湖北省武漢市黃陂區(qū)漢口北高中2023-2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)期末綜合測試模擬試題注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．彬塔，又稱開元寺塔、彬縣塔，民間稱“雷峰塔”，位于陜西省彬縣城內(nèi)西南紫薇山下.某同學(xué)為測量彬塔高度，選取了與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點與，現(xiàn)測得，，，在點測得塔頂?shù)难鼋菫?0°，則塔高（）A.30m B.C. D.2．直線與直線交于點Q，m是實數(shù)，O為坐標(biāo)原點，則的最大值是（）A.2 B.C. D.43．在如圖所示的棱長為1的正方體中，點P在側(cè)面所在的平面上運動，則下列四個命題中真命題的個數(shù)是（）①若點P總滿足，則動點P的軌跡是一條直線②若點P到點A的距離為，則動點P的軌跡是一個周長為的圓③若點P到直線AB的距離與到點C的距離之和為1，則動點P的軌跡是橢圓④若點P到平面的距離與到直線CD的距離相等，則動點P的軌跡是拋物線A.1 B.2C.3 D.44．小明騎車上學(xué)，開始時勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時間，后為了趕時間加快速度行駛．與以上事件吻合得最好的圖象是（）A. B.C. D.5．阿波羅尼斯約公元前年證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)且的點的軌跡是圓．后人將這個圓稱為阿氏圓．若平面內(nèi)兩定點A，B間的距離為2，動點P與A，B距離之比滿足：，當(dāng)P、A、B三點不共線時，面積的最大值是（）A. B.2C. D.6．已知數(shù)列滿足，，則的最小值為（）A. B.C. D.7．“”是“曲線為焦點在軸上的橢圓”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8．某學(xué)生2021年共參加10次數(shù)學(xué)競賽模擬考試，成績分別記為，，，…，，為研究該生成績的起伏變化程度，選用一下哪個數(shù)字特征最為合適（）A.，，，…，的平均值； B.，，，…，的標(biāo)準(zhǔn)差；C.，，，…，的中位數(shù)； D.，，，…，的眾數(shù)；9．如圖，函數(shù)的圖象在P點處的切線方程是,若點的橫坐標(biāo)是5，則()A. B.1C.2 D.010．已知點F為拋物線C：的焦點，點，若點Р為拋物線C上的動點，當(dāng)取得最大值時，點P恰好在以F，為焦點的橢圓上，則該橢圓的離心率為（）A. B.C. D.11．若正整數(shù)N除以正整數(shù)m后的余數(shù)為n，則記為，如.如圖所示的程序框圖的算法源于我國古代聞名中外的“中國剩余定理”.執(zhí)行該程序框圖，則輸出的i等于（）A.7 B.10C.13 D.1612．直線的傾斜角是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知內(nèi)角A，B，C的對邊為a，b，c，已知，且，則c的最小值為__________.14．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，O為坐標(biāo)原點，點M是雙曲線左支上的一點，若，，則雙曲線的離心率是____________15．已知函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為______.16．已知實數(shù)，，，滿足，，，則的最大值是______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處，且與島嶼A相距12海里，漁船乙以10海里/小時的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時從B處出發(fā)沿北偏東α的方向追趕漁船乙，剛好用2小時追上.（1）求漁船甲的速度；（2）求的值.18．（12分）如圖，在三棱錐中，平面，，，為的中點.（1）證明：平面；（2）求平面與平面所成二面角的正弦值.19．（12分）已知函數(shù).若函數(shù)有兩個極值點，求實數(shù)的取值范圍.20．（12分）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，已知，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.21．（12分）已知直線l過點A（﹣3，1），且與直線4x﹣3y+t＝0垂直（1）求直線l的一般式方程；（2）若直線l與圓C：x2+y2＝m相交于點P，Q，且|PQ|＝8，求圓C方程22．（10分）等差數(shù)列的前n項和為，已知（1）求的通項公式；（2）若，求n的最小值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】在△中有，再應(yīng)用正弦定理求，再在△中，即可求塔高.【詳解】由題設(shè)知：，又，△中，可得，在△中，，則.故選：D2、B【解析】求出兩直線的交點坐標(biāo)，結(jié)合兩點間的距離公式得到，進(jìn)而可以求出結(jié)果.