】了解弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式的推導(dǎo)過程及意義。掌握求弧長(zhǎng)及扇形面積的公式，并會(huì)應(yīng)用公式解決問題。在探索弧長(zhǎng)計(jì)算公式時(shí)，體驗(yàn)從特殊到一般的學(xué)習(xí)方法，在推導(dǎo)扇形面積公式的過程中，學(xué)會(huì)類比的方法?！局R(shí)導(dǎo)圖】【倍速學(xué)習(xí)四種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1.弧長(zhǎng)公式（重點(diǎn)）（1）圓周長(zhǎng)公式：C＝2πR（2）弧長(zhǎng)公式：l＝（弧長(zhǎng)為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為R）①在弧長(zhǎng)的計(jì)算公式中，n是表示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不要帶單位．②若圓心角的單位不全是度，則需要先化為度后再計(jì)算弧長(zhǎng)．③題設(shè)未標(biāo)明精確度的，可以將弧長(zhǎng)用π表示．④正確區(qū)分弧、弧的度數(shù)、弧長(zhǎng)三個(gè)概念，度數(shù)相等的弧，弧長(zhǎng)不一定相等，弧長(zhǎng)相等的弧不一定是等弧，只有在同圓或等圓中，才有等弧的概念，才是三者的統(tǒng)一．【例1】（2023?溫州）若扇形的圓心角為40°，半徑為18，則它的弧長(zhǎng)為．【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【解答】解：由弧長(zhǎng)公式得，故答案為：4π．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算，熟記弧長(zhǎng)的公式，即（l表示弧長(zhǎng)，n是弧所對(duì)圓心角的度數(shù)，r表示半徑）．【變式】（2023?拱墅區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在△ABC中，以BC為直徑的半圓分別與AB，AC交于點(diǎn)D，E．若BC＝6，∠A＝60°，則的長(zhǎng)為（）A． B．π C．2π D．3π【分析】連接OD、OE，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)求出∠DOE＝60°，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算，得到答案．【解答】解：連接OD、OE，∵∠A＝60°，∴∠B+∠C＝120°，∵OB＝OD，OE＝OC，∴∠ODB＝∠B，∠OEC＝∠C，∴∠BOD+∠EOC＝360°﹣120°×2＝120°，∴∠DOE＝60°，∴的長(zhǎng)為：＝π，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是弧長(zhǎng)的計(jì)算，熟記弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)2.扇形的面積（重點(diǎn)）（1）圓面積公式：S＝πr2（2）扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧所圍成的圖形叫做扇形．（3）扇形面積計(jì)算公式：設(shè)圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l(wèi)為扇形的弧長(zhǎng)）【例2】（2023?鹿城區(qū)校級(jí)二模）若扇形的圓心角為60°，半徑為3cm，則該扇形的面積為cm2．【分析】直接根據(jù)扇形的面積公式計(jì)算即可．【解答】解：該扇形的面積為＝π（cm2）．故答案為：π．【點(diǎn)評(píng)】本題考查扇形的面積，解題的關(guān)鍵是記住扇形的面積公式，屬于中考常考題型．【變式】（2022秋?寧波期末）如圖，在△ABC中，以邊AB為直徑作⊙O分別交BC，AC于點(diǎn)D，E，點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，連接OE，OD．（1）求證：△ABC是等腰三角形．（2）若AB＝6，∠A＝40°，求的長(zhǎng)和扇形EOD的面積．【分析】（1）連接AD，由AB為⊙O直徑，得到∠ADB＝90°，繼而得出AD是線段BC的中垂線，即可求解；（2）由等邊對(duì)等角及三角形外角的性質(zhì)求出∠AOE，∠EOD的度數(shù)，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式求解即可．【解答】解：（1）連接AD，∵AB為⊙O直徑，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，又∵D是BC中點(diǎn)，∴AD是線段BC的中垂線，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；（2）∵∠A＝40°，OA＝OE，∴∠A＝∠AEO＝40°，∴∠AOE＝100°，∵AB＝6，∴OA＝OE＝3，∴，∵AB＝AC，OB＝OD，∴∠ABC＝70°＝∠ODB，∴∠AOD＝140°，∴∠EOD＝40°，∴．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形外角的性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式，垂直平分線的判定，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)3.不規(guī)則圖形面積的求法（難點(diǎn)）求陰影面積常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割補(bǔ)法．求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．【例3】（2023?