2023學(xué)年第一學(xué)期高一年級期中考試試卷數(shù)學(xué)命題人：於潔毓黃淑珍審核人：何其峰本試卷共5頁，滿分150分，考試用時120分鐘．注意事項：1．開考前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名、班級、考號等信息填寫在答題卡指定區(qū)域內(nèi)．2．選擇題每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案；不能答在試卷上．3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上，不得使用涂改液，不得使用計算器．不按以上要求作答的答案無效．4．考生必須保持答題卡的整潔．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，則（）A． B． C． D．2．已知冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸沒有公共點，則（）A． B． C．2 D．3．哥德巴赫猜想是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一，即所謂的“”問題．1966年，我國數(shù)學(xué)家陳景潤證明了“”成立．哥德巴赫猜想的內(nèi)容是“每一個大于2的偶數(shù)都能寫成兩個質(zhì)數(shù)之和”，則該猜想的否定為（）A．每一個小于2的偶數(shù)都不能寫成兩個質(zhì)數(shù)之和B．存在一個小于2的偶數(shù)不能寫成兩個質(zhì)數(shù)之和C．每一個大于2的偶數(shù)都不能寫成兩個質(zhì)數(shù)之和D．存在一個大于2的偶數(shù)不能寫成兩個質(zhì)數(shù)之和4．已知關(guān)于的不等式的解集為，則不等式的解集為（）A． B．C．或 D．5．下面命題正確的有（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則6．命題“”為真命題的一個充分不必要條件是（）A． B． C． D．7．若函數(shù)滿足對任意的實數(shù)，都有成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是（）A． B．C． D．10．已知函數(shù)（且）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．11．若正實數(shù)滿足，則下列說法正確的是（）A．有最小值9 B．的最小值是C．有最大值 D．的最小值是12．定義，若函數(shù)，且在區(qū)間上的值域為，則區(qū)間長度可以是（）A． B． C． D．1三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．______．14．已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為______．15．已知，則______．16．定義區(qū)間的長度為，多個區(qū)間并集的長度為各區(qū)間長度之和，例如：的長度，設(shè)，，其中表示不超過的最大整數(shù)，，若用表示不等式解集區(qū)間的長度，則當(dāng)時，______．四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（本小題滿分10分）設(shè)，命題，命題：．（1）若命題是真命題，求的取值范圍；（2）若命題與至少有一個為假命題，求的取值范圍．18．（本小題滿分12分）已知函數(shù)，其中．（1）若的最小值為1，求的值；（2）若存在，使成立，求的取值范圍．19．（本小題滿分12分）設(shè)．（1）若不等式有實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍；（2）解關(guān)于的不等式．20．（本小題滿分12分）天氣轉(zhuǎn)冷，寧波某暖手寶廠商為擴(kuò)大銷量，擬進(jìn)行促銷活動．根據(jù)前期調(diào)研，獲得該產(chǎn)品的銷售量萬件與投入的促銷費用萬元滿足關(guān)系式（為常數(shù)），而如果不搞促銷活動，該產(chǎn)品的銷售量為4萬件．已知該產(chǎn)品每一萬件需要投入成本20萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為元，設(shè)該產(chǎn)品的利潤為萬元．（注：利潤銷售收入投入成本促銷費用）（1）求出的值，并將表示為的函數(shù)；（2）促銷費用為多少萬元時，該產(chǎn)品的利潤最大？此時最大利潤為多少？21．（本小題滿分12分）（1）已知函數(shù)，若，都有，求證：為奇函數(shù)．（2）設(shè)函數(shù)定義在上，證明：是偶函數(shù)，是奇函數(shù)．（3）已知是定義在上的函數(shù)，設(shè)，，試判斷與的奇偶性；根據(jù)與的關(guān)系，你能猜想出什么樣的結(jié)論？22．（本小題滿分12分）恰逢135周年校慶之際，廣東廣雅中學(xué)計劃于2023年11月12日在花都校區(qū)舉行第五屆“雅馬跑”．為迎接本次盛會，有熱心校友自發(fā)設(shè)計了紀(jì)念品．如圖所示為紀(jì)念品的平面圖，其中四邊形為等腰梯形，在上，且的半徑為，圓心到的距離為，．