【詳解】因為與的交點坐標(biāo)為所以，當(dāng)時，，所以的最大值是，故選：B.3、C【解析】根據(jù)線面關(guān)系、距離關(guān)系可分別對每一個命題判斷.【詳解】若點P總滿足，又，，，可得對角面，因此點P的軌跡是直線，故①正確若點P到點A的距離為，則動點P的軌跡是以點B為圓心，以1為半徑的圓（在平面內(nèi)），因此圓的周長為，故②正確點P到直線AB的距離PB與到點C的距離PC之和為1，又，則動點P的軌跡是線段BC，因此③不正確點P到平面的距離（即到直線的距離）與到直線CD的距離（即到點C的距離）相等，則動點P的軌跡是以線段BC的中點為頂點，直線BC為對稱軸的拋物線（在平面內(nèi)），因此④正確故有①②④三個故選:C4、C【解析】先研究四個選項中圖象的特征，再對照小明上學(xué)路上的運動特征，兩者對應(yīng)即可選出正確選項.【詳解】考查四個選項，橫坐標(biāo)表示時間，縱坐標(biāo)表示的是離開學(xué)校的距離，由此知，此函數(shù)圖象一定是下降的，由此排除A；再由小明騎車上學(xué)，開始時勻速行駛可得出圖象開始一段是直線下降型，又途中因交通堵塞停留了一段時間，故此時有一段函數(shù)圖象與x軸平行，由此排除D，之后為了趕時間加快速度行駛，此一段時間段內(nèi)函數(shù)圖象下降的比較快，由此可確定C正確，B不正確故選C【點睛】本題考查函數(shù)的表示方法，關(guān)鍵是理解坐標(biāo)系的度量與小明上學(xué)的運動特征，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】根據(jù)給定條件建立平面直角坐標(biāo)系，求出點P的軌跡方程，探求點P與直線AB的最大距離即可計算作答.【詳解】依題意，以線段AB的中點為原點，直線AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則，，設(shè)，因，則，化簡整理得：，因此，點P的軌跡是以點為圓心，為半徑的圓，點P不在x軸上時，與點A，B可構(gòu)成三角形，當(dāng)點P到直線(軸)的距離最大時，的面積最大，顯然，點P到軸的最大距離為，此時，，所以面積的最大值是故選：C6、C【解析】采用疊加法求出，由可得，結(jié)合對勾函數(shù)性質(zhì)分析在或6取到最小值，代值運算即可求解.【詳解】因為，所以，，，，式相加可得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)取到，但，，所以時，當(dāng)時，，，所以的最小值為.故選：C7、C【解析】∵“”?“方程表示焦點在軸上的橢圓”，“方程表示焦點在軸上的橢圓”?“”，∴“”是“方程表示焦點在軸上的橢圓”的充要條件，故選C.8、B【解析】根據(jù)平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、中位數(shù)及眾數(shù)的概念即得.【詳解】根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的概念可知，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述數(shù)據(jù)的集中趨勢，標(biāo)準(zhǔn)差描述數(shù)據(jù)的波動大小估計數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度.故選：B.9、C【解析】函數(shù)的圖象在點P處的切線方程是，所以，在P處的導(dǎo)數(shù)值為切線的斜率，2，故選C考點：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義點評：簡單題，切線的斜率等于函數(shù)在切點的導(dǎo)函數(shù)值10、D【解析】過點P引拋物線準(zhǔn)線的垂線，交準(zhǔn)線于D，根據(jù)拋物線的定義可知，記，根據(jù)題意，當(dāng)最小，即直線與拋物線相切時滿足題意，進(jìn)而解出此時P的坐標(biāo)，解得答案即可.【詳解】如圖，易知點在拋物線C的準(zhǔn)線上，作PD垂直于準(zhǔn)線，且與準(zhǔn)線交于點D，記，則.由拋物線定義可知，.由圖可知，當(dāng)取得最大值時，最小，此時直線與拋物線相切，設(shè)切線方程為，代入拋物線方程并化簡得：，，方程化為：，代入拋物線方程解得：，即，則，.于是，橢圓的長軸長，半焦距，所以橢圓的離心率.故選：D.11、C【解析】根據(jù)“中國剩余定理”，進(jìn)而依次執(zhí)行循環(huán)體，最后求得答案.【詳解】由題意，第一步：，余數(shù)不為1；第二步：，余數(shù)不為1；第三步：，余數(shù)為1，執(zhí)行第二個判斷框，余數(shù)不為2；第四步：，執(zhí)行第一個判斷框，余數(shù)為1，執(zhí)行第二個判斷框，余數(shù)為2.輸出的i值為13.故選：C.12、A【解析】將直線方程化為斜截式，由此確定斜率；根據(jù)斜率和傾斜角關(guān)系可得結(jié)果.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則，由得：，則斜率，.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先利用正弦定理邊化角式子，得到，再利用正弦定理求出，根據(jù)與的關(guān)系，求得，即可求得c的最小值.