河北省秦皇島市昌黎匯文二中2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，則曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為（）A. B.C. D.2．拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記{兩次的點(diǎn)數(shù)均為奇數(shù)}，{兩次的點(diǎn)數(shù)之和為8}，則（）A. B.C. D.3．某中學(xué)的“希望工程”募捐小組暑假期間走上街頭進(jìn)行了一次募捐活動(dòng)，共收到捐款1200元.他們第1天只得到10元，之后采取了積極措施，從第2天起，每一天收到的捐款都比前一天多10元.這次募捐活動(dòng)一共進(jìn)行的天數(shù)為（）A.13 B.14C.15 D.164．已知隨圓與雙曲線(xiàn)相同的焦點(diǎn)，則橢圓和雙曲線(xiàn)的離心，分別為（）A. B.C. D.5．學(xué)校開(kāi)設(shè)甲類(lèi)選修課3門(mén)，乙類(lèi)選修課4門(mén)，從中任選3門(mén)，甲乙兩類(lèi)課程都有選擇的不同選法種數(shù)為（）A.24 B.30C.60 D.1206．在三棱錐中，，，則異面直線(xiàn)PC與AB所成角的余弦值是（）A. B.C. D.7．設(shè)橢圓（）的左焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)F且斜率為的直線(xiàn)與C的一個(gè)交點(diǎn)為Q（點(diǎn)Q在x軸上方），且，則C的離心率為（）A. B.C. D.8．直線(xiàn)，若的傾斜角為60°，則的斜率為（）A. B.C. D.9．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，和為方程的兩根，則等于（）A.8 B.10C.16 D.3210．在等差數(shù)列中，已知，則數(shù)列的前6項(xiàng)之和為（）A.12 B.32C.36 D.7211．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為（）A.B.CD.12．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，下頂點(diǎn)為，直線(xiàn)與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，若為等腰三角形，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足，則______.14．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，且，則_______15．函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程是_________16．直線(xiàn)l:y=-x+m與曲線(xiàn)有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列滿(mǎn)足，（1）證明是等比數(shù)列，（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和18．（12分）已知圓，圓.（1）試判斷圓C與圓M的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l與圓C相切，求直線(xiàn)l的方程.19．（12分）已知數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.20．（12分）已知首項(xiàng)為1的數(shù)列滿(mǎn)足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.21．（12分）已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且滿(mǎn)足.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求，并證明：.22．（10分）已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再求出，然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解作答.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得：，則，而，于是得：，即，所以曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為.故選：A2、B【解析】利用條件概率公式進(jìn)行求解.【詳解】，其中表示：兩次點(diǎn)數(shù)均為奇數(shù)，且兩次點(diǎn)數(shù)之和為8，共有兩種情況，即，故，而，所以，故選：B3、C【解析】由題意可得募捐構(gòu)成了一個(gè)以10元為首項(xiàng)，以10元為公差的等差數(shù)列，設(shè)共募捐了天，然后建立關(guān)于的方程，求出即可【詳解】由題意可得，第一天募捐10元，第二天募捐20元，募捐構(gòu)成了一個(gè)以10元為首項(xiàng)，以10元為公差的等差數(shù)列，根據(jù)題意，設(shè)共募捐了天，則，解得或（舍去），所以，故選：4、B【解析】設(shè)公共焦點(diǎn)為，推導(dǎo)出，可得出，進(jìn)而可求得、的值.【詳解】設(shè)公共焦點(diǎn)為，則，則，即，故，即，，故選：B5、B【解析】利用組合數(shù)計(jì)算出正確答案.【詳解】甲乙兩類(lèi)課程都有選擇的不同選法種數(shù)為.故選：B6、A【解析】分別取、、的中點(diǎn)、、，連接、、、、，由題意結(jié)合平面幾何的知識(shí)可得、、或其補(bǔ)角即為異面直線(xiàn)PC與AB所成角，再由余弦定理即可得解.【詳解】分別取、、的中點(diǎn)、、，連接、、、、，如圖：由可得，所以，在，，可得由中位線(xiàn)的性質(zhì)可得且，且，所以或其補(bǔ)角即為異面直線(xiàn)PC與AB所成角，在中，，所以異面直線(xiàn)AB與PC所成角的余弦值為.故選：A.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：平移線(xiàn)段法是求異面直線(xiàn)所成角的常用方法，其基本思路是通過(guò)平移直線(xiàn)，把異面直線(xiàn)的問(wèn)題化歸為共面直線(xiàn)問(wèn)題來(lái)解決，具體步驟如下：（1）平移：平移異面直線(xiàn)中的一條或兩條，作出異面直線(xiàn)所成的角；（2）認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線(xiàn)所成的角；（3）計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由異面直線(xiàn)所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線(xiàn)所成的角7、D【解析】連接Q和右焦點(diǎn)，可知|OQ|＝，可得∠FQ＝90°，由得，寫(xiě)出兩直線(xiàn)方程，聯(lián)立可得Q點(diǎn)坐標(biāo)，Q點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可得a、b、c關(guān)系﹒【詳解】設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為，連接Q，∵，，∴|OQ|＝，∴∠FQ＝90°，∵，∴，F(xiàn)Q過(guò)F(－c，0)，Q過(guò)(c，0)，則，由，∵Q在橢圓上，∴，又，解得，∴離心率故選：D8、D【解析】直線(xiàn),斜率乘積為，斜線(xiàn)斜率等于傾斜角的正切值.