基于灰色自記憶方程的地下水埋深預(yù)測模型

地下水合并的動態(tài)變化是一個復(fù)雜的水文過程，受到許多自然和人為因素的影響。準(zhǔn)確地預(yù)測地下水埋深變化,對于農(nóng)業(yè)灌溉規(guī)劃具有實際意義,特別對于非灌溉天然植被有著重要意義。地下水埋深動態(tài)預(yù)測有多種方法,傳統(tǒng)的方法有確定性模型和隨機(jī)模型,其中確定性模型的求解主要有解析法、數(shù)值法和物理模擬法;隨機(jī)性模型有回歸分析法、頻譜分析法等,但由于這些模型本身復(fù)雜或大量的物理參數(shù)難以獲得,因而不便在實際中應(yīng)用。近年來,根據(jù)系統(tǒng)的觀點對地下水埋深序列進(jìn)行分析建模的預(yù)測方法有所應(yīng)用,如模糊識別、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等,但這些方法均需要分析確定影響地下水埋深動態(tài)變化的主要因素,并需要收集整理與地下水埋深動態(tài)觀測序列相一致的各種影響因素觀測序列,故在實際應(yīng)用中尚存在一定困難。本研究采用灰色微分方程與自記憶原理相結(jié)合的方法,即由灰色系統(tǒng)方法導(dǎo)出GM(1,1)微分方程,再進(jìn)一步建立自記憶方程預(yù)報模型,該方程只涉及地下水埋深序列本身,避免了多種影響因素數(shù)據(jù)的收集整理,具有簡潔方便的特點。用其對新疆和田市地下水長期觀測井GW9的埋深進(jìn)行了模擬及預(yù)測,現(xiàn)將結(jié)果報道如下,以期為地下水埋深的準(zhǔn)確預(yù)測提供參考。1建模原理本文建模的思路:(1)數(shù)據(jù)歸一化處理;(2)導(dǎo)出系統(tǒng)的GM(1,1)微分方程;(3)建立灰色自記憶模型;(4)進(jìn)行模擬和預(yù)測。1.1生成數(shù)據(jù)序列,加標(biāo)回收GM(1,1)是一階單變量的微分方程模型,是用一階線性常微分方程來描述灰色系統(tǒng)單序列動態(tài)情況的模型,可以對水文單因素進(jìn)行中長期預(yù)報。設(shè)原始時間序列為x0=(x0(1),x0(2),…,x0(n)),對其進(jìn)行一次累加生成(1-AGO),記生成數(shù)據(jù)序列為x1,有x1=(x1(1),x1(2),…,x1(n))=(x0(1),x1(1)+x0(2),…,x1(n-1)+x0(n)),得到的新數(shù)據(jù)序列與原始數(shù)據(jù)序列相比較,其隨機(jī)程度大大弱化,平穩(wěn)程度大大增加。對x1建立白化形式微分方程:dx1dt+ax1=u(1)式中,a為發(fā)展灰數(shù),其預(yù)測對象的變化趨勢;u為內(nèi)生控制灰數(shù)。若令?a為待估參數(shù)向量,則有:?a=[au](2)利用最小二乘法求解,?a=(BΤB)-1BΤYΝ(3)其中B=[-12[x1(1)+x1(2)]1-12[x1(2)+x1(3)]1??-12[x1(n-1)+x1(n)]1](4)YΝ=[x0(2),x0(3),?,x0(n)]Τ(5)在式(1)中,令dx1dt=F,移項后得,F=u-ax1。1.2自我記憶方程式1.2.1自記憶性方程的建立諸多自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象均是不可逆的。對不可逆現(xiàn)象的研究使得記憶概念被引入到無生命現(xiàn)象中,基于物理運動不可逆性提出的自記憶原理,針對有微分方程描述的動力系統(tǒng),可以建立相應(yīng)的自記憶模型。設(shè)系統(tǒng)動態(tài)微分方程為:?x?t=F(x,λ,r,t)(6)式中,x為變量;λ為參數(shù);r為空間;t為時間。則式(6)也可以寫為方程組形式:?xi?t=F(xi,λ,r,t),i=1,2,?,Ν式中,N為整數(shù);xi為第i個變量。為簡便計,以下只考慮1個變量x。定義記憶函數(shù)β(r,t),且|β(r,t)|≤1,β為r和t的函數(shù),當(dāng)固定在空間點ri上時,在β中省寫r0,在希爾波特空間中定義內(nèi)積為(f,g)=∫baf(ε)g(ε)dε,f,g∈L2(7)運用此內(nèi)積運算對系統(tǒng)微分方程進(jìn)行變換,并設(shè)變量x和β連續(xù)、可微、可積,令βt≡β(t),β0≡β(t0),xi≡x(t),x0≡x(t0),余此類推。