浙江模擬）如圖是2022年杭州亞運(yùn)會(huì)徽標(biāo)的示意圖，若AO＝5，BO＝2，∠AOD＝120°，則陰影部分面積為（）A．14π B．7π C． D．2π【分析】根據(jù)S陰影＝S扇形AOD﹣S扇形BOC，求解即可．【解答】解：S陰影＝S扇形AOD﹣S扇形BOC＝﹣＝＝7π，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查扇形的面積，解題的關(guān)鍵是熟記扇形面積計(jì)算公式：設(shè)圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l(wèi)為扇形的弧長(zhǎng)）．【變式】（2023?南湖區(qū)二模）如圖，將半徑為的扇形AOB沿OB方向平移2cm，得到扇形CDE．若∠O＝60°，則重疊部分（陰影部分）的面積為（）A． B．cm2 C．πcm2 D．【分析】連接OF，過點(diǎn)F作FH⊥OB于H，設(shè)OF＝xcm，則DH＝cm，F(xiàn)H＝cm，Rt△OFH中根據(jù)勾股定理可列方程，即可求出x，進(jìn)而得到FH長(zhǎng)，從而求得∠FOH＝30°，利用S陰影＝S扇形FOB﹣S△ODF計(jì)算即可．【解答】解：如圖，連接OF，過點(diǎn)F作FH⊥OB于H，設(shè)OF＝xcm，在Rt△DFH中，∠CDB＝60°，則DH＝cm，F(xiàn)H＝cm，根據(jù)平移的性質(zhì)得：OB＝DE＝2cm，在Rt△OFH中，（x）2+（2+）2＝（2）2，∴x＝2（舍去負(fù)值），∴FH＝＝，∴∠FOH＝30°，∴S陰影＝S扇形FOB﹣S△ODF＝﹣＝（）（cm2）．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查扇形面積的計(jì)算，解題關(guān)鍵是將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形．【方法二】實(shí)例探索法題型1.弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用1．（2022秋?越城區(qū)期末）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD∥BC交⊙O于點(diǎn)D，DF∥AB交BC于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，連接AF，CF．（1）求證：AC＝AF；（2）若⊙O的半徑為3，∠CAF＝30°，求的長(zhǎng)（結(jié)果保留π）．【分析】（1）根據(jù)已知條件可證明四邊形ABED是平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)可得∠B＝∠D，等量代換可得∠AFC＝∠ACF，即可得出答案；（2）連接AO，CO，由（1）中結(jié)論可計(jì)算出∠AFC的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理可計(jì)算出∠AOC的度數(shù)，再根據(jù)弧長(zhǎng)計(jì)算公式計(jì)算即可得出答案．【解答】證明：（1）∵AD∥BC，DF∥AB，∴四邊形ABED為平行四邊形，∴∠B＝∠D，∵∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D，∴∠AFC＝∠ACF，∴AC＝AF．（2）連接AO，CO，如圖，由（1）得∠AFC＝∠ACF，∵∠AFC＝＝75°，∴∠AOC＝2∠AFC＝150°，∴的長(zhǎng)l＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，圓的性質(zhì)與弧長(zhǎng)公式，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，推理能力，幾何直觀等數(shù)學(xué)素養(yǎng)．2．（2023?浙江二模）如圖，已知⊙O的半徑為，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，連結(jié)AC、BD，DB＝DC，∠BDC＝45°．（1）求的長(zhǎng)；（2）求證：AD平分△ABC的外角∠EAC．【分析】（1）連接OB，OC，根據(jù)圓周角定理得∠BOC＝2∠BDC＝90°，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠DCB＝∠EAD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠DCB＝∠DBC，根據(jù)圓周角定理得到∠DBC＝∠DAC，等量代換得到答案．【解答】（1）解：如圖，連接OB，OC，∵∠BDC＝45°，∴∠BOC＝2∠BDC＝90°，∴的長(zhǎng)為＝π；（2）證明：∵DB＝DC，∴∠DBC＝∠DCB，∵∠CAD＝∠DBC，∴∠CAD＝∠DCB，∵∠DCB+∠DAB＝180°，∠EAD+∠DAB＝180°，∴∠EAD＝∠DCB，∴∠EAD＝∠CAD，∴AD平分△ABC的外角∠EAC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是弧長(zhǎng)的計(jì)算、圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對(duì)角是解題的關(guān)鍵．題型2.求不規(guī)則圖形的面積的常用特殊方法3．（2023?杭州二模）如圖，AB是⊙O的直徑，將弦AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到AD，此時(shí)點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D落在AB上，延長(zhǎng)CD，交⊙O于點(diǎn)E，若CE＝2，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．【分析】連接OE，OC，BC，推出△EOC是等腰直角三角形，根據(jù)扇形面積減三角形面積計(jì)算即可．