2015年研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)三真題及答案一、選擇題

(下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求的。)1、設(shè){xn}是數(shù)列，下列命題中不正確的是______。

A．若，則

B．若，則

C．若，則

D．若，則

2、設(shè)函數(shù)f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)連續(xù)，其二階導(dǎo)函數(shù)f"(x)的圖形如圖所示，則曲線y=f(x)的拐點(diǎn)個(gè)數(shù)為______。

A．0

B．1

C．2

D．3

3、設(shè)D={(x，y)|x2+y2≤2x，x2+y2≤2y}，函數(shù)f(x，y)在D上連續(xù)，則______。

A．

B．

C．

D．

4、下列級(jí)數(shù)中發(fā)散的是______。

A．

B．

C．

D．

5、設(shè)矩陣，若集合Ω={1，2}，則線性方程組Ax=b有無窮多解的充分必要條件為______。

A．

B．，d∈Ω

C．a(chǎn)∈Ω，

D．a(chǎn)∈Ω，d∈Ω

6、設(shè)二次型f(x1，x2，x3)在正交變換x=Py下的標(biāo)準(zhǔn)形為，其中P=(e1，e2，e3)。若Q=(e1，-e3，e2)，則f(x1，x2，x3)在正交變換x=Qy下的標(biāo)準(zhǔn)形為______。

A．

B．

C．

D．

7、若A，B為任意兩個(gè)隨機(jī)事件，則______。

A．P(AB.≤PA.P(B.

B．P(AB.≥PA.P(B.

C．

D．

8、設(shè)總體X～B(m，θ)，X1，X2，…，Xn為來自該總體的簡單隨機(jī)樣本，為樣本均值，則=______。

A．(m-1)nθ(1-θ)

B．m(n-1)θ(1-θ)

C．(m-1)(n-1)θ(1-θ)

D．mnθ(1-θ)

二、填空題9、______。

10、設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，，若φ(1)=1，φ'(1)=5，則f(1)=______。

11、若函數(shù)z=z(x，y)由方程ex+2y+3z+xyz=1確定，則dz|(0，0)=______。

12、設(shè)函數(shù)y=y(z)是微分方程y"+y'-2y=0的解，且在x=0處取得極值3，則y(x)=______。

13、設(shè)3階矩陣A的特征值為2，-2，1，B=A2-A+E，其中E為3階單位矩陣，則行列式|B|=______。

14、設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)服從正態(tài)分布N(1，0；1，1；0)，則P{XY-Y＜0}=______。

三、解答題

(解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。)15、設(shè)函數(shù)f(x)=x+aln(1+x)+bxsinx，g(x)=kx3。若f(x)與g(x)在x→0時(shí)是等價(jià)無窮小，求a，b，k的值。

16、計(jì)算二重積分，其中D={(x，y)|x2+y2≤2，y≥x2}。

為了實(shí)現(xiàn)利潤的最大化，廠商需要對(duì)某商品確定其定價(jià)模型，設(shè)Q為該商品的需求量，P為價(jià)格，MC為邊際成本，η為需求彈性(η＞0)。17、證明定價(jià)模型為；18、若該商品的成本函數(shù)為C(Q)=1600+Q2，需求函數(shù)為Q=40-P，試由上小題中的定價(jià)模型確定此商品的價(jià)格。19、設(shè)函數(shù)f(x)在定義域Ⅰ上的導(dǎo)數(shù)大于零，若對(duì)任意x0∈Ⅰ，曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線與直線x=x0及x軸所圍成區(qū)域的面積恒為4，且f(0)=2，求f(x)表達(dá)式。

20、設(shè)函數(shù)u(x)，v(x)可導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)定義證明[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)；21、設(shè)函數(shù)u1(x)，u2(x)，…，un(x)可導(dǎo)，f(x)=u1(x)u2(x)…un(x)，寫出f(x)的求導(dǎo)公式。設(shè)矩陣，且A3=0。22、求a的值；23、若矩陣X滿足X-XA2-AX+AXA2=E，其中E為3階單位矩陣，求X。設(shè)矩陣相似于矩陣。24、求a，b的值；25、求可逆矩陣P，使P-1AP為對(duì)角矩陣。設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為，對(duì)X進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)的觀測，直到第2個(gè)大于3的觀測值出現(xiàn)時(shí)停止，記Y為觀測次數(shù)。26、求Y的概率分布；27、求EY。設(shè)總體X的概率密度為，其中θ為未知參數(shù)，X1，X2，…，Xn為來自該總體的簡單隨機(jī)樣本。28、求θ的矩估計(jì)量；29、求θ的最大似然估計(jì)量。