由微積分中的分部積分和中值定理可推導(dǎo)得到1個回溯階為p的差分-積分方程,即為自記憶性方程,可表示為βtxt-β-px-p-0∑i=-pxmi(βi+1-βi)-t∫-pβ(τ)F(x,λ,τ)dτ=0(8)式中,xmi≡x(tm),ti<tm<ti+1。式(8)強(qiáng)調(diào)了系統(tǒng)狀態(tài)前后時序之間的聯(lián)系,即系統(tǒng)自身的記憶性,用歷史資料確定記憶函數(shù),就可進(jìn)行模擬或預(yù)報。由引入記憶函數(shù)將微分方程轉(zhuǎn)換為差分-積分方程并求解的原理,稱為自記憶性原理。1.2.2記錄歷史上一個時次的歷史資料以前述灰色系統(tǒng)理論建立的dx1dt=F作為1個動力核,可運用系統(tǒng)自記憶原理,導(dǎo)出系統(tǒng)的自記憶方程。為敘述方便,以下用x代替x1。對p階自記憶方程式(8)進(jìn)行離散化,用求和代替積分,微分變?yōu)椴罘?中值xmi用2個時次的值代替。令x-p=xm-p-1,β-p-1=0,取時次為等距間隔,即令Δt=ti+1-ti=1,則得式(7)的離散形式為xt=-1∑i=-p-1αiyi+0∑i=-pθiF(x,i)(9)式中,αi,βi為記憶系數(shù),αi=(βi+1-βi)/βt,θi=βi/βtxmi=12(xi+1+xi)≡yi(10)F(x,i)=axi+u0(11)利用L個時次的歷史資料,用最小二乘法求記憶系數(shù)αi和βi,記為Xt=[xt1xt2?xtl],α=[α-p-1α-p?α-1],Y=[y-p,1y-p+1,1?y0,1y-p,2y-p+1,2?y0,2???y-p,Ly-p+1,L?y0,L]由θi組成的向量Θ(p+1)×1和由F(x,i)組成的矩陣FL×(p+1)可仿α(p+1)×1及YL×(p+1)類似表達(dá)。則式(9)的矩陣形式為Μt=Yα+FΘ(12)若令Μ=[Y,?,F],W=[α?Θ]則有Xt=ΜW求出系數(shù)矩陣W后,即可進(jìn)行模擬或預(yù)報。2自記憶法預(yù)測模型建立根據(jù)新疆和田市地下水長期觀測井GW92000～2003年48個月的月平均地下水埋深觀測資料*,從中選取前36個月(2000～2002年)的資料進(jìn)行建模,用2003年12個月的資料對模型進(jìn)行預(yù)測檢驗。首先采用下式對地下水埋深序列做歸一化處理:模擬及預(yù)測結(jié)果(表1,2)表明,通過灰色系統(tǒng)方法建立微分方程,再根據(jù)自記憶原理建立預(yù)測模型,可顯著提高模擬和預(yù)測精度,模擬精度的相對誤差均在4%以內(nèi),且能很好地反映其變化趨勢;預(yù)測精度的相對誤差大多數(shù)在4%以內(nèi),僅2003-07的(-6.09%)例外。但對6～9月份的趨勢預(yù)測還不太令人滿意,經(jīng)分析,地下水埋深受多種自然因素和人為因素影響,且地下水埋深變化除有年內(nèi)變化外,還有年際變化,而2003年地下水埋深波動較前幾年大,在最大值出現(xiàn)之前已出現(xiàn)過1次極大值。3建立自記憶模型的必要性及研究方向本研究將灰色系統(tǒng)方法和自記憶原理相結(jié)合,建立了地下水埋深預(yù)測模型。該模型具有簡潔實用的優(yōu)點:(1)無需分析研究影響地下水埋深的各種因素,只需要有一定長度的地下水埋深觀測資料系列;(2)由灰色理論導(dǎo)出系統(tǒng)動力模式較其他方法簡單方便;(3)由灰色微分方程建立的自記憶模型求記憶系數(shù)時,其計算量較用其他動力方程建立的自記憶模型相對較少;(4)在模型中運用歷史觀測值來估計記憶系數(shù),蘊(yùn)涵了歷史觀測值中對預(yù)報有用的信息,因而能夠顯著提高預(yù)報的準(zhǔn)確率。如何在灰色自記憶模型中考慮各種要素的影響,以進(jìn)一步提高模擬和預(yù)測精度,還有待今后進(jìn)一步深入研究。式中,Ht為新序列;H0t為原序列;Hav為序列平均值;Hmax為序列最大值。求得新序列的GM(1,1)微分方程為:按照式(9)進(jìn)一步建立自記憶預(yù)報模型,并取回溯階數(shù)為3,則有式中,T0=-3.4009;T1=6.4749;T2=-5.6888;T3=3.4487;θ0=8.4688;θ1=8.3683;θ2=8.5926;θ3=8.27