空間幾何體第一章2021/5/91本章內(nèi)容1.1

空間幾何體的結(jié)構(gòu)1.2

空間幾何體的三視圖和直觀圖1.3

空間幾何體的表面積與體積第一章小結(jié)2021/5/921.3空間幾何體表面積與體積的1.3.1

柱體、錐體、臺體的表面積與體積1.3.2

球的體積和表面積2021/5/93柱體、錐體、臺體1.3.1的表面積與體積返回目錄2021/5/94學(xué)習(xí)要點(diǎn)1.

棱柱、棱錐、棱臺的表面積怎樣計(jì)算?2.

圓柱、圓錐、圓臺的表面積怎樣計(jì)算?3.

柱體、錐體、臺體的體積怎樣計(jì)算?4.

組合體的體積怎樣計(jì)算?2021/5/951.

柱體、錐體、臺體的表面積

問題1.

同學(xué)們還記得正方體和長方體的表面積怎樣求嗎?棱柱、棱錐、棱臺的表面是由一些什么樣的平面圖形組成?圓柱、圓錐、圓臺呢?你能計(jì)算它們的表面積嗎?

棱柱、棱錐、棱臺的表面是由底面、側(cè)面的各個(gè)多邊形組成,各多邊形的面積之和即為它們的表面積.2021/5/961.

柱體、錐體、臺體的表面積

問題1.

同學(xué)們還記得正方體和長方體的表面積怎樣求嗎?棱柱、棱錐、棱臺的表面是由一些什么樣的平面圖形組成?圓柱、圓錐、圓臺呢?你能計(jì)算它們的表面積嗎?

圓柱、圓錐、圓臺的表面是由底面圓和側(cè)面組成.將側(cè)面展開成平面,就能求側(cè)面積.2021/5/97

例1.

已知棱長為a,各面均為等邊三角形的四面體S-ABC,求它的表面積.SABCD解:這四面體的表面是由4個(gè)全等的等邊三角形組成,所以它的表面積S=4S△SBC在△SBC中,邊長為a,SD為BC邊上的高.則SD

=于是得S△SBC=所以,這個(gè)四面體的表面積為2021/5/98

問題2.

圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開成平面后各是什么圖形?這些圖形的面積你會計(jì)算嗎?··OO

rhS圓柱側(cè)=·OSrlS圓錐側(cè)=S圓臺側(cè)=2prh.=prl.=pl(r+r).(變態(tài)梯形)底面圓周長c:︵變態(tài)三角形︶下底面圓周長c:c

上底面圓周長OO

rr

l2021/5/99

例2.

如圖,一個(gè)圓臺形花盆盆口直徑為20cm,盆底直徑為15cm,底部滲水圓孔直徑為1.5cm,盆壁長15cm,為了美化花盆外觀,需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆,涂100個(gè)這樣的花盆需要多少油漆(p

取3.14,結(jié)果精確到1毫升,可用計(jì)算器)?解:因?yàn)榛ㄅ璧呐杩谑强盏?所以外觀表面積是側(cè)面積加盆底面積,再減去滲水孔的面積.S

=

S側(cè)

+

S底

-

S小孔≈999.1(cm2)答:大約需要1000毫升油漆.=0.09991(m2),1000.09991100≈999.1(毫升).2021/5/910練習(xí):(課本27頁)第1、2題.練習(xí):(補(bǔ)充)

如圖是一個(gè)四棱臺,它的下底是一個(gè)邊長為10cm的正方形,上底是邊長為6cm的正方形,側(cè)面是全等的梯形,梯形的高為8cm,求這個(gè)棱臺的表面積.2021/5/911練習(xí):(補(bǔ)充)

如圖是一個(gè)四棱臺,它的下底是一個(gè)邊長為10cm的正方形,上底是邊長為6cm的正方形,側(cè)面是全等的梯形,梯形的高為8cm,求這個(gè)棱臺的表面積.解:此棱臺的表面由上底、下底和側(cè)面的4個(gè)梯形組成,它的表面積為:S

=

S上底

+S下底

+4S梯形=392(cm2),即這個(gè)棱臺的表面積為392平方厘米.2021/5/912練習(xí):(課本27頁)1.

已知圓錐的表面積為am2,且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓,求這個(gè)圓錐的底面直徑.解:設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線長為l,因?yàn)閭?cè)面展開圖是一個(gè)半圓,所以有2pr

=

pl,得l=2r,又由表面積得解得則直徑2r

=答:這個(gè)圓錐的底面直徑是rl2021/5/913

2.