答案:

一、選擇題

1、D[考點(diǎn)]

數(shù)列極限與子列極限的關(guān)系。[解析]

數(shù)列收斂，那么它的任何無窮子列均收斂，所以A項(xiàng)與C項(xiàng)正確；一個(gè)數(shù)列存在多個(gè)無窮子列并集包含原數(shù)列所有項(xiàng)，且這些子列均收斂于同一個(gè)值，則原數(shù)列是收斂的，所以B項(xiàng)正確。因D項(xiàng)中兩個(gè)無窮子列的并集未包含原數(shù)列所有項(xiàng)，所以D項(xiàng)錯(cuò)誤，故選D項(xiàng)。2、C[考點(diǎn)]

拐點(diǎn)的定義和判斷。[解析]

根據(jù)拐點(diǎn)的必要條件，拐點(diǎn)可能是f"(x)不存在的點(diǎn)或f"(x)=0的點(diǎn)，所以y=f(x)有三個(gè)點(diǎn)可能是拐點(diǎn)；根據(jù)拐點(diǎn)的定義，拐點(diǎn)為凹凸性改變的點(diǎn)，即二階導(dǎo)函數(shù)f"(x)符號(hào)發(fā)生改變的點(diǎn)。所以從圖中可知，拐點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，故選C項(xiàng)。3、B[考點(diǎn)]

二重積分的轉(zhuǎn)化與幾何意義。[解析]

根據(jù)下圖可得，在極坐標(biāo)系下該二重積分要分成兩個(gè)積分區(qū)域：

，，所以，故選B項(xiàng)。

4、C[考點(diǎn)]

級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散。[解析]A項(xiàng)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，因?yàn)?，所以根?jù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法可知收斂；B項(xiàng)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，因?yàn)?，根?jù)P級(jí)數(shù)收斂準(zhǔn)則，知收斂；C項(xiàng)，，根據(jù)萊布尼茨判別法知收斂，發(fā)散，所以根據(jù)級(jí)數(shù)收斂定義知，發(fā)散；D項(xiàng)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，因?yàn)椋?/p>

所以根據(jù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法知收斂，故選C項(xiàng)。5、D[考點(diǎn)]

線性方程組有無窮多解的充要條件。[解析]

由已知得

若Ax=b有無窮多解，則r(A)=r(A，b)＜3，故a=1或a=2，同時(shí)d=1或d=2。故選D項(xiàng)。6、A[考點(diǎn)]

二次型的正交變換和標(biāo)準(zhǔn)形式。[解析]

由x=Py，得，且

所以。故選A項(xiàng)。7、C[考點(diǎn)]

概率的基本性質(zhì)。[解析]

由于ABA，ABB，根據(jù)概率的基本性質(zhì)，有P(AB)≤P(A)且P(AB)≤P(B)，從而，故選C項(xiàng)。8、B[考點(diǎn)]

期望的計(jì)算。[解析]

根據(jù)樣本方差的性質(zhì)，得E(S2)=D(X)，D(X)=mθ(1-θ)，從而，，故選B項(xiàng)。二、填空題

9、[考點(diǎn)]

等價(jià)無窮小量和極限的計(jì)算。[解析]

10、[考點(diǎn)]

變限積分求導(dǎo)。[解析]

因?yàn)閒(x)連續(xù)，所以φ(x)可導(dǎo)，且；因?yàn)棣?1)=1，所以，又因?yàn)棣?(1)=5，所以，故f(1)=2。11、[考點(diǎn)]

全微分的計(jì)算。[解析]

對(duì)方程ex+2y+3z+xyz=1兩邊求偏導(dǎo)，

得及。

∵當(dāng)x=0，y=0時(shí)，z=0，

∴將(0，0，0)代入，得到，

∴。12、y(x)=e-2x+2ex[考點(diǎn)]