【解答】解：連接OE，OC，BC，由旋轉(zhuǎn)知AC＝AD，∠CAD＝30°，∴∠BOC＝60°，∠ACE＝（180°﹣30°）÷2＝75°，∴∠BCE＝90°﹣∠ACE＝15°，∴∠BOE＝2∠BCE＝30°，∴∠EOC＝90°，即△EOC為等腰直角三角形，∵CE＝4，∴OE＝OC＝，∴S陰影＝S扇形OEC﹣S△OEC＝﹣××＝，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及扇形面積的計(jì)算，熟練掌握扇形面積的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．4．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在半徑為2、圓心角為的扇形中，，點(diǎn)D從點(diǎn)O出發(fā)，沿的方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A停止．在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過程中，線段，與所圍成的區(qū)域（圖中陰影部分）面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，易得當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，陰影部分面積最小，連接，過點(diǎn)C作于點(diǎn)H，如圖，分別求出最小陰影部分面積比較即可得到陰影部分最小面積．【詳解】當(dāng)點(diǎn)D在線段OA上時(shí)，易得當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，陰影部分面積最小，連接OC、BC，過點(diǎn)C作于點(diǎn)H，如圖，，，∵，∴．；線段、與所圍成的區(qū)域（圖中陰影部分）面積的最小值為．故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，圓心角定理以及三角形及扇形的面積求法，討論動(dòng)點(diǎn)的位置作輔助線把不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形面積的和差是解題的關(guān)鍵．5．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在矩形中，以點(diǎn)D為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，以點(diǎn)C為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧恰好交于邊上的點(diǎn)E處，現(xiàn)從矩形內(nèi)部隨機(jī)取一點(diǎn)，若，則該點(diǎn)取自陰影部分的概率為______．【答案】【分析】連接，根據(jù)勾股定理，得，根據(jù)陰影部分的面積為：扇形的面積減去，根據(jù)的等于扇形的面積減去，據(jù)此求解即可．【詳解】解：連接，如下圖：∵四邊形是矩形，，∴，，，∴，，∴扇形的面積為：，∵的面積為：，∴陰影部分的面積為：．矩形的面積為，該點(diǎn)取自陰影部分的概率為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查幾何概率，矩形的性質(zhì)，扇形的面積，解題的關(guān)鍵是掌握扇形的面積公式，矩形的性質(zhì)．6．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）如圖，在菱形中，分別以點(diǎn)A，C為圓心，，長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交對(duì)角線于點(diǎn)E，F(xiàn)．若，，則圖中陰影部分的面積為______．（結(jié)果保留）【答案】【分析】連接交于O，先根據(jù)菱形的性質(zhì)和含30度的直角三角形的性質(zhì)分別求得及對(duì)角線的長(zhǎng)，再利用菱形和扇形面積公式，由求解即可．【詳解】解：連接交于O，∵四邊形是菱形，，，∴，，，，∴，∴在中，，，∴，，∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、扇形面積公式、含30度的直角三角形的性質(zhì)，熟記扇形面積公式，掌握菱形的性質(zhì)，得到陰影部分的面積的計(jì)算表達(dá)式是解答的關(guān)鍵．7．（2022秋?上城區(qū)期末）已知AB是圓O的直徑，半徑OD⊥BC于點(diǎn)E，的度數(shù)為60°．（1）求證：OE＝DE；（2）若OE＝1，求圖中陰影部分的面積．【分析】（1）連接BD，證明△OBD是等邊三角形，可得結(jié)論；（2）根據(jù)S陰＝S扇形AOC+S△COE，求解即可．【解答】（1）證明：連接BD，∵的度數(shù)是60°，∴∠BOD＝60°，∵OB＝OD，∴△OBD是等邊三角形，∵OD⊥BC，∴OE＝DE；（2）解：連接OC．∵OD⊥BC，OC＝OB，∴∠COE＝∠BOE＝60°，∴∠OCE＝30°，∴OC＝2OE＝2，∴CE＝＝＝，∴S陰＝S扇形AOC+S△COE＝+××1＝+．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了扇形面積、三角形的面積的計(jì)算，正確證明△BOD是等邊三角形是關(guān)鍵．8．（2023·浙江杭州·杭州市十三中教育集團(tuán)（總校）?？既＃┤鐖D，將含角的直角三角板放入半圓中，三點(diǎn)恰好在半圓上，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，求陰影部分的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)垂徑定理和圓周角定理的推論，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)圖示，可知是等邊三角形，根據(jù)扇形的面積公式計(jì)算出扇形的面積，的面積，由此即可求解陰影部分的面積．【詳解】（1）證明：根據(jù)題意，是半圓的直徑，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴．（2）解：如圖所示，連接，∵，，∴是等邊三角形，過點(diǎn)C作，∵，∴，∴，∴，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查扇形面積，垂徑定理，圓周角定理，掌握垂徑定理，扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．【方法三】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法1弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用1．（2022?麗水）某仿古墻上原有一個(gè)矩形的門洞，現(xiàn)要將它改為一個(gè)圓弧形的門洞，圓弧所在的圓外接于矩形，如圖．已知矩形的寬為2m，高為2m，則改建后門洞的圓弧長(zhǎng)是（）A．m B．m C．m D．（+2）m【分析】先作出合適的輔助線，然后根據(jù)題意和圖形，可以求得優(yōu)弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)和所在圓的半徑，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【解答】解：連接AC，BD，AC和BD相交于點(diǎn)O，則O為圓心，如圖所示，由題意可得，CD＝2m，AD＝2m，∠ADC＝90°，∴tan∠DCA＝＝＝，AC＝＝4（m），∴∠ACD＝60°，OA＝OC＝2m，∴∠ACB＝30°，∴∠AOB＝60°，∴優(yōu)弧ADCB所對(duì)的圓心角為300°，∴改建后門洞的圓弧長(zhǎng)是：＝（m），故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查弧長(zhǎng)公式、勾股定理、圓周角定理、矩形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是求出優(yōu)弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)和所在圓的半徑．2．（2023?溫州）若扇形的圓心角為40°，半徑為18，則它的弧長(zhǎng)為．【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【解答】解：由弧長(zhǎng)公式得，故答案為：4π．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算，熟記弧長(zhǎng)的公式，即（l表示弧長(zhǎng)，n是弧所對(duì)圓心角的度數(shù)，r表示半徑）．3．（2023?金華）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝50°，以AB為直徑作半圓，交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，則弧DE的長(zhǎng)為cm．【分析】連接OE，OD，由等腰三角形的性質(zhì)推出∠C＝∠ODB，得到OD∥AC，推出∠EOD＝∠AEO，由OE＝OA，∠OEA＝∠BAC＝50°，因此∠∠EOD＝∠BAC＝50°，由弧長(zhǎng)公式即可求出的長(zhǎng)．【解答】解：連接OE，OD，∵OD＝OB，∴∠B＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠C＝∠ODB，∴OD∥AC，∴∠EOD＝∠AEO，∵OE＝OA，∴∠OEA＝∠BAC＝50°，∴∠EOD＝∠BAC＝50°，∵OD＝AB＝×6＝3（cm），∴的長(zhǎng)＝＝π（cm）．故答案為：π．【點(diǎn)評(píng)】本題考查弧長(zhǎng)的計(jì)算，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是由等腰三角形的性質(zhì)推出OD∥AC，從而求出∠EOD的度數(shù)．考法2.扇形的面積公式的應(yīng)用4．（2021?衢州）已知扇形的半徑為6，圓心角為150°，則它的面積是（）A．π B．3π C．5π D．15π【分析】把已知數(shù)據(jù)代入扇形面積公式計(jì)算，即可得到答案．【解答】解：扇形面積＝，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是扇形面積計(jì)算，掌握扇形面積公式：是解決本題的關(guān)鍵．5．（2022?臺(tái)州）一個(gè)垃圾填埋場(chǎng)，它在地面上的形狀為長(zhǎng)80m，寬60m的矩形，有污水從該矩形的四周邊界向外滲透了3m，則該垃圾填埋場(chǎng)外圍受污染土地的面積為（）A．（840+6π）m2 B．（840+9π）m2 C．840m2 D．876m2【分析】直接根據(jù)圖形中外圍面積和可得結(jié)論．【解答】解：如圖，該垃圾填埋場(chǎng)外圍受污染土地的面積＝80×3×2+60×3×2+32π＝（840+9π）m2．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形和扇形的面積，掌握扇形的面積公式是解本題的關(guān)鍵．考法3.求陰影部分的面積6．（2023?婁底）如圖，正六邊形ABCDEF的外接圓⊙O的半徑為2，過圓心O的兩條直線l1、l2的夾角為60°，則圖中的陰影部分的面積為（）?A．π﹣ B．π﹣ C．π﹣ D．π﹣【分析】連接AD，OC，由⊙O是正六邊形的外接圓可求得∠COD＝60°，△COD是等邊三角形，根據(jù)扇形面積公式可求S扇形COD，根據(jù)三角形面積公式可求S△COD，利用三角形全等將兩塊陰影部分拼接，轉(zhuǎn)化為弓形，根據(jù)S陰影＝S扇形COD﹣S△COD即可求解．【解答】解：如圖，連接AD，OC，∵⊙O是正六邊形的外接圓，∴AD必過點(diǎn)O，∠COD＝＝60°，又∵OC＝OD，∴△COD是等邊三角形，OC＝OD＝CD＝2，∵直線l1、l2的夾角為60°，∴∠COD﹣∠KOD＝∠KOH﹣∠KOD，即∠COK＝∠DOH，又∵∠DOH＝∠AOG，∴∠COK＝∠AOG，∵∠OCK＝∠OAG＝60°，OC＝OA，∴△OCK≌△OAG（ASA），S扇形COM＝S扇形AON，∴S扇形COM﹣S△OCK＝S扇形AON﹣S△OAG，∴S陰影＝S扇形COD﹣S△COD，∵S扇形COD＝＝π，S△COD＝＝，∴S陰影＝π﹣．