定義高徑比，已知當(dāng)時，紀(jì)念品的總體設(shè)計較為協(xié)調(diào)，符合大眾審美．（1）設(shè)梯形的高為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)梯形的面積取得最大值時，判斷該紀(jì)念品是否符合大眾審美．2023學(xué)年第一學(xué)期高一年級期中考試試卷參考答案一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）題號123456789101112答案BADBCDBDBDABDABAD1．B因為，所以，2．A因為為冪函數(shù)，所以，解得，或，又的圖象與坐標(biāo)軸無公共點，故，所以，故，所以．3．D根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題，A，C錯誤；哥德巴赫猜想的否定為“存在一個大于2的偶數(shù)不能寫成兩個質(zhì)數(shù)之和”．4．B不等式的解集為，可得是方程的根，所以，且，解得，由不等式可得，由得，所以，解得，則不等式的解集為．5．C對于，若，則，A錯誤；對于B，若，則，B錯誤；對于C，若，則，又，即，C正確；對于D，若，，則，此時，D錯誤．6．D命題“”為真命題，則對恒成立，所以，故，所以命題“”為真命題的充分不必要條件需要滿足是的真子集即可，由于是的真子集，故符合，7．B由題意可知：對任意的實數(shù)，都有成立，是上的減函數(shù)，，解得實數(shù)的取值范圍是．故選：B．8．D函數(shù)是上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，當(dāng)時，則，又，即，又當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，的圖象如下所示：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，，即．故選：D．9．BD對A，當(dāng)時，，故A錯誤；對B，，故B正確；對C，，故C錯誤；對D，，故D正確．故選：BD10．ABD由圖象可知，函數(shù)（且）在上單調(diào)遞增，則，且當(dāng)時，，可得．對于A選項，，A對；對于B選項，，B對；對于C選項，，C錯；對于D選項，由題意可知，，則，所以，，D對．故選：ABD．11．AB，當(dāng)且僅時等號成立，A對；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，B對；，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，C錯；由，則，而，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，D錯．故選：AB12．AD令①，當(dāng)時，不等式可整理為，解得，故符合要求，當(dāng)時，不等式可整理為，解得，故，所以不等式①的解為；由上可得，不等式的解為或，所以，令，解得，令，解得或，令，解得或，令，解得或，所以區(qū)間的最小長度為1，最大長度為．故選：AD．填空題13．； 14．； 15．； 16．2011．13．解：．故答案為：14．（1，2）依題意，，解得，所以函數(shù)的定義域為．15．令，則且，所以，所以函數(shù)的解析式為．16．2011，，，即，當(dāng)時，，上式可化為；當(dāng)時，，上式可化為；當(dāng)時，，上式可化為，而，；當(dāng)時，，上式可化為恒成立，在時的解集為，故．解答題17．（1）若命題是真命題時，，即所以（2）若命題為真時，則解得，若命題與至少有一個為假命題，即命題與不能同時為真，若命題與同時為真時，則，解得所以命題與不能同時為真時，或18．（1）解：因為當(dāng)時，即當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，即，解得．（2）解：令，則，由可得，令，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因為，所以，．19．（1）依題意，有實數(shù)解，即不等式有實數(shù)解，當(dāng)時，有實數(shù)解，當(dāng)時，取，則成立，當(dāng)時，二次函數(shù)的圖象開口向下，要有解，當(dāng)且僅當(dāng)，從而得綜上，，所以實數(shù)的取值范圍是（2）不等式，當(dāng)時，當(dāng)時，不等式可化為，而，解得當(dāng)時，不等式可化為，當(dāng)，即時，，當(dāng)，即時，或當(dāng)，即時，或綜上，當(dāng)時，原不等式的解集為，當(dāng)時，原不等式的解集為，當(dāng)時，原不等式的解集為，當(dāng)時，原不等式的解集為，當(dāng)時，原不等式的解集為20．（1）由題知，時，，于是，，解得．所以，．根據(jù)題意，即所以（2）當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．所以當(dāng)促銷費用為7萬元時，該產(chǎn)品的利潤最大，最大利潤為123萬元．21．（1）令，則，所以令，則，所以又因為定義域關(guān)于原點對稱，所以是奇函數(shù)．（2）因為，所以，可見的定義域也是，設(shè)，則與的定義域也是，顯然定義域是關(guān)于原