齊次微分方程的通解和特解。[解析]y"+y'-2y=0的特征方程為λ2+λ-2=0，所以特征根為λ1=-2，λ2=1，所以該齊次微分方程的通解為y(x)=C1e-2x+C2ex，因?yàn)閥(x)可導(dǎo)，所以x=0為駐點(diǎn)，即y(0)=3，y'(0)=0，代入得C1=1，C2=2，故y(x)=e-2x+2ex。13、21[考點(diǎn)]

行列式與特征值的關(guān)系及特征值的計(jì)算。[解析]

由A的特征值為2，-2，1，且B=A2-A+E，得B的所有特征值為3，7，1，所以|B|=3×7×1=21。14、[考點(diǎn)]

聯(lián)合分布的概率計(jì)算。[解析]

由題可知X～N(1，0)，Y～N(1，1)，并且X，Y相互獨(dú)立，從而P{XY-Y＜0}=P{(X-1)Y＜0}=P{(X-1)＞0，Y＜0}+P{X-1＜0，Y＞0}

=P{X＞1，Y＜0}+P{X＜1，Y＞0}

=P(X＞1)P(Y＜0)+P(X＜1)P(Y＞0)(X，Y相互獨(dú)立)

又X～N(1，0)，則，可得。三、解答題

15、解：方法一：

因?yàn)?，?/p>

那么，

可得：所以

方法二：

由題得，

由分母，得分子，求得a=-1，

于是

由分母，得分子

求得；

進(jìn)一步，將b值代入原式

求得。[考點(diǎn)]

等價(jià)無窮小的定義和計(jì)算。16、解：由已知得

[考點(diǎn)]

二重積分的計(jì)算。17、解：由于利潤函數(shù)L(Q)=R(Q)-C(Q)=PQ-C(Q)，兩邊對(duì)Q求導(dǎo)，得，

當(dāng)且僅時(shí)，利潤L(Q)最大，又由于，所以，故時(shí)，利潤最大。18、解：由于MC=C'(Q)=2Q=2(40-P)，則，代入上小題中的定價(jià)模型，得，從而解得P=30。[考點(diǎn)]

導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義。19、解：曲線的切線方程為y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)，切線與x軸的交點(diǎn)為，故由切線、直線x=x0及x軸所圍成區(qū)域的面積為：=4，故f(x)滿足的方程為f2(x)=8f'(x)，此為可分離變量的微方程，即，

積分得，又由于f(0)=2，帶入可得C=-4，從而。[考點(diǎn)]

微分方程的求解。20、解：

21、解：由題意得

f'(x)={u1(x)[u2(x)…un(x)]}'

=u1'(x)·[u2(x)…un(x)]+u1(x)[u2(x)…un(x)]'

=u1'(x)·u2(x)…un(x)+u1(x){u2(x)·[u3(x)…un(x)]}'

…

=u1'(x)·u2(x)…un(x)+u1(x)·u2'(x)…un(x)+…+u1(x)·u2(x)…un'(x)。

22、解：

23、解：由題意知

X-XA2-AX+AXA2=EX(E-A2)-AX(E-A2)=E(E-A)X(E-A2)=EX=(E-A)-1(E-A2)-1，

故[考點(diǎn)]

矩陣的計(jì)算及矩陣方程的化簡。24、解：A～Btr(A)=tr(B)3+a=1+b+1

25、解：

∴C的特征值為λ1=λ2=0，λ3=4。

λ=0時(shí)，(0E-C)x=0的基礎(chǔ)解系為ξ1=(2，1，0)T，ξ2=(-3，0，1)T；

λ=4時(shí)，(4E-C)x=0的基礎(chǔ)解系為ξ3=(-1，-1，1)T，

∴A的特征值λA=1+λC，分別為1，1，5。

令

[考點(diǎn)]

特征根的計(jì)算及相似對(duì)角化。26、解：記p為觀測值大于3的概率，則，從而P{Y=n}，n=2，3，…為Y的概率分布。27、解：方法一：將隨機(jī)變量Y分解成Y=M+N兩個(gè)過程，其中M表示從1到n(n＜k)次試驗(yàn)觀測值大于3首次發(fā)生，N表示從n+1次到k試驗(yàn)