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正多邊形和圓，三角形面積和扇形面積計(jì)算，明確S陰影＝S扇形COD﹣S△COD是解決問題的關(guān)鍵．7．（2023?廣元）如圖，半徑為5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是上一點(diǎn)，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分別為D，E，若CD＝CE，則圖中陰影部分面積為（）A． B． C． D．【分析】先連接OC，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)和圖形，可以得到陰影部分的面積等于扇形BOC的面積，然后代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可．【解答】解：連接OC，如圖所示，∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠AOB＝∠ODC＝∠OEC＝90°，∴四邊形OECD是矩形，∵CD＝CE，∴四邊形OECD是正方形，∴∠DCE＝90°，△DCE和△OEC全等，∴S陰影＝S△DCE+S半弓形BCE＝S△OCE+S半弓形BCE＝S扇形COB＝＝，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查扇形面積的計(jì)算、正方形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．8．（2023?連云港）如圖，矩形ABCD內(nèi)接于⊙O，分別以AB、BC、CD、AD為直徑向外作半圓．若AB＝4，BC＝5，則陰影部分的面積是（）A．π﹣20 B．π﹣20 C．20π D．20【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可求出BD，再根據(jù)圖形中各個(gè)部分面積之間的關(guān)系，即S陰影部分＝S以AD為直徑的圓+S以AB為直徑的圓+S矩形ABCD﹣S以BD為直徑的圓進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：如圖，連接BD，則BD過點(diǎn)O，在Rt△ABD中，AB＝4，BC＝5，∴BD2＝AB2+AD2＝41，S陰影部分＝S以AD為直徑的圓+S以AB為直徑的圓+S矩形ABCD﹣S以BD為直徑的圓＝π×（）2+π×（）2+4×5﹣π×（）2＝+20﹣＝20，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理，矩形的性質(zhì)以及扇形面積的計(jì)算，掌握矩形的性質(zhì)、勾股定理以及扇形面積的計(jì)算方法是正確解答的前提．9．（2023?內(nèi)蒙古）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，以點(diǎn)B為圓心，對(duì)角線BD的長(zhǎng)為半徑畫弧，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則圖中陰影部分的面積為．【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得出陰影部分的面積為扇形BED的面積，然后由勾股定理得出BD＝2，再由扇形面積公式求解即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AO＝CO，BO＝DO，AD＝CD，∠DBE＝45°，∴△AOD≌△COB（SSS），∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∴BD＝＝2，∴陰影部分的面積為扇形BED的面積，即，故答案為：π．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正方形的性質(zhì)以及扇形的面積，能夠理解題意，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形BED的面積是解題的關(guān)鍵．【方法四】成果評(píng)定法一、單選題1．（2022秋·浙江湖州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知扇形的圓心角為，半徑為6，則扇形的面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)扇形公式，代入數(shù)據(jù)運(yùn)算即可得出答案．【詳解】解：由題意得，，，故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了扇形的面積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握扇形的面積公式，另外要明白扇形公式中，每個(gè)字母所代表的含義．2．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）長(zhǎng)為的細(xì)木條用兩個(gè)鐵釘固定在墻上，固定點(diǎn)為點(diǎn)，（鐵釘?shù)拇笮『雎圆挥?jì)），當(dāng)固定點(diǎn)處的鐵釘脫落后，細(xì)木條順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至與原來垂直的方向，點(diǎn)落在點(diǎn)的位置，則點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的路徑長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算便可．【詳解】解：點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的路徑長(zhǎng)為，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了求弧長(zhǎng)，熟練掌握弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．