【詳解】,，所以.故選：D.9、C【解析】根據(jù)和為方程兩根，得到，然后再利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解.【詳解】因?yàn)楹蜑榉匠痰膬筛?，所以，又因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以，故選：C10、C【解析】利用等差數(shù)列的求和公式結(jié)合角標(biāo)和定理即可求解.【詳解】解：等差數(shù)列中，所以等差數(shù)列的前6項(xiàng)之和為：故選：C.11、B【解析】由導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則可求出.【詳解】，.故選：B.12、B【解析】由橢圓定義可得各邊長(zhǎng)，利用三角形相似，可得點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，可得離心率.【詳解】如圖所示：因?yàn)闉榈妊切?，且，又，所以，所以，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，則，由，，得，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，所以，即離心率，故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)所給的通項(xiàng)公式，代入求得，并由代入求得，即可求得的值.【詳解】數(shù)列的前n項(xiàng)和，則，而，，∴，則，故答案為：.14、【解析】代入，展開(kāi)整理得，①化為，與①式相加得，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，求解即可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，則，整理得，解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理的邊角互化，考查三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值，屬于中檔題.15、【解析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到且，再結(jié)合直線(xiàn)的點(diǎn)斜式，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，則且，所以在點(diǎn)處切線(xiàn)方程是，即故答案為：.16、【解析】曲線(xiàn)表示圓的右半圓，結(jié)合的幾何意義，得出實(shí)數(shù)m的取值范圍.【詳解】曲線(xiàn)表示圓的右半圓，當(dāng)直線(xiàn)與相切時(shí)，，即，由表示直線(xiàn)的截距，因?yàn)橹本€(xiàn)l與曲線(xiàn)有兩個(gè)公共點(diǎn)，由圖可知，所以.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）利用定義法證明是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的非零常數(shù)，從而得出結(jié)論；（2）由（1）求出，利用分組求和法求【詳解】（1）由得，所以，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列,，所以，（2）由（1）知的通項(xiàng)公式為；則所以【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的證明以及分組求和法，屬于基礎(chǔ)題18、（1）圓C與圓M相交，理由見(jiàn)解析（2）或【解析】（1）利用圓心距與半徑的關(guān)系即可判斷結(jié)果；（2）討論，當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)則方程為，當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，利用圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑計(jì)算即可得出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】把圓M的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得，圓心為，半徑.圓C的圓心為，半徑，因?yàn)?，所以圓C與圓M相交，【小問(wèn)2詳解】①當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)l的方程為到圓心C距離為2，滿(mǎn)足題意；②當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，由題意得，解得，故直線(xiàn)l的方程為.綜上，直線(xiàn)l的方程為或.19、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意，通過(guò)解方程求出公比，即可求解；（2）根據(jù)題意，求出，結(jié)合組合法求和，即可求解.小問(wèn)1詳解】根據(jù)題意，設(shè)公比為，且，∵，，∴，解得或（舍），∴.【小問(wèn)2詳解】根據(jù)題意，得，故，因此.20、（1）（2）【解析】（1）由，構(gòu)造是以為首項(xiàng)，為公比等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得結(jié)果；（2）由（1）得，利用裂項(xiàng)相消可求.【小問(wèn)1詳解】由，得，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，則，即，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，所以.因?yàn)?，所以，所以?shù)列的前n項(xiàng)和.21、（1）證明見(jiàn)解析（2），證明見(jiàn)解析【解析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義證明；（2）由錯(cuò)位相減法求得和，再由的單調(diào)性可證得不等式成