【詳解】，即，又，當(dāng)最大時，即，最小，且為由正弦定理得：，當(dāng)時，c的最小值為故答案為：【點睛】方法點睛：在解三角形題目中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：（1）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“角化邊”；（2）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“邊化角”；（3）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊”；（4）代數(shù)變形或者三角恒等變換前置；（5）同時出現(xiàn)兩個自由角（或三個自由角）時，要用到.14、5【解析】根據(jù)得出，設(shè)，從而利用雙曲線的定義可求出，的關(guān)系，從而可求出答案.【詳解】設(shè)雙曲線的焦距為，則，因為，所以，因為，不妨設(shè)，，由雙曲線的定義可得，所以，，由勾股定理可得，，所以，所以雙曲線的離心率故答案為：.15、【解析】先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求函數(shù)在處的切線方程.【詳解】，，，所以曲線在點處的切線方程為，即.故答案為：【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，重點考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題型.16、10【解析】采用數(shù)形結(jié)合法，將所求問題轉(zhuǎn)化為兩點到直線的距離和的倍，結(jié)合梯形中位線性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系可求得答案.【詳解】由，，，可知，點在圓上，由，即為等腰直角三角形，結(jié)合點到直線距離公式可理解為圓心到直線的距離，變形得，即所求問題可轉(zhuǎn)化為兩點到直線的距離和的倍，作于于，中點為，中點為，由梯形中位線性質(zhì)可得，，作于，于，連接，則，當(dāng)且僅當(dāng)與重合，三點共線時，有最大值，由點到直線距離公式可得，由幾何性質(zhì)可得，，此時，故的最大值為.故答案為：10.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）14海里小時；（2）.【解析】（1）由題意知，，，.在△中，利用余弦定理求出，進(jìn)而求出漁船甲的速度.（2）在△中，，，，，由正弦定理，即可解出的值.【小問1詳解】(1）依題意，，，，.在△中，由余弦定理，得.解得.故漁船甲的速度為海里小時.即漁船甲的速度為14海里小時.【小問2詳解】在△中，因為，，，，由正弦定理，得，即.值為.18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據(jù)勾股定理先證明，然后證明，進(jìn)而通過線面垂直的判定定理證明問題；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而求出兩個平面的法向量，然后通過空間向量的夾角公式求得答案.【小問1詳解】∵，，∴，∴，∵平面，平面，∴，∵，，，∴平面.【小問2詳解】以點為坐標(biāo)原點，向量，的方向分別為，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)平面的法向量為，由，，有取，可得平面的一個法向量為.設(shè)平面的一個法向量為，由，，有取，可得平面的一個法向量為，所以，故平面與平面的夾角的正弦值為.19、.【解析】求得，根據(jù)其在上有兩個零點，結(jié)合零點存在性定理，對參數(shù)進(jìn)行分類討論，即可求得參數(shù)的取值范圍.【詳解】因為，所以，令，由題意可知在上有兩個不同零點.又，若，則，故在上為增函數(shù)，這與在上有兩個不同零點矛盾，故.當(dāng)時，，為增函數(shù)，當(dāng)時，，為減函數(shù)，故，因為在上有兩個不同零點，故，即，即，取，，故在有一個零點，取，，令，，則，故在為減函數(shù)，因為，故，故，故在有一個零點，故在上有兩個零點，故實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考察利用導(dǎo)數(shù)由函數(shù)的極值點個數(shù)求參數(shù)的范圍，涉及零點存在定理，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，屬綜合困難題.20、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)已知條件求得等差數(shù)列的首項和公差，由此求得.（2）利用裂項求和法求得.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則,解得，.∴.【小問2詳解】由（1）知.∴.∴.21、（1）3x+4y+5＝0（2）x2+y2＝17【解析】（1）由垂直關(guān)系得過直線l的斜率，由點斜式化簡即可求解l的一般式方程；（2）結(jié)合勾股定理建立弦心距（由點到直線距離公式求解），半弦長，圓半徑的基本關(guān)系，解出，即可求解圓C的方程【小問1詳解】因為直線l與直線4x﹣3y+t＝0垂直，所以直線l的斜率為，故直線l的方程為，