3．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，連接，，若，的半徑為，則劣弧的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接、，由圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)可得的度數(shù)，再由及三角形內(nèi)角和定理可求得的度數(shù)，由圓周角定理可得的度數(shù)，最后由弧長(zhǎng)公式即可求得結(jié)果．【詳解】解：如圖，連接、，∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，，∴，∵，∴，∴，∴，∵的半徑為，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，綜合運(yùn)用這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵．4．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，，，，為上的點(diǎn)，且直線與夾角為．若，，的長(zhǎng)分別為，和，則的半徑是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】延長(zhǎng)，與直線交于，連接，設(shè)弧長(zhǎng)為所對(duì)的圓周角為，根據(jù)題意得出，，利用三角形內(nèi)角和定理求得，即可求得弧長(zhǎng)為所對(duì)的圓心角為，代入弧長(zhǎng)公式即可求得的半徑．【詳解】解：延長(zhǎng)，與直線交于，連接，的半徑為，∵，，的長(zhǎng)分別為，和，∴的長(zhǎng)為，的長(zhǎng)為，∴設(shè)弧長(zhǎng)為所對(duì)的圓周角為，則，，∵，，∴，∴，∴弧長(zhǎng)為所對(duì)的圓心角為，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查弧長(zhǎng)的計(jì)算，圓周角定理，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，三角形內(nèi)角和定理，求得弧長(zhǎng)為所對(duì)的圓心角是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·浙江衢州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）半徑為，的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可求解．【詳解】解：半徑為，的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了求弧長(zhǎng)，熟練掌握弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·浙江溫州·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在中，，，D是邊上的一點(diǎn)，以為直徑的交邊于點(diǎn)E，若，則的長(zhǎng)為（）A．π B．2π C．3π D．4π【答案】B【分析】連接，根據(jù)，，得，再根據(jù)圓周角定理得，即可求出答案．【詳解】解：如圖，連接，∵，，∴，∴，∵，∴，∴的長(zhǎng)為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算和圓周角定理，熟練記住弧長(zhǎng)公式：（弧長(zhǎng)為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為R）是關(guān)鍵．7．（2021·浙江衢州·統(tǒng)考一模）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，以點(diǎn)A為圓心，AD為半徑，畫圓弧DE得到扇形DAE（陰影部分，點(diǎn)E在對(duì)角線AC上）．若扇形DAE正好是一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖，則該圓錐的底面圓的半徑是（

）A． B．2 C． D．1【答案】D【分析】根據(jù)圓錐的底面周長(zhǎng)與展開后所得扇形的弧長(zhǎng)相等列式計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，根據(jù)題意可知：AD=AE=8，∠DAE=45°，底面圓的周長(zhǎng)等于弧長(zhǎng)：∴2πr=，解得r=1．所以，該圓錐的底面圓的半徑是1故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算，解決本題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A錐的底面周長(zhǎng)與展開后所得扇形的弧長(zhǎng)相等．8．（2023春·浙江杭州·九年級(jí)杭州市杭州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，是等腰直角三角形，且，分別以A，B，C為圓心做弧，得到曲線，那么曲線和線段圍成的圖形（圖中陰影部分）的面積為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出，，結(jié)合勾股定理得出，進(jìn)而可求出．結(jié)合題意即得出，，，從而可求出，最后根據(jù)扇形的面積公式分別求出，，，再相加即可．【詳解】解：如圖，∵是等腰直角三角形，且，∴，，，∴．∵以A，B，C為圓心做弧，得到曲線，∴，，，∴，∴，，，∴．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，扇形的面積公式．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．9．