如圖是一種機(jī)器零件,零件下面是六棱柱(底面是正六邊形,側(cè)面是全等的矩形)形,上面是圓柱(尺寸如圖,單位:mm)形,電鍍這種零件需要用鋅,已知每平方米用鋅0.11kg,問電鍍10000個(gè)零件需要鋅多少千克?(結(jié)果精確到0.01kg)612525解:這個(gè)零件的表面積為S=

S棱柱表+S圓柱側(cè)≈1579.485(mm2),10000個(gè)零件的表面積約為15794850mm2,約合15.795平方米.2021/5/914

2.

如圖是一種機(jī)器零件,零件下面是六棱柱(底面是正六邊形,側(cè)面是全等的矩形)形,上面是圓柱(尺寸如圖,單位:mm)形,電鍍這種零件需要用鋅,已知每平方米用鋅0.11kg,問電鍍10000個(gè)零件需要鋅多少千克?(結(jié)果精確到0.01kg)612525解:這個(gè)零件的表面積為S=

S棱柱表+S圓柱側(cè)≈1579.485(mm2),10000個(gè)零件的表面積約為15794850mm2,約合15.795平方米.0.1115.795≈1.737(kg),答:電鍍10000個(gè)零件約需要鋅1.74千克.2021/5/9152.

柱體、錐體與臺體的體積

問題1.

還記得正方體、長方體、圓柱和圓錐的體積公式嗎?由此類推柱體和錐體的體積公式如何?你想想臺體的體積怎樣求?柱體體積:V柱

=Sh(S為底面面積,h為柱體高).錐體體積:(S為底面面積,h為柱體高).臺體體積:V臺

=

V大錐體-V小錐體S

為上底面積,(S為下底面積,h

為臺高).2021/5/916

例3.

有一堆規(guī)格相同的鐵制(鐵的密度是7.8g/cm3)六角螺帽共重5.8kg,已知底面是正六邊形,邊長為12mm,內(nèi)孔直徑為10mm,高為10mm,問這堆螺帽大約有多少個(gè)(p

取3.14)?解:每一個(gè)螺帽的體積為V=V棱柱-V圓柱≈2956(mm3)=2.956(cm3),7.82.956=23.0568(g)=0.0230568(kg),5.80.0230568≈252(個(gè)).答:這堆螺帽大約有252個(gè).2021/5/917習(xí)題1.3A組第3題.【練習(xí)】2021/5/9183.

如圖,將一個(gè)長方體沿相鄰三個(gè)面的對角線截出一個(gè)棱錐,求棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比.解:設(shè)長方體的長、寬、高分別為a、b、c,abc則長方體的體積為V長方體

=

abc,三棱錐看成如圖的S-ABC,則體積為SABC∴棱錐的體積與剩下的幾何體的體積之比為2021/5/919【課時(shí)小結(jié)】1.

棱柱、棱錐、棱臺的表面積各個(gè)面多邊形的面積之和.2.

圓柱、圓錐、圓臺的表面積底面積加側(cè)面積.底面積:S底=pr2.圓柱側(cè)面積:S柱側(cè)=2prh.圓錐側(cè)面積:S錐側(cè)=prl.圓臺側(cè)面積:S臺側(cè)=pl(r+r

).2021/5/920【課時(shí)小結(jié)】柱體體積:V柱

=Sh.錐體體積:臺體體積:3.

柱體、錐體、臺體體積2021/5/921習(xí)題1.3A組第1、2、4、5、6題.2021/5/922習(xí)題1.31.

五棱臺的上、下底面均是正五邊形,邊長分別是8cm和18cm,側(cè)面是全等的等腰梯形,側(cè)棱長是13cm,求它的側(cè)面面積.解:所求側(cè)面面積是5個(gè)等腰梯形之和,一個(gè)梯形的高為81813=12,∴S側(cè)

==780(cm2),答:這個(gè)五棱臺的側(cè)面積是780平方厘米.A組2021/5/923

2.

已知圓臺的上下底面半徑分別是r、R,且側(cè)面面積等于兩底面積之和,求圓臺的母線長.解:由已知得pl(R+r)=

p(R2+r2),解得即圓臺的母線長為2021/5/9244.

如圖,一個(gè)三棱柱形容器中盛有水,且側(cè)棱AA1=8,若側(cè)面AA1B1B水平放置時(shí),液面恰好過AC,BC,A1C1,B1C1

的中點(diǎn).當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí),液面高為多少?ABCA1B1C1解:如圖中盛有水部分是一個(gè)四棱柱,其高為AA1=8,底面積是△ABC面積的則水的體積為=6S△ABC,當(dāng)?shù)酌鍭BC水平方置時(shí),A

B

C

ABChV水=h·S△ABC=6S△ABC,得h=6.答:液面高為6個(gè)單位.2021/5/9255.

如圖是一個(gè)煙筒的直觀圖(單位:cm),它的下部是一個(gè)四棱臺(上、下底面均是正方形,側(cè)面是全等的等腰梯形)形物體;上部是一個(gè)四棱柱(底面與四棱臺的上底面重合,側(cè)面是全等的矩形)形物體,為防止雨水的侵蝕,增加美觀,需要粘貼瓷磚,需要瓷磚多少平方厘米(結(jié)果精確到1cm2)?解:此問題是求棱臺和棱柱的側(cè)面積之和.棱臺側(cè)面的梯形高為∴S=S臺側(cè)+S柱側(cè)≈14359(cm2).(答略)2021/5/9266.

我國鐵路路基是用碎石鋪設(shè)的(如圖),請你查詢北京到上海的鐵路長度,并估計(jì)所用碎石方數(shù)(結(jié)果精確到1m3).資料:京滬鐵路全長1462km,京滬高鐵全長1318km.解:按普鐵計(jì)算,=1260150(m3),答:估計(jì)需要1260150方碎石.2021/5/9271.3.2球的體積和表面積返回目錄2021/5/928學(xué)習(xí)要點(diǎn)1.

球的體積公式是怎樣的?是用什么方法得到的?2.

球的表面積公式是怎樣的?是用什么方法得到的?2021/5/929

問題1.

球的體積能像柱體和錐體那樣求得嗎?將一個(gè)西瓜切成很薄的一些片,每片可以近似地看作一個(gè)什么幾何體?由此請你想一想,用什么樣的方法求得球的體積?1.

球的體積將球體如圖切片:抽出其中的一片,這圓片近似于一個(gè)圓柱,

根據(jù)圓柱的體積公式即可求圓片的體積,

各圓片的體積之和即為球的體積.2021/5/930已知球的半徑為R,取半球(如圖).將半球均勻地切成n

片,各片體積分別為

V1,V2,V3,…,Vn,則

V球=2V半球.從下到上第k

片的下底半徑為每片近似地看成一個(gè)圓柱,則第k

片的體積為則V球=2(V1+V2+…+Vn).∴V球

=rkR2pR3rkk-1片2021/5/931Rrk∴V球

=2pR32021/5/932Rrk當(dāng)半球切得的片數(shù)無限多,各片體積越精確,即n

無限大時(shí),∴V球

=2pR32021/5/933

例(補(bǔ)充).

某街心花園有許多鋼球(鋼的密度是7.9g/cm3).每個(gè)鋼球重145kg,并且外徑等于50cm,試根據(jù)以上數(shù)據(jù),判斷鋼球是實(shí)心的還是空心的.如果是空心的,請你計(jì)算出它的內(nèi)徑(p取3.14,結(jié)果精確到1cm).解:按外徑求出鋼球的體積為≈65449.847(cm3),如果是實(shí)心球,則球重應(yīng)為7.9

65449.847≈517053.791(g)≈517.054(kg)>145kg,∴球是空心的.設(shè)內(nèi)徑為r,則2021/5/934

例(補(bǔ)充).

某街心花園有許多鋼球(鋼的密度是7.9g/cm3).每個(gè)鋼球重145kg,并且外徑等于50cm,試根據(jù)以上數(shù)據(jù),判斷鋼球是實(shí)心的還是空心的.如果是空心的,請你計(jì)算出它的內(nèi)徑(p取3.14,結(jié)果精確到1cm).解:按外徑求出鋼球的體積為≈65449.847(cm3),如果是實(shí)心球,則球重應(yīng)為7.9

65449.847≈517053.791(g)≈517.054(kg)>145kg,∴球是空心的.設(shè)內(nèi)徑為r,則解得r≈22.4(cm),答:這個(gè)球是空心球,它的內(nèi)徑約為44.8cm.2r≈44.8(cm).2021/5/935

已知球O1、球O2、球O3的體積比為1:8:27,求它們的半徑比.解:由題意得V1:V2:V3=1:8:27,得R13:R23:R33=1:8:27,∴R1:R2:R3=1:2:3,即球O1、球O2、球O3的半徑之比為1:2:3.練習(xí):(補(bǔ)充)2021/5/9362.

球的表面積

問題2.