（2023秋·浙江寧波·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是的直徑，弦與垂直，垂足為點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，，，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，首先證明是等邊三角形，證明，求出即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接．∵，∴，∵，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，扇形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造特殊三角形解決問題．10．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考二模）如圖，將半徑為的扇形沿方向平移，得到扇形．若，則重疊部分（陰影部分）的面積為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】連接，過點(diǎn)F作于點(diǎn)G，根據(jù)平移的性質(zhì)可知，，設(shè)，則，，根據(jù)勾股定理得出，求出，得出，，證明，根據(jù)利用扇形的面積公式解答即可．【詳解】解：連接，過點(diǎn)F作于點(diǎn)G，如圖所示：∵將半徑為的扇形沿方向平移得到扇形，∴，，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，，∴，在中根據(jù)勾股定理得：，即，解得：，負(fù)值舍去，∴，，∴，∴，∵，∴，，故D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平移的性質(zhì)，扇形的面積公式，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題11．（2023·浙江溫州·校考三模）若扇形半徑為4，弧長(zhǎng)為，則該扇形的圓心角為．【答案】/90度【分析】設(shè)扇形圓心角的度數(shù)為n，根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)扇形圓心角的度數(shù)為n，∵扇形的弧長(zhǎng)為2π，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是扇形的面積公式，熟記扇形的面積公式及弧長(zhǎng)公式是解答此題的關(guān)鍵．12．（2023·浙江溫州·校考三模）一個(gè)扇形的圓心角為，弧長(zhǎng)為3πcm，則此扇形的半徑是cm．【答案】4【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)計(jì)算公式，將其變形即可求出扇形半徑．【詳解】解：扇形的弧長(zhǎng)為，解得，，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查扇形的弧長(zhǎng)公式，解題的關(guān)鍵是熟記弧長(zhǎng)公式．13．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在矩形中，以點(diǎn)D為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，以點(diǎn)C為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧恰好交于邊上的點(diǎn)E處，現(xiàn)從矩形內(nèi)部隨機(jī)取一點(diǎn)，若，則該點(diǎn)取自陰影部分的概率為．【答案】/【分析】連接，根據(jù)勾股定理，得，根據(jù)陰影部分的面積為：扇形的面積減去，根據(jù)的等于扇形的面積減去，據(jù)此求解即可．【詳解】解：連接，如下圖：∵四邊形是矩形，，∴，，，∴，，∴扇形的面積為：，∵的面積為：，∴陰影部分的面積為：．矩形的面積為，該點(diǎn)取自陰影部分的概率為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查幾何概率，矩形的性質(zhì)，扇形的面積，解題的關(guān)鍵是掌握扇形的面積公式，矩形的性質(zhì)．14．（2022·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，CD為⊙O的直徑，CD⊥AB于點(diǎn)F，AE⊥BC于點(diǎn)E，且AE經(jīng)過圓心O．若OA＝3．則圖中陰影部分的面積為．【答案】【分析】連接、，得到為等邊三角形，求得扇形的面積減去的面積即可．【詳解】解：連接、，如下圖：∵CD為⊙O的直徑，CD⊥AB∴，，∴又∵AE⊥BC，AE經(jīng)過圓心O∴∴∴為等邊三角形∴，∴∴在中，，，∴由勾股定理得故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了垂徑定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，扇形面積計(jì)算，熟練掌握相關(guān)基本知識(shí)是解題的關(guān)鍵．15．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考一模）將一半徑為6的圓形紙片，沿著兩條半徑剪開形成兩個(gè)扇形．若其中一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)為5π，則另一個(gè)扇形的圓心角度數(shù)是．【答案】/210度【分析】用圓的周長(zhǎng)減去已知扇形弧長(zhǎng)，求出另一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)，設(shè)另一個(gè)扇形的圓心角為，利用弧長(zhǎng)公式求解．【詳解】解：∵圓的周長(zhǎng)為，∴另一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)為，設(shè)另一個(gè)扇形的圓心角為，根據(jù)弧長(zhǎng)公式得，解得，即另一個(gè)扇形的圓心角度數(shù)為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查扇形的圓心角、弧長(zhǎng)，解題的關(guān)鍵是掌握扇形的弧長(zhǎng)公式．