在求球的體積時(shí),我們用切片的方法將球分割成很多個(gè)近似圓柱.從中你能否得到啟示,怎樣將球的表面分割成某平面圖形,以求球的表面積?如圖,將球表面進(jìn)行經(jīng)緯網(wǎng)狀將每小片的四頂點(diǎn)與球心連結(jié),·截割出n

個(gè)近似棱錐.其底面積為分別為S

1、S

2、分割成n

小片,…S

n,高近似為R.則球體積2021/5/9372.

球的表面積

問題2.

在求球的體積時(shí),我們用切片的方法將球分割成很多個(gè)近似圓柱.從中你能否得到啟示,怎樣將球的表面分割成某平面圖形,以求球的表面積?如圖,將球表面進(jìn)行經(jīng)緯網(wǎng)狀將每小片的四頂點(diǎn)與球心連結(jié),·截割出n

個(gè)近似棱錐.其底面積為分別為S

1、S

2、分割成n

小片,…S

n,高近似為R.則球體積

S表球面=4pR2.解得2021/5/938

例4

如圖,圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑.求證:

(1)

球的體積等于圓柱體積的

(2)

球的表面積等于圓柱的側(cè)面積.R·O證明:(1)V柱

=

pR2·2R=2pR3.即球的體積等于圓柱體積的2021/5/939

例4

如圖,圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑.求證:

(1)

球的體積等于圓柱體積的

(2)

球的表面積等于圓柱的側(cè)面積.R·O證明:(2)∵S球面=4pR2,S柱側(cè)=2pR·2R=4pR2,即球的表面積等于圓柱的側(cè)面積.∴S球面=

S柱側(cè).2021/5/940練習(xí):(課本28頁)第1、2、3題.2021/5/9411.

將一個(gè)氣球的半徑擴(kuò)大1倍,它的體積增大到原來的幾倍?解:設(shè)原來氣球的半徑為R,則擴(kuò)大后的半徑為2R,所以原來氣球的體積為擴(kuò)大后氣球的體積為答:氣球擴(kuò)大后的體積增大到原來的8倍.練習(xí):(課本30頁)2021/5/9422.

一個(gè)正方體的頂點(diǎn)都在球面上,它的棱長是acm,求球的體積.····OCDD1·····ABA1B1C1解:如圖,由正方體與球的對稱性,正方體的對角線長就是球的直徑.∵正方體的棱長為acm,∴球的半徑R

=則球的體積為2021/5/9433.

一個(gè)球的體積是100cm3,試計(jì)算它的表面積(p取3.14,結(jié)果精確到1cm2).解:由解得R≈2.879(cm),則球的表面積為S=4pR2≈104(cm2).答:這個(gè)球的表面積約為104平方厘米.2021/5/944【課時(shí)小結(jié)】1.

球的體積2.

球的表面積

S表球面=4pR2.2021/5/945習(xí)題1.3B組第1、2、3題.2021/5/946習(xí)題1.3B組1.

如圖是一個(gè)獎(jiǎng)杯的三視圖,試根據(jù)獎(jiǎng)杯的三視圖計(jì)算它的表面積和體積(尺寸如圖,單位:cm,p

取3.14,結(jié)果精確到1cm3).解:這個(gè)獎(jiǎng)杯由球、四棱柱、四棱臺組成.S=S臺全+S柱側(cè)+S球表面表面積:棱臺側(cè)面梯形的高為+(8+4)220+4p22≈1197(cm2).42022012168正視圖俯視圖側(cè)視圖842021/5/947習(xí)題1.3B組1.

如圖是一個(gè)獎(jiǎng)杯的三視圖,試根據(jù)獎(jiǎng)杯的三視圖計(jì)算它的表面積和體積(尺寸如圖,單位:cm,p

取3.14,結(jié)果精確到1cm3).解:這個(gè)獎(jiǎng)杯由球、四棱柱、四棱臺組成.V=V臺+V柱+V球體積:+4

820≈1067(cm3).42022012168正視圖俯視圖側(cè)視圖84(答略)2021/5/9482.

已知三棱柱ABC-A

B

C

的側(cè)面均是矩形,求證:它的任意兩個(gè)側(cè)面的面積和大于第三個(gè)側(cè)面的面積.A

B

C

ABC證明:設(shè)AB=a,BC=b,abcCA=c,AA

=h,SABB

A

+

SACC

A

=hah+ch=h(a+c),SBCC

B

=bh,∵a+c>b,∴h(a+c)>bh,即

SABB

A

+

SACC

A

>SBCC

B

.同理可證SABB

A

+

SBCC

B

>SACC

A

,S