16．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，用一個(gè)圓心角為150°的扇形圍成一個(gè)無底的圓錐，如果這個(gè)圓錐底面圓的半徑為，則這個(gè)扇形的半徑是．【答案】【分析】利用底面周長(zhǎng)=展開圖的弧長(zhǎng)可得．【詳解】設(shè)扇形的半徑為，則解得：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的側(cè)面展開圖問題，解答本題的關(guān)鍵是確定“底面周長(zhǎng)=展開圖的弧長(zhǎng)”這個(gè)等量關(guān)系，然后由扇形的弧長(zhǎng)公式和圓的周長(zhǎng)公式求值．17．（2022秋·浙江溫州·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，是的直徑，是弦，，，則陰影部分的面積是．【答案】/【分析】根據(jù)圓周角定理可以求出的度數(shù)，然后根據(jù)扇形面積公式即可求出陰影部分的面積．【詳解】解：，，是的直徑，是弦，，陰影部分的面積，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理、扇形面積的計(jì)算，本題解題的關(guān)鍵是將題目給出的信息與圖形結(jié)合起來，用到了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思維．18．（2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，以為直徑作半圓，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則弧的長(zhǎng)為．【答案】/【分析】連接，，，根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)，圓周角定理，中位線定理，弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，連接，，，∵為直徑，∴，∵，∴，，∴，，∴弧的長(zhǎng)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形三線合一性質(zhì)，中位線定理，弧長(zhǎng)公式，熟練掌握三線合一性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式，圓周角定理是解題的關(guān)鍵．三、解答題19．（2023秋·浙江臺(tái)州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．(1)畫出．(2)求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）將線段分別繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，再將點(diǎn)連接即可；（2）先求出的長(zhǎng)，在根據(jù)弧長(zhǎng)計(jì)算公式計(jì)算即可．【詳解】（1）解：如圖所示即為所求．（2）解：，答：點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)圖形的繪制以及弧長(zhǎng)的計(jì)算，熟練掌握弧長(zhǎng)的計(jì)算公式是解決本題的關(guān)鍵．20．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考一模）如圖，將含角的直角三角板放入半圓中，三點(diǎn)恰好在半圓上，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，求陰影部分的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)垂徑定理和圓周角定理的推論，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)圖示，可知是等邊三角形，根據(jù)扇形的面積公式計(jì)算出扇形的面積，的面積，由此即可求解陰影部分的面積．【詳解】（1）證明：根據(jù)題意，是半圓的直線，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴．（2）解：如圖所示，連結(jié)，∵，，∴是等邊三角形，∵，∴，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查扇形面積，垂徑定理，圓周角定理，掌握垂徑定理，扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．21．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，是的外接圓，是直徑，的平分線交于點(diǎn)D，連接、．(1)判斷的形狀，并說明理由；(2)若，求的長(zhǎng)（結(jié)果保留）．【答案】(1)為等腰直角三角形，理由見解析(2)的長(zhǎng)為【分析】（1）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，確定，再由，確定，即可得出結(jié)論；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，說明，通過求得的長(zhǎng)度，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）為等腰直角三角形，理由如下：證：∵是的外接圓，是直徑，∴，∵的平分線交于點(diǎn)D，∴，∴，，∴為等腰直角三角形；（2）解：由（1）可得：，∴，∵，∴，∴，∴的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，弧長(zhǎng)計(jì)算等，理解直徑所對(duì)的圓周角為直角，以及熟練運(yùn)用圓周角定理和相關(guān)推論是解題關(guān)鍵．